Исследовательская работаТайны золотого сечения

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

"НОВОХОПЕРСКАЯ СОШ №2"

Исследовательская работа

Выполнила: Звягинцева Дарья, 7 класс

Руководитель: Леонтьева Р.Н., учитель математики, IКК

г.Новохоперск

2016

Оглавление:

Введение……………………………………………………………………………...3

Глава 1. Формула красоты………………………………………………………….4

Глава 2. «Золотое сечение» в математике. Числа Фибоначчи……………………5

Глава 3. «Золотое сечение» в архитектуре, живописи и скульптуре…………….7

Глава 4. Тело человека и «Золотое сечение»………………………………………8

Глава 5. «Золотое сечение» в живой природе…………………………………… 10

Глава 6. Ритмы сердца ………..………………………………………………...…..14

Выводы……………………………………………………………………………….15

Список литературы ……………………………………………………………….16

Введение

В 2015 году в Новохоперском краеведческом музее проходила выставка бабочек известного энтомолога Константина Юрьевича Водянова. Нежные и роскошные, бабочки очаровали меня разнообразием форм, размеров и расцветок. Бабочки - воплощенное природное совершенство, символ возрождения и «виновницы» красивейших легенд. Нас всегда привлекает в жизни все красивое и гармоничное. С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. И я задалась вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Я обратилась к современному источнику информации - к Интернету и обнаружила, что за высшее проявление совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике и природе «отвечает» принцип «золотого сечения».

Бесконечный ряд после запятой - 1,6180339887... Выходит за красоту и гармонию в природе «отвечает» математика? А если природа - это все то, что есть вокруг, значит, особые числовые закономерности существуют во всем, что нас окружает. Мне захотелось в этом убедиться и я поставила перед собой цель: выявить принципы применения «Золо­того сечения» в различных областях знаний, и проверить гармонию числовыми закономерностями. Для этого я выяснила, что такое «Золотое сечение», узнала историю золотого сечения, рассмотрела примеры, где встречается "Золотое сечение" в архитектуре, живописи, скульптуре, живой и неживой природе.

В этом году я продолжила исследования по данной теме, а именно проследила критерии золотого сечения в ритмах сердца.

Глава1. Формула красоты.

О золотом сечении знали еще в древнем Египте и Вавилоне, в Индии и Китае. Великий Пифагор создал тайную школу, где изучалась мистическая суть «золотого сечения». Евклид применил его, создавая свою геометрию, а Фидий - свои бессмертные скульптуры. Платон рассказывал, что Вселенная устроена согласно «золотому сечению». А Аристотель нашел соответствие «золотого сечения» этическому закону. О высшей гармонии «золотого сечения» проповедовали Леонардо да Винчи и Микеланджело, ведь красота и «золотое сечение» - это одно и то же. А христианские мистики рисовали на стенах своих монастырей пентаграммы «золотого сечения», спасаясь от Дьявола. При этом ученые - даже Эйнштейн - искали, но так и не нашли его точного значения.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой вальса? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты человеческого тела...". И эта формула - формула золотого сечения - некий универсальный информационный код красоты, соединяющий разные искусства и разные века в интуитивном постижении прекрасного.

Эта формула отвечает такому делению целого на две части, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению целого к большей части. Эту пропорцию называли по-разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом". Она оказалась близкой к 1,6.

Золотая пропорция встречается в конфигурации растений и минералов, строении частей Вселенной, музыкальном звукоряде. Ее используют в архитектуре, скульптуре, живописи, науке, вычислительной технике.

Шедеврами архитектуры являются многие русские храмы, которые строились на протяжении нескольких столетий. Трудно найти человека, который бы не знал собор Василия Блаженного. Его пропорции соответствуют золотой.

Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а, следовательно, и золотая пропорция. Стихи А. С. Пушкина занимают особое место, остаются непревзойденными в русской поэзии. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Размер стиха у А. С. Пушкина, число строк в нем выступают не как произвольные или случайные величины. Они не изменяются от наименьшей к наибольшей непрерывно, а имеют некоторые частотные максимумы.

Математикой можно поверить не только гармонию архитектуры и поэзии, но и гармонию музыки.

