Конспект урок по математике Расстояние между скрещивающимися прямыми

§4 Конспект урока

Тема урока: Расстояние между скрещивающимися прямыми.

Тип урок: Обобщение и систематизация знаний.

Цели урока:

1. Отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми. Используя учебные конспекты и справочные таблицы в учебнике составить и решить задачи на каждый из случаев .

2. Формировать умения анализировать, выдвигать гипотезы и предположения, строить доказательства, переносить знания в новые ситуации при решении исследовательских задач

3. Тренировать пространственное воображение;

4. Воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

5. Через решение задач на нахождение расстояний в пространстве разными способами сделать вывод о преимуществе одного из методов для решения ряда задач этого блока.

Форма организации работы:

1. Фронтальная работа с классом

2. Работа по готовым чертежам

3. Исследовательская работа

4. Самостоятельная работа.

План урока

1. Постановка целей урока.

2. Актуализация теоретических знаний учащихся.

3. Устный счет по готовым чертежам (рассмотрение задач на определение расстояний в пространстве и способов (алгоритмов) их нахождения.

4. Исследовательская работа (решение одной задачи тремя методами).

5. Самостоятельная работа по карточкам.

6. Подведение итогов.

7. Формулирование домашнего задания.

I этап урока. Постановка целей.

Возможные варианты ответов и действий учеников

Приветствую Вас на обобщающем уроке по теме «Расстояние и угол между скрещивающимися прямыми». Запишите, пожалуйста, в тетради сегодняшнее число и тему занятия (Cлайд 1).
Основная цель нашего урока - это отработка применения ваших теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми различными методами (Cлайд 2).

I I этап урока. Актуализация теоретических знаний учащихся.

Как вы думаете, какие понятия сегодня будут основными? (Cлайд 3).

- Скрещивающиеся прямые;

- Расстояние между скрещивающихся прямых;

- Какие прямые называются скрещивающимися?

- Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Какой признак скрещивающихся прямых вы знаете? (После ответа учащихся на экране - слайд 4,).

- Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей этой прямой, то эти прямые скрещиваются.

- А теперь скажите мне, что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми? (После ответа учащихся на экране слайд 5).

- Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми а и b называется длина их общего перпендикуляра.

-Какие способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми вы знаете? (Учащиеся называют два метода нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми, которые были доказаны на предыдущем занятии, вспоминают основную идею теоретического обоснования метода, при этом на экране соответственно отображается слайд 6 <о методе «расстояние между параллельными плоскостями»> и слайд 7<о методе «расстояние от проекции до проекции»>).

- По определению, построение общего перпендикуляра.

- Расстояние между скрещивающимися прямыми так же можно найти, если мы найдем расстояние между двумя параллельными плоскостями содержащими эти прямые.

- Еще мы найдем расстояния между двумя скрещивающимися прямыми, если найдем расстояния от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых, на перпендикулярную ей плоскость до проекции другой прямой на эту же самую плоскость.

III этап урока. Устный счет по готовым чертежам. Молодцы! Ваши знания теории определит успех в решении задач. В каждой задаче нужно найти расстояние между выделенными синим и красным цветами скрещивающимися прямыми. (учащимся дается раздаточный материал Приложение 1. Ответы проверяем с помощью презентации).

Задача № 1 Постройте расстояние между скрещивающимися диагональю грани куба и стороны параллельной грани. (слайд 8; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомую величину зеленым цветом).

Решение. . Прямые (AB) (ABB₁) и (C₁D) (DCC₁) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними - это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [AD].

B₁

D₁

C₁

C

D

В

А

А₁

Задача № 2 Постройте расстояние между скрещивающимися диагоналями параллельных граней куба. (слайд 9; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомую величину зеленым цветом).

Решение. Прямые (A₁B) (ABB₁) и (C₁D) (DCC₁) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними - это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A₁D₁].

B₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А

Задача № 3 Постройте расстояние между скрещивающимися диагональю грани куба и высотой куба в параллельной грани. (слайд 10; после того, как учащиеся озвучат верное решение задачи, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом).

Решение. Прямые (AA₁) (ADD₁) и (B₁C) (BCC₁) лежат в параллельных гранях куба. Тогда расстояние между ними - это расстояние между гранями куба, т.е. отрезок [A₁B₁ ]

B₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А

Задача № 4 Постройте расстояние между скрещивающимися диагональю куба и диагональю грани куба. (слайд № 11;после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомая величина зеленым цветом).

Решение. Прямая (CD₁) (ADC₁) по свойству диагонали грани куба и (CD₁)(ADC₁) = O, а (B₁D) (ADC₁). Тогда расстояние между ними (отрезок [OK]) - это расстояние от проекции прямой (CD₁) на плоскость (ADC₁), т. е. от точки O, до прямой (B₁D).

