Доклад на тему Ошибки в геометрических доказательствах

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ МОСКОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное образовательное учреждение высшего

Профессионального образования

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ (МГОУ)

Кафедра высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики

«Ошибки в геометрических доказательствах.

Задачи школьного факультатива по геометрии»

Луценко Евгения Сергеевна

МОСКВА 2014

В основу курсовой работы легли лекции-беседы и практические разработки, которые проводил Яков

Семенович Дубнов доктор физико-математических наук со школьниками 7-8 и 9-10 классов. В них содержалось изложение примеров ошибочных геометрических доказательств.

Однажды девочке перешедшей из 7 в 8 класс задали характерный вопрос: что она запомнила из курса геометрии. Девочка долго ду-мала, но увы - ничего вспомнить не могла. Тогда вопрос был изменён: «Что же вы делали весь год на уроках геометрии. На это последовал скорый ответ: «Мы доказывали». Ответ отражающий те представления, которые складываются у многих школьников: в арифметике решают задачи, в алгебре, решают уравнения и выводит формулы, а вот в геометрии - доказывают теоремы.

Иначе было 2000 лет назад, когда завершалось создание геометрии Евклида, которая и поныне составляет основу школьного курса. С тех пор и вплоть до современных школьных учебников геометрии излагается как цепь теорем (некоторые из них называются леммами или же следствиями). Каждая теорема содержит условие (<дано...) и заключение (тре-буется длказать...»); при доказательстве можно ссылаться только на аксиомы или на ранее доказанные теоремы; нельзя опираться ни на «очевидность», которая иногда нас обманывает, ни на теоремы, хотя бы и верные, но ещё не доказанные. Известно, какую роль играет в доказательстве чертёж: он делает наглядным не только содержание теоремы, но и ход доказательства.

В данной работе внимание будет сосредоточено на ошибочных доказательствах. Среди предложенных для рассмотрения вариантов встретятся такие, ложность которых будет сразу очевидной. В других примерах следует разобраться, верно ли доказываемое утверждение или ложно. Наконец, будут приведены примеры доказательств, ошибочность которых коренится в том, что доказываемоё никак не может быть обосновано средствами, находящимися в распоряжении доказывающего. Для подобного вида следует привести пример в виде шуточной задачи: «Пароход находится на 42°15' с. т. и 17°32' з. д. (числа взяты наудачу). Сколько лет капитану? Для наших целей изменим несколько вопрос задачи: «Верно ли утверждение, что капитану больше 45 лет?.

Каждому ясно, что сделать такой вывод из данных, содержащихся в условии предложенной задачи, нельзя и что всякая попытка доказать формулированное утверждение о возрасте капитана обречена на неудачу. Более того, можно доказать, что доказательство этого утверждения невозможно. В самом деле, ведь пароходное управление (о котором из условия задачи мы ничего не знаем) может составить маршрут, проходящий через указанный географический пункт и назначить в рейс капитана того или другого возраста (предполагая, что управление располагает для подобных плавании капитанами как молодыми, таки старыми). Иными словами, можно допустить, что капитан мо-ложе 45 лет, и ни в какое противоречие с данными, касающимися широты и долготы, это, конечно, не вступит. Итак, существуют утверждения, справедливость которых можно или нельзя доказать, в зависимости от того, какими средствами для доказательства мы располагаем.

Возвращаясь ближе к нашему предмету, спросим: верно ли, что сумма углов любого треугольника равна 2д? Всякий школьник, изучивший главу о параллельных прямых, знает доказательство этой важной теоремы, но немногим известна её 2000-летняя истории. Доказательство основывается на свойствах углов, образуемых параллельными прямыми с секущей, а эти свойства в свою очередь опираются на так называемую (аксиому параллельности»: через точку, лежащую вне прямой, можно провести к этой прямой только одну, параллельную ей). Со времён Евклида на протяжении более чем двух тысячелетий пытались сделать из этой аксиомы теорему, доказать её, опираясь только на те утверждения, которые у Евклида и в наших школьных учебниках предшествуют аксиоме параллельности. Тем самым запрещалось вводить вместо этой аксиомы какую-нибудь другую, Сколь бы очевидным ни казалось её содержание. И только в 20-х годах прошлого века великому нашему соотечественнику, казанскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792-1856) удалось вскрыть источник неудачи всех попыток доказать аксиому параллельности. Он построил обширную и глубокую теорию. В этой теории содержалось в неявном виде доказательство невозможности доказать аксиoму параллельности так, как это пытались сделать до Лобачевского (и при его жизни) многие учёные. Как ни сложна теория Лобачевского и как, с другой стороны, ни наивна задача о возрасте капитана, однако «доказательство невозможности доказательства» в обоих случаях - одинаковой природы: на конкретных примерах (моделях) обнаруживается, что с одними и теми ж исходными данными могут находиться в согласии как одно, так и другое из двух противоречащих друг другу суждений.