Простой математический анализ, не выходящий за рамки арифметики, позволяет совершенно иными глазами взглянуть на музыкальное произведение, увидеть его скрытую внутреннюю красоту, которую мы только ощущаем, слушая произведение.

В композиции многих музыкальных произведений отмечается наличие некоторого «кульминационного взлета», высшей точки. Такая высшая точка крайне редко расположена в центре произведения, обычно она смещена, асимметрична. Изучая произведения Баха, Бетховена, Шопена, можно установить, что во многих из них вершина, или высшая точка находится в точке золотого сечения.

Характерно, что в некоторых случаях авторы музыкальных произведений смещали их вершину от точки золотого сечения, что придавало мелодиям неустойчивый характер.

Итак, можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения.

Древние скульпторы знали и использовали золотую пропорцию как критерий гармонии, канон красоты, корни которой лежат в пропорциях человеческого тела. Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов. Центр золотой пропорции строения человеческого тела располагался точно на месте пупка. Широкие плечи почти равны высоте туловища, высота головы восемь раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле мужчины.

На протяжении многих столетий человек в своем творчестве учился у природы, постигая законы её гармонии, её красоту. Он жил в духовном единстве с природой, и это создавало благодатную почву для его творчества. Многие ученые абсолютизировали пропорцию золотого сечения, объявив ее универсальной для всех явлений природы и искусства. Универсальная формула, которой подчиняются законы природы и законы красоты творений человека - формула золотого сечения.

Глава 2. Золотое сечение в математике.

Теорему Пифагора знает каждый, а вот что такое "золотое сечение" - далеко не все. Итак - "золотое сечение" - это такое деление целого на две неравные части, при котором

целое так относится к большей части, как большая к меньшей.

Чтобы рассмотреть деление отрезка на части в отношении равном "золотому сечению" я начертила отрезок длиной 10 см и разделила его приблизительно в золотом отношении

(6,2 см и 3,8 см) - одна часть отрезка больше другой в 1,6 раза.

Части "золотого сечения" составляют приблизительно 62% и 38% всего отрезка.

Потом я построила золотой прямоугольник. Сначала начертила квадрат и разделила его на два равных прямоугольника. В одном из прямоугольников провела диагональ АВ.

Циркулем провела окружность радиуса АВ с центром в точке А. Продолжила основание квадрата до пересечения с дугой в точке Р и провела под прямым углом вторую сторону искомого прямоугольника.

В эпоху Возрождения "золотое сечение» было очень популярным среди художников, скульпторов, архитекторов. Так, выбирая размеры картины, художники старались, чтобы в основе был «золотой прямоугольник» . Отношение сторон такого прямоуголиника условно обозначалось Ф. Такое обозначение принято в честь древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V веке до н.э.

А итальянский математик средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи (род. ок. 1170 - умер после 1228) открыл удивительные числа. После его открытия числа эти так и стали называться именем известного математика. Суть последовательности чисел Фибоначчи состоит в том, что каждое число в этой последовательности получается из суммы двух предыдущих чисел.

Числа, образующие последовательность 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, ... называются "числами Фибоначчи", а сама последовательность - последовательностью Фибоначчи.

В числах Фибоначчи существует одна очень интересная особенность. При делении любого числа из последовательности на число, стоящее перед ним в ряду, результатом всегда будет величина, колеблющаяся около иррационального значения 1.61803398875... и через раз то превосходящая, то не достигающая его.

Более того, после 13-ого числа в последовательности этот результат деления становится постоянным до бесконечности ряда… Именно это постоянное число деления в средние века было названо Божественной пропорцией, а ныне в наши дни именуется как золотое сечение, золотое среднее или золотая пропорция.

В математике это число обозначается греческой буквой φ(фи)

Итак, Золотая пропорция = 1 : 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Было установлено, что числовой ряд чисел Фибоначчи характеризует структуру многих живых систем.

Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК и РНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Выяснилось, что в расположении листьев на ветке, семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения.

Глава 3. "Золотое сечение" в архитектуре живописи и скульптуре.

Собор Василия Блаженного - один из самых ярких и знаменитых памятников древнерусской архитектуры. Уже в 16 веке собор восхищал путешественников и гостей Москвы, а для россиян стал символом отечественной истории и национального характера.

