Проект по математике на тему Наш вечный спутник-квадратное уравнение

Министерство образования и науки

Комитет Администрации Залесовского района по народному образованию

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Черёмушкинская средняя общеобразовательная школа

Школьная научно-практическая конференция

Проектная работа

Тема: Наш вечный спутник- квадратное уравнение

Выполнила

Войтенко Екатерина,

ученица 8 класса

Руководитель

Вернер Ирина Леонидовна

Учитель математики

Черёмушкино 2014

Содержание

Введение

1.Историческая справка………………………………………………………...5-6 стр.

2.Определение квадратного уравнения………………………………………….7 стр.

3.Способы решения квадратных уравнений…………………………………9-13 стр.

3.1.Разложение левой части уравнения на множители………………………9 стр.

3.2.Решение квадратных уравнений по формуле…………………………….9 стр.

3.3.Решение уравнений с использованием теоремы Виета………………9-10 стр.

3.4.Свойства коэффициентов квадратного уравнения…………………..10-11 стр.

3.5.Графическое решение квадратного уравнения………………………11-12 стр.

3.6.Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки….12-13 стр.

3.7.Решение квадратных уравнений способом «переброски»………….......13 стр.

3.8.Метод выделения полного квадрата…………………………………… 13 стр.

4.Заключение……………………………………………………………………..14 стр.

5.Приложение……………..…………………………………………………..15-18 стр.

6.Литература…………………………………………………………………….. 19 стр.

2

Введение

Цель работы: Знакомство с различными способами решения квадратных уравнений

Задачи:

• Подобрать информацию по теме из письменных источников и сети Интернет

• Составить план изложения материала по теме

• Законспектировать информацию

• Синтезировать информацию по плану

• Выбрать различные способы решений квадратных уравнений

• Составить дидактический материал для самостоятельных работ

• Провести обобщение по теме.

Объект исследования: квадратные уравнения

Предмет исследования: способы исследования квадратных уравнений

Актуальность темы: Практически все, что окружает человека - это все так или иначе связано с математикой. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые необходимо научиться решать

Гипотеза: Предполагаю, что квадратные уравнения можно решить несколькими разными способами. Использование какого-либо способа зависит от индивидуальных особенностей человека, от его теоретической подготовки.

Методы исследования: Подбор и обработка информации, знакомство с методами решения квадратных уравнений, подготовка дидактического материала по теме для учащихся 8 класса.

Проблема:

1)Нужны ли нам квадратные уравнения?

2)Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений?

Предполагаемые результаты

1.Я расширю и углублю свои знания о квадратных уравнениях.

2.Я усовершенствую навык решения квадратных уравнений.

4.Уровень моих знаний по алгебре повысится.

5.Дидактические материалы по теме пройдут успешную апробацию при повторении темы «Уравнения»и при подготовке к ОГЭ.

6.Я успешно выступлю на научно-практической конференции.

Опрос

Я провела опрос среди учащихся 8-11 классов .

Задавала 3 вопроса:

1)Сколько способов решения квадратных уравнений вы знаете?

2)Какие способы используете при решении квадратных уравнений?

3)Пригодится ли вам умение решать квадратные уравнения?

Из 8 класса опросила 15 человек ,они знают шесть способов и применяют 4 способа.

Из 9 класса опросила 10 человек, все они знают только один способ -«Решение квадратных уравнений по формуле».При решении используют этот способ.

Из 10 класса опросила 6 человек они знают 2 способа, используют 2 способа.

Из 11 класса опросила 5 человек - они знают восемь способов решения квадратных уравнений .Используют два способа: «решение квадратных уравнений по формуле» и «Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета и обратной теоремы Виета»

Все опрашиваемые утверждают ,что умение решать квадратные уравнения пригодится им в будущем.

3

«Уравнение - это золотой ключ, открывающий все математические сезамы»

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением

площадей земельных участков и с земельными работами

военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Они находят широкое применение при решении различных тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных, трансцендентных уравнений и неравенств, большого количества разных типов задач.

