Элективный курс по теме: Решение текстовых задач

Элективный курс «Решение текстовых задач»

Пояснительная записка.

Анализ результатов проведения ЕГЭ с момента его существования говорят о том, что решаемость задания, содержащего текстовую задачу, составляет год от года чуть больше или меньше 30%. Такая ситуация позволяет сделать вывод, что большинство учащихся не в полной мере владеет техникой решения текстовых задач и не умеет за их часто нетрадиционной формулировкой увидеть типовые задания, которые были достаточно хорошо отработаны на уроках в рамках школьной программы. По этой причине возникла необходимость более глубокого изучения этого традиционного раздела элементарной математики.

Всего на проведение занятий отводится 32 часа. На изучение методов решения типовых задач выделено 11 часов. Провести их можно в форме обзорных лекций с разбором ключевых задач или в форме семинаров, нацелив учащихся на предварительную подготовку и самостоятельный поиск материалов с их последующим обсуждением. На практические занятия и отработку умений и навыков отведено 10 часов, из них 2 часа в заключение курса изучения - на самостоятельную итоговую работу и решение задач повышенной сложности, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ. В программе предусмотрено проведение 3-х тематических зачетов (по одному часу каждый).

После рассмотрения полного курса учащиеся должны иметь следующие результаты обучения:

уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики её решения, используя при этом разные способы;

уметь применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

уметь использовать дополнительную математическую литературу.

Данный факультативный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к конкурсным экзаменам в вузы. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы.

Цели курса.

Развитие устойчивого интереса учащихся к изучению математики.

Формирование у учащихся полного представления о решении текстовых задач.

Определение уровня способности учащихся и их готовности в дальнейшем к профильному обучению в школе и вузе.

Воспитание понимания, что математика является инструментом познания окружающего мира.

Задачи курса.

Систематизировать ранее полученные знания по решению текстовых задач.

Познакомить учащихся с разными типами задач, особенностями методики и

различными способами их решения.

Развивать и укреплять межпредметные связи.

Научить применять математические знания в решении повседневных жизненных задач бытового характера.

Учебный план.

Тема 1. Текстовые задачи и техника их решения. - 1 час

Тема 2. Задачи на движение - 6 часов

Тема 3. Задачи на проценты - 3часов

Тема 4. Задачи на сплавы, смеси, растворы. - 5 часа

Тема 5. Задачи с экономическим содержанием. - 4 часа

Тема 6. Задачи на работу. - 6 часа

Тема 7. Задачи на прогрессии. - 3 часа

Тема 8. Разные задачи. - 4 часа

Всего - 32 часа

Учебно-тематический план.

Тема 1.Текстовые задачи и техника их решения.(1ч)

Занятие 1. Ведение в элективный курс.(1ч)

Тема 2. Задачи на движение.(6ч)

Занятие 1. Движение по течению и против течения.(1ч)

Занятие 2. Равномерное и равноускоренное движение по прямой.(1ч)

Занятие 3. Движение по окружности.(1ч)

Занятие 4. Графический способ решения задач на движение.(1)

Занятие 5. Практикум по решению задач.(1ч)

Занятие 6. Зачёт по теме «Задачи на движение».(1ч)

Тема 3. Задачи на проценты. (3 часов)

Занятие 1. Что надо знать о процентах.(1ч)

Занятие 2. Решение задач с помощью уравнений и неравенств. (2ч).

Тема 4. Задачи на сплавы, смеси, растворы.(5ч)

Занятие 1. Задачи на сплавы, смеси, растворы.(1ч)

Занятия 2-5. Практикум по решению задач.(4ч)

Тема 5. Задачи с экономическим содержанием.(4ч)

Занятие 1. Задачи с экономическим содержанием.(1ч)

Занятие 2-3. Практикум по решению задач.(2ч)

Занятие 4. Зачёт по теме «Задачи на сплавы, смеси, растворы», «Задачи с экономическим содержанием» (1ч)

Тема 6. Задачи на работу.(6ч)

Занятие 1. Задачи на работу.(1ч)

Занятия 2-6. Практикум по решению задач.(5ч)

Тема 7. Задачи на прогрессии.(3ч)

Занятие 1. Задачи на арифметическую прогрессию и на геометрическую прогрессию.(1ч)

Занятие 2. Задачи на одновременное применение арифметической и геометрической прогрессий.(1ч)

Занятие 3. Зачёт по темам «Задачи на работу», «Задачи на прогрессии»,.(1ч)

Тема 8. Разные задачи.(4ч)

Занятие 1-4. Текстовые задачи включены в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены.(4ч)

Содержание программы.

Текстовые задачи и техника их решения.(1ч)

Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой задачи. Этапы решения текстовой задачи. Решение текстовых задач арифметическими приёмами (по действиям). Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их системы. Значение правильного письменного оформления решения текстовой задачи. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертёж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели.

Задачи на движение.(6ч)

Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движения тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Графики движения в прямоугольной системе координат. Чтение графиков движения и применение их для решения текстовых задач. Решение текстовых задач с использованием элементов геометрии.

Задачи на проценты.(3ч)

Устраняются проблемы в знаниях по решению основных задач на проценты: что такое проценты, как выразить число в процентах, как выразить проценты в десятичной дроби, нахождение процентов от данного числа, нахождение числа по его процентам, процентное отношение двух чисел.

Задачи на сплавы, смеси, растворы.(5ч)

Формула зависимости массы или объёма вещества в сплаве, смеси, растворе («часть») от концентрации («доля») и массы или объёма сплава, смеси, раствора («всего»). Особенности выбора переменных и методики решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи на сплавы, смеси, растворы и её значение для составления математической модели.

Задачи с экономическим содержанием.(4ч)

Формулы процентов и сложных процентов. Особенности выбора переменных и методики решения задач с экономическим содержанием.

Задачи на работу.(6ч)

Формула зависимости объёма выполненной работы от производительности и времени её выполнения. Особенности выбора переменных и методики решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи на работу и её значение для составления математической модели.

Задачи на прогрессии.(3ч)

Формулы общего члена и суммы первых п членов арифметической и геометрической прогрессий. Формулы арифметической и геометрической прогрессий, отражающие их характеристические свойства. Особенности выбора переменных и методики решения задач на прогрессии.

Разные задачи.(4ч)

Текстовые задачи включены в КИМы и ЕГЭ, в конкурсные экзамены.

Формы контроля знаний.

Зачёт № 1. Задачи на движение.

Зачёт № 2. Задачи на сплавы, смеси, растворы и с экономическим содержанием.

Зачёт № 3. Задачи работу, на прогрессии.

Самостоятельная работа. Текстовые задачи.

Литература.

Ю.В. Садовничий Математика. Конкурсные задачи по алгебре с решениями. Часть 6. Решение текстовых задач. Учебное пособие.- 3-е изд., стер. - М.: Издательский отдел УНЦ ДО, 2003г. (серия «В помощь абитуриенту»).

М.А. Иванов Математика без репетитора. 800 задач с ответами и решениями для абитуриентов Учебное пособие. - М.: Издательский центр «Вентана - Граф», 2002г.

М.В. Лурье, Б.И. Александров Задачи на составление уравнений. Учебное руководство. - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1990г.

Г.В. Дорофеев, М.К. Потапов, Н.Х. Розов Пособие по математике для поступающих в вузы (избранные вопросы элементарной математики). - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1976г.

Б.Ф. Бутузов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. Математика. Учебник для экономистов 10 - 11 классов. - М.: Сантакс - Пресс, 1996г.

В.В. Ткачук Математика - абитуриенту. - 9-е изд., исправленное и дополненное. М.: МЦНМО,2002г.

В.А. Нырко, В.А. Табуев Задачи с параметром. Текстовые задачи. Пособие для поступающих в вузы. - Екатеринбург: Издательство УМЦ - УПИ, 2001г.

Г.Н. Тимофеев Математика для поступающих в вузы. Учебное пособие.- Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2001г.

Н.И. Попов, А.Н. Марасанов Задачи на составление уравнений. Учебное пособие. Йошкар-Ола: Мар. гос. ун-т, 2003г.

А. Тоом Как я учу решать текстовые задачи. - Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №46, 47, 2004г.

А. Прокофьев, Т. Соколова, В. Бардушкин, Т. Фадеичева Текстовые задачи. Материалы вступительных экзаменов в МИЭТ.-Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №9, 2005г.

В. Булынин Применение графических методов при решении текстовых задач. - Еженедельная учебно-методическая газета «Математика», №14, 2005г.

Тема 1. Текстовые задачи и техника их решения.

Текстовой задачей называется задача, в которой надо найти неизвестную величину при определённых условиях в описанной в задаче ситуации. Их обычно отождествляют с задачами на составление уравнений и неравенств с наложением области допустимых значений (ОДЗ) переменных, удовлетворяющей явным условиям задачи (описанным в тексте) и по смыслу.

Решить текстовую задачу означает:

1.ввести удобную переменную и решить уравнение или неравенство (систему уравнений или неравенств), составленное по явным условиям, описанным в задаче;

2.выбрать из всех найденных решений те, которые подходят

по смыслу задачи.

Например. Площадь прямоугольного треугольника равна

210см, а его гипотенуза 37см. Найти периметр

этого треугольника.

Данная задача является текстовой, так как в ней словесно описаны условия существования прямоугольного треугольника и требуется найти его периметр. Нахождение периметра данного треугольника сводится к нахождению двух неизвестных катетов. Таким образом, чтобы решить эту задачу, надо:

1.ввести удобные переменные - первый катет а см и второй катет в см, а затем, применив геометрические знания формулы площади прямоугольного треугольника S=1/2ав и теорему Пифагора, позволяющую выразить гипотенузу через катеты с ² =а ² +в ² , решить систему уравнений подставив в формулы известные данные

1/2ав=210,

а ² +в ² =37 ²;

получаем 4 решения системы а ₁ =-35 и в ₁ =35, а ₂ =-12 и в ₂ =-35, а ₃ =35 и b ₃ =12, а ₄ =12 и в ₄ =35;

2.выбрать те решения, которые подходят по смыслу задачи.

Так как речь идет о сторонах треугольника, то по геометрическому свойству отрезков переменные а и в должны принимать только положительные значения, а по свойству сторон прямоугольного треугольника каждый из катетов должен быть меньше его гипотенузы. Значит, по смыслу задачи 0<a<37 и 0<в<37.Этому условию удовлетворяют только третье и четвертое решения системы. Но в силу симметричности выбора переменных (любой из двух катетов мог быть объявлен равнозначно первым или вторым) оба решения можно объединить в одно. Ответ:37см и 12см.

Какова техника решения текстовых задач?

Стандартная схема состоит из следующих основных моментов:

1 этап. Арифметическая краткая запись условий задачи.

Цель: осмысление задачи.

Форма записи: схематический чертёж или таблица всех

известных и неизвестных данных задачи.

Важно помнить:

• этот этап может отсутствовать, если решение задачи элементарно или она не особо усложнена условиями;

• на этом этапе решения задачи происходит понимание или осмысление её текста. Намного облегчает этот процесс умение правильно «увязать» все известные и неизвестные величины в таблицу данных задачи или составить чертёж; неизвестные величины удобно обозначать знаком «?», а «главный вопрос» задачи для того, чтобы потом на последних этапах не запутаться и правильно найти «Ответ», так как в некоторых задачах искомую величину приходится довычислять;

• все единицы измерения перевести в единые;

• значительно облегчает решение и делает задачу более понятной введение обозначений, общепринятых в физике, химии, геометрии, алгебре, экономике и так далее. Действуя таким образом учитель осуществляет межпредметную связь наук, изучаемых в школе и делает условия задачи более понятными;

Например:

V, t, s (l) - скорость, время, расстояние (длина пути или отрезка);

p, V, m - плотность вещества, объём тела, масса тела;

W, t, V - производительность, время работы, объём работы;

a, b, P, S - две стороны прямоугольника, его периметр, его площадь;

А ₀ , р, n, A _n - первоначальная величина, процент её увеличения, количество увеличений, конечная величина после увеличения А ₀ на р процентов n раз;

M _А ,С_А ,M - масса вещества А в растворе или в смеси, концентрация вещества А в растворе или смеси (доля), масса раствора или смеси;

mn = 10m + n - запись двузначного числа, где m, n - цифры;

• схематический чертёж оказывает большую помощь в задачах «на движение». Он позволяет увидеть динамику движения, а также учесть все характерные ситуации - встречи, остановки, повороты и тому подобное.

