Теоретические факты для подготовки к решению планиметрических задач повышенного и высокого уровня сложности

Теоретические факты для подготовки к С4.

Треугольник

Неравенство треугольника:

Теорема синусов:

Теорема косинусов:

Площадь треугольника:

(формула Герона)

,
r- радиус вписанной окружности

,
R - радиус описанной окружности

Равносторонний треугольник

Прямоугольный треугольник

Теорема Пифагора:

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Свойство биссетрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, прилежащие пропорциональным сторонам.

Подобные фигуры и площади

(отношение всех линейных размеров)

Высоты и подобие

Если в треугольнике проведены высоты и , то , причем
=.

Отношение площадей 1

Если у двух треугольников равны высоты, то их площади относятся, как длины их оснований.

Отношение площадей 2

Отношение площадей 3

Если у двух треугольников есть равные углы, то их площади относятся как произведения длин сторон, содержащих равные углы.

Медиана и равновеликие фигуры

Медиана треугольника разбивает его на два равновеликих.

Свойство биссектрисы параллелограмма

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Диагональ и равновеликие фигуры

Диагональ параллелограмма разбивает его на два равновеликих треугольника.

Диагонали и равновеликие фигуры

Диагонали параллелограмма разбивают его на четыре равновеликих треугольника.

Равнобедренная трапеция

,

где средняя линия трапеции

Трапеция и площади

Диагонали трапеции разбивают её на два равновеликих треугольника, прилегающих к боковым сторонам, и два подобных треугольник, прилегающих к основаниям.

Центральные и вписанные углы

Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Если центральный и вписанный углы опираются на одну дугу, то вписанный угол равен половине центрального угла.

Отрезки касательных

Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны.

Равноудаленные хорды

Хорды, равноудалённые от центра окружности, равны.

Свойство радиуса, перпендикулярного хорде

Радиус (диаметр) окружности, перпендикулярный некоторой хорде, делит её пополам.

Описанная около треугольникаокружность

O-точка пересечения серединных перпендикуляров.

Для остроугольного треугольника центр внутри.

Для прямоугольного треугольника центр на гипотенузе.

Для тупоугольного треугольника центр снаружи.

Серединный перпендикуляр - это множество точек, равноудаленных от концов отрезка.

Вписанная в треугольник окружность

O-точка пересечения биссектрис

, P- периметр

Биссектриса угла - это множество точек, равноудаленных от его сторон.

Формула Эйлера для треугольника

расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Формула Эйлера для четырёхугольника

Вневписанная окружность и треугольник

O-точка пересечения биссектрис внешних углов A и C

,

p- полупериметр

Касательная, секущая и хорда

Квадрат касательной равен произведению длины секущей на её внещнюю часть

Угол между касательной и секущей равен полуразности дуг, заключенных внутри

Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключенной внутри

Две секущие

Произведение длины секущей на её внешнюю часть есть величина постоянная, не зависящая от выбора секущей.

Угол между секущими равен полуразности дуг, заключенных внутри

Две хорды

Если две хорды пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды

Угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных внутри

Вписанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180⁰.

Вписанная трапеция

Трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда она равнобедренная.

Описанный четырёхугольник

Четырёхугольник можно описать около окружности тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.

Квадрат

Правильный шестиугольник

Пересекающиеся окружности

Общая хорда двух окружностей перпендикулярна линии их центров и делится ею пополам.

Касающиеся окружности

При любом способе касания двух окружностей точка их касания и центры этих окружностей лежат на одной прямой.

Квадрат расстояния между точками касания касающихся окружностей равен учетверённому произведению длин их радиусов.

Непересекающиеся окружности и их общая касательная