4

1.Из истории квадратных уравнений

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным . Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Квадратные уравнения вавилоняне умели решать

около 2000 лет до нашей эры.

Диофант Александрийский занимался решением задач на составление уравнений разных степеней. Для упрощения решения он умело выбирает неизвестные и сводит задачу к решению неполного квадратного уравнения.

Индийский ученый Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах² + bх = с, а > 0

В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.

5

Итальянские математики

Н. Тарталья,

Дж. Кардано,

Р. Бомбелли

среди первых в XVI веке учитывают,

помимо положительных и отрицательные корни.

Формулы решения квадратных уравнений были впервые изложены в книге, написанной итальянским математиком Леонардо Фибоначчи(XIII в.).

х² + bх = с, при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

Люди, благодаря которым способ решения квадратных уравнений принимает современный вид

Рене Декарт Исаак Ньютон Жирар Альберт

6

2.Определение квадратного уравнения.

Квадратное уравнение - уравнение вида

ax² + bx + c = 0,

где х - переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении

ах² + bx + c = 0

хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

1) ах² + с = 0, где b ≠ 0;

2) ах² + bх = 0, где с ≠ 0;

3) ах² = 0.

7

« Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя способами, чем решить 3-4 различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путём сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее»

У.Сойер.

В школьном курсе математики подробно изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Я нашла в сети интернет, в Энциклопедии и в других источниках 10 способов решения квадратных уравнений:

1.Разложение левой части на множители

2.Решение квадратных уравнений по формуле

3.Способ «переброски»

4.Решение уравнений графически

5.Решение квадратных уравнений с использованием теоремы Виета и обратной теоремы Виета

6.Решение квадратных уравнений с использованием циркуля и линейки

7.Свойства коэффициентов квадратного уравнения

8.Графический способ решения квадратных уравнений

9.Метод выделения полного квадрата

10.Геометрической способ решения квадратных уравнений.

В своей работе я рассмотрела 8 способов

8

Способы решения квадратных уравнений

1 способ. Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение х² + 10х - 24 = 0. Разложим левую часть на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) = (х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0

2 способ. Решение квадратных уравнений по формуле

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена часто приводит к

громоздким преобразованиям. Поэтому поступают иначе. Решают уравнение в общем

виде и в результате получают формулу корней. Затем эту формулу применяют при

решении любого квадратного уравнения.

Умножим обе части уравнения

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0

на 4а и последовательно имеем:

4а²х² + 4аbх + 4ас = 0,

((2ах) ² + 2ах • b + b²) - b² + 4ac = 0,

(2ax + b) ² = b² - 4ac,

2ax + b = ± √ b² - 4ac,

2ax = - b ± √ b² - 4ac,

О теореме Виета.

Теорема, выражающая связь между коэффициентами квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591году

«Если В + D, умноженное на А - А², равно ВD, то А равно В и равно D».

На языке современной алгебры выше приведенная формулировка Виета означает: если имеет место

(а + b)х - х² = ab.

т.е.

х² - (а + b)х + аb = 0,

то

х1 = а, х2 = b.

3 способ. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

х² + px + q = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - p

9

а) x² - 3x + 2 = 0; x1 = 2 и x2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x² + 8x + 7 = 0; x1 = - 7 и x2 = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) x ²+ 4x - 5 = 0; x1 = - 5 и x2 = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x² - 8x - 9 = 0; x1 = 9 и x2 = - 1, так как q = - 9 <0 и p = - 8 < 0.

4 способ. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение ах ² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х1 = 1,

х2= с/а.

Доказательство: Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение

x² + b/a • x + c/a = 0.

Согласно теореме Виета

x1 + x2 = - b/a,

x1x2 = c/a.

По условию а + b + с = 0, откуда b = -а - с. Таким образом,

x1 + x2 = (а+с)/a= 1 +c/a,

x1x2 = 1• ( c/a),

т.е. х1 = 1 и х2 = c/a, что и требовалось доказать.

