Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным

Раздел Математика
Класс -
Тип Конспекты
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

Уравнения, приводимые к квадратным.

Биквадратные уравнения


Предварительная подготовка к уроку:

  • учащиеся должны уметь решать биквадратные уравнения и уравнения, приводимые к квадратным, методом введения новой переменной;

  • учащиеся заранее готовят сообщения о великих итальянских ученых-математиках.

Цели урока:

1) образовательная: рассмотрение способов решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям;

2) воспитательная: воспитание навыков групповой работы, сознательной деятельности учащихся;

3) развивающая: развитие мыслительной деятельности учащихся, навыков взаимодействия между учащимися, умения обобщать изучаемые факты.

Оборудование: сетка кроссворда на карточках, карточки, плакат - план путешествия, записи на доске, кодопозитив, копирка.

Тип урока: урок-путешествие по стране «Математика».





Ход урока


I. Организационный момент

План путешествия, в котором перечислены названия станций, отображаются на слайде.

- Сегодня мы отправимся в путешествие по стране «Математика». Остановимся в городе Уравнение третьей и четвертой степеней, продолжим знакомство с биквадратными уравнениями, услышим сообщения об итальянских ученых-математиках.

II. Путешествие по стране «Математика»

1. Станция любителей кроссвордов.

Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным

Сетка с ответами заранее записана на кодопозитиве или на обратной стороне доски.

- У каждого из вас есть карточки с сеткой кроссворда и вопросами. Под карточку положите чистый лист и копирку. Ответы записывайте только в именительном падеже. Разгадайте кроссворд, сдайте карточки, а по листу проведите самопроверку.

По горизонтали:

4.Чем является выражение b4 - 4ac для квадратного уравнения с коэффициентами a, b, c? (Дискриминант.)

6. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. (Корень.)

8. Уравнение вида ax4+bx2+c = 0, где а ≠ 0. (Биквадратное.)

9. Французский математик. (Виет.)

10. Уравнение, в котором левая и правая части являются целыми выражениями. (Целое.)

11. Уравнение с одной переменной, имеющие одинаковое множество корней. (Равносильные.)

По вертикали:

1. Множество корней уравнения. (Решение.)

2. Решение уравнения ах2 = 0. (Ноль.)

3. Равенство, содержащее переменную. (Уравнение.)

5. Квадратное уравнение, в котором один из коэффициентов b или c равен 0. (Неполное.)

7. Квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. (Приведенное.)

2. Станция «Историческая».

Проверка домашнего задания.

Мы с вами на станции «Историческая». Нам предстоит услышать сообщения учащихся о великих итальянских ученых-математиках. Слушайте внимательно. За интересное дополнение тоже можно получить «5».

Историческая справка

Ученик. В проблему решения уравнений 3-й и 4-й степеней большой вклад внесли итальянские математики XVI в. Н. Тарталья, А. Фиоре, Д. Кардано, Л. Феррари и другие. В 1535 г. между А. Фиоре и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором последний одержал блестящую победу. Он за 2 ч решил 30 задач, предложенных А. Фиоре, а сам А. Фиоре не смог решить ни одной, заданной ему Н. Тартальей.

Учитель. Есть ли дополнения? Кто еще подготовил сообщения об итальянских ученых-математиках?

Заслушиваются сообщения, подготовленные учащимися. На каждое сообщение отводится по 2-3 минуты.

Учитель. Итак, Н. Тарталья за 2 ч решил 30 задач. Сколько уравнений сможете решить вы? Какие способы решения вы выберете?

3. Город Уравнений (устная часть)

Это не просто город Уравнений, а уравнений третьей и четвертой степеней. Вам предстоит ответить на все вопросы. Только ответив на них, вы сможете отправиться дальше.

Задание 1. Каким способом вы решали бы уравнения каждой из групп?

1) х3 - х = 0, х3 + 9х = 0, х4 - 4х2 = 0, у4 - 16 = 0.

2) 9у3 - 18у2 - у + 2 = 0, х3 - 5х2 + 16х - 80 = 0, 6у4 - 3у3 + 12у2 - 6у = 0.

3) (у2 - у + 1)(у2 - у - 7) = 65, (х2 + 2х)2 - 2(х2 + 2х) - 3 = 0,

2 + х - 1)(х2 + х + 2) = 40.

Ответы:

Примеры группы 1) лучше решать способом разложения на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки или с помощью формул сокращенного умножения.

Примеры группы 2) лучше решать способом группировки и разложения на множители.

Примеры группы 3) лучше решать введением новой переменной и переходом к квадратному уравнению.

Задание 2. Какой множитель, вы вынесли бы за скобки в примерах группы 1) задания 1?

Ответы: х(х2 - 1) = 0,

х(х2 + 9) = 0,

х22 - 4) = 0.

Задание 3. Как вы сгруппировали бы слагаемые в примерах группы 2) задания 1?

Ответы: (9у3 - 18у2) - (у - 2) = 0,

3 - 5х2) + (16х - 80) = 0,

(6у4 - 3у3) + (12у2 - 6у) = 0.

Задание 4. Что бы вы обозначили через новую переменную в примерах группы 3) задания 1?

Ответы: у2 - у = t,

x2 + 2x = t,

x2 + x = t.

Задание 5. Как можно разложить на множители многочлен у4 - 16 = 0?

Ответ: (у2 - 4)(у2 + 4) = (у - 2)(у + 2)(у2 + 4) = 0.


4. Город Уравнений. Практическая часть.

Вы справились с устной работой в городе Уравнений, и мы отправляемся путешествовать дальше по этому интересному городу и продолжим знакомство с интересными уравнениями.

