Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

"Описание материала: Уравнения с параметрами требуют решения, для этого необходимо знать свойства функций и уравнений, уметь выполнять преобразования, иметь хорошую технику исследования. Я подготовил тему «Уравнения с параметром», которая и стала моей исследовательской работой. Главная проблема, которую я выделил: понять, в чём заключаются трудности решения уравнений с параметром. Цель работы: изучение методов решения уравнений с параметром. Характер работы выявил следующие задачи: анализ литера...
Раздел Математика
Класс -
Тип Другие методич. материалы
Автор
Дата
Формат docx
Изображения Есть
For-Teacher.ru - все для учителя
Поделитесь с коллегами:

VIII районный конкурс творческих исследовательских работ школьников

Уравнения с параметром

Творческая работа


Выполнена: Гостевой Ксенией Андреевной,

учащейся 9 «б» класса МКОУ СОШ №47 Барабинского района Новосибирской области

Руководитель-консультант: Леонова Надежда Васильевна, учитель математики высшей квалификационной категории











Барабинск 2012

Оглавление

1. Введение.

2. Основная часть.

2.1. Линейное уравнение с параметром.

2.2. Методы решения уравнения с параметром.

2.3. Квадратное уравнение с параметром.

2.4. Графический способ решения уравнения с параметром.

3. Заключение.

4. Список литературы.



1.Введение.

Решение уравнений с параметрами требует не только знания свойств функций и уравнений. умения выполнять преобразования, но также высокой логической культуры и хорошей техники исследования.

Тема моей исследовательской работы «Уравнения с параметром».

Я поставила перед собой проблему : в чём заключаются трудности при решении уравнений с параметром?

Цель работы : изучение методов решения уравнений с параметром.

Характер работы определил следующие задачи:

- проанализировать литературу по данному предмету;

- систематизировать сведения о линейных и квадратных уравнениях с параметром;

- совершенствовать технику алгебраических преобразований.

2.Основная часть

2.1 Линейное уравнение с параметром.

Рассмотрим уравнение f(x,у)=g(x,а). Поставлю такую проблему: найти все такие пары (х,а) которые удовлетворяют данному уравнению, значит это уравнение с двумя переменными х и а . Но поставлю и другую проблему: Если придам переменной а какое-то фиксированное значение, то данное уравнение буду рассматривать как уравнение с одной переменной х, причём решение этого уравнения определяются выбранным значением а. Если для каждого значения а из некоторого числового множества А решить уравнение f (х,а)=g(х,а) относительно х, то это уравнение называется уравнением с одной переменной х и одним параметром а, множество А называется областью изменения параметра. Значит уравнение f(х,а)=g(х,а)- это уравнение с одной переменной х и одним параметром а.

Пример №1 Решить уравнение:

Х+2=ах

Решение: перенесём ах в левую часть уравнения, слагаемое 2 в правую часть.

Х-ах=-2

Х(1-а)=-2

Если а=1, то х×0=-2, решений нет,

Если а неравно 1, то х=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» =Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» ,

Ответ: решений нет при а=1, Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» при а ≠1.

Пример № 2. Решите уравнение

ах=2х+5

Решение: ах-2х+5

х(а-2)=5

Чтобы найти значение х, нужно разделить обе части уравнения на (а-2). При всех ли значениях параметра мы можем обе части разделить на (а-2) ? Нет.

При а=2 выражение а-2 обращается в нуль, поэтому значение параметра а=2 является «особым»-контрольным значением параметра.

При а=2, (2-2)х=5, 0х=5 - уравнение решений не имеет;

При аТворческая работа по теме: «Уравнения с параметром»2, х=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Ответ: решений нет при а=2; х=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» при аТворческая работа по теме: «Уравнения с параметром»2

2.2 Методы решения уравнений с параметром.

Решить уравнение с параметром , значит для каждого значения параметра найти множество всех корней данного уравнения.

Основной принцип решения уравнения с параметром можно сформулировать так: необходимо разбить все значения параметра на участки, такие, что при изменении параметра на каждом из них решаем получающиеся уравнения. Для этого используем приёмы такие же, как при решении уравнений с числовыми коэффициентами.

Сложность заданий с параметром: при разных значениях параметра применяются различные методы решения.

Пример № 3.Дано уравнение.

2а(а-2) х=а-2 и задана область изменения параметра. А={-1,0,2,3}. Тогда данное уравнение есть краткая запись семейства уравнений

При а=-1, 6х=-3,

При а=0, 0×х=-2,

При а=1 -2х=-1,

При а=2 0×х=0,

При а=3, 6х=1,

Под областью изменения параметра будем подразумевать множество всех действительных чисел.

Решить уравнение с параметром - это значит решить (на множестве действительных чисел) семейство уравнений, которое получается из уравнения f(х,а)=g(х,а) при различных действительных значениях параметра.

Так как выписать отдельно каждое уравнение бесконечного семейства невозможно, то

«особые» значения параметра (мы будем называть их контрольными), в которых или при переходе через которые происходит качественное изменение уравнения.

2.3 Квадратное уравнение с параметром.

Пример № 4 При каких значениях параметра уравнение (Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»(b+4) х +b+7=0 имеет только один корень?