Примеры: 1) 2х² +3х-5=0

а+b+c=0 (2+3-5=0)

корни х1=1,х2=-5/2

Если в=а+с, то х1=-1, х2=-с/а

2)3х²+5х+2=0

5=3+2

Корни х1=-1,х2=-2/3.

Б. Если второй коэффициент b = 2k - четное число, то формулу корней

Пример: х²-6х-7=0

k=3

х1= (3+4)/1; х1=7

х2=(3-4)/1

х2=-1

Ответ: 7;-1.

В. Приведенное уравнение

х² + рх + q= 0

совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = р и с = q. Поэтому для

приведенного квадратного уравнения формула корней

10

примет вид:

Мнемонические правила:

1 правило. «Минус» напишем сначала,
Рядом с ним p пополам,
«Плюс-минус» знак радикала,
С детства знакомого нам.
Ну, а под корнем, приятель,
Сводится всё к пустяку:
p пополам и в квадрате
Минус прекрасное q.

2 правило. p, со знаком взяв обратным,
На два мы его разделим,
И от корня аккуратно
Знаком «минус-плюс» отделим.
А под корнем очень кстати
Половина p в квадрате
Минус q - и вот решенья,
То есть корни уравненья.

Г.

-В уравнениях вида :ах² + (а² +1)х+а=0

х1=-а, х2= -1/а.

Пример: 6х² +37х+6=0

х1=-6,х2 = -1/6.

-В уравнениях вида: ах² -(а² +1)х+а=0

х1=а, х2=1/а

Пример: 15х² -226х+15=0

х1=15,х2=1/15.

- Если в уравнении ax ²+ bx - c = 0 коэффициент b равен (а ²- 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х1= -а; х2=1/а . ax ²+ (а² -1)∙ х- а= 0

Пример: Рассмотрим уравнение 17х ²+288х - 17 = 0.

Х1=-17, х2=1/17

-Если в уравнении ax² - bx - c = 0 коэффициент b равен (а ²- 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту а, то его корни равны х1= а; х2= -1/а. ax² + (а²- 1)∙ х- а= 0

Пример. Рассмотрим уравнение 10х²-99 х - 10 = 0.

х1= 10; х2= -1/10

5 способ. Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении

х ²+ px + q = 0

11

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х² = - px - q.

Построим графики зависимости у = х² и у = - px - q.

х1и х2-корни этого уравнения

Пример:

1. Решить графически уравнение

х² - 3х - 4 = 0 (рис. 2).

Решение: Запишем уравнение в виде

х²= 3х + 4.

Построим параболу у = х² и прямую

у = 3х + 4.

Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам

М (0; 4) и N (3; 13).

Ответ: х1 = - 1; х2 = 4

6 способ. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.

Корни квадратного уравнения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения окружности с центром S(-в/2а;(а+с)/2а), проходящей через точку А(0;1), и оси Ох.

Решим графически уравнение:

x²-2x-3=0

12

Решение: Определим координаты точки центра окружности по формулам:

x= -b/2a= -(-2/2*1)=1

y=(a+c)/(2a)=(1-3)/(2*1)= -1

Проведем окружность радиуса SA, где А(0;1)

Ответ: x1= -1; x2=3.

7 способ. Решение квадратных уравнений способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а² х² + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а

тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильного данному.

Пример: 2х² - 11х + 15 = 0 .

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² - 11y +30 = 0.

а=1, b=-11,с=30.

D=b²-4ac=(-11)2-4*30=121-120=1

y1=(-b+√D)/2a=(-(-11)+1)/2*1=12/2=6

y2=(-b-√D)/2a=(-(-11)-1)/2*1=10/2=5

x1=y1/2=6/2=3

x2=y2/2=5/2=2,5

Ответ:x1=3 ; x2=2,5.

8 способ.

Метод выделения полного квадрата.

х²+6х-7=0

х²+2*3х+9-9-7=0 (х²+6х+9)=(х+3) ²

(х+3) ²-16=0

(х+3) ²=16

Отсюда

х+3=4

х=4-3

х=1.

х+3=-4

х=-3-4

х=-7.

Ответ:1; -7.

13

Заключение.