2 этап. «Легенда» или алгебраическая краткая запись

условий задачи.

Цель: удачно выбрать переменную и выразить все

неизвестные величины задачи через неё.

Форма записи: такая, как и на 1 этапе, но только вместо

знаков «?» везде записать выражения с

переменной.

Важно помнить:

• обычно этот этап в оформлении задачи начинается с фразы «Пусть х ед. - … , тогда …»;

• не следует пытаться обойтись небольшим числом неизвестных; наоборот, чем больше неизвестных, тем легче составлять уравнения или неравенства;

• выбирая неизвестные, мы создаём математическую модель ситуации, описанной в условии задачи; точнее, набор переменных представляет собой список параметров, определяющих эту модель, поэтому все они должны быть независимы, и все соотношения должны следовать лишь из конкретных условий задачи;

• при введении переменных следует руководствоваться принципом наибольшего удобства математической записи условий задачи, при этом искомая величина может не входить в их число. Часто имеет место ситуация когда составленная по условию задачи система уравнений не позволяет однозначно определить неизвестные, однако искомая величина, являющаяся некоторой комбинацией введенных неизвестных, находится однозначно. В большинстве задач «главный вопрос» подсказывает выбор переменной.

3 этап. Составление и решение уравнения или

неравенства (системы уравнений или

неравенств).

Цель: опираясь на условия задачи составить уравнение

или неравенство ( систему уравнений или неравенств )

и найти его (её) решение.

Важно помнить:

• обычно этот этап в оформлении задачи начинается словами «По условию задачи …(выписать условия из текста задачи), значит,…(запись уравнения или неравенства).»;

• необходимо учитывать ОДЗ переменной (переменных) помня условия существования уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств);

• для составления уравнения или неравенства (системы уравнений или неравенств) из текста задачи выбираем условие (условия), которое позволяет увязать известные и неизвестные данные задачи в формулы:

S=vt- вычисление длины пути, пройденного телом;

m=pV - вычисление массы тела;

V=Wt- вычисление объёма работы;

S=ab -вычисление площади прямоугольника;

M _А =С_АM- вычисление массы вещества А в смеси или растворе;

A _n =A ₀ (1+0,01p)ⁿ - вычисление сложных процентов;

или в нестандартное равенство (неравенство);

• если неизвестных следует брать столько, сколько потребуется, то уравнений будет столько, сколько получится; в простейших ситуациях мы получаем уравнение (неравенство) с одной переменной или систему уравнений (неравенств), в которой число уравнений (неравенств) совпадает с числом неизвестных. Но, если число уравнений (неравенств) оказалось меньше числа неизвестных и при этом использованы все условия задачи, то надо попытаться выразить то, что нужно найти, через введенные неизвестные. В корректной задаче, если все условия использованы, то нужное неизвестное или нужная комбинация неизвестных обязательно найдётся.

4 этап. Анализ решения уравнения или неравенства

(системы уравнений или неравенств).

Цель: из всех найденных решений уравнений или

неравенств ( систем уравнений или неравенств)

выбрать те, которые подходят по смыслу задачи и,

по мере необходимости, довычислить искомую

величину.

Важно помнить:

• обычно этот этап в оформлении задачи начинается фразой «По смыслу задачи х должна быть величиной… ( натуральной, положительной, целой, принадлежащей промежутку и так далее), (проверка на выполнение условий задачи по смыслу найденного значения переменной) => ( значение х ) - постороннее решение ( если смысловое условие не выполнено) или

(значение х) - ( записать пояснение к найденной величине, если смысловое условие выполнено).»;

• таким образом, не каждое решение уравнения может являться решением задачи; особенности отбора значений переменных в различных типовых задачах будут рассмотрены ниже;

• для всякой текстовой задачи полезно провести проверку её решения, причём проверять нужно соответствие полученного ответа условию задачи, а не составленным уравнениям.

5 этап. Ответ.

Цель: записать правильный ответ, удовлетворяющий всем

описанным условиям задачи и отвечающий на её

«главный вопрос».

Рассмотрим полное решение задачи по указанной схеме.

В ходе выполнения задания курсивом выделим ту часть рассуждений, которая предназначена для записи при оформлении полного решения задачи письменно и подчеркнём фразы, которые универсально используются в записи решения большинства задач. Все «мысли вслух», пояснения, которые обычно проговариваются устно, «высказаны» обычным шрифтом. Учить правильному оформлению решения задачи обязательно нужно, так как через это у школьников, во-первых, развивается логика мышления и математическая письменная речь, во-вторых, вырабатывается навык аргументировать каждый шаг решения и, в-третьих, исключается возможность списывания и непонимания хода решения.

Задача. Из пункта А в пункт В, расположенный в

24км от А, одновременно отправились пешеход

и велосипедист. Велосипедист прибыл в пункт

В на 4 часа раньше пешехода. Известно, что

если бы велосипедист ехал с меньшей на

4 км/ч скоростью, то на путь из А в В он

затратил бы вдвое меньше времени, чем

пешеход. Найти скорость пешехода.

Решение.

1 этап. Арифметическая краткая запись.

v t S

1 условие Пешеход ?км/ч ?ч 24км

движения Велосипедист ?км/ч ?ч, на 4ч< 24км

2 условие Пешеход ?км/ч ?ч 24км

движения Велосипедист ?км/ч, на 4км/ч< ?ч, в 2раза< 24км

«Главным вопросом» задачи является скорость пешехода, так как её требуется найти (по тексту задачи).

2 этап. «Легенда» или алгебраическая

краткая запись.

Поскольку путь от А до В известен, то неизвестные величины - скорости пешехода и велосипедиста и время их движения. Так как «главный вопрос» задачи - скорость пешехода, то обозначим за переменные скорости, а время выразим через введенные неизвестные.

Пусть хкм/ч - скорость пешехода,

укм/ч - скорость велосипедиста, тогда

Факт Пешеход хкм/ч 24/х ч 24км

движения Велосипедист укм/ч 24/у ч, на 4ч< 24км

План Пешеход хкм/ч 24/х ч 24км

движения Велосипедист (у-4)/ч 24/(у-4)ч, в 2р< 24км

В задаче описаны два условия движения пешехода и велосипедиста, значит, получим два уравнения «увязанные» с изменением времени движения.

3 этап. Составление и решение системы

уравнений.

По условию задачи велосипедист прибыл в пункт В на 4часа раньше пешехода, значит, 24/х - 24/у = 4 и, если бы велосипедист ехал с

меньшей на 4км/ч скоростью, то на путь из А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход, значит, 2 24/(у-4) = 24/х.

Решим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

24/x-24/y =4,

2 24/(y-4) =24/x.

Второе уравнение эквивалентно линейному уравнению

2x = y - 4 => y = 2x + 4,

Подставляя алгебраическое выражение у в первое уравнение, получим уравнение с одной переменной

24/x - 24/(2x + 4) = 4,

Приведем уравнение к виду P(x)/Q(x) = 0, затем вновь полученное дробно-рациональное уравнение с нулем в правой части заменим равносильной системой P(x) = 0,

Q(x) ≠0 - ОДЗ.

(24(х + 2) - 12х - 4х(х + 2))/(х(х + 2)) = 0,

24(х + 2) - 12х - 4х(х + 2) = 0,

х(х + 2)≠ 0 - ОДЗ.

Х² - х - 12 = 0;

По теореме Виета х₁ х₂ = -12,

Х₁ + х₂ = 1.

Получаем два решения первого уравнения системы:

Х₁ = 4 € ОДЗ, х₂= -3 ОДЗ.

Оба решения удовлетворяют неравенству системы, то есть ОДЗ дробно - рационального уравнения.

4 этап. Анализ решения системы уравнений.

По смыслу задачи х - положительное число,

х = -3<0 => постороннее решение,

х = 4>0 => 4км/ч скорость движения пешехода.

Проверка решения задачи.

Она часто бывает полезна, но не обязательна.

В задаче поставлены четыре условия существования искомой величины - скорости пешехода:

1 условие - расстояние между пунктами А и В 24км;

2 условие - время движения велосипедиста меньше времени движения

пешехода на 4часа;

3 условие - изменённая скорость велосипедиста на 4км/ч меньше фактической скорости;

4 условие - изменённое время движения велосипедиста в 2 раза меньше времени движения пешехода.

Для проверки достоверности решения допустим выполнение двух из них при найденном решении задачи. Если два других условия при этом

выполнятся, то будем считать, что задача решена верно. Если два других условия не выполнятся, то решение найдено неверно.

24км:4км/ч = 6ч - время движения пешехода; (использовали 1 условие)

6ч - 4ч = 2ч - время движения велосипедиста; (использовали 2 условие)

24км:2ч = 12км/ч - скорость движения велосипедиста;

12км/ч - 4км/ч = 8км/ч - изменённая скорость велосипедиста;

24км:8км/ч = 3ч - изменённое время движения велосипедиста; (выполнено 3 условие)

6ч:3ч = 2(раза) - отношение времени движения пешехода и велосипедиста; (выполнено 4 условие)

Все условия задачи выполнены =>скорость пешехода 4км/ч найдена верно.

5 этап. Ответ.

Ответ: 4км/ч.

Тема 2. Задачи на движение.

«Философия» решения задач на движение очень проста: с использованием формул S = vt ( для равномерного движения ), реже S=v t + at² /2 (для равноускоренного или равнозамедленного движения), условия задачи переписываются (моделируются) уравнениями и неравенствами, а необходимая величина ( величины ) находится из полученных уравнений и неравенств. Здесь S - путь, v - скорость при прямолинейном движении, t - время, v - начальная скорость, а - ускорение при равноускоренном (равнозамедленном) движении.

Значительно облегчает решение некоторых задач на движение использование физического смысла производной, если учащиеся знакомы с этим понятием. Задачи такого типа рассматриваются по усмотрению учителя в зависимости от уровня подготовки аудитории. Здесь необходимо напомнить, что скорость v(t) - это есть производная функции S(t), выражающей зависимость расстояния от времени, то есть v(t) = S`(t), ускорение a(t) - это есть производная функции v(t), выражающей зависимость скорости от времени, то есть a(t)=v`(t).

Если не оговорено противное, то в задачах на движение принимаются следующие допущения:

• все соизмеримые величины должны быть переведены в единые единицы измерения;

• движение на отдельных участках считается равномерным;

• повороты движущихся тел считаются мгновенными, скорость при этом также меняется мгновенно;

• при движении по течению скорость тела равняется v₁ +v₂ , где v ₁ - собственная скорость тела ( скорость тела в стоячей воде ), v ₂ - скорость течения; при движении против течения скорость тела равняется v₁ - v₂ ; скорость движения плота всегда совпадает со скоростью течения;

• в качестве неизвестных чаще всего удобно выбирать расстояние и скорости движущихся тел (если они не заданы).

Любую задачу можно свести к двум типичным ситуациям: два тела движутся навстречу друг другу, либо одно тело догоняет другое. Если два тела движутся по прямой и расстояние между ними равно S, а скорости v₁ и v₂ ( v₁ > v₂ ), то при движении навстречу друг другу время, через

которое они встретятся, равно S/(v₁ + v₂ ); при движении тел в одном

правлении время, через которое одно тел догонит второе, скорость которого меньше, равно S/( v₁ - v₂ ). Если два тела движутся по кольцевой замкнутой линии длиной S в одном направлении со скоростями v₁ и v₂ ( v₁ >v₂ ), то в какой-то момент тело, движущееся с большей скоростью, оказывается как бы сзади тела, которое движется с меньшей скоростью. Возникает необычная ситуация, когда тело, находящееся «впереди», как бы догоняет тело, находящееся «сзади». В этой своеобразной ситуации полезно учитывать следующее соображение: если первое из одновременно начавших движение из одной точки тел в первый раз догоняет второе, то оно проходит расстояние, на один круг большее, чем второе тело; если оно догоняет его во второй раз, то оно проходит расстояние, на два круга большее, чем второе тело и так далее. Время между встречами тел, движущихся в одном направлении, вычисляется по формуле S/(v₁ - v₂ ). Если два тела движутся в разных направлениях по кольцевой замкнутой линии, то эта ситуация после их очередной встречи практически ничем не отличается от случая движения двух тел навстречу друг другу по прямолинейной трассе, то есть время между встречами вычисляется по формуле S/(v₁ +v₂ ).