Задание 6. Решите уравнение (см. приложение.)

Задания у доски одновременно выполняют 2 ученика.

а) Первый ученик решает у доски с объяснением.

3 - 18х2 - х + 2 = 0.

б) Второй учащийся решает уравнение молча, затем объясняет решение, класс слушает и задает вопросы, если что-то непонятно.

х3 + х2 - 4(х + 1)2 = 0.

Задание 7. Решите уравнение (см. приложение.)

Задание выполняется самостоятельно по вариантам. Предварительно вместе с учителем рассматривают вероятные замены для введения новой переменной. Проверяется устно.

Вариант I.

2 + 2х)2 - 2(х2 + 2х) - 3 = 0.

Замена для введения новой переменной х2 + 2х = t.

Вариант II.

2 - х + 1)(х2 - х - 7) = 0.

Замена для введения новой переменной х2 - х = t.

Задание 8. Решите уравнение. (см. приложение.)

Дополнительное задание для тех, кто раньше справится с предыдущими уравнениями.

(2х2 + х - 1)(2х2 + х - 4) + 2 = 0.

Замена для введении новой переменной 2х2 + х = t.

Задание 9. Решите уравнение.

Ход решения учащиеся комментируют с места.

х4(х + 1) - 6х2(х + 1) + 5(х + 1) = 0.

Решение. Вынесем общий множитель:

(х + 1)(х4 - 6х2 + 5) = 0, откуда х + 1 = 0 или х4 - 6х2 + 5 = 0, т.е. или х = -1, или

х4 - 6х2 + 5 = 0. Последнее уравнение биквадратное:

х2 = t,

t2 - 6t + 5 = 0.

По теореме, обратной теореме Виета t1 + t2 = 6, t1 · t2 = 5. Отсюда t1 =1, t2 = 5. Значит, х2 = 1, или х2 = 5, откуда х1,2 = ± 1, х3,4 = ±Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным.

Ответ: - 1, 1, -Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным, Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным.

Задание 10. Решите уравнение.

Предварительно учитель обсуждает с классом способ решения. Затем учащийся решает часть примера у доски.

(х + 1)(х + 2)(х + 3)(х + 4) = 360.

Решение. Сначала сгруппируем множители:

((х + 1)(х + 4)) · ((х + 2)(х + 3)) = 360,

2 + 5х + 4)(х2 + 5х + 6) = 360,

Пусть х2 + 5х = t, тогда (t + 4) · (t + 6) = 360.

Далее уравнение решается самостоятельно с последующей устной проверкой.

t2 + 10t + 24 - 360 = 0,

t + 10t - 336 = 0,

D = 100 + 4 · 336 = 1444 = 382.

Откуда t1 = Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным= 14, t2 = Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным = - 24.

Значит, х2 + 5х = 14 или х2 + 5х = -24, т.е. х2 + 5х - 14 = 0 или х2 + 5х + 24 = 0.

Во втором случае D = 25 - 4 · 24 = -71 < 0, корней нет.

В первом случае имеется два корня х1 = -7, х2 = 2.

Ответ: - 7; 2.

Задание 11. Решите уравнение. (см. приложение.)

Тот, кто верно решит больше биквадратных уравнений за 10 мин, получит «5». Учащиеся работают самостоятельно с последующей взаимопроверкой.

а) х4 - 5х2 - 36 = 0,

б) у4 - 6у2 + 8 = 0,

в) 4х4 - 5х2 +1 = 0,

г) х4 - 25х2 + 144 = 0,

д) 5у4 - 5у2 + 2 = 0,

е) t4 - 2t2 - 3 = 0.

Задание 12. При каких значениях а уравнение t2 + at + 9 = 0, не имеет корней? (см. приложение.)

Данный пример на повторение.

5. Станция «Домашняя»

Вы прибыли на станцию «Домашняя». Получите домашнее задание.

Задание 13. Решите уравнение итальянских математиков:

(3х2 + х - 4)2 + 3х2 + х = 4. (см. приложение.)

Задание 14. Найдите и решите 3-4 уравнения, предложенные А. Фиоре и Н. Тартальей.

III. Подведение итогов урока.

Наше путешествие завершено. Итак, подсчитайте, сколько каждый из вас решил уравнений.

За 2 урока весь класс решил … уравнений. Оценки за урок …


Приложение


Решения

Задание 6.

а) Решение.

2(х - 2) - (х - 2) = 0,

(х - 2)(9х2 - 1) = 0,

х - 2 = 0, или 9х2 - 1 = 0,

х = 2 или х2 = Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным, т.е. х1,2 = ± Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным.

Ответ: - Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным; Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным; 2.

б) Решение.

х2(х + 1) - 4(х + 1)2 = 0,

(х + 1)(х2 - 4х - 4) = 0,

х + 1 = 0 или х2 - 4х - 4 = 0,

х = - 1, или х1,2 = Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным = 2 Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным.

Ответ: - 1; 2 - 2Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным; 2 + 2Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным.

Задание 7.

Вариант I.

Решение. Замена х2 + 2х = t, тогда:

t2 - 2t - 3 = (t + 1)(t - 3) = 0.

Значит,

х2 + 2х = - 1 или х2 + 2х = 3,

х2 + 2х + 1 = 0 или х2 + 2х - 3 = 0,

(х + 1)2 = 0 или (х + 3)(х - 1) = 0.

Ответ: - 3; - 1, 1.

Вариант II.

Решение. Замена

Урок по теме Уравнения, приводимые к квадратным


© 2010-2022