Практическое пособие по математике для 7-9 классов «Основные алгоритмы алгебры»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа №32 г. Новочеркасска

Принято

методическим объединением учителей

математики и методическим советом

протокол №1 от «30» августа 2012 года

«Утверждаю»

Директор школы Салтыков С.А.

«31» августа 2012года

Основные алгоритмы алгебры

7 - 9 классов

Учитель Кручинина В.Б.

Алгоритм решения линейных уравнений

Уравнение вида , где a,b действительные числа, называется линейным.

1. Преобразовать левую и правую части уравнения к виду , для этого нужно раскрыть скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).

2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены - вправо (при переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).

3. Приводим подобные члены в левой и правой частях уравнения.

4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной.

5. Записываем ответ (результат деления - корень исходного уравнения).

Пример

Решить самостоятельно

Алгоритм решения линейных неравенств

Неравенство вида , где a,b действительные числа, называется линейным.

1. Преобразовать левую и правую части неравенства к виду , для этого нужно раскрыть скобки (если они есть) или привести дробные слагаемые к общему знаменателю (если нужно).

2. Перенести все члены, содержащие неизвестную, влево, а все известные члены - вправо (при переносе членов из одной части в другую изменяем их знак на противоположный).

3. Приводим подобные члены в левой и правой частях неравенства.

4. Число, стоящее справа, делим на число, стоящее перед неизвестной (при делении на отрицательное число меняем знак неравенства).

5. Записываем ответ в виде неравенства или числового промежутка.

Пример

Решить самостоятельно

Алгоритм решения квадратных уравнений

Уравнение вида , где a,b,c действительные числа, называется квадратным.

1. Выпиши значения a,b,c и вычисли дискриминант .

2. Если , то находим корни уравнения по формуле .

3. Если , то находим корни уравнения по формуле .

4. Если , то уравнение не имеет действительных корней.

5. Если в уравнении , , , то получим уравнение:

Пример

6. Если в уравнении , , , то получим уравнение:

Если , то нет действительных корней.

7. Если в уравнении , , , то получим уравнение:

Решить самостоятельно

Алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители

1. Реши квадратное уравнение (если корней нет, то нельзя разложить на множители).

2. Подставь в формулу

Пример. Разложить на множители .

Ответ.

Решить самостоятельно

Разложить на множители квадратные трехчлены

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Сократить дробь

1. ;

2. .

Алгоритм решения квадратных уравнений

по теореме Виета.

1. Выпиши p, q из уравнения , используя условие, что

2. Подбери пары чисел, которые при умножении дадут число q.

3. Вычисли сумму каждой пары, чтобы получить - p.

Пример

Ответ.

Решить самостоятельно

Алгоритм построения графика линейной функции

Функция вида , где - постоянные, называется линейной.

- линейная функция, график прямая, не проходит через начало координат (так как ), возрастает (если ) и убывает (если ).

1. Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение (вместо x). Получим точку с координатами .

2. Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение (вместо x). Получим точку с координатами .

3. Отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них прямую.

Пример

Постройте график функции .

- линейная функция, график прямая, не проходит через начало координат (так как ), возрастает (т.к. ).

1. ;

2. ;

3. отметим полученные точки на координатной плоскости и проведем через них прямую

Решить самостоятельно

Построить графики данных функций и найти координаты точек пересечения графика с осями координат.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

Алгоритм построения графика квадратичной функции

Функция вида называется квадратичной.

- квадратичная функция, график парабола, ветви которой направлены вверх (если ) или вниз (если ).

1. Находим координаты вершины параболы .

2. Проводим ось симметрии (прямую, параллельную оси Оу, проходящую через вершину параболы).

3. Находим нули функции (абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох), для этого решим уравнение . Если уравнение не имеет действительных корней, то парабола не пересекает ось Ох.