Теперь мы знаем, что любое доказательство аксиомы параллельности или какой-нибудь равносильной ей ошибочно, если оно ссылается только на предложения, предшествующие этой аксиоме. Ниже будет приведено несколько простейших примеров таких ошибочных доказа-тельств.

Переидем к изложению примеров ошибочных доказательств.

Пример 1. Квадрат со стороной 21 (см) имеет ту же же площать, что прямоугольник со сторонами 34(см) и 13(см).Квадрат Q разрезан на два прямоугольника размерами 13х21 и 8х21

13 8

8

II 13 IV

Q

13 I 8 III

13 8

21 13

α

13 α IV 8 II

I 8 III

Черт №1

13 21

Первый прямоугольник разрезан на две одинаковые прямоугольные трапеции с основаниями 13 и 8, второй прямоугольник - на два одинаковых прямоугольных треуогольника с катетами 8 и 21. Из полученных четырех частей складываем прямоугольник R, как на черт. 1 справа (одинаковые части квадрата и прямоугольника помечены одинаковыми римскими цифрами). Точнее говоря, к прямоугольной трапеции 1 прикладываем прямоугольный треугольник III так, чтобы прямые углы при общей стороне 8 оказались смежными, образуется прямоугольный треугольник с катетами 13 и 1 3 + 21 = 34. Точно такой же треугольник складывается из частей II и IV; наконец, из полученных двух равных прямоугольных треугольников складывается прямоугольник R со сторонами 13 и 34. Площадь этого прямоугольника равна 34х13 = 442 (см^2), между тем как площадь квадрата Q, состоящего из тех же частей, есть 21 Х 21 = 441 (см^2). Откуда же взялся ЛИШНИЙ квадратный сантиметр?

К примеру 1. Утверждая, что из частей I, II, III, IV квадрата может быть сложен прямоугольник, мы доверяемся кажущейся наглядности. Какое основание мы имеем считать, что приложенные друг к другу фигуры I н III (или, что то же, II и IV) образуют треугольник, т. е. что наклонная боковая сторона трапеции I и гипотенуза треугольника III при этом составят одну прямую, а не дадут «излом» в общей точке этих отрезков? То, что мы этого излома не видим на чертеже или не наблюдаем на выкройке из бумаги, конечно, доводом служить не может: даже оставляя в стороне не-совершенство наших зрительных впечатлений, заметим, что ведь они относятся не к геометрическим фигурам, а к их физическим моделям, значит, для строгих геометрических доказательств не годятся. Достаточно обнаружить этот пробел, для того чтобы признать всё доказательство несостоятельным и, пока пробел пе восполнен, даже отказаться от дальнейшего обсуждения.

Ошибки в геометрических задачах рассматриваются в различных пособиях по методике преподавания математики.

Психологический анализ математических ошибок рассмотрен п работах П. А. Ш ева-рева . В. А. дал ц н гера , Г. И. Сара и др. для формирования прочных умеиий и навыков учащиеся должны решить достаточное число задач одного и того же типа пи изучаемой теме. Однако из психологии установлено. что выполнение однотипых заданий приводит к ряду негативных явлений: учащиеся начинают решать задачи по аналоги и с предыдущими, не вдумьизаясь в условие, опуская отдельные существенные рассуждения. Из-за этого в решениях появляются ошибки. Такие психологические причины ошибок вытекают из следующих недостатков учебных пособий:

• в учебниках преобладает единообразие форм предъявления задачи,

• в системе задач пе учитывается оптимальное сочетание задач, решение которых требует репродуктивной и продуктивной деятельиости.