Значение квадратных уравнений заключается в изяществе и краткости решения задач. В результате применения квадратных уравнений при решении задач обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений. Квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Способы решений полных уравнений различны. В данной работе я изложила и показала на примерах 8 способов. Проанализировав дополнительный материал, я пришла к выводу, что с помощью рациональных способов решение квадратных уравнений намного проще и быстрее. Таким образом, я считаю, что тема данного исследования полностью раскрыта. При работе над темой, я узнала много нового из истории о квадратных уравнениях, а также научилась их решать более удобным способом. Полученные знания пригодятся мне в будущем при сдаче ОГЭ и ЕГЭ.

14

(Приложение 1)

Дидактический материал по применению нестандартных приемов решения квадратных уравнений.

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

4х² - 13х + 9 =0
(1; 2,25)

1978х² - 1984х + 6=0
(1; 6/1978)

4х² + 11х + 7 = 0
(-1; -7/4)

319х² + 1988х +1669=0
(-1; -1669/319)

1999х² + 2000х+1=0
(-1; -1/1999)

2. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

313х² +326х+13=0
(-1; -13/313)

839х²- 448х -391=0
(1; -391/839)

345х² - 137х - 208=0
(1;.-208/345)

939х²+978х+39=0
(-1; -39/939)

3. Установи соответствие:

1) х²+5х+6=0
2) 6х²-5х+1=0
3) 2х²-5х+3=0
4) 3х²-5х+2=0
5) х²-5х+6=0
6) 6х²+5х+1=0
7) 2х²+5х+2=0
8) 3х²+5х+2=0

1) 1/6;1/2
2) 1; 3/2
3) 1; 2/3
4) -2; -3
5) -1/3 ; -1/2
6) -1; -3/2
7) -1; -2/3
8) 2;3

Критерии оценки:

1. За каждое верно выполненное задание ставится 1 балл;

2. Наиболее возможное количество набранных баллов-17

3. Если ученик набирает менее

7 баллов, то выставляется оценка «2»
от 7 до 11 баллов «3»
от 12 до 15 баллов «4»
от 16-17 баллов «5»

15

Многоуровневый дидактический материал

Условные обозначения:

ЗЗ - знакомая задача

МЗ - модифицированная задача ( видоизменённая по технической сложности, по алгоритму, по необычности представления условия задачи)

НЗ - незнакомая задача, которая приводится к МЗ

№ п/п

Название задачи

Тип задачи

Содержание задачи

Ответ

1

Определение квадратного уравнения

ЗЗ

Назовите в квадратном уравнении его коэффициенты: 5х² - 6х = 0.

а=5, b= -6, с=0

МЗ

Приведите уравнение к виду ax²+bx+c=0:

-5х(х+6) = 4(х-3) -10.

-5х²-34х+ 22=0

НЗ

При каких значениях а уравнение ах( ах + 3) + 6 = х(ах - 6) является квадратным?

(-∞ :-2):(

-2:0):(0:1):(1: +∞)

2

Неполные квадратные уравнения и их решение

ЗЗ

Решите уравнение:

5х²-75=0.

х₁=-5, х₂= 5

МЗ

Найдите корни уравнения:

2х (х+4,5)+ 4 =3х (2х +3).

х₁= -1 ,

х₂= 1

НЗ

При каких значениях а уравнение ах( ах + 3) + 6 =

х ( ах - 6) является неполным квадратным?

а≠ о, а≠1, а=-2

3

Решение квадратного уравнения по формуле

ЗЗ

Решите уравнение:

5х²-6х+1=0.

х₁=1, х₂=0,2

МЗ

При каких значениях х трехчлен

3х² -2х+1 равен двучлену 7х+1?

х₁=0, х₂=3

НЗ

Найдите пять последовательных целых чисел, если известно, что сумма квадратов первых трех чисел равна сумме квадратов двух последних.

-2; -1; 0; 1; 2

или 10; 11; 12; 13; 14.

4

Теорема Виета

ЗЗ

Найдите сумму и произведение корней уравнения х²- х+ 0, 25=0.