Значительно упрощает решение некоторых задач на движение использование графического изображения функций, описывающих условие задачи. График позволяет наглядно представить ситуацию, описанную в задаче. Также он позволяет найти и составить новые уравнения, описывающие условие задачи, а иногда и просто заменить алгебраическое решение геометрическим.

Рассмотрим примеры решения задач на движение, используя вышеупомянутые методические рекомендации.

Задача 1.(Движение по течению и против течения).

От пристани А до пристани В моторная

лодка по течению реки проходит за 6 часов, а

возвращается за 10 часов. За сколько часов пройдёт

расстояние от А до В плот?

Решение.

v t S

По течению ?км/ч 6ч ?км АВ

Против течения ?км/ч 10ч ?км АВ

Лодка ?км/ч - -

Течение (плот) ?км/ч ?ч ?км АВ

Пусть Sкм - расстояние АВ, v₁ км/ч - собственная скорость лодки, а v₂ км/ч - скорость течения реки (плота), тогда

По течению (v₁ + v₂ )км/ч S/(v₁ + v₂ )ч = 6ч Sкм

Против течения (v₁ - v₂ )км/ч S/(v₁ - v₂ )ч = 10ч Sкм

Лодка v₁ км/ч ----- ----

Течение (плот) v₂ км/ч S/v₂ ч Sкм

По условию задачи лодка по течению реки проход расстояние АВ за 6 часов, а возвращается за 10 часов, значит,

Составим систему уравнений и выразим из неё искомую величину S/v .

S/(v₁ + v₂ ) = 6 (v₁ + v₂ )/S = 1/6 v₁/S + v₂ /S = 1/6,

S/(v₁+ v₂) = 10;  (v₁ - v₂ )/S = 1/10;  v₁/S - v₂ /S = 1/10;

Вычтем из первого уравнения второе.

2v₂ /S = 1/6 + 1/10  2v₂ /S = 1/15 (: 2)  v₂ /S = 1/30  S/v₂ = 30.

По смыслу задачи искомая величина S/v₂ >0,

S/v₂ = 30 > 0 - верно, => 30 часов - время движения плота от пристани А до пристани В.

Ответ: 30 часов.

Задача 2. (Равномерное движение двух тел навстречу

друг другу по прямой линии.)

Два пешехода выходят одновременно из пунктов

А и В навстречу друг другу. Один пребывает в В

через 27 минут после встречи, а другой в А - через

12 минут после встречи. Сколько минут был в пути

пешеход, прибывший в пункт В?

Решение.

Аv₁ км/мин t₂ = 12мин  P  t₁ = 27мин v₂ км/мин B

[-----------------------------------------{}-------------------------------------]

[------------------------------ T₁ = ? мин  -------------------------------]

1способ. Пусть v₁ км/мин, v₂ км/мин - скорости соответственно первого и второго пешеходов, тогда

v t S

1 пешеход v₁ км/мин 27 мин 27 v₁км РВ

2 пешеход v₂ км/мин 12 мин 12 v₂км АР

1 пешеход v₁ км/мин (27 v₁+12 v₂)/v₁ мин (27 v₁+12v₂ )км АВ

Преобразуем выражение искомой величины (27 v₁+12 v₂ )/v₁=27 +12 v₂ /v₁ . Задача свелась к нахождению отношения скоростей v₂/v₁.

По условию задачи расстояние АР, пройденное первым пешеходом от начала движения до встречи за время (12 v₁ +27 v₂ )/(v₁+ v₂ )мин,

равно расстоянию АР, пройденному вторым пешеходом за 12 мин от

момента встречи до прихода в пункт А, значит, решим уравнение

(27 v₁+12v₂ )v₁/(v₁+v₂) = 12v₂ ( (v₁ +v₂))

27v₁² +12v₂v₁ = 12v₁v₂ +12v₂² 27v₁² = 12v₂² (:12v₁²)

( v₂/v₁ )² = 9/4 => v₂ /v₁ =3/2 или v₂ /v₁ = -3/2.

По смыслу задачи отношение скоростей v₂ /v₁ >0,

v ₂ /v₁ = -3/2 > 0 - неверно => постороннее решение;

v₂ /v₁ = 3/2 > 0 - верно => 3/2 - отношение скоростей пешеходов.

Вычислим искомую величину - расстояние АВ.

27 + 12 3/2 = 27 + 18 = 45 (мин) - время прохождения первым пешеходом расстояния от А до В.

2 способ. Пусть S км - расстояние от А до В, t мин - время от начала движения пешеходов до их встречи, тогда

v t S

1 пешеход S/(t + 27)км/мин (t + 27)мин S км АВ

2 пешеход S/(t +12)км/мин (t +12)мин S км АВ

1 пешеход S/(t + 27)км/мин 27 мин 27 S/(t +27) км АР

2пешеход S/(t + 12)км/мин 12 мин 12 S/(t +12) км РВ

По условию задачи расстояние АВ равно сумме расстояний АР и РВ, пройденных обоими пешеходами после их встречи, значит, решим уравнение

27 S/(t +27) + 12 S/(t +12) = S ( (t +27)(t +12)/S) 

 27(t +12) + 12(t +27) = (t +27)(t +12) =>

• t = 12 27,

t = -18 или t =18.

По смыслу задачи время t > 0,

t = -18 > 0 - неверно => постороннее решение;

t = 18 > 0 - верно => 18 мин - время движения пешеходов до их встречи.

18 + 27 = 45 (мин) - время пребывания в пути пешехода при движении из пункта А в пункт В.

Ответ: 45 минут.

Задача 3. (Равномерное движение по прямолинейной

трассе.)

Два мальчика стартовали по беговой дорожке

длиной 50м с интервалом в одну секунду. Мальчик,

стартовавший вторым, догнал первого в 10м от

линии старта, добежал до финиша и с той же

скоростью побежал обратно. На каком расстоянии

от линии финиша он встретил первого мальчика

на своём обратном пути, если известно, что эта

встреча произошла через 10 секунд после старта

первого мальчика?

Решение.

Cтарт

C t = 1с S

|----- v₁ м --------------| v₁ =?м/с Ф

|--------------------------|-------------------------------------------------------------|

| v₂ =?м/с

|---------------------------- 50м -----------------------------------------------------|

1 встреча

C Р  v₁ Ф

|---------------------------------|------------------------------------------------------|

|--------- 10м ------------------|  v₂ 2 встреча

С t=10c В  v₁ Ф

|------------------------------------------------------|---------------------------------|

v₂ |--------- ? м ------------------|

Пусть v₁ м/с, v₂ м/с - скорости первого и второго мальчиков соответственно, а L м - искомое расстояние, тогда

v t S

1 встреча 1 бегун v₁ м/с 10/v₁ с, на 1с >чем -| 10 м

2 бегун v₂ м/с 10/v₂c  | 10 м

2 встреча 1 бегун v₁ м/с 10с 10v₁ =(50 - L) м

2 бегун v₂ м/с 9с 9v₂ =(50 + L) м

По условию задачи первая встреча произошла в 10м от линии старта и время от начала движения второго мальчика до первой встречи равно v₁/(v₂ - v₁ ), значит, v₁v₂ /(v₂ -v₁ )=10. Вторая встреча произошла через 10 секунд после начала движения первого мальчика, к этому моменту он пробежал 10v₁ м, значит,10v₁=50 -L. Второй мальчик к моменту второй встречи пробежал 9v₂м, значит, 9v₂=50+L.

Решим систему из трёх уравнений:

V₁v₂ /(v₂ - v₁ ) = 10,

10v₁ = 50 - L,

9v₂ = 50 + L.

Исключим из системы L, сложив второе и третье уравнения системы:

V₁v₂=10v₂-10v₁, 9v₁v₂ =90v₂ - 90v₁,

10v₁+9v₂=100.  9v₂ =100 - 10v₁.   v₁(100-v₁)=10(100-10v₁)-90v₁ 10v₁²-290v₁+1000 = 0  v₁² -29v₁+100 = 0

V₁ = 4 или v₁ = 25.

По смыслу задачи расстояние L должно положительным числом,

L = 50-10v₁, 50 - 250 = -200<0=> v₁=25 - постороннее решение;

50 - 40 = 10>0=> v₁=4км/ч - скорость первого мальчика.

10км - расстояние от линии финиша до места второй встречи.

Ответ: 10км.

Задача 4. (Движение тел по окружности или по

замкнутой трассе.)

Два спортсмена стартуют одновременно

из одной точки кольцевой дорожки длиной 2км

в одном направлении. Первый бегун впервые

догнал второго в точке старта, сделав 4 круга, а

во второй раз - спустя час после первой встречи.

Найти скорости бегунов.

Решение.

В задаче даны два условия: движение двух тел в одном направлении по окружности длиной 2 км и равномерное движение одного тела, сделавшего 4 круга до первой встречи и затратившего 1час на пробег от первой встречи до второй. Во втором условии скрыто ещё одно неявное условие, вытекающее из знания законов физики: при равномерном движении тело за одинаковые промежутки времени проходит одинаковые расстояния и наоборот, значит, второе тело 4 круга преодолело за 1 час, таким образом, тела будут встречаться через каждый 1 час.

Пусть v₁ км/ч, v₂ км/ч - скорости первого и второго бегунов соответственно, тогда по формуле движения по окружности

2/(v₁ - v₂)=1 и по формуле равномерного движения по прямой для первого бегуна имеем (4х2)/v₁=1.

Решим систему уравнений:

2/(v₁ - v₂)=1,

(4x2)/v₁=1.

V₁=8, v₂=6.

По смыслу задачи v₁ и v₂ - положительные числа,

V₁ =8 > 0 => 8 км/ч - скорость первого бегуна.

V₂ =6> 0 => 6 км/ч - скорость второго бегуна.

Ответ: 8 км/ч, 6км/ч.

Задача 5. (Графический способ решения с

применением элементов геометрии.)

Из пункта А в пункт В вышел

пешеход. Вслед за ним через 2часа из пункта

А выехал велосипедист, а ещё через 30 минут -

мотоциклист. Пешеход, велосипедист и

мотоциклист двигались равномерно без

остановок. Через некоторое время после выезда

мотоциклиста оказалось, что к этому моменту

времени все трое преодолели одинаковую

часть пути от А до В. На сколько минут

раньше пешехода в пункт В прибыл

велосипедист, если пешеход прибыл в пункт

В на 1час позже мотоциклиста?

Решение.

Ситуацию, описанную в задаче, изобразим графически. По оси

абсцисс будем отмечать время движения каждого тела, выраженное в часах, а по оси ординат - расстояние, выраженное в километрах. Движение равномерное, значит, графиками будут отрезки, причём все три отрезка пересекутся в одной точке, так как все трое к одному моменту времени преодолели одинаковую часть пути.

Построим графики движения пешехода пп₁, велосипедиста вв₁,

мотоциклиста м м₁.

Пусть в ₁п₁ = х часов - время, на которое велосипедист прибыл раньше пешехода, тогда из подобия пар треугольников впО и в₁п₁О,

мОп и м₁Оп₁ имеем

пО/п₁О = вп/в₁ п₁,пО/п₁О =мп/м₁ п₁  вп/в₁п₁ = мп/м₁п ₁ х/2 = 1/2,5   x = 4/5.

По смыслу задачи х должна быть положительной величиной,

х=4/5 >0  4/5ч = 48 мин. - время, на которое велосипедист прибыл

раньше пешехода.

Ответ: 48 минут.

Задача 6. (Графический способ решения с

применением элементов геометрии.)

Три населенных пункта А, В и С

расположены на одной прямой трассе,

причём пункт В находится между А и В.

Из пунктов А и В по направлению к С

Одновременно выехали две машины. Через

5 часов расстояние между ними составило

треть расстояния ВС, а ещё через 5 часов

они одновременно прибыли в пункт С.

Найдите отношение скоростей автомобилей.

Решение.

Построим графики движений машин АК и ВК

в прямоугольной системе координат и рассмотрим треугольник АВК.

В треугольнике АВК средняя линия равна , значит, АВ=⅔s,тогда АС = =. Итак, , откуда .

Ответ : 5:3.

Тема 3. Задачи на проценты.

Процентом называют одну сотую часть числа: . Обозначают процент знаком .

Чтобы выразить число в процентах, достаточно это число умножить на 100 и поставить знак процентов .

Удобно сначала выразить число в виде десятичной дроби, а затем в этом числе перенести запятую на два знака вправо и поставить знак процентов.