4. Находим дополнительные точки, для этого возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение (вместо x). Получим точку с координатами . Возьмем любое значение x и подставим его значение в уравнение (вместо x). Получим точку с координатами .

5. Отметим полученные точки на координатной плоскости (точки, симметричные дополнительным точкам). Соединим полученные точки плавной линией и продолжим ветви параболы.

Пример. Построить график функции .

- квадратичная функция, график парабола, ветви которой направлены вверх (если ).

1. Находим координаты вершины параболы

- вершина параболы.

2. Проводим ось симметрии (прямую, параллельную оси Оу, проходящую через вершину параболы).

3. Находим нули функции (абсциссы точек пересечения параболы с осью Ох), для этого решим уравнение .

4. Находим дополнительные точки: а) ; б) .

5. Отметим полученные точки на координатной плоскости (точки, симметричные дополнительным точкам). Соединим полученные точки плавной линией и продолжим ветви параболы.

Решить самостоятельно

Построить графики следующих функций:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Алгоритм построения графика обратно пропорциональной

зависимости

Функция вида называется обратно пропорциональной зависимостью.

- обратно пропорциональная зависимость, график гипербола, состоит из двух ветвей, расположенных в 1 и 3 четвертях (если ) и во 2 и 4 четвертях (если ).

Убывает при , если ; возрастает при , если

1. Возьмем любое положительное значение и подставим его значение в формулу , получим точку .

2. Возьмем любое положительное значение и подставим его значение в формулу , получим точку .

3. Возьмем любое положительное значение и подставим его значение в формулу , получим точку .

4. При необходимости можно задать еще две точки.

5. Отметим заданные точки и точки, им симметричные, на координатной плоскости. Соединим плавной линией точки в 1 (2) четверти и в 3 (4) четверти.

Пример

Построить график функции .

- обратно пропорциональная зависимость, график гипербола, состоит из двух ветвей, расположенных во 2 и 4 четвертях (), возрастает при .

1. Область определения функции: .

2. Функция нечетная (график симметричен относительно начала координат).

3. Функция возрастает при .

4. Точки: а) (1;-4); б) (2;-2); в) (4;-1).

5. Отметим заданные точки и точки, им симметричные, на координатной плоскости. Соединим плавной линией точки в 2 и в 4 четвертях.

Требования к рабочей тетради

1. Рабочая тетрадь по математике в 5 и 6 классах должна быть 12 листов в клетку с полями, отведенными красной пастой.

2. Все записи должны вестись аккуратно, ручкой с синей пастой.

3. Работа в тетради начинается с записи «Классная работа» или «Домашняя работа», дата записывается на полях, например, 21.09.

4. Указывается тема урока.

5. Записи с доски или под диктовку учителя.

6. Выполнение самостоятельных заданий.

При записи заданий необходимо выполнение следующих требований:

1. Расстояние между работами 4 клетки.

2. Расстояние от полей или от края страницы 1 клетка.

3. Записи ведутся в столбик, с соблюдением размерности, аккуратно, при перечислении ставятся запятые.

4. Задания выделяются номером из учебника или порядковым номером.

5. Выполнение задания начинается со слова «Решение» и заканчивается словом «Ответ».

6. Цифры пишутся в каждой клетке.

7. Исправления нужно выполнять аккуратно, зачеркивая неверное решение одной чертой.

8. Использование корректора недопустимо.

9. При написании математических терминов (в случае затруднения) используйте терминологический словарь.

Алгоритм решения геометрических задач

1. Прочитай внимательно условие задачи.

2. Выбери главную ключевую геометрическую фигуру, повторите ее определение и свойства. Из них выделите те свойства, которые будут использованы при решении задачи.

3. Условно разделите лист тетради на две части. Справа запишите краткое условие задачи, начиная с ключевой фигуры (допускаются условные обозначения и символы).

4. Устно проанализируйте условие задачи.

5. Слева выполните чертеж по условию задачи.

