- Преподавателю
- Математика
- В помощь ученику при обучении математики
В помощь ученику при обучении математики
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Королева А.Д. |
Дата | 07.04.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
Параллелограмм
Определение Параллелограмм - это
четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны, т е лежат на параллельных прямых
Свойства параллелограмма
-
В параллелограмме противоположные углы равны.
-
В параллелограмме противоположные стороны равны.
-
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Признаки параллелограмма
-
Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник параллелограмм.
-
Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник параллелограмм.
-
Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм
Прямоугольник
Определение Прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые
Свойства прямоугольника
-
Диагонали прямоугольника равны.
-
В прямоугольнике противоположные углы равны.
-
В прямоугольнике противоположные стороны равны.
-
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.
Признаки прямоугольника
-
Если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
-
Если в параллелограмме один угол прямой, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Ромб
Определение Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны
Свойства ромба
-
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
-
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
-
Высоты ромба равны.
-
В ромбе противоположные углы равны.
-
В ромбе противоположные стороны равны.
-
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.
Признаки ромба
-
Если диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом, то этот параллелограмм - ромб.
-
Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм - ромб.
-
Если стороны четырехугольника равны, то это ромб.
Квадрат
Определение Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны равны
Свойства квадрата
-
Диагонали квадрата равны
-
В квадрате противоположные углы равны.
-
В квадрате противоположные стороны равны.
-
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
-
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
-
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
Дополнительные свойства четырехугольников
Параллелограмм.
1.Биссектриса угла парал-ма отсекает от него равноб-ный тр-к.
2.Биссектрисы соседних углов парал-ма перпендикулярны, а
биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат
на одной прямой.
3.Диагонали парал-ма делят его на 4 равновеликих треуг-ка.
4.Высоты парал-ма, опущенные из одной вершины, образуют
угол, равный углу параллелограмма при соседней вершине.
5.Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
квадратов его четырех сторон.
Ромб
1.В ромб можно вписать окружность: r = 0,5 h = 0.5 а sinA.
Трапеция
1.Середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка
пересечения продолжения боковых сторон лежат на одной
прямой.
2.В трапеции через точку пересечения диагоналей О проведен
отрезок PQ, параллельно основаниям:
ав 2ав
OQ=OP= --------, PQ = ------- , где а и в основания трапеции.
а + в а + в
3.В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда,
когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.
4.