Трудно найти человека, который бы не знал и не видел собора Василия Блаженного на Красной площади. Храм этот особенный; он отличается удивительным разнообразием форм и деталей, красочных покрытий; ему нет равных в нашей стране. Архитектурное убранство всего собора продиктовано определенной логикой и последовательностью развития форм. Исследуя его, я пришла к выводу о преобладании в нем ряда золотого сечения. Если принять высоту собора за единицу, то основные пропорции, определяющие членение целого на части, образуют ряд золотого сечения.

В этом членении и заключена основная архитектурная идея создания собора, единая для всех восьми куполов, объединяющая их в одну композицию.

Тоже самое можно увидеть и на примере собора Воскресения Христова г.Новохоперска.

Особый вид изобразительного искусства Древней Греции - изготовление и роспись всевозможных сосудов. В изящной форме легко угадываются пропорции золотого сечения.

Переходя к примерам "золотого сечения" в живописи, нельзя не остановить своего внимания на творчестве Леонардо да Винчи. Его личность одна из загадок истории. Сам Леонардо говорил: "Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды". Сам термин "золотое сечение" ввел Леонардо да Винчи. Он говорил о пропорции человеческого тела.

«Витрувианский человек» полностью изображен в соответствии с φ«фи», то есть на рисунке - модель идеального существа.

В соответствии с сопроводительными записями Леонардо, он был создан для определения пропорций (мужского) человеческого тела.

Рисунок сам по себе часто используется как неявный символ внутренней симметрии человеческого тела и, далее, Вселенной в целом.

Еще один пример в живописи - Венера" Сандро Боттичелли - воплощение идеи универсальной гармонии "золотого сечения", господствующего в природе.

Пропорциональный анализ «Венеры» убеждает нас в этом.

Скульптурные сооружения, памятники воздвигаются, чтобы увековечить знаменательные события, сохранить в памяти потомков имена прославленных людей их подвиги и деяния.

Известно, что еще в древности основу скульптуры составляла теория пропорции. Отношение частей человеческого тела связывалось с формулой "золотого сечения".

Скульпторы утверждают, что талия делит совершенное человеческое тело в отношении "золотого сечения". Так, например, знаменитая статуя Аполлона Бельведерского состоит из частей, делящихся по золотым отношениям.

Статуя полна спокойной уверенности, гармония линий, уравновешенность частей олицетворяют могущество физической силы. Широкие плечи почти равны высоте туловища, половина высоты тела приходится на лонное сращение, высота головы 8 раз укладывается в высоте тела, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета.

Глава 4. Тело человека и «золотое сечение».

Поразительно, но в лице человека можно проследить множество пропорций, подчиненных "золотому сечению". Причем, чем больше в лице человека соотношений в этой пропорции, тем красивее нам он кажется. Есть лица, при характеристике которых употребляют выражение "правильные черты лица". У этих людей основные пропорции наиболее близки к соотношению 1, 618: или 62 : 38.

Какие же пропорции в лице человека стремятся к "золотому сечению"?

Прежде всего, у людей с красивыми лицами наблюдается:

Идеальная пропорция между расстояниями от медиального угла глаза до крыла носа и от крыла носа до подбородка. Это соотношение называется "динамической симметрией" или "динамическим равновесием".

Соотношение высоты верхней и нижней губы будет 1,618:

Высота надгубной складки и высота губ будут составлять соотношение 62 : 38:

Ширина одной ноздри суммарно с шириной переносицы относится к ширине другой ноздри в пропорции "золотого сечения".

Ширина ротовой щели также относится к ширине между наружными краями глаз, а расстояние между наружными уголками глаз - к ширине лба на уровне линии бровей, как все пропорции "золотого сечения".

Расстояние между линией верхней части лба до линии зрачков и расстояние между линией зрачков и линией смыкания губ имеет пропорцию "золотого сечения"

Получается, правильную красоту можно математически просчитать и даже прибегнуть к хирургической корректировке с целью совершенствования внешности.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

Художники, ученые, модельеры, дизайнеры делают свои расчеты, чертежи или наброски, исходя из соотношения золотого сечения.