Х=0,5

МЗ

Найдите подбором корни уравнения х²+9х+ 14=0.

х₁=-7, х₂=-2

НЗ

Один из корней данного квадратного уравнения 3х²-9х+с=0 на 2 больше другого. Найдите корни уравнения и с.

х₁=0,5, х₂=2,5, с=3,75

5

Решение квадратных уравнений выделением квадрата двучлена

ЗЗ

Решите уравнение: х²+10х+25=0.

х= -5

МЗ

Решите уравнение, используя выделение квадрата двучлена:

х²+3х- 10=0.

х₁=-5, х₂= 2

НЗ

Докажите, что при любом значении переменной значение выражения а²+4а+51 положительно.

(а-2)²+47

6

Решение дробных рациональных уравнений

ЗЗ

Найдите корни уравнения:

(х+2)/x=(5x+1)/x+1

х₁=-0,5, х₂=1

МЗ

Найдите значение переменной y, при котором разность дробей 6/( y-4) и y / (y +2) равна их произведению.

y=6

НЗ

Найдите координаты точек пересечения графиков функций: y= 2x + 3 и y = 34/( x -5).

( 7:17);

(-3,5, -4)

7

Решение задач с помощью квадратных уравнений

ЗЗ

Произведение двух натуральных чисел, одно из которых на 6 больше другого, равно 187. Найдите эти числа.

11; 17

МЗ

Произведение двух последовательных натуральных чисел на 109 больше их суммы. Найдите эти числа.

11; 12.

НЗ

От прямоугольного листа картона, длина которого равна 60см, а ширина - 40см, отрезали по углам равные квадраты и из оставшейся части склеили открытую коробку. Найдите сторону квадрата, если известно, что площадь основания коробки равна 800см².

10см

7

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений

ЗЗ

Трассу, длиной 36 км, один из лыжников прошел на 30 минут быстрее другого. Найдите скорость каждого лыжника, если известно, что скорость первого лыжника на 1км/ч больше скорости второго.

9 км/ч, 8 км/ч

МЗ

Турист и велосипедист одновременно отправились навстречу друг другу из пунктов А и В. Они встретились через 1,5 ч, после чего каждый продолжил движение в своем направлении. Велосипедист прибыл в пункт А через 2 ч после выезда из В. За какое время прошел путь отА до В турист?

За 6 часов

НЗ

Из пункта А в пункт В одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 50 км/ч, а вторую половину на 15 км/ч больше первого, в результате чего прибыл одновременно с первым автомобилем. Найти скорость первого автомобиля.

60км/ч

8

Уравнения с параметром

ЗЗ

При каких значениях b имеет единственный корень уравнение: 4х²-bх+4=0?

-8;8

МЗ

Решите уравнение с параметром m: mх²-6х+1=0.

m=0; x= 1/6

m≠0; D =36 - 4m>0; m< 9; x =( 3 ±ϒ9-m)/ m;

36-4m=0; m=9; x=1/3

D<0; m>9; корней нет

НЗ

Выясните, при каких значениях параметра b сумма корней уравнения равна 0:

y² +( b ² +4 b - 5) у - b=0.

b₁=-5, b₂ =1

9

Уравнения с модулем

ЗЗ

|х²+ 5х| =6

х=-6; -3;-2;1

МЗ

|x² - 5x + 7| = |2x - 5|

х=1; 2; 3; 4

НЗ

|3 + | х² + 1|| = 5

x=±v2; x - корней нет

18

Литература

Задачник алгебры за 8 класс. А.Г.Мордкович

Клюквин М.Ф.Алгебра 6-8 Пособия для учащихся 6-8 классов. Просвещение 1969г.

Окунев А.К. «Квадратичные функции, уравнения и неравенства»М. Просвещение1972г.

Учебник алгебры за 8 класс. Ш.А. Алимов

Учебник алгебры за 8 класс. А.Г.Мордкович

Энциклопедия для детей т.11. математика

Рамблер-Наука - задача дня (nature.ru)

Сайт "Криптография" (cryptography.ru)

19