Решение: при всех ли значениях параметра данное уравнение будет квадратным? Нет при b=1 уравнение становится линейным , b=1 - контрольное значение параметра.

Подставим значение Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» исходное уравнение.

(1-1)Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»+ (1+4) х + 1+7=0;5х+8=0; х=-1,6

При Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=1 уравнение имеет один корень х=-1,6

При Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» имеет квадратное уравнение. Так как по условию квадратное уравнение имеет один корень, то Д=0

Д=(Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

А Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Д=256+12Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»44=784

В Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» , Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Ответ: при Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» уравнение имеет только один корень.

Решение: Контрольными будут те значения параметра а, при которых коэффициент при х обращается в нуль. При этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, при остальных же значениях параметра такое деление возможно. Значит рассмотрим уравнение при следующих значениях параметра

1) а=0; 2) а=2; 3) а

1) При а=2 уравнение принимает вид 0×х=-2. Это уравнение решений не имеет.

2) При а=2 уравнение принимает вид 0×=0 Решением этого уравнения служит любое действительное число.

3) Если а≠0 и а≠2, то получаем х=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром», хТворческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Ответ решений нет при а=0;

Любое число при а=2;

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»при Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Пример № 5 Решим уравнение. 2а(а-2)х=а-2

Решение: Контрольным является значение а=1, т.к. происходит качественное изменение уравнения при а≠1 уравнение является квадратным, при а=1 оно линейное. Рассмотрим следующие случаи.

1) а=1 уравнение примет вид

6х=7=0

Х= -Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

2)а≠1

Для квадратного уравнения

(а-1) Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»+2(2а+1) х+(4а+3)=0 выделим те значения параметра n, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Найдём дискриминант уравнения.

Д=4(2а+1Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»-4(а-1) (4а+3)= 4(Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»-4а+3а-3)= 16Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»16а-12а+12= 20а+16

Д=0, если а=-0,8

Д<0 Если а<-0,8

Д≥0, если Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» а≥-0,8, то хТворческая работа по теме: «Уравнения с параметром»= Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»= Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Ответ: решений нет при а<-0,8 Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» при а=1

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»при { а≥-0,8 а≠1

2.4.Дробно рациональное уравнение с параметром.

Пример № 7. Решим уравнение

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»- Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» = Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»+ Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» = Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Контрольным значением параметра а является значение 1) а=0, уравнение решений не имеет;

2)а≠0, тогда Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» = Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

(1-а)Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Найдём второе контрольное значение

1) а≈1, 2х+2=0

3) если Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» уравнение квадратное

(1-а)Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Д=4-4(1-а) (а+1)=4-4(1-Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

При Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Х=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=а при а>0, а≠1

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=-а при а<0, а≠1

При Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» , х=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» , Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» =-1

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» = Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» = Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

При Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» , х=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=-1

Проверка уравнения

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» и (1-а)Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»+а+1=0 равносильны при х ≠Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

При Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» мы получили Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=-1, Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Выясним при каких значениях параметра выполняется равенство Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» , Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=-1, -1=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» , находим а=-2, значит при а=-2, Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=-1-- постоянный корень (т.к. знаменатель Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»х-2а при а=-2, Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=-1 обращается в нуль) тогда Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Выясним, при каких значениях параметра выполняется равенство Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» имеем Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» , отсюда Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» Д=-1-4=-3Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» уравнение не имеет решений. Значит, Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»=Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» ни при каких значениях параметра не является посторонним корнем.

Ответ: решений нет при а=0 , -1 при а=1, Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром» при а=-2

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»

Пример № 8:

Творческая работа по теме: «Уравнения с параметром»



Заключение

Решение уравнений , содержащих параметры - один из труднейших разделов школьного курса математики.

Я обобщила и систематизировала теоретические знания. научилась решать задачи повышенной сложности .

Я выяснила трудности решения уравнения с параметрами:

  • Необходимо производить ветвление всех значений параметра на отдельные классы;

  • Следить за сохранением равносильности решаемых уравнений;

  • Учитывать область определения выражений, входящих в уравнение.











Литература.

1.Крамов В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры .

2.Никольский С.М. Алгебра и начало анализа 11 класса - М.: Просвещение, 2007.

3.Потапов М.К. Алгебра и начало математического анализа 11-М.: «Просвещение», 2008.

4. Семёнов В.А Ященко А.Н. КИМ ГИА.-М. Просвещение, 2012.

5.Цыпкин А.Г, Пинский А.И Справочное пособие по методам решения задач по математике.-М.: Наука,1983

6.Ястребинетский Г.А. Задачи с параметрами. - М.: Просвещение, 1986.

















Рецензия

творческой работы по математике Гостевой Ксении ученицы 9б класса МКОУ СОШ № 47 Барабинского района Новосибирской области

Тема творческой работы « Уравнения с параметром».

Работа поисково-реферативного характера, выполнена в соответствии с предъявляемыми требованиями.

В работе систематизируется решение линейных уравнений, квадратных уравнений, дробно-рациональных уравнений с параметром. Рассматривается алгоритм решений уравнений с параметром.

Работа трудоёмкая. На окружном конкурсе ТИР работа получила высшую категорию и рекомендована на районный конкурс ТИР.

Учитель: Леонова Н.В.





© 2010-2022