Закономерности «золотой» симметрии проявляются и в генетическом коде человека. В «золотых» соотношениях находятся показатели артериального давления, пульса и дыхания. Циклическим колебаниям в «золотой» пропорции подвержены многие другие показатели человеческого организма, даже соотношение периодов сна (медленный сон - быстрый сон), находятся в пропорциях, близких к «золотым». Господь, как величайший художник наделил нас не только совершенным организмом, но и дал нам определенный «запас прочности». Причем этот запас дан в точном соответствии с «золотым сечением». ( Например, если по какой-то случайности на 1/3 пересекается человеческий нерв, то его функция сохраняется.)

Глава 5. Золотое сечение в живой природе.

Биологические исследования показывают, что, начиная с вирусов и растений и кончая организмом человека, всюду выявляется золотая пропорция, характеризующая соразмерность и гармоничность их строения. Золотое сечение признано универсальным законом живых систем. Было установлено, что числовой ряд чисел характеризует структурную организацию многих живых систем. Например, винтовое листорасположение на ветке составляет дробь (число оборотов на стебле/число листьев в цикле, напр. 2/5; 3/8; 5/13), соответствующую рядам Фибоначчи. Хорошо известна "золотая" пропорция пятилепестковых цветков яблони, груши и многих других растений. Носители генетического кода - молекулы ДНК - имеют структуру двойной спирали; ее размеры почти полностью соответствуют числам ряда Фибоначчи.

Еще Гете подчеркивал тенденцию природы к спиральности. Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган.

Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гете называл спираль "кривой жизни". Винтообразное и спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно.

Рис1. Винтовая симметрия.

В ботанике принято характеризовать винтовое листорасположение с помощью дроби, числителем которой является число оборотов в листовом цикле, а знаменателем - число листьев в этом цикле.

Ели рассмотреть расположение листьев на стебле растения (Рис.1), то можно увидеть, что листья находятся на различных высотах стебля вдоль винтовой линии, обвивающейся вокруг его поверхности. Для того чтобы перейти от нижележащего листа к следующему, приходится мысленно повернуть лист на некоторый угол вокруг вертикальной оси стебля, а затем поднять его на определенный отрезок вверх. В этом и состоит суть "винтовой симметрии". Оказывается, что именно при таком расположении листьев достигается максимум притока солнечной энергии к растению.

Спиралью закручиваются усики растений.

Спираль можно увидеть в расположении семян подсолнечника, в шишках сосны, ананасах, кактусах и т.д.. В расположении семян подсолнечника, шишек сосны проявляет себя ряд Фибоначчи, а стало быть, проявляет себя закон золотого сечения. Цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках "упакованы" по "золотым" спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем числа "правых "и "левых" спиралей, всегда относятся друг к другу, как соседние числа Фибоначчи.

Приглядимся внимательно к побегу цикория. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок. Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс.

Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий - 38, четвертый - 24 и т.д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2,3,5,8. Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Можно заметить золотые пропорции, если внимательно посмотреть на яйцо птицы.

Спиралевидную форму имеют большинство раковин. Если ее развернуть, то получается длина, немного уступающая длине змеи. Небольшая десяти сантиметровая раковина имеет спираль длиной 35 см.

Если посмотреть на изображение раковины на нем точка С делит отрезок АВ приблизительно в золотом отношении.

Изучая конструкции раковин, ученые обратили внимание на целесообразность форм и поверхностей раковин: внутренняя поверхность гладкая, наружная - рифленая. Внутри покоится тело моллюска - внутренняя поверхность должна быть гладкой. Наружные ребра увеличивают жесткость раковины и, таким образом, повышают ее прочность. Форма раковин поражает своим совершенством и экономичностью средств, затраченных на ее создание. Идея спирали в раковинах выражена не приближенно, а в совершенной геометрической форме, в удивительно красивой, "отточенной" конструкции.

Я захотела проверить, что «Золотая пропорция» действительно является универсальным информационным кодом. И провел следующий эксперимент: У меня дома растет толстянка. Я измерила один из побегов растения, а потом расстояние между листьями. Затем были измерены листья.