Например: 4=4,00=400; ;

Выразите в процентах числа: 0,3; 0,003; 0,03; 0,0003; 3; 30; 300; 4,3; 4,03; 0,43; 0,403 .

Чтобы выразить проценты в виде десятичной дроби, достаточно число процентов разделить на 100.

Например: 300%=3; 36,7%=0,367; 9%=0,09; 0,1%=0,001 .

Выразите проценты в виде десятичной дроби: 140%; 125%; 60%; 12%; 8%; 1800%; 1,5%; 39,4%; 0,6%; 0,017%; 4,87% .

Чтобы найти несколько процентов от числа, надо проценты выразить дробью ,а затем найти дробь от данного числа.

Например: найти 13% от 60.

13% от 60 равны или 0,13 от 60, поэтому 60∙0,13 = 7,8.

Найдите 5% от 152; 16% от 240; 75% от 900; 32% от 25,6.

Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби и решить задачу на нахождение числа по данной его дроби.

Например: найти число, 35% которого равны 700.

Число 700 составляет 35%, или или 0.35 от неизвестного числа. Найдем это число: 700:0,35=2000.

Найдите число, если а)70% его равны 560; 6)18% его равны 90; в)225% его равны 900; г) 65% его равны 260.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо найти отношение этих чисел и выразить его в процентах.

Например: из 60 посаженных семян взошли 54. Определите процент

всхожести семян. 54 от 60 составляет ,

Задачи на проценты.

1. Семья Петровых взяла кредит в 2500 рублей на покупку те­левизора. Процентная ставка кредита равна 2% в месяц (процен­ты ежемесячно начисляются на всю сумму долга, включая начис­ленный в предыдущий месяц процент). Петровы выплатили весь кредит единовременно через полгода. В какую сумму обошелся им телевизор?

2. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 300 рублей после повышения цены на ручки на 10 % ?

3. Фирма шьет брюки и юбки. В январе было изготовлено 120-иэделий. В феврале брюк сшили на 25% меньше, чем в январе, а юбок на 50% больше, чем в январе, причем общее количество изделий не изменилось. Сколько юбок и сколько брюк было изготовлено в январе?

4. В апреле в буфете было продано 180 кг яблок и апельсинов. В мае яблок было продано на 30 % больше, чем в апреле, а апель­синов на 15% меньше, причем общая масса проданных яблок и апельсинов осталась той же. Сколько кг яблок и сколько кг апельсинов было продано в апреле?

Тема 4. Задачи на смеси, растворы, сплавы.

I. Основные понятия в задачах на смеси, растворы и сплавы

Прежде всего введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от ее вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т.д.). Смесь со­стоит из «чистого вещества» и «примеси». Что есть «чистое вещество», определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом все остальные вещества, составляющие смесь, относят к примеси. Долей (а) чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества (т) в смеси к обще­му количеству (М) смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема:

Отсюда получаем , .

Отметим, что , ввиду того, что . Случай соответствует отсутствию выб­ранного чистого вещества в рассматриваемой сме­си (m = 0), случай соответствует тому, что рассматриваемая смесь состоит только из чистого вещества (m = М). Понятие доли чистого веще­ства в смеси можно вводить следующей условной записью:

Процентным содержанием чистого вещества в смеси (с) называют его долю, выраженную про­центным отношением:

, .

При решении задач следует руководствоваться тем, что при соединении (разъединении) смесей с одним и тем же чистым веществом количества чи­стого вещества и общие количества смесей скла­дываются (вычитаются). Складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя.

II. Основные этапы решения задач

1. Выбор неизвестной (или неизвестных). Чаще всего в качестве неизвестных величин выбирают те, которые требуется найти, но иногда целесообразно обозначать неизвестными некоторые промежуточ­ные величины, через которые легко выражаются искомые.

2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигури­рующих в условии задачи, выбирается одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают ве­щество, о котором идет речь в требовании задачи, или вещество, о доле которого в условии содержит­ся больше всего информации. При этом, если - доля чистого вещества, то () - доля примеси.

3. Переход к долям. Если в задаче имеются про­центные содержания, их следует перевести в доли и в дальнейшем работать только с долями.

4. Отслеживание состояния смеси. На каждом этапе изменения смеси (добавление, изъятие) необходимо описывать состояние смеси с помощью трех основных величин m, M, .

5. Составление уравнения. В результате преоб­разований смеси, описанных в задаче, мы прихо­дим к ее итоговому состоянию. Оно характеризует­ся величинами m, M, , содержащими неизвес­тные. Уравнением, связывающим эти неизвестные, будет уравнение m =М.

В ходе осуществления этих этапов рекомендуем ввести следующую таблицу.

Таблица 1

Состояние

смеси

Количество чистого вещества (m)

Общее количество смеси (М)

Доля ()

1

2

…

Итоговое состояние

6. Решение уравнения (или их системы) и на­хождение требуемых величин.

7. Формирование ответа. Если в задаче требова­лось найти то или иное процентное содержание, то следует полученные доли перевести в процентные содержания.

Далее проиллюстрируем перечисленные этапы на примерах.

Задача 1. Масса первого сплава на 3кг больше

массы второго сплава. Первый сплав содержит

10% цинка, второй - 40% цинка. Новый сплав,

полученный из двух первоначальных, содержит

20% цинка. Определите массу нового сплава.

Решение.

Так как в задаче говорится о процентном содержании цинка в сплаве,

то за «часть» берём массу цинка, за «всего» - массу сплава.

Часть Доля Всего

(цинк) (сплав)

1 сплав ?кг 10%=0,1| ?кг, на 3кг>|

2 сплав ?кг ?кг 40%=0,4 | 20%=0,2 ?кг ?кг

1 способ решения.

Пусть х кг - масса второго сплава, тогда

1 сплав 0,1(х+3)кг 0,1| 0,2= (х+3)кг

2 сплав 0,4х кг [0,1(х+3)+0,4х]кг 0,4 | =(0,5х+0,3)/(2х+3) х кг (2х+3)кг

По условию задачи новый сплав содержит 20% цинка, значит,

решим уравнение 0,2=(0,5х+0,3)/(2х+3)  0,5х+0,3=0,2(2х+3) [2x+3=|=0]

0,1х=0,3  х=3.

По смыслу задачи х должно быть положительным числом,

х=3>0 - верно => х кг - масса второго сплава.

2х3+3=9(кг) - масса нового сплава

.

2. способ решения.

Пусть х кг - масса цинка в первом сплаве,

у кг - масса цинка во втором сплаве, тогда

1 сплав х кг 0,1| х/0,1 кг=10x кг, на 3кг>|

2 сплав у кг (х+у)кг 0,4| 0,2=(x+y)/(10x+2,5y) у/0,4 кг=2,5y кг | (10х+2,5у)кг

По условию задачи масса первого сплава на 3кг больше массы второго сплава, значит, 10х - 2,5у=3; новый сплав содержит 20% цинка, значит, 0,2=(х+у)/(10х+2,5у).

Решим систему уравнений:

10х - 2,5у=3, 10x - 2,5y=3, 10x - 2,5y=3,

0,2=(х+у)/(10х+2,5у).  10x +2,5y=5x+5y.  y=2x. 

 5x=3 => x=0,6.

y=2x0,6=1,2

По смыслу задачи х и у должны быть положительными,

х=0,6>0 - верно,| 0,6кг - масса цинка в первом сплаве.

y=1,2>0 - верно |=> 1,2кг - масса цинка во втором сплаве.

10х0,6+2,5х1,2=9(кг) - масса нового сплава.

Ответ: 9кг.

Задача 2. Для приготовления сахарного сиропа

нужно концентрации смешали два раствора.

В первом растворе в 4л воды размешано

13 столовых ложек сахара, а во втором -

в 6л воды - 17 столовых ложек. Сколько

столовых ложек сахара надо положить в 42л

воды, чтобы получить сахарный сироп такой

же концентрации?

Решение.

1 способ.

Решим задачу агебраически, то есть составлением уравнения, по приведённой выше схеме.

В данной задаче присутствуют различные единицы измерения объёма, что создаёт трудность в выражении объёма всего раствора. Введём две переменные и составим одно уравнение. В последствии увидим, что одна переменная «обнулится».

Пусть х литров сахара помещается в одной столовой ложке,

у столовых ложек сахара надо положить в 42л воды, тогда

Часть Доля Всего

(сахар) (сироп)

1 раствор 13х л 13х/(4+13х)| (4+13х)л

2 раствор 17х л 30х л 17х/(6+17x)| 30х/(10+30х) (6+17х)л (10+30х)л

Новый

раствор ху л ху/(42+ху) (42+ху)л

По условию задачи концентрации смеси двух растворов и нового

раствора равны, значит, решим уравнение относительно y

30х/(10+30х)=ху/(42+ху) [:x]  30/(10+30x)=y/(42+xy)

30(42+xy)=y(10+30x)  1260+30xy=10y+30xy 

• y=126.

По смыслу задачи у должно быть натуральным числом,

у=126 €N-верно => 126 столовых ложек сахара надо положить в 42л воды.

2. способ.

Эту же задачу можно решить арифметически, то есть не прибегая к составлению уравнения.

По условию задачи смешали два раствора различной концентрации

и получили один раствор, состоящий из (4+6)л воды и (13+17)столовых ложек сахара. Чтобы найти количество сахара в растворе той же концентрации, содержащем 30л воды, надо выполнить следующие действия:

42:(4+6)=4,2 - отношение количества воды планового и фактического;

(13+17)х4,2=126(ст.л.) - сахара надо положить в 42 л воды.

Ответ:126 столовых ложек.

Задача 3. Летом огурцы становятся дешевле, чем

зимой на 35%, а помидоры - на 60%. Поэтому овощи для салата летом обходятся на 50% дешевле, чем зимой. Сколько % от стоимости овощей для этого салата составляет летом стоимость входящих в него помидоров?

Решение.

Часть Доля Всего

(летом) (зимой)

Помидоры ?руб 100% -35%=65%=0,65| ?руб

Огурцы ?руб ?руб 100% -60%=40%=0,4|100% -50%=50%=0,5 ?руб ?руб

Пусть х руб стоимость помидоров летом, у руб стоимость огурцов летом, тогда

Помидоры х руб 0,65| 0,5= х/0,65 руб

Огурцы у руб (х+у)руб 0,4 |=(x+y)/(x/0,65+y/0,4) х/0,4 руб (x/0,65+y/0,4)pуб

По условию задачи надо найти % стоимости помидоров, входящих в салат летом, от стоимости салата, значит, надо найти значение выражения х/(х+у). Так как мы имеем одно уравнение с двумя переменными, то выразим у через х:

0,5=(х+у)/(х/0,65+у/0,4)

х+у=0,5(х/0,65+у/0,4) => 2x+2y=(40x+65y)/26 =>52x+52y=40x+65y =>

12x=13y => y=12x/13.

Подставим выражение вместо у в х/(х+у):

х/(х+12х/13)=13х/25х=0,52=52% - стоимость помидоров от стоимости салата летом.

Таким образом мы ответили на вопрос задачи не зная значений введенных переменных, что и определяет повышенный уровень сложности задания и характеризует его как нетрадиционное для школьников.

Ответ: 52%.

Задача 4. Имеются слитки трёх типов. Один слиток

первого типа весит 5кг и содержит 30% меди,

20% серебра и 50% золота. Один слиток второго

типа весит 2кг и содержит 40% меди, 30%

серебра и 30% золота, а один слиток третьего

типа имеет массу 1кг и содержит 50% меди,

20% серебра и 30% золота. Какое минимальное

количество слитков каждого типа потребуется,

чтобы, не разрезая их, получить сплав,

содержащий 37% меди, 23% серебра, и 40%

золота?

Решение.

Пусть п₁, п₂, п₃ - количество 1-го, 2-го и 3-го слитков соответственно требуется по условию задачи, тогда

Cu Ag Au масса слитка количество слитков

1сплав 30%=0,3 20%=0,2 50%=0,5 5кг п₁

2сплав 40%=0,4 30%=0,3 30%=0,3 2кг п₂

3сплав 50%=0,5 20%=0,2 30%=0,3 1кг п₃

Смесь 37%=0,37 23%=0,23 40%=0,4 5п₁+2п₂+п₃ 1

По условию задачи запишем систему уравнений материального баланса по меди и серебру (третье уравнение не является независимым, так как сумма концентраций в каждом сплаве равна единице):

0,3x5n₁ + 0,4x2n₂ + 0,5x1n₃ = 0,37(5n₁ +2n₂ +1n₃ ),

0,2x5n₁ + 0,3x2n₂ + 0,2x1n₃ = 0,23(5n₁ +2n₂ +1n₃ ). 