6. Задачи на вычисление геометрических величин начинаем со слова «Решение»; задачи на доказательство начинаем со слова «Доказательство»; задачи на построение начинаем со слова «Построение».

7. При решении любой геометрической задачи выделяем этапы решения, каждый этап решения сопровождаем теоретическим обоснованием геометрических фактов.

8. При решении задач на вычисление, сначала записываются равенства в геометрической форме, а затем в алгебраической форме.

9. Проверьте результат вычислений на соответствие геометрическим фактам.

10. Запишите ответ.

Алгоритм решения систем уравнения

Решение систем уравнений 1 степени с двумя переменными способом сложения

1. Умножим обе части каждого уравнения на такое число, чтобы коэффициенты при одной из неизвестных стали противоположными числами в двух уравнениях.

2. Сложим уравнения почленно, получим уравнение с одной переменной.

3. Решим полученное уравнение.

4. Подставим корень уравнения в любое уравнение системы и найдем значение второй переменной.

5. Ответ записываем в виде .

Пример

1. Умножим обе части второго уравнения на 3 и сложим уравнения почленно:

2. Подставим во второе уравнение, найдем y:

Ответ. .

Решение систем уравнений с двумя переменными способом подстановки

1. Из уравнения первой степени выразим одну переменную через другую.

2. Подставим полученное выражение вместо переменной в другое уравнение.

3. Решаем полученное уравнение.

4. Каждый корень подставим в выражение из п.1 и найдем вторую переменную.

5. Ответ записываем в виде .

Пример

1. Выразим из первого уравнения у через х: .

2. Подставим выражение вместо у во второе уравнение:

3. Найдем у: если , то ; если , то .

Ответ. .

Решите самостоятельно а) б) в) г)

Алгоритм решения систем неравенств

1. Решаем каждое неравенство отдельно.

2. Изображаем решение каждого неравенства системы на одной числовой прямой (штриховкой). Промежуток на оси, где штриховки «пересекутся» и будет решением системы; если общих точек нет, то система не имеет решения.

3. Ответ записываем в виде неравенства или в виде числового промежутка.

Пример

а) б) в)

Ответ. (-5; 1) или .

Пример

Ответ. или .

Решить самостоятельно

а) б) в) г) д)

Алгоритм решения квадратных неравенств .

Графический метод решения квадратных неравенств

1. Рассмотрим функцию и построим эскиз ее графика, для этого определим направление ветвей параболы и найдем нули функции (если они есть).

2. По графику определяем, при каких значениях функция принимает положительные и отрицательные значения.

3. Решением неравенства являются такие значения , при которых знак неравенства совпадает со знаком функции.

Пример

Решить неравенство .

1. Рассмотрим функцию и построим эскиз ее графика: а) ветви параболы направлены вверх, так как ; б) найдем нули функции .

2. По графику определяем, что при функция принимает положительные значения и при функция принимает отрицательные значения.

3. Решением неравенства являются такие значения , при которых знак неравенства совпадает со знаком функции, то есть .

Ответ. .

Решение квадратных неравенств методом интервалов (применяем при решении квадратных неравенств, для которых имеет действительные корни)

1. Найдем такие значения , при которых выражение равно нулю.

2. Разложим левую часть неравенства на множители (используем способы разложения многочленов на множители) и решаем неравенство методом интервалов.

3. Отметим полученные числа на числовой прямой и определим знак выражения на каждом числовом промежутке (методом пробной точки или с помощью теоремы о старшем коэффициенте квадратного трехчлена).

4. Выбираем решение по знаку неравенства: а) там где «+»; б) там где «-».

Пример

Решить неравенство .

1. Найдем такие значения , при которых выражение равно нулю: .

2. Разложим левую часть неравенства на множители:

и решаем неравенство методом

интервалов.

3. Отметим полученные числа -1 и 3 на числовой прямой и определим знак выражения на каждом числовом промежутке.

4. Выбираем решение по знаку неравенства: а) .

Ответ. .