Памятка для решений всех видов тригонометрических уравнений

Основные приемы решения тригонометрических уравнений.

Данная памятка призвана помочь учащимся старших классов в подготовке к ЕГЭ по математике по теме «Тригонометрические уравнения», а также преподавателям для систематизации и обобщению знаний по указанной теме.

1. Уравнения вида a sin²x + b sin x + c = 0; в которые входит только один вид тригонометрических функций.

Решение:

1. Замена sin x=t,

2. Решение квадратного уравнения относительно t,

3. Возвращение к переменной х

2. Уравнения вида a sin²x + b cos x + c = 0; в которые входят разные виды тригонометрических функций.

Решение:

1. Замена sin² x=1- cos² x ,

2. Решение квадратного уравнения относительно t, где t= cos x

3. Возвращение к переменной х

3. Уравнения вида a sin²x + b sin x cos x + c cos² x = 0;

Решение:

1. Деление на cos² x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

2. Решение квадратного уравнения относительно t, где t= tg x

3. Возвращение к переменной х

4. Уравнения вида a sin²x + b sin x cos x + c cos² x = d; (a не равно d)

Решение:

1. a sin²x + b sin x cos x + c cos² x = d(sin²x+ cos² x) , т.к. sin²x+ cos² x=1

2. a sin²x + b sin x cos x + c cos² x - d sin²x- d cos² x=0

3. (a-d) sin²x + b sin x cos x +( c-d) cos² x =0

4. Деление на cos² x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

5. Решение квадратного уравнения относительно t, где t= tg x

6. Возвращение к переменной х

5. Уравнения вида a sin x + b cos x = 0;

Решение:

1. Деление на cos x , (значения при которых cos x равен нулю не являются решениями уравнения данного вида, т.к. если cos x=0, то и sin x=0, но синус и косинус одновременно не могут равняться нулю)

2. Решение простейшего уравнения а tg x + b=0

6. Уравнения вида a sin а x + b cos в x = 0;

Решение:

1. Использовать формулы суммы(разности) тригонометрических функций

2. Применить правило равенства нулю произведения

7. Уравнения вида a sin ^x + b cos x + с = 0;

Решение:

1. Введем вспомогательный аргумент t=x/2, получим a sin 2t + b cos 2t + с = 0;

2. Применяя формулы двойных углов и приведя подобные слагаемые получаем уравнение третьего вида (из данной памятки)

8. Уравнения вида sin а x + sin в x = sin cx + sin dx ;

Решение:

1.Использовать формулу понижения степени,

2. Применяя формулы суммы(разности) тригонометрических функций и вынося общий множитель за скобки, получаем уравнение шестого вида (из данной памятки)