 35n₁ - 6n₂ -13n₃= 0,

15n₁ - 14n₂ +3n₃ = 0.

Так как имеем два уравнения, а неизвестных - три, из системы можно найти лишь отношение количества слитков. Исключая п₁, имеем

4п₂ = 3п₃ , => n₂ =3п₃ /4. Подставляя это соотношение в любое уравнение системы, для п₁ имеем п₁ =п₃ /2, то есть тройное отношение слитков

п₁ : п₂ : п₃ = ½ : ¾ :1 =2 : 3 : 4.

2. слитка первого типа,

3. слитка второго типа,

4. слитка третьего типа.

Ответ: 2 слитка, 3 слитка, 4 слитка.

Задачи

1). Имелось два сплава меди с разным содержанием меди в каждом. Содержание меди в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором сплаве. Затем оба сплава сплавили, после чего содержание меди составило 35%. Определите процентное содержание меди в сплаве если в первом сплаве 6 кг. меди, а во втором сплаве 12 кг меди.

Решение. Пусть x% меди содержится во втором сплаве, тогда в первом сплаве меди (x - 40)%. Масса первого куска кг, а второго куска кг, масса нового сплава кг.

Составим и решим уравнение

,

, ,

Д > 0,

Итак, во втором сплаве 60% меди тогда в первом: 60 - 40= 20 (%) меди.

Ответ: 20%, 60%.

2). Имеются два сплава из цинка, меди и олова. Первый содержит 25% цинка, второй - 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в два раза больше, чем во втором. Сплавив 200 кг. первого и 300 кг. второго, получили сплав, где 28% олова. Сколько кг. меди в этом новом сплаве ?

Решение. Пусть в одном кг. первого сплава x кг. олова. По условию в этом же кг. первого сплава 25% цинка, т.е. 0,25 кг. цинка. В этом кг сплава осталась ещё медь, её будет 1 - 0, 25 - X=0, 75 - X кг. В одном кг второго сплава 0,5 кг меди. По условию процентное содержание олова во втором сплаве в два раза меньше, чем в первом. Значит, в одном кг второго сплава олова в два раза меньше, чем в одном кг первого, т.е.кг.

Следовательно, в 200 кг первого сплава олова будет 200x кг, а в 300 кг второго сплава будет кг. Таким образом, олова в итоговом сплаве будет 200x+150x=350x кг. По условию в 500 кг итогового сплава 28% олова. Это составляет 140 кг. Значит, 350х=140, х=0,4. Поэтому, в одном кг первого сплава меди будет, 0,75 - х=0, 75 - 0, 4=0, 35 кг. Отсюда получаем, что в итоговом сплаве меди будет кг

Ответ: 220 кг.

3) Даны два сплава. Первый весит 4 кг и содержит 70 % серебра. Второй весит 3 кг и содержит 90% серебра. Сколько кг второго сплава надо сплавить со всем первым сплавом, чтобы получить r % сплав серебра? При каких r задача имеет решения?

Решение. В первом сплаве 4 : 100=2,8 кг серебра.

Пусть надо взять х кг второго сплава (в нем будет 0,9х кг серебра чтобы, сплавив его со всем первым сплавом, получить такой сплав, как требуется. Весь сплав будет весить (х+4) кг. Серебра в нем будет (2,8 + 0,9х) кг.

По условию

Отсюда ,где , тогда

Ответ: , при

4). Один вид железной руды содержит 72% железа, а другой - 58%. Некоторое количество руды первого вида смешали с некоторым количеством руды второго вида и получили 62%-ный сплав. Если бы для смеси взяли руды каждого вида на 15 кг больше, то получилось бы руда, содержащая р% железа. Сколько кг первой и второй руды было взято для составления первой смеси?

Решение. Пусть руды первого вида взяли у кг, а руды второго вида х кг. Тогда в руде первого вида содержится у: кг железа в руде второго вида х: 100

Масса сплава (х + у) кг, он содержит 62% железа, то составим уравнение

, , , , ,

5). Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов 1:2. В другом - 2:3. Сколько граммов нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 19г сплава, в котором золото и серебро в отношении 7:12?

Решение. 1сплав 2 сплав

1:2 2:3

х г 19 - х

Новый сплав 19г

7:12

Получим

Итак, от первого сплава надо взять 9г, а от второго 19-9=10 г.

Ответ: 9г и 10 г.

6). В двух одинаковых сосудах, объемом по 30 л каждый, содержится всего 30 литров спирта. Первый сосуд доливают доверху водой и полученной смесью дополняют второй сосуд, затем из второго сосуда отливают в первый 12 л новой смеси. Сколько спирта было первоначально в каждом сосуде, если во втором сосуде оказалось на 2 л спирта меньше, чем в первом?

Решение. Пусть в первом сосуде было х л спирта, тогда во втором (30 - х) литров. После доливания первого сосуда водой в 1 л полученной смеси содержалось х:30 спирта и ( 1- х:30) воды. Для заполнения второго сосуда в него необходимо долить х л смеси из первого сосуда. Тогда спирта во втором сосуде станет ( 30 - х+) и воды () л.

После этого во втором сосуде 1 литр смеси содержит спирта. Если 12 л этой смеси отлить в первый сосуд, то в нем станет () литров спирта

А во втором сосуде ()литров спирта.

По условию задачи

Если х=20, то 30 - 20 = 10.

Если х=10, то 30 - 10 = 20.

Ответ: В оном сосуде было 20 литров, а в другом - 10 литров спирта.

7). Два одинаковых сосуда наполнены спиртом. Из первого сосуда отлили р литров спирта и налили в него столько же воды. Затем из полученной смеси воды со спиртом отлили р литров и налили столько же литров воды. Из второго сосуда отлили 2р литров спирта и налили столько же воды. Определите, какую часть объема сосуда составляют р литров, если крепость окончательной смеси в первом сосуде в 25/16 раза больше крепости окончательной смеси во втором.

Решение. Пусть v л объем каждого из сосудов. Запишем утечку спирта из первого сосуда на каждом из этапов.

Было v л спирта, отлили р л, осталось (v - р) л спирта в v л раствора ( т.к. вместо отлитого спирта долили столько же воды).

Было (v - р) л спирта в v л раствора. Отлили снова р л, но уже не спирта, а раствора. Мы должны выяснить, сколько чистого спирта отлили во второй раз. Для этого надо вычислить, сколько литров спирта содержится в р л раствора.

В v л раствора ( v - р) л спирта.

В 1 л раствора л спирта

В р л раствора л спирта

Итак, на втором этапе отлили л спирта. Значит в сосуде сталось л спирта.

Во втором сосуде осталось л спирта.

Крепость смеси просто концентрация спирта в ней, т.е. отношение объема спирта в смеси к объему всей смеси. Отсюда получаем уравнение

из которого надо найти . Разделим на обе части уравнения и вынесем за скобки в левой части (v - р), а в правой (v - р):

Ответ:

ЗАДАЧИ НА СМЕСИ, СПЛАВЫ, РАСТВОРЫ.

1). Сколько граммов воды нужно добавить к 600 г раствора, содержащего 15 % соли, чтобы получился 10%-ный раствор соли?

2). Сколько граммов воды нужно добавить к 120 г раствора, в котором содержится 30 % сахара, чтобы получить раствор, содержащий 20% сахара?

3). Кусок сплава массой 700 г, содержащий 80% олова, сплавили с куском олова весом 300 г. Определите процентное содержание олова в полученном сплаве.

4). Имеется 500 г 40% -ного раствора кислоты. Сколько воды потребуется добавить, чтобы получился 25%-ный раствор кислоты?

5). Сплав состоит из меди (50%), цинка (40%) и алюминия (10%). Сколько надо взять указанных металлов для получения 35 кг сплава?

6). Сплав состоит из алюминия (83%), цинка (10) и олова (7%). Чему равна масса сплава, в котором цинка взято на 2,7 кг больше, чем олова?

Тема 5. Задачи с экономическим содержанием

Сложные задачи на проценты.

1). Цену товара увеличили на 10%, а затем еще на 10%. На сколько процентов увеличили цену товара за два раза?

Решение: Пусть первоначальная цена товара х руб. Увеличим ее на 10%: х+0,10х=1,10х.

Чтобы увеличить цену на 10%,можно умножить ее на 1,10. Увели­чим вторую цену еще на 10%: 1,1х∙1,1=1,21х.

В результате двух изменений цена увеличилась на 1,21х-х=0,21х что составляет 21% от х. Итак, за два раза цена увеличилась на 21%.

2). Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 руб., доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через: а) 1месяц, б) 2месяца, в) 3месяца.

Решение: а) Через 1 месяц вложенная сумма обратится в 300+300∙0,04=300.1,04=312 (р).

б) 3а второй месяц 312р. увеличатся в 1,04 раза: 312∙1,04=324,48 (р.). Тот же результат можно получить иначе: 300∙1,04²=324,48 (р.).

в) Через 3 месяца первоначальный вклад увеличится в 1,04³ раза и составит 300∙1,04³=337,4592 (р.).

3) Длину прямоугольника уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить ширину прямоугольника, чтобы его площадь не изменилась?

Решение: Пусть длина прямоугольника х, ширина у. Длина стала равна 0,8х=. Чтобы площадь х∙у не изменилась, надо длину умножить на ширину = 1 .25у, т.е. надо увеличить ширину на 25%.

4) Подарочный набор состоит из трех сортов конфет. Массы конфет первого, второго и третьего сортов в этом наборе относятся как 3:5:14. Массу конфет первого сорта увеличили на 17%, а второго - на 15%. На сколько процентов надо уменьшить массу конфет третьего сорта, чтобы масса всего набора не изменилась?

Решение: Пусть 1 часть х, тогда конфет было 1 сорта- 3х, 2 сорта- 5х, 3 сорта- 14х. Стало 1 сорта-1,17•3х=3,51х, 2 сорта- 1,15•5х=5,75х, 3 сорта- у•14х=14ху.Так как масса всего набора не изменилась, то 3х+5х+14х=3,51х+5,75х+14ху;

12,74х=14ху; у=0,91. Значит массу третьего сорта надо уменьшить на 9%.

Тема 6. Задачи на работу.

В задачах на работу используется формула V = W t, где V - объём работы, W - производительность ( скорость выполнения работы ), t - время

выполнения работы. Эти задания имеют много общего с задачами на движение, если рассматривать производительность как скорость выполнения работы. Бывает так, что в тексте не выражена работа в единицах измерения. В таком случае удобней ввести самим единицу работы, равную всей работе. Тогда производительность есть часть всей работы, выполненная за единицу времени. Необходимо следить за тем, чтобы единицы времени были одни и те же на протяжении всего решения задачи.

Задачи на трубы, из которых что-то льётся, есть также задачи на работу. Здесь производительность трубы - это объём жидкости, протекающей через неё за единицу времени.

Среди задач на работу бывают такие, где решающую роль играют данные, являющиеся целыми числами. В таких заданиях чаще всего используется делимость и тот факт, что если m и n - целые числа со свойством |m - n|<1,то m=n.

В задачах на работу за неизвестные, как правило, надо принимать производительность.

Рассмотрим несколько ключевых задач по этой теме.

Задача 1. Двум операторам поручили на компьютере

набрать текст рукописи объёмом 288 страниц.

Один оператор взял себе 168 страниц книги,

отдав остальные страницы второму. Первый

оператор выполнил свою работу за 21 день, а

второй свою - за 12 дней. Сколько страниц

рукописи первый оператор должен был передать

дополнительно второму, чтобы они работая с

прежней производительностью выполнили свою

работу за одинаковое число дней.

Решение.

Пусть х страниц рукописи первый оператор должен был дополнительно передать второму, тогда

Производительность Время Работа

БЫЛО

1 оператор 168стр/21д=8стр/д 21д 168стр

2 оператор 120стр/12д=10стр/д 12д 288стр-168стр=120стр

СТАЛО

1 оператор 8стр/д (168 - х)/8 д (168 - х)стр

2 оператор 10стр/д (120 + х)/10 д (120 +х)стр

По условию задачи операторы выполняют свою работу за одинаковое число дней, значит, решим уравнение

(168 - х)/8=(120 +х)/10 (х2),

840 - 5х = 480 + 4х,

9х = 360 (:9),

х =40.

