Урок математики. Тема: «Треугольник. Взгляд в будущее и в прошлое»

Г.Астана

Средняя школа №16 им. Т. Айбергенова

Учителя математики:Газизова Т.Н.-9 классы

Воронцова Т.В.-11 классы

Тема: «Треугольник .Взгляд в будущее и в прошлое».

«…Ум заключается не только в знаниях, но и в умении прилагать знания на деле».

Аристотель

«То, что я понял, прекрасно из этого я заключаю, что остальное, чего я не понял, тоже прекрасно».

Сократ

Цель урока: обобщение знаний учащихся по теме «Решение треугольников».

Учебно-воспитательные задачи:

1.Обощить знания по теме «Треугольник» , его элементы и свойства, усвоение теоремы Пифагора, основных формул вычисления площади треугольника, использование теоремы косинусов, теоремы синусов, соотношение между сторонами и углами при решении задач, показать связь геометрии на плоскости с геометрией в пространстве, прикладной характер геометрических расчетов.

2.Развивать навыки логического мышления, вычислительные навыки, графические навыки, пространственное воображение, навыки самостоятельной работы , интерес к изучаемому материалу.

3.Воспитывать положительные отношение к учебному процессу, чувство уважения и любви к земле, на которой живешь, к культурному наследию предков, воспитывать стремление к труду, чувство красоты и гармонии.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Оборудование, наглядные пособия: схемы, таблицы. Слайды, интерактивная доска, музыкальное сопровождение, чертежные принадлежности.

Ход урока:

Вступительное слово: Уважаемые ребята, сегодня у нас необычный урок-урок по вертикали. В нем принимают участие ученики девятых и одиннадцатых классов, урок проводят два учителя. На уроке присутствует много гостей, а гости- это всегда хорошо. Казахская народная пословица гласит: «Гости в доме-счастье в доме». Цель нашего урока- показать последовательность изучения материала и его практическое применение при решении задач. Создадим дружелюбное настроение. Улыбнитесь друг другу, желаем удачной работы на уроке.Наш урок начинает учащийся 9-го класса.

Вступительное слово учителя по организации учащихся по принятию познавательной задачи:

-определение треугольника

-элементы треугольника

-свойства треугольника

-виды треугольников по длине его сторон с решением задач

С

С

С

А

В

А

А

В

В

Решить задачи:

1. Определить вид треугольника 2. Найдите известный элемент треугольника

А К

9м

B 4м С М 8м N

3.Найдите угол при основании равнобедренного треугольника

А К

145

В С

М N

60

?

?

В

M

Dиды треугольников по величине его углов с решением задач.

C A

A

N

F

E

Решение задач:

1.Один из углов прямоугольного треугольника равен 37 градусов. Найдите его углы?

2.Является ли треугольник со сторонами 8 см, 11см, 7 см прямоугольным?

3.Найдите катеты и углы прямоугольного треугольника?

2,6 см

Р=5,6 см

1.7см

C

A

А сейчас займемся самопроверкой.

Вид треугольника

равнобедренный

равносторонний

разносторонний

Прямоугольный

Тупоугольный

Остроугольный

Следующими в наш урок включаются учащиеся 8 классов.

Вступительное слово учителя.

«Поговорим о Пифагоре. Пифагор-самый популярный ученый не только в Античности, но и в наши дни. Родился Пифагор в середине VI века до н.э. Отец Пифагора, Мнесарх, был резчиком по драгоценным камням».

Пифагорийская система знаний состояла из 3 разделов:

-учение о числах-арифметика

-учение о фигурах-геометрия

-о строении вселенной- астрономия, а так же музыки

Пифагор учит: «Беги от всякой хитрости, любым орудием отсекай от тела болезнь, от души-невежество, от утробы-роскошества, от семьи-ссору, от всего, что есть-неумеренность».