A₁

B₁

C₁

C

D

В

А

D₁

О

К

Задача № 5 Постройте расстояние между скрещивающимися боковым ребром куба и его диагональю.(слайд № 12; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомые величины зеленым цветом

Решение: Нахождение расстояния между данными прямыми базируется на следующей идее: рассмотрим сечение куба плоскостью (BDD₁), содержащей прямую (DB₁). (AA₁) || (BB₁) (BDD₁) => (AA₁) || (BDD₁) по признаку параллельности прямой и плоскости. Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми АА₁ и В₁D отрезок [AO].

Задача № 6 Постройте расстояние между скрещивающимися ребром основания куба и отрезком, соединяющим вершину ребра верхнего основания с серединой противоположного ребра в нижнем основании (слайд 13; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомую величину зеленым цветом).

Решение: Определим расстоянием между прямыми в соответствии с методом «расстояние от проекции до проекции»: Точка D это проекция прямой АD на перпендикулярную её плоскость (DCC₁) содержащую прямую D₁P. Тогда расстояние между ними отрезок DH.

H

Задача № 7 Постройте расстояние между высотой четырехугольной пирамиды и ребром ее основания. (слайд 14; после того, как учащиеся озвучат верную идею решения, с помощью анимации объектов отображаем на экране искомую величину зеленым цветом).

Р

K

В

D

O

А

С

Pешение. Высота пирамиды (PO) (ABC), а значит (PO) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (ABC), в том числе ребру (AD). Тогда по определению расстояния между скрещивающимися прямыми отрезок [OK] (AD) и является искомым расстоянием.

Задача № 8Постройте расстояние между скрещивающимися боковым ребром правильной четырехугольной пирамиды и диагональю ее основания. (слайд 15; искомая величина отображается на экране зеленым цветом с помощью анимации объектов после того, как учащиеся озвучат верный вариант).

Решение. Рассмотрим боковое ребро (PC), плоскость основания (ABC) и диагональ основания (AC). Т. к. высота пирамиды (PO) (ABC), а значит и любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой (AC). Тогда по определению (AC) = pr_(ABC)(PC).По условию PABCD - правильная пирамида, т. е. ABCD - квадрат. Тогда по свойству диагоналей квадрата (BD) (AC) = pr_(ABC))(PC). А значит по теореме о трех перпендикулярах (BD) (PC).Расстояние между скрещивающимися прямыми (BD) и (PC) определяется из следующих соображений.
Построим из вершины прямого угла POC высоту [OK] на гипотенузу [PC]. Очевидно, что прямые (OK) и (PC), содержащие эти отрезки, также перпендикулярны.
Рассмотрим плоскость (APC) сечения пирамиды и прямую (BD):

по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Значит прямая (BD) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости (APC), в том числе и прямой (OK).
Тогда отрезок [OK] есть общий перпендикуляр прямых (BD) и (PC).

Какие из предложенных задач вызвали затруднение и почему ?

- Задача №8, так как для решения этой задачи надо уметь правильно выстроить логическую цепочку рассуждений, основанную на многих теоретических фактах.

Давайте подведем итог. Для того чтобы найти расстояние между скрещивающимися прямыми нужно…

- найти длину их общего перпендикуляра.

- найти расстояние от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости проходящей через другую прямую.

- найти расстояние между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные прямые

- найти расстояние от точки, являющейся проекцией одной из скрещивающихся прямых, на перпендикулярную ей плоскость до проекции другой прямой на ту же плоскость.

IV этап. Исследовательская работа. Мы рассмотрели способы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми. А какие методы для этого используются?

- Метод объемов.

- Векторный метод.

- Координатно-векторный метод.

Каков алгоритм каждого метода?

Учащиеся называют нужные алгоритмы, находят соответствующие записи в учебных конспектах или в справочной таблице. Учитель использует презентацию.

Метод объёмов:

Векторный метод:

Метод координат:

1. Построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием.

2. Найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту.

1. Ввести основные векторы и нужные векторы выразить через основные.

2. Задать вектор, равный по длине общему перпендикуляру к скрещивающимся прямым и перпендикулярный любому ненулевому вектору, расположенному на каждой из этих прямых.

3.Найти координаты заданного вектора используя условие = 0.

4. Найти длину вектора

1. Выбрать систему координат.

2.Найти координаты нужных точек, векторов и (или) составить уравнение нужных фигур.

3. Найти расстояние

Сейчас к решению одной задачи мы применим эти три метода. Попробуем сравнить их с позиции удобства и простоты решения.

Учащимся раздаются карточки с задачами. После того как учащиеся выполнят решение отображаем его экране

Возможны варианты организации работы:

1. Каждый ряд решает задачу одним из методов, затем совместно проверяют.

2. Если возникают трудности , то учащиеся берут помощь учителя.

Р

B₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

Аешение задачи методом объёма. Задача .В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние между прямыми А₁В и В₁С. Ребро куба равно 3.

Решение. Рассмотрим пирамиду А₁ВСВ₁.

Объем этой пирамиды легко найти приняв за основание грань ВСВ₁.