По смыслу задачи х - натуральное число,

х =40 N - верно => 40 страниц должен дополнительно передать первый оператор.

Ответ: 40страниц.

Задача 2. При разгрузке баржи сначала 2 часа

Действовали четыре подъёмных крана одинаковой

мощности. Затем добавочно ввели в действие

ещё два крана меньшей, но одинаковой мощности.

После этого для окончания разгрузки потребовалось

ещё три часа. Если бы все эти краны работали

одновременно, то разгрузка была бы произведена

за 4,5 часа. Если бы один кран большей и один

кран меньшей мощности работали совместно, то за

какое время они разгрузили бы баржу?

Решение.

Пусть объём работы составляет 1 ед, w₁ед/ч - производительность

одного крана большей мощности, w₂ед/ч - производительность одного

крана меньшей мощности, тогда

Производительность Время Работа

БЫЛО

Больший кран 4w₁ ед/ч 2ч+3ч=5ч 5х4w₁ ед

Меньший кран 2w₂ ед/ч 3ч 3х2w₂ ед 1 ед

СТАЛО

Больший кран 4w₁ ед/ч 4,5ч 4,5х4w₁ ед

Меньший кран 2w₂ ед/ч 4,5ч 4,5х2w₂ ед 1 ед

По условию задачи в ситуациях «было» и «стало» краны выполняют весь объём работы, значит, решим систему уравнений:

20w₁ +6w₂ = 1,[х( -3)] -60w₁ -18w₂ =-3,

18w₁ +9w₂ =1.[x2]  36w₁ +18w₂ = 2. 

-24w₁ = -1, w₁ =1/24,

18w₁ +9w₂ =1.  w₂ =1/36.

По смыслу задачи w₁ и w₂ должны быть положительными числами,

W₁ =1/24>0 -верно 1/24 ед/ч - производительность большего крана,

W₂ =1/36>0 - верно => 1/36 ед/ч - производительность меньшего крана.

Чтобы найти время разгрузки баржи при условии одновременной работы одного крана большей мощности и одного крана меньшей мощности, надо найти отношение объёма работы к сумме мощностей двух кранов, т.е.

1/(w₁ +w₂) = 1/(1/24 +1/36)ч=72/5ч=14ч 24мин

Ответ: 14ч 24мин.

Задача 3. К бассейну объёмом 300м³ подведены три

трубы: через первую и вторую вода поступает в

бассейн, через третью выливается из него. Если

все трубы открыты одновременно, то количество

воды в бассейне увеличивается ежеминутно на

20м³. Бассейн начали наполнять водой, открыв

первую и третью трубы. Более чем через 12 мин

работы в бассейне оказалось 100м³ воды. В этот

момент первую и третью трубы закрыли и

открыли вторую, завершившую наполнение

бассейна. Всего на наполнение было затрачено

30 мин. Определить, за какое время наполнился

бы бассейн, если бы его с начала до конца

наполняла только вторая труба?

Решение.

Пусть х м³/мин, у м³/мин, -к м³/мин - производительность первой, второй и третьей труб соответственно, t мин - время заполнения 100м³, тогда

Производительность Время Объём

1 условие

1 труба х м³/мин 1мин х м³

2 труба у м³/мин 1мин у м³ 20м³ 3 труба -к м³/мин 1мин - к м³

2 условие

1 труба х м³/мин t мин>12мин tx м³

3 труба -к м³/мин t мин>12мин -кt м³ 100м³

3 условие

2 труба у м³/мин (30 - t)мин у(30 - t)м³=200м

По условию задачи решим систему уравнений:

х+у -к =20,

(х - t)x = 100,

(30 - t)y = 200.

Выразим из второго уравнения x - k = 100/t, из третьего уравнения y = 200/(30 - t) и подставим в первое уравнение. Получили квадратное

yравнение t² - 25t + 150 = 0,

t₁ = 15, t₂ = 10.

По смыслу задачи t должно быть больше 12,

t = 10>12 -неверно => посторонний корень;

t = 15>12 - верно => 15мин - время заполнения 100м³.

200/(30 - 15) = 40/3 (м³/мин) - производительность второй трубы.

300/(40/3) = 22,5 (мин) - время работы второй трубы для полного заполнения бассейна

В этой задаче показано, что не всегда из составленной системы уравнений нужно находить все неизвестные. Ищем значения лишь тех переменных (или комбинаций переменных), которые требуются содержанием задачи.

Ответ:22,5мин.

Задача 4. На заводе несколько одинаковых поточных

линий вместе выпускали в день 15000 банок

консервов. После реконструкции все поточные

линии заменили на более производительные, а их

количество увеличилось на 5. Завод стал выпускать

Сколько линий было первоначально?

Решение.

Пусть х поточных линий было первоначально, к банок в день первоначальная производительность, п банок в день новая производительность линии, тогда

Производительность Количество линий Всего

Было к б/д х л кх б=15000б

Стало п б/д (х+5)л п(х+5)б=33792б

По условию задачи решим систему уравнений:

кх =15000,

п(х+5) =33792.

По смыслу задачи к, х, п должны быть натуральными числами и п>к , значит, переберём возможные варианты решений.

Разложим правые части на множители: 15000 =2³5⁴3, 33792=2¹⁰3х11.

Ясно, что искомое число х есть один из делителей числа 15000, то есть само может делиться лишь на 2, 3 и 5. Заметим, что х не делится на 5, так как в противном случае х+5 тоже делится на 5 и, тем самым, число

33792, которое делится на х+5, делилось бы на 5, что неверно. Ну а делители числа 15000, не делящиеся на 5, уже легко исследовать перебором. Это числа 1, 2, 4, 8, 3, 6. 12, 24.

Пусть х =1, тогда к= 15000, х+5 =6, п=33792:6=5632<k - противоречие.

Пусть х =2, тогда х+5 = 7, но 33792 не делится на 7 - противоречие.

Пусть х=4, тогда х+5 =9, но 33792 не делится на 9 - противоречие.

Пусть х =8, тогда х+5 =13, но 33792 не делится на 13 - противоречие.

Пусть х=3, тогда х+5 =8, к=5000, п=33792:8=4224<k -противоречие.

Пусть х=6, тогда х+5 =11, к=2500, п=33792:11=3072>k - удовлетворяет условию.

Пусть х=12, тогда х+5=17, но 33792 не делится на 17 - противоречие.

Пусть х=24, тогда х+5=29, но 33792 не делится на 24 - противоречие.

Итак, первоначально было 6 поточных линий.

Ответ: 6 линий.

Тема 7. Задачи на прогрессии.

Задача 1. Пятый член ар прог равен 8,4 , а её десятый член равен 14,4. Найдите пятнадцатый член этой прогрессии.

Задача 2. Найдете сумму членов арифметической прогрессии с тридцатого по тридцать пятый включительно,если Аn=3n+5.

Задача 3. При делении девятого члена арифметической прогрессии на второй член в частном получается 5, а при делении тринадцатого члена на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый член и разность прогрессии.

Задача 4. Известно, что при любом n сумма Sn членов некоторой арифметической прогрессии выражается формулой Sn=4n²-3n. Найти три первых члена этой прогрессии.

Задача 5. Сумма первых 50 членов арифметической прогрессии равна 99 члену этой прогрессии. Найдите номер члена прогрессии, равного нулю.

Задача 6. 3 офиса покупали лазерные принтеры и мониторы. 1й офис купил 4 монитора и 2 принтера,2й 6 мониторов и 1 принтер,3й 3 монитора 1 принтер. Сколько стоит принтер,если известно что монитор стоит 200 д.е., а суммы денег потраченные 1м,2м и 3м офисами образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию?

Задачи зачёта

и самостоятельной работы.

К теме 2.

1. Из пункта А в пункт В и из В в А одновременно вышли два пешехода. Когда первый прошёл половину пути, второму до конца пути осталось пройти 24 км, а когда второй прошёл половину пути, первому до конца пути осталось пройти 15 км. Сколько км останется пройти второму пешеходу после того, как первый закончит переход? (8км)

2. Теплоход от А к В по течению реки идёт 3 дня. Путешественник из А в В спустился на плоту, а обратно добрался на теплоходе. Скорость плота строго меньше половины скорости теплохода в стоячей воде. Вся дорога заняла у путешественника 18 дней. Сколько времени занял бы тот же путь, если бы скорость течения была в два раза больше? (18 суток)

3. Автомобиль вышел из А в В со скоростью 63 км/ч. Через некоторое время после выезда его скорость уменьшилась на 9 км/ч. За первые 3 часа он проехал на 55 км меньше, чем за последние 4 часа, а на весь путь затратил 5 часов. Найти расстояние АВ.(307км)

4. Два спортсмена бегут по одной замкнутой дорожке стадиона. Скорость каждого спортсмена постоянная, но на пробег всей дорожки первый тратит на а секунд меньше, чем второй. Если они начинают пробег с общего старта и в одном направлении, то сходятся через каждые в секунд. Через какое время они встретятся если побегут с общего старта в противоположных направлениях по той же дорожке с прежними скоростями?

(ав /√(а²+4ав))

5. Из пункта А в пункт В выехал велосипедист, который сначала двигался равноускоренно с ускорением 4 км/ч², а после того, как его скорость возросла, продолжал двигаться равномерно с той же скоростью. Расстояние АВ составляет 32 км. На первую половину пути велосипедист затратил в полтора раза больше времени, чем на вторую. Найти скорость велосипедиста. (8км)

6. Пароход идёт из Киева в Днепропетровск в течение двух суток, обратно - в течение трёх суток. Сколько времени будет плыть плот из Киева в Днепропетровск? (12 суток)

7. Пассажирский поезд проходит мимо столба за 6 секунд. За какое время пройдут мимо друг друга скорый и пассажирский поезда, если скорость скорого поезда в 3/2 раза больше скорости пассажирского, а длина пассажирского в 4/3 раза больше длины скорого поежда? (4,2 секунды)

8. Три гонщика А, В, С стартуют с интервалами в 1 минуту из одной точки кольцевого шоссе и двигаются в одном направлении с постоянными скоростями. Каждый гонщик затрачивает на круг более двух минут. Сделав три круга, гонщик А в первый раз

догоняет В у точки старта, а ещё через 3 минуты он вторично обгоняет С. Гонщик В впервые догоняет С также у точки старта, закончив 4 круга. Сколько минут тратит на круг гонщик А?(3мин.)

9. Из двух городов навстречу друг другу вышли одновременно два курьера. После встречи один был в пути 16 часов, а другой - 9 часов. Сколько времени был в пути каждый? (21ч и 28ч)

10. Почтовая связь между двумя пристанями М и К на реке осуществляется двумя катерами. В установленное время катера отплывают от своих пристаней, встречаются, обмениваются почтой и возвращаются обратно. Если катера проделывают это одновременно, то катер, выходящий из М, тратит на путь в оба конца 3 часа, а катер из К - 1,5 часа. Скорости обоих катеров относительно воды одинаковы. Определите, на сколько позже должен отплыть катер из М, чтобы оба катера находились в пути одно и то же время.(45мин)

11. Из пункта А в пункт В одновременно отправились два велосипедиста, причём скорость первого на 6 км/ч больше скорости второго. Через час из В в А отправился третий велосипедист со скоростью 20 км/ч, встретивший второго через час после встречи с первым. Найдите скорость первого велосипедиста, если известно, что второй прибыл в В на 6ч позже первого.(16км/ч)

12. Из пункта А в пункт В выехала машина. Через 2ч из А в В выехала другая машина, через некоторое время расстояние между ними составило шестую часть расстояния АВ. Проехав ещё 4 ч, обе машины одновременно прибыли в В. Найдите время движения

от А до В для первой и второй машины.( 8ч и 6ч)

13. Пешеход, велосипедист и мотоциклист движутся по шоссе в одном направлении с постоянными скоростями. В тот момент, когда велосипедист и мотоциклист находились в одной точке, пешеход был на расстоянии 10 км впереди них. В тот момент, когда мотоциклист догнал пешехода, велосипедист отставал от них на 5км. На сколько км мотоциклист будет обгонять пешехода в тот момент, когда пешехода настигнет велосипедист?(10км)

14.Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, движутся с постоянными скоростями по кольцевому шоссе. В момент старта гонщик В находился перед гонщиком А на расстоянии 1/3 шоссе, а гонщик С перед гонщиком В на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал гонщика В в тот момент, когда В закончил свой первый круг, а ещё через 10 минут гонщик А впервые догнал гонщика С. Гонщик В тратит на круг на 2,5 минуты меньше, чем гонщик С. Сколько времени тратит на круг гонщик А?(15минут)

15. Из пункта А кольцевого шоссе одновременно в одном направлении выехали автомобиль и мотоцикл, каждый с постоянной скоростью. Автомобиль без остановок дважды проехал по всему шоссе в одном направлении. В тот момент, когда автомобиль догнал мотоциклиста, мотоциклист повернул обратно, увеличив скорость на 16км/ч, и через 22,5 минуты после разворота одновременно с автомобилем прибыл в пункт А. Найдите длину пути мотоциклиста, если она на 21/4 км короче всего шоссе.