Большое внимание Пифагорийцы уделяли физическим упражнениям, а сам Пифагор был олимпийским чемпионом по кулачному бою. Большое значение придавали числам и считали:

-5-символизирует цвет

-6-холод

-7-разум, здоровье и свет

-8-любовь и дружбу

Пифагорийцы заметили, что если складывать последовательно нечетные числа 1+3+5+7+….т.д., то после каждого сложения будут получаться полные числовые квадраты 1,4,9,16 и ….. т.д. Одной из знаменитой теорем является Теорема Пифагора. Теорема звучит «Площадь квадрата, построенного на гипотенузы(т.е. большей стороне)прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах(меньших сторонах).» Рассматривая иллюстрацию этой теоремы, сложилось шутливая поговорка «Пифагоровы штаны на все стороны равны.»

c²=a²+b²

В

с

а

С

А

С

Bледующим этапом мы рассмотрим такие понятия-площадь, основание, высота, катеты, гипотенуза, синус угла, периметр треугольника.

1

A) 2)

5

x

x

S=?

4

C

C

A

3

K

D

2

A

D

3) 4)

12

38

x

H

C

C

A

D

8

5

50

M

S=?) 6)

h=4

C

A

K

И

A

Aспользуя формулы нахождения площади треугольника, решим задачи.

1. 2

   S=?

   S=?)

h

S=½ ah

3

C

C

Найти квадрат его сторон

3

A

S=?

6

A

S=?) 4)

25

70

29

C

C

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

S=½ bc*sina

5

A

)

C

120

S=½ bc*sina

Защита решений задач.

П

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)одводя итог нашей части урока, составим кластер нахождения площади треугольников.

S=½ ah

S=½ bc*sina

S= площадь

треугольника

S= (a²sin-sin)/(2sin)

S=(a4b²-a²)/4

Далее наш урок продолжит учащиеся9 классов.

Вступительное слово учителя.

Устная работа.

1.Что, значит, решить треугольник?

Решить треугольник- это значит по трем основным его элементам найти другие основные элементы.

2. Сколько данных и какие надо иметь, чтобы решить треугольник?

Среди основных элементов должна быть, по крайней мере, одна сторона, т.к. если данными окажутся три угла, сумма которых равна 180 градусов, то существует бесконечно много треугольников с данными углами, подобных друг другу. В этом случае говорят, задача не определена.

3. Перечислите, какие случаи решения треугольников вы изучали? Объясните решение каждого случая в общем виде.

Дано: a,,

Найти: b,c,

Дано: a,b,c

Найти:,,

=180-(+)

Дано: a,b,

Найти: с,а,

=180-(+)

4.Какие теоремы мы используем при решении задач?

Теорема косинусов, теорема синусов, сумма углов треугольника.

2 этап. Решение задач, связанных с измерительными работами на местности.

Задача №1.Что является символом нашего изучения высоты города?

Байтерек.

Давайте в общем виде найдем высоту Байтерека.

1 способ решения: для этого отметим точку В на определенном расстоянии а от основания H Байтерека и измерим угол ABH: угол ABH=. По этим данным из прямоугольного треугольника ABH находим высоту предмета:

2 способ решения: если основание предмета не достигнуто, то можно поступить так: на прямой, проходящей через H Байтерека, отметим 2 точки В и С на определенном расстоянии а друг от друга и измерим углы ABH и ACB: угол ABH= и угол ACB=. Эти данные позволяют определить все элементы треугольника ACB, в частности АВ. В самом деле, угол ABH - внешний угол треугольника АВС, а внешний угол равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним =+, отсюда =-. Используя теорему синусов, находим АВ:

Из прямоугольного треугольника АВН находим высоту АН предмета

,

Задача 2. Измерение расстояния до недоступной точки.

Определить расстояние АС до недоступной точки.

1 способ: решим задачу, используя признак подобия треугольников.

Треугольник АСВ треугольнику АDD₁ (по двум углам). Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

2 способ: на местности выберем точку В из измерим длину С отрезка АВ. Затем измерим, с помощью астролябии, углы А и В:угол А=, угол В=.Эти данные: С, ,,позволяют решить треугольник АВС и найти искомое расстоянии АС.

3 этап: Решение олимпиадной задачи.