C другой стороны объём пирамиды равен

A₁B=B₁C= 3√2 , угол φ между прямыми A₁B и B₁C равен 60°. Так что получаем

Приравняем выражения для объёма Получаем d = √3.

Ответ: d = √3.

Решение задачи векторным методом. Задача: В кубе АВСDA₁B₁C₁D₁ найдите расстояние между прямыми А₁В и В₁С. Ребро куба равно 3.

B₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А

P

Q

Решение: Так как ребра куба имеют длину, равную трем, то введём декартов базис: , , . В декартовом базисе вектор , а вектор . Пусть точи P и Q таковы, что отрезок PQ - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым BA₁ и CB₁. Тогда - вектор, который перпендикулярен векторам BA₁ и CB₁. Запишем равенство . Из него получим, что . Вектор коллинеарен вектору , т.е. существует такое число λ, что

=λ• . Следовательно, вектор имеет координаты (3λ; 0; 3λ). Вектор . Вектор коллинеарен вектору , т.е. существует такое число β , что

=β • и следовательно, вектор имеет координаты (0; 3 β; -3 β). Складывая три вектора, получим, что координатами вектора будут числа (3λ- 3; 3λ; 3λ-3β).

Величины λ и β определим из системы:
. В результате получим вектор (-1; 1;1). Его длина, т.е. длина общего перпендикуляра к скрещивающимся прямым А₁В и В₁С равна

Ответ: d = √3.

Решение задачи координатным методом Задача. В кубе АВСDА₁В₁С₁D₁. Найдите расстояние между прямыми А₁В и В₁С.Ребро куба равно 3.

B₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А

Решение: Определим плоскость такую , что одна из скрещивающихся прямых принадлежит этой плоскости, а другая ей параллельна .

ВА₁║СD₁, т.к. лежат в параллельных гранях куба. Следовательно ВА₁║(СD₁B₁).

Напишем уравнение плоскости (СD₁B₁) по трем точкам.

-х +у + z - 3 =0.

Найдем расстояние от точки А₁ до (СD₁B₁)

Ответ: √3

Вы решали одну и туже задачу тремя методами: объёмов, векторным, координатным, и в состоянии сравнит эти способы с позиции предпочтения того или иного метода для решения данной задачи.

Как вам проще, удобнее?

Учащиеся анализируют свою работу по решению задач.

V этап. Самостоятельная работа. Теперь я предлагаю решить вторую задачу с раздаточной карточки.

Задача 2. Водитель фуры, подъезжая к развязке дорог, должен проехать под мостом. Но он в затруднении -нет знака ограничение высоты. Как поступить? Поехать в объезд, но это лишние 150 км или под мостом? водитель поступил так: остановил машину, измерил ширину дороги и ширину моста. Ширина дороги - 20 шагов, ширина моста - 10 шагов. Укрепляющая мост балка находится в центре под мостом, под углом 60° к опоре моста. Проедет ли фура под мостом, если шаг водителя ≈0,8 м?

Какие у кого будут предложения по решению задачи?

Нужно изобразить эту конструкцию в виде прямоугольно параллелепипеда.

1. Н

   D

   B₁

   C

   C₁

   А₁

   А

   D₁

   Kанести все данные.

2. Определить искомое расстояние АА_1.

3. Произвести вычисление по имеющимся данным.

Ответ: ≈ 4,8

IVэтап. Подведение итогов урока.

Одной из целей урока было отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми Для достижения этой и других целей урока мы проделали большой объем работы. Что полезного сегодня было на уроке?

Вспомнили способы и методы нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми и применили их к решению задач.

Обобщили виды и способы нахождения расстояний между скрещивающимися прямыми.

Проговорили все алгоритмы, и большинство из них применили на уроке при решении задач.

V Этап урока

Задание на дом :

Составить буклет «Скрещивающиеся прямые - это удивительно!»

1

B₁

B₁

B₁

C₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А №2 №3

A₁

D₁

C

В

D

А

B₁

D₁

C₁

C

D

В

А

B₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А

B₁

A₁

D₁

C₁

C

D

В

А№4 №5 №6

A₁

№7 №8

K

В

D

O

С

P

K

В

O

С

P

А

D

А

Метод объемов

Векторный метод

Координатный метод

Алгоритм : 1. Построить пирамиду, в которой высота, опущенная из вершины этой пирамиды на плоскость основания, является искомым расстоянием.

2. Найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту.

Алгоритм: 1. Ввести основные векторы и нужные векторы выразить через основные.

2. Задать вектор, равный по длине общему перпендикуляру к скрещивающимся прямым и перпендикулярный любому ненулевому вектору, расположенному на каждой из этих прямых.

3.Найти координаты заданного вектора используя условие = 0.

4. Найти длину вектора

1. Выбрать систему координат.

2.Найти координаты нужных точек, векторов и (или) составить уравнение нужных фигур.

3. Найти расстояние