Рассмотрим пример ошибки понимания постановки задачи, которая связана с выполнением чертежа. Часто причиной таких ошибок является неаольное использование учащимсяя наглядность чертежа.

На самостоятельное решение

Пример 2. Доказательство аксиомы параллельности. Дана прямая АВ и точка С вне её; требуется доказать, что через точку С можно провести единственную прямую, параллельную АВ. Применим известное построение: из точки С на прямую АВ опустим перпендикуляр СВ (черт. 2)

единств. E

С

Черт. №2

A D B

К этому перпендикуляру из точки С в свою очередь восставим перпендикуляр СЕ. Последний и будет параллелен прямой АВ в силу известной теоремы о двух перпенпикулярах к одной прямой (заметим, что ссылаться на эту теорему здесь законно, так как она доказывается до аксиомы параллельности). Но ведь из точки на прямую можно опустить единсвенный перпендикуляр, а к прямой из лежащей на ней точки можно восставить тоже единственный перпендикуляр, значит, полученная параллельная прямая СЕ - единственная

Пример З. Если параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 2d (доказательство, не опирающееся на

На аксиому параллельности).

E

C 1 2 D

Черт.3

4 3

A F

Пусть АВ II СО, линия ЕЕ - секущая (черт. 3) ; внутренние углы отмечены на чертеже цифрами. Возможны три допущения:

1)Сумма внутренних односторонних углов > 2d,

2) Сумма внутренних односторонних углов <2d,

3)Сумма внутренних односторонних углов = 2d.

При первом допущении имеем:

∟1+ ∟ 4> 2d, ∟ 2+ ∟3> 2d, откуда ∟1 + ∟2+∟3+∟4>4d,

между тем как сумма четырёх внутренних углов (две пары смежных углов) на самом деле равна 4d. Полученное противоречие показывает, что 1-е допущение должно быть отброшено. По такой же причине мы должны отказаться от 2-го допущения, так как оно приводит к выводу, что сумма четырёх внутренних углов меньше 4d.

Единственно возможным остается 3-е допущение (оно к противоречию не приводит), в результате чего теорема доказана.

Указания и советы для обнаружения ошибок в доказательствах.

1. Опровергнуть неправильное геометрическое доказательство - значит найти в нём логическую ошибки. Трудность заключается в том, что такое доказательство почти всюду правильно, но обязательно в каком-то месте содержит пробел - его-то и следует обнаружить.

2. Критикуя доказательство, часто указывают, что оно проведено «на неверном чертеже». Это - не очень удачная формулировка; во всяком случае ограничиться ею нельзя. Когда говорят, что чертёж А неверен и должен быть заменён чертежом В, то этим обычно маскируется следующее положение дел: в доказательстве рассмотрены не все возможные случаи (и это-логическая ошибка!), именно учтены и изображены на чертеже А те, которые окажутся впоследствии противоречащими условию теоремы, а пропущены те, которые согласуются с этим условием. Таким образом, источник ошибки не в чертеже, а в неполном перечислении возможных случаев.

3. Если случай, изображённый на чертеже А, приводит к абсурдному выводу, то достаточно показать, что на чертеже В такого вывода не получается, чтобы считать косвенно («от противного) доказанной невозможность случая А. При этом желательно (но не обязазелызо!) получать и прямое доказательство того, что условие теоремы приводит с необходимостью к случаю В.

4. Хотя чертёж сам по себе не может обнаружить ни правильности утверждения, ни его ошибочности, однако следует рекомендовать делать по возможности точные чертежи (с помощью инструментов). Там, где мы имеем дело с явным софизмом, полезно делать чертёж так, чтобы он резко подчёркивал абсурдность вывода.

5. В некоторых случаях ошибка не имеет никакого отношения к чертежу, а состоит, например, в следующем: доказывается (правильно) не то утверждение, которое брались доказать, а родственное ему, причём либо сам доказывающий не замечает сделанной подмены, либо рассчитывает на то, что её не заметят другие.

6. Если не известно, верно ли доказываемое предложение, то лучше (однако не обязательно) начать с выяснения этого вопроса. Следует помнить, что утверждение будет опровергнуто, если построить хотя бы один противоречаiций ему пример.

Я.С.Дубнов