К теме 3.

1. Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящих в соотношении а:в, а другой сплав содержит те же металлы в отношении с:k. Сколько надо взять каждого металла, чтобы получить р кг нового сплава с соотношением m:n тех же металлов?[ M_A=(mp/(m+n)-cp/(c+k)):(a/(a+b)-c/(c+k))кг, M_B=(p-M_A)кг]

2. Имеется три сплава. Первый сплав содержит 60% алюминия, 15% меди, 25% магния, а второй - 30% меди и 70% магния, третий - 45% алюминия и 55% магния. Из них необходимо приготовить Сплав, содержащий 20% меди. Какое наименьшее и какое наибольшее содержание алюминия может быть в этом сплаве? [15%; 40%]

3. В двух одинаковых сосудах объёмом от 30л каждый содержится Всего 30л кислоты. Первый сосуд доверху долили водой и полученной смесью долили второй сосуд. Затем из второго отлили 12л в первый сосуд. Сколько кислоты первоначально было во втором сосуде, если во втором сосуде после переливания оказалось на 2л кислоты меньше, чем в первом?(10л)

4. В сосуд с чистой водой налили 6л 64%-ного (по объёму) раствора спирта, а затем после полного перемешивания вылили равное количество получившегося раствора (6л). Сколько воды было первоначально в сосуде, если после троекратного повторения этой операции в сосуде получился 37% - ный раствор спирта?(18л)

5. Два куска сплава меди с серебром, имеющие массы 5кг и 10кг с разным процентным содержанием серебра, распилили на две части каждый и получили два новых куска сплава с равным процентным содержанием серебра и массами 3кг и 12кг. На какие части (по весу) распилен первый кусок?(1кг и 4кг)

6. Имеются два слитка, представляющие собой сплавы цинка с медью. Масса первого слитка 2кг, масса второго - 3кг. Эти два слитка сплавили с 5кг сплава цинка с медью, в котором цинка оказалось 45%, и получили сплав цинка с медью, содержащий 50% цинка. Если бы процентное содержание цинка в первом сплаве было равно процентному содержанию цинка во втором сплаве, а во втором - такое же, как в первом, то сплавив эти два слитка с 5кг сплава, в котором содержится 60% цинка, получили бы сплав, в котором цинка содержится 55%. Найдите процентное содержание цинка в первом и втором сплаве.(40% и 60%)

7. Имеются два сплава цинка, меди и олова. Первый сплав содержит 25% цинка, второй - 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в два раза больше, чем во втором. Сплавили 200кг первого и 300кг второго сплавов и получили сплав, где 28% олова. Сколько кг меди в этом новом сплаве?(220 кг)

8. Из сосуда, первоначально содержащего 17л чистого спирта, отлили определённое количество содержимого и столько же долили воды. Когда эту операцию проделали ещё три раза, отливая и доливая то же количество жидкости, спирта в сосуде осталось 5л. Какое количество жидкости отливали каждый раз?

9. Из сосуда, наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5л и долили 2,5л 80%-ного раствора той же кислоты, затем ещё раз отлили 2,5л и долили 2,5л 80%-ного раствора. После этого в сосуде получился 89%-й раствор кислоты. Определите вместимость сосуда.(10 л)

10. При покупке ребёнку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 25% больше, чем два года назад, причём лыжи подорожали с тех пор на 15%, а ботинки - на 40%. Во сколько раз два года назад лыжи были дороже ботинок? Сколько процентов составляла стоимость ботинок от стоимости комплекта в момент покупки?(в 1,5 раза; 40%)

К теме 4.

1. Лошадь съедает копну сена за m часов, корова - за n часов, коза - за k часов. За какое время будет съедена копна, если за неё одновременно примутся лошадь, корова и коза?[mnk/(nk+km+mn)]

2. Двое рабочих тратят на выполнение некоторой работы 25 часов, причём первую половину работы выполняет первый рабочий, а затем вторую половину работы выполняет второй рабочий. Если они будут работать вместе, то затратят на эту работу 12 часов. За сколько часов каждый из них в отдельности может выполнить всю работу?(20 часов и 30 часов)

3. В бассейн проведены две трубы разного сечения. Одна - равномерно подающая, а другая - равномерно отводящая воду, причём через первую трубу бассейн наполняется полностью на 2 часа дольше, чем через вторую опорожняется. При заполненном на ⅓ бассейне были открыты обе трубы, и бассейн оказался пустым спустя 8 часов. За сколько часов, действуя отдельно, первая труба наполняет, а вторая труба опорожняет бассейн?(8ч и 6ч)

4. В бригаде землекопов каждый ежедневно работает по равному числу часов. Известно, что производительность труда одинакова у всех рабочих бригады, и при этом бригада может вырыть канаву для укладки кабеля за 6 дней. Однако ещё до начала работы выяснилось, что рабочий день сокращается на 1 час, а состав бригады уменьшается на 5 человек. В таком случае канава может быть вырыта за 9 дней. В действительности эту канаву рыли 12 дней, так как рабочий день был сокращён не на 1 час, а на 2 часа, и два человека не вышли на работу по болезни. Сколько рабочих было в бригаде первоначально, и сколько часов в день они работали? (21 рабочий и 8 часов)

5. Две бригады, работая вместе закончили ремонт участка пути за 6 дней. Одной бригаде для выполнения 40% всей работы потребовалось бы времени на 2 дня больше, чем одной второй бригаде для выполнения 13⅓% всей работы. Определить, за сколько дней могла бы отремонтировать каждая бригада отдельно весь участок? (10 дней и 15 дней)

6. Несколько человек взялись вырыть канаву и могли бы окончить работу за 6 часов, если бы начали одновременно, но они приступали к работе один за другим через равные промежутки времени. Через такой же промежуток времени после выхода на

работу последнего участника канава была вырыта, причём каждый из участников оставался на работе до конца. Сколько времени они рыли канаву, если приступивший к работе первым, проработал в 5 раз больше времени, чем приступивший последним? Производительность одинакова для каждого рабочего.(10 часов)

7. Мастеру и его ученику было поручено изготовить партию одинаковых деталей. После того, как мастер проработал 7 часов, а ученик - 4 часа, оказалось, что они выполнили 5/9 всей работы. Проработав совместно ещё 4 часа, они установили, что остаётся выполнить ещё 1/18 всей работы. За какой промежуток времени выполнил бы всю работу ученик, работая один?(24 часа)

8. С трёх полей в течение трёх дней скашивали траву. С первого поля в первый день скосили всю траву за 16 часов. Во второй день со второго поля скосили всю траву за 11 часов. В третий день с третьего поля скосили всю траву за 5 часов, причём 4 часа косили вручную, а 1 час работала только сенокосилка. За второй и третий день вместе скосили в 4 раза больше травы, чем в первый. Сколько всего часов работала сенокосилка, если за один час она скашивает в 5 раз больше травы, чем при косьбе вручную? Предполагается, что косилка не работала тогда, когда косили вручную, и не было перерывов в работе. (12 часов)

9. Пять человек выполняют некоторую работу. Первый, второй и третий, работая вместе, могут выполнить работу за 7,5 часов; первый, третий и пятый вместе - за 5 часов; первый, третий и четвёртый - за 6 часов; второй, четвёртый и пятый вместе - за 4 часа. За какой промежуток времени выполнят эту работу все 5 человек, работая вместе?(3 часа)

10. Двум сотрудникам издательства поручили отредактировать рукопись объёмом 540 страниц. Один сотрудник, отдав второму 160 страниц рукописи, взял остальные страницы себе. Первый выполнил свою работу за 19 дней, а второй свою - за 10. На

сколько процентов надо было увеличить часть работы второго сотрудника ( уменьшив работу первого ), чтобы они, при прежней производительности выполнили свою работу за равный промежуток времени?( на 50%)

ПРИЛОЖЕНИЕ.

Практикум решения задач.

Задача1: Длина двух противоположных сторон правильного прямоугольного параллелепипеда уменьшилась на 5% , а двух других увеличилась на 10%. На сколько процентов увеличился объем параллелепипеда, если его высоту увеличили на 4 %.

Решение:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = a³ , по условию длина двух противоположных сторон правильного прямоугольного параллелепипеда уменьшилась на 5% или на 1/20, а двух других увеличилась на 10% или на 1/10 также известно, что высоту увеличили на 4% или на 1/25. Теперь запишем это все формулой.

V = a^{3 .} (( 1 - 1/20 ) ^.( 1 + 1/10 ) ^.( 1 + 1/25 ))

V = a^{3 .} 19/20 ^. 11/10 ^.26/25 = a^{3 .}5434/5000 = a^3. 1,0868

Объем увеличится в 1,0868 или на 0,0868 или на 8,68 %

Ответ: Объем увеличится на 8,68 %.

Задача2: В коробке было 25% белых кубиков, и 75% черных. В неё добавили 10 черных кубиков, соотношение белых и черных стало 20% к 80%, сколько было черных кубиков в коробке в начале?

Решение:

Первоначально в коробке было 25% белых и 75% черных кубиков, и соотношение было 1/3, в коробку положили 10 черных кубиков, и в ней стало 20% белых и 80% черных кубиков, и соотношение стало 1/4. Отсюда следует пусть х это белые кубики, а у черные, то

х/у = 1/3,

х/( у + 10 ) = 1/4;

отсюда следует у = 3х, 3х + 10 = 4х, х = 10,

у + 10 = 4х; у = 3х; у = 30.

Ответ: 30 черных кубиков было в начале.

Задача 3: Задуманы два числа, одно из которых на 18 больше другого. Известно, что 25% одного из этих чисел равно 35% другого числа. Найдите эти числа.

Решение:

Пусть А это большее число, а В меньшее. Тогда справедливо равенство

А= В+18 . Известно, что 25% = 0,25 , а 35% = 0,35. Из условия следует

1. А^.0,25 = В^.0,35

2. А = В +18

3. ( В + 18 ) ^.0,25 = В ^. 0,35

4. В ^. 0,1 = 4,5

5. В = 45

6. А = 63

Ответ: А = 63, В = 45.

Рассмотрим задачи, встречающиеся в сборнике заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе:

Задача 4:(№7.8) (9,с. 139)

В прошлом году на два самых популярных факультета университета было подано 1100 заявлений. В текущем году число заявлений на первый из этих факультетов уменьшилось на 20%, а на второй увеличилось на 30%, причем всего было подано 1130 заявлений. Сколько заявлений было подано на каждый из этих факультетов в текущем году?

Решение:

Пусть х заявлений было подано на первый факультет в прошлом году, а у заявлений - на второй факультет, тогда х + у = 1100,

0,8х +1,3у = 1130;

х = 1100 - у, х = 1100 - у, х = 600,

0,8(1100 - у) + 1,3у = 1130; 0,5у = 250; у = 500.

600 ^. 0,8 = 480 заявлений было подано на первый факультет в текущем году,

500 ^. 1,3 = 650 заявлений было подано на второй факультет в текущем году.

Ответ: 480 заявлений, 650 заявлений.

Задача 5:(№7.26) (9, с.144)

Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй - 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?

Решение:

Пусть за х ч. может набрать весь текст первый оператор,

за у ч. - второй оператор.

1/х + 1/у = 1/8, 1/х = 1/8 - 1/у, 1/х = 1/8 - 1/у, 1/х = 1/8 - 1/у,

3/х + 12/у = 3/4; 1/х + 4/у = 1/4; 1/8 - 1/у + 4/у = 1/4; 3/у = 1/8;

у = 24, Ответ: за 12 ч. может набрать весь текст первый оператор,

х = 12. за 24 ч. может набрать весь текст второй оператор.