Расстояние между листьями

от 1 до 2

от 2 до 3

от 3 до 4

от 4 до 5

от 5 до 6

В см:

6,1

3,8

2,4

1,5

0,9

№ листа

1

2

3

4

5

длина листа в см.

5,6

3,5

2,1

1,3

0,8

Природа осуществила деление на симметричные части и золотые пропорции. В частях проявляется повторение строения целого. Законам «Золотого сечения», то есть абсолютной гармонии, подчиняются не только растения, но и плоды человеческой деятельности, и сам человек - его внутренние органы и системы, его душа, его мысли. С рождения человеку предписано находиться в гармонии с собой и с внешним миром.

Таким образом, строгую математику мы видим везде. И мы снова и снова убеждаемся в том, что все в природе подчинено единому плану, единым законам.

Глава 6. Ритмы сердца.

Равномерно бьется сердце человека - около 60 ударов в минуту в состоянии покоя. Сердце как поршень сжимает, а затем выталкивает кровь и гонит ее по телу. Предсердия выполняют роль работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм рт.ст. у здорового молодого человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастолы) давление снижается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, т.е. близко к золотой пропорции резервуара, принимающего кровь из вен, а желудочки - насоса, ритмически перекачивающего кровь в артерии. Давление крови изменяется в процессе.

Сердце бьется непрерывно - от рождения человека до его смерти. Его работа должна быть оптимальной, обусловленной законами самоорганизации биологических систем. Отклонения от оптимального режима вызывают различные заболевания. А так как золотая пропорция является одним из критериев самоорганизации в живой природе, естественно предположить, что и в работе сердца возможно проявление этого критерия. Нужны были глубокие исследования, и они были проведены советским ученым В.Д.Цветковым.

При работе сердца возникает электрический ток, который можно уловить специальным прибором и получить кривую - электрокардиограмму (ЭКГ) с характерными зубцами, отражающими различные циклы работы сердца. На ЭКГ человека выделяются два участка различной длительности, соответствующие систолической и диастолической деятельности сердца. В.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная («золотая») частота сердцебиения, при которой длительности систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382 : 0,618 : 1, т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Так, например, для человека эта частота равна 63 ударам в минуту, что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя.

Далее В.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382, а диастолическое - 0,618 от среднего давления крови в аорте. Доля объема левого желудочка при ударном выбросе крови по отношению к конечно диастолическому объему у десяти видов млекопитающих в состоянии покоя составляет 0,37-0,4, что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизировано по одному и тому же принципу - по правилу золотой пропорции.

Исследования в этой области только начинаются, впереди - открытие самых сокровенных тайн организации и работы мозга человека, закономерности его эволюции.

Выводы:

Я убедилась, что существует связь между математикой и литературой, между математикой и архитектурой, между математикой и живописью. И это не случайно, ведь каждому искусству присуще стремление к стройности, соразмерности, гармонии. Природа совершенна, и у нее есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных видах искусства.

Меня поразил тот факт, что даже планеты солнечной системы обращаются вокруг солнца по орбитам с «золотым сечением», а Земля имеет самую совершенную орбиту из всех планет. Это доказали ученые с помощью математики!

Также я увидела строгую математику в расположении листьев толстяки. Узнала, что и человек в соотношении отдельных частей тела и расстояний между ними, подчиняется законам "золотого сечения". И даже в его генетическом коде заложены закономерности золотой симметрии.

Эти свойства не выдуманы людьми. Они отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы - это математика.

Явления всей Вселенной подчинены определенным числовым соотношениям. Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Все упорядочивается в соответствии с числами.

Литература:

Хембидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре.- М,. 1936.

Шевелев И.Ш., Марутаев М.А., Шмелев И.П. Золотое сечение/Три взгляда на природу гармонии. - М., 1990.

Лосев А.Ф. Эстетика Возрождения. - М., 1978.

Ковалев Ф.В. Золотое сечение в живописи/ Учебное пособие.- К., 1986.

Мещеряков В.Т. Гармония и гармоническое отношение.- Л., 1976.

Стахов А.П. Коды золотой пропорции. - М,. 1984.

Шубников А. В., Копцик В. А. Симметрия в науке и искусстве. -М.: Наука, 1972.

Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997.