Задача 3(олимпиадная)

Дано: S=¼(a²+b²)

Найти: ∠А, ∠В, ∠С

Решение:

S=½absin∠c и S=¼(a²+b²)

½absin∠c= ¼(a²+b²)

Т.к. sin∠c≤1, то

Но , поэтому

Тогда sin∠c=1, значит ∠С=90

Т.к. a=b, то ∠А=45 ∠В=45

Ответ:∠С=90,∠А=45, ∠В=45

Заключительную часть урока проводят учащиеся 11 классов. Они проведут ее самостоятельно.

Вступительное слово: «Треугольник- одна из самых простейших геометрических фигур. Многие свойства треугольника были открыты в Древности. Несмотря на свою простоту, они не перестают удивлять и восхищать всех, кто умеет думать и наблюдать. До сих пор мы рассматривали треугольники на плоскости, то есть в двухмерном пространстве, но предметы окружающего нас мира имеют пространственную форму. Есть треугольники, все углы у которых равны 90 - это сферическая геометрия, которые в курсе школьной геометрии не изучают. Мы рассматриваем треугольники в трехмерном измерении, этот раздел называется стереометрия. Т.к. треугольник-простейший многоугольник, так и пирамида- простейший многогранник, боковые стороны которого являются треугольниками и имеют одну общую вершину.(Рассмотреть макеты пирамид, показать все элементы пирамид). Рассмотренные свойства треугольника на плоскости полностью выполняются в пространстве. Мы хотим показать практическое применение свойств треугольника при решении некоторых инженерных задач, при возведении некоторых монументальных объектов нашего города.

Решение задач:

Несмотря на простоту пирамид, они являются самыми грандиозными сооружениями мира- это Египетские пирамиды и пирамиды Лувра. В нашем городе в столице Республики Казахстан есть прекрасное сооружение- Дворец Мира и Согласия, которое по своей конструкции является пирамидой, по красоте и величию не уступающей более древним пирамидам.

Слайд №1.

Нахождение площади остекления( т.к. внешний фасад дворца полностью стеклен), и внутренние объемы воздуха. Дворец мира и согласия представляет собой пирамиду в основании которой лежит квадрат.

S_отек =4 Sгг(м²)

S_гран. =1/2 *ah(апофема)

S_остек. =4*1/2*ah=2ah (м²)

S

D

A

H

C

h

K

O

h= 32² +64² =1024+4096=5120=71.6 м

S_гр=1/2*71,6*64≈2289,7(м²)

S_ост=2289,7*4≈91589 (м²)

Площадь бокового остекления пирамиды ≈ 91589 м². Для нахождения внутреннего объема воздуха используем форму объема пирамиды

Объем внутреннего воздуха = 87381 м³

Слайд №2

01

R111

A

H

0

S₃=∏R₃²

R₃²=R²-H²

S₃=(R²-H²)∏

Визитной карточкой Астаны является монументальное сооружение Байтерек. Основной элемент Байтерека- сфера. Внутри сферы расположены 3 этажа. Найжем площадь одного из этих этажей. При сечении сферой плоскостью в сечении получается круг, площадь которого равна S=∏R² .

Используя Теорему Пифагора, находим R² _этажа = R²_{байтерека}-Н² .

Площадь этажа S_этажа = ∏(R²-Н²) (м²)

Рассмотрев эти примеры, вы убедились в прикладном характере геометрии.

Заканчивая этот урок, вы убедились, что в изучении геометрии «нет царских путей» и путь познания тернист, но интересен. Чтобы получить знания, нужно пройти весь путь.

Рефлексия: Итак, ребята, давайте вспомним, какова была цель нашего занятия? Как вы думаете, мы достигли это цели? Какая для вас из предложенных задач была интересной?

Давайте оценим нашу работу на уроке. Перед вами карточка с изображением горы. Если вы считаете, что хорошо потрудились на уроке, разобрались в задачах, то нарисуйте себя на вершине горы. Если осталось что-то неясно, нарисуйте себя ниже. Мы себя нарисовали на вершине горы, потому что вы смогли использовать свои знания по данной теме на практике.

Звучит музыка (песня «Утро Столицы», показ слайдов оригинальных объектов строения города Астаны.

Учителя благодарят детей за урок: «Спасибо за урок!»