3. Решаем с учащимися старинные задачи.

Задача 1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 50 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

Задача 2. Крестьянин взял в долг у ростовщика 100 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 60% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 130 руб.

Задача 3: При плановом задании 60 радиодеталей в день завод выпустил

66 радиодеталей. На сколько процентов завод выполнил план? Ответ. 110%.

Практикум решения задач.

Задача 1: Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Решение:
Пусть цена товара х руб.
1) х + 0,25х = 1,25х;
2) 1,25х - 0,25^.1,25х = 0,9375х
3) х - 0,9375х = 0,0625х
4) 0,0625х/х ^. 100% = 6,25%
Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Задача 2: На осенней ярмарке планировали продать не менее одной тонны лука, собранного со школьного участка. Известно, что при хранении урожая теряется до 15% его массы, а при транспортировке - до 10%. Сколько лука должны собрать с участка, чтобы осуществить свой план?

Решение: Пусть нужно собрать х т. лука. Тогда после хранения может остаться 0,85х т. И на ярмарку доставим 0,9 ^. 0,85х т.

0,9 ^. 0,85х = 1, значит х ≈ 1,3 Ответ: не менее 1,3 т.

Задача 3: За килограмм одного продукта и 10 кг другого заплачено 200 рублей. Если при изменении цен первый продукт подорожал на 15 %, а второй подешевел на 25 % , то за тоже количество этих продуктов будет заплачено 182 рублей. Сколько стоит 1 кг каждого продукта?

Решение:

Составим уравнение.

1 . Х + 10 . Y = 200,

1 . X( 1 + 0,15 ) + 10 . Y ( 1 - 0,25 ) = 182.

решив эту систему уравнений, получим:

Y = 12, X = 80 Ответ: 80 руб. и 12 руб.

Задача 4: Прирост продукции на заводе по сравнению с предыдущим годом за первый год составляет 5 %, а за второй по сравнению с первым - 3 %. Каким оказался процент прироста продукции за три года, если процент прироста продукции за третий год по сравнению со вторым был равен 2 %?

Решение:

В конце первого года продукции выпускалось 105%, в конце второго года процент прироста стал равен 105 % + 105 % ^. 0,03 = 108,15 % в конце третьего года стал равен 108,15 % + 108,15 % ^. 0,02 = 110,313 %. Отсюда следует, что процент прироста за три года равен 10,313 %.

Ответ: 10,313 %

Задача 5: Пшеницы и ржи колхоз собрал вместе 500 тонн. После того как была повышена урожайность пшеницы на 30% и ржи на 20%, колхоз собрал 630 тонн пшеницы и ржи. Сколько тонн пшеницы и ржи собрал колхоз после повышения урожайности?

Решение:

Составим уравнение.

Х + Y = 500,

X( 1 + 0,3 ) + Y ( 1 + 0,2 ) = 630.

решив это систему уравнений, получим:

Y = 240, X = 390.

Ответ: 390 тонн пшеницы, 240 тонн ржи.

Задача 6: За несвоевременное выполнение договорных обязательств сотрудник фирмы лишается 25% месячного оклада и кроме того, за каждый просроченный месяц к штрафу прибавляется 5% месячного оклада. Оклад сотрудника 10 тыс. руб. В каком размере он должен заплатить штраф при нарушении сроков на 5 месяцев? Ответ: 5 тыс. руб.

Задача 7: Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 350 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 5% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на две недели?

Ответ: 595 р.

Задачи на «сухое вещество» вызывают у учащихся наибольшее затруднение, поэтому с группой ребят мы готовились к семинару по этой теме заранее. Это группа сильных учащихся и они предложили начать с объяснения решения одной задачи, используя таблицу.

Прежде всего, надо сообщить учащимся, что любой продукт - яблоки, грибы, картофель, хлеб и т.д. состоит из воды и сухого вещества. Причем воду содержат как свежие, так и сушеные продукты. В процессе высыхания испаряется только вода, а сухое вещество никуда не девается и его масса не изменяется.

Задача 1: Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 15%. Сколько получится сухих грибов из 17 кг свежих?

Решение:

По условию задачи: в 100% свежих грибов содержится 90% воды, находим, что сухого вещества - 10%. В 100% сухих грибов содержится 15% воды, значит сухого вещества - 85%. Запишем данные в таблицу.

Вещество

Число процентов

Масса

Вещество

Число процентов

Масса

Свежие грибы

100%

Сушеные грибы

100%

Вода

90%

Вода

15%

Сухое вещество

10%

Сухое вещество

85%

По условию задачи взяли свежих грибов 17 кг. В них содержится 90% воды, значит 17 ^. 0,9 = 15,3 кг. и сухого вещества осталось 17 - 15,3 = 1,7 кг.

Вещество

Число процентов

Масса

Вещество

Число процентов

Масса

Свежие грибы

100%

17 кг.

Сушеные грибы

100%

Вода

90%

15,3 кг.

Вода

15%

Сухое вещество

10%

1,7 кг.

Сухое вещество

85%

1,7кг

В этот момент следует обратить внимание на то, что масса сухого вещества в процессе высыхания не меняется. Зная это, заполняем ещё одну ячейку таблицы: 1,7 кг сухого вещества в сушеных грибах.

Теперь можем ответить на вопрос задачи: 1,7 : 0,85 = 2 кг. сухих грибов получится из 17 кг свежих.

Вещество

Число процентов

Масса

Вещество

Число процентов

Масса

Свежие грибы

100%

17 кг.

Сушеные грибы

100%

2 кг.

Вода

90%

15,3 кг.

Вода

15%

Сухое вещество

10%

1,7 кг.

Сухое вещество

85%

1,7 кг.Итак, анализируя условие задачи, мы заполняли таблицу и в результате получили ответ на вопрос задачи. Но это только поиск решения. Осталось записать решение.

Решение:

1) 100 - 90 = 10 (%) сухого вещества содержится в свежих грибах.

2) 17 ^. 0,1 = 1,7 (кг) сухого вещества содержится в 17 кг свежих грибов.

3) 1,7 : 0,85 = 2 (кг) сушеных грибов получится из 17 кг. свежих.

Ответ: 2 кг.

Затем разобрали решение еще двух задач на «сухое вещество».

Задача 2: Влажность свежескошенной травы 60%, сена 20%.

Сколько сена получится из 1 т. свежескошенной травы?

Ответ: 500 кг. сена.

Задача 3: В свежих яблоках 80% воды, а в сушеных - 20%. На сколько процентов уменьшается масса яблок при сушке?

Ответ: на 75%

Задачи на концентрацию и процентное содержание.

Задача 1. ( № 3.164 из < 1>)

Сколько килограммов воды нужно выпарить из 0,5 тонн целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды?

Решение:

1) 85% = 0,85 500 кг . 0,85 = 425 кг воды содержится в 0,5 т целлюлозной массы.

2) Пусть х кг воды надо выпарить, тогда (425 - х ) кг воды будет в массе, а это должно составлять 75% массы т.е. 0,75 . ( 500 - х ) составим уравнение:

425 - х = 0,75 . (500 - х )

425 - х = 375 - 0,75х

0,25х = 50

х = 200

Ответ: 200 кг воды надо выпарить.

Задача 2: (№ 3.165 из < 1>)

Морская вода содержит 5% соли. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг. морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%.

Решение:

1) 5% = 0,05

2) 30 ^. 0,05 = 1,5 кг соли содержится в 30 кг морской воды.

3) Пусть х кг пресной воды надо добавить, тогда

(30 + х) ^. 0,015 = 1,5

0,015 х = 1,05

х = 70

Ответ: 70 кг пресной воды надо добавить к 30 кг морской, чтобы концентрация соли составляла 1,5%.

Задача 3:

Кусок сплава меди цинка массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди надо добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 60% меди.

Решение:

1) 0,45 . 36 = 16,2 кг меди в 36 кг сплава

2) Пусть х кг меди надо добавить, тогда ( 16,2 + х) кг меди будет в сплаве

0,6 . (36 + х) = 16,2 + х

21,6 + 0,6х = 16,2 + х

0,4 х = 5,4

х = 13,5

Ответ: 13,5 кг меди надо добавить.

Задача 4:

Смешали 30% -ный раствор соляной кислоты с 10% - ным раствором и получили 600 граммов 15% - ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Задача5.

Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Решение:

Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится

0,4 . 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 . (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

8 + 0,2х = 0,32 . (20 +х);
х = 13 1/3.

Ответ:

13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

Решение задач на проценты с использованием рисунков-схем.

Задача 1.

Имеются два куска сплава цинка и меди с 30%ным и 18%ным содержанием меди. В каком отношении надо взять эти сплавы, чтобы переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий 25% меди?

Решение. Содержание задачи представить в виде схемы.

30% !8% 25%

+

=

х кг у кг (х+у) кг

1) 0,3 х кг - масса меди в первом куске сплава;

0,18 х кг - масса меди во втором куске сплава;

0,25 (х + у)кг - масса меди в третьем куске сплава.

Составим уравнение:

0,3х + 0,18у = 0,25(х + у)

30х + 18у = 25х +25у

5х = 7у

х : у = 7 : 5

Ответ: х : у = 7 : 5

Арифметический (старинный) способ:

Задача 2. В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65%-й кислоты.

Нарисуем схему:

50% 5

-

65% :

-

70% 15

Для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении

5 : 15 = 1 : 3

Обоснование старинного способа решения задач на смеси:

Пусть требуется смешать растворы а% ной и в% ной кислот, чтобы получить с%-й раствор.

Пусть х г - масса а%-го раствора,

у г - масса в%-го раствора,

(ха):100 г - масса чистой кислоты в первом растворе,

(ув):100 г - масса чистой кислоты во втором растворе,

с(х + у) : 100 г - масса чистой кислоты в смеси.

ах ₊ ву ₌с(х + у),

100 100 100

ах + ву = сх + су,

(в - с)у = (с - а)х,

х : у = (в - с) : (с - а).

такой же вывод дает схема

а в - с

-

с :

-

в с - а

Задачи для проведения уроков - практикумов.
Задача 1. Положили 6500 руб. под 3% годовых. Сколько денег на книжке будет в конце года? Определите вид вклада.
6500 + 6500 ∙ 0,03 = 6695 (руб.)
Ответ: вид вклада - Сберегательный.
Задача 2. На сберкнижку в конце июля было положено 1600 руб. на Сберегательный вклад под 26% годовых. Процентная ставка меняется каждый месяц. За август она составила 2,3%, а за сентябрь - 2,28%. В каком месяце была получена большая прибыль и на сколько?

1600 + 1600 ∙ 0,023 = 1636,8 (руб.) - в конце августа.
1636,8∙0,0228 = 37,3 (руб.) - за сентябрь.
37,3 - 36,8 = 0,5 (руб.) - в сентябре больше.

Ответ: на 0,5 р. больше в сентябре.
Задача 3. Прибыль за год на вклад, помещенный под 31% годовых, составила 12400 руб. Какова сумма вклада? 12400 : 0,31 = 40000 (руб.).
Задача 4. В начале года поместили в Сбербанк под 8% годовых некоторый вклад. Через год на сберкнижке было 1080 руб. Какова первоначальная сумма вклада? 1080:1,08 = 1000 ( р.)

Ответ: 1000 р.

Задача 5. Прибыль на 1200 руб., помещенных под 3% годовых на сберегательный вклад сроком на 6 мес., составила 17,52 руб. Какова процентная ставка? 17,52 : 1200 ∙ 100 = 1,46 (%)
Задача 6. В начале года на сберкнижку в Сбербанк было положено 1600 руб., а в конце года (до начисления %) взято 750 руб. В конце второго года на книжке оказалось 867 руб. Сколько % начисляет Сбербанк?
Решение.
1) 1600 - 750 = 850 (руб.) - осталось в конце первого года.
2) (867 - 850) : 850 ∙ 100 = 2(%) - в год.
Вклад: "До востребования".
Задача 7: Вклад, положенный в сбербанк два года назад, достиг суммы, равной 1312,5 рублей. Каков был первоначальный вклад при 25 % годовых?

Решение:

Для решение этой задачи нужно понимать, что результат 1312,5 это сумма за первый год и плюс 25 % или 125 % или 100 % = 1050 рублей.

Тоже самое делаем с суммой 1050, так как вклад был на два года 125% = 1050 рублей или 100 % = 840 рублей.

Ответ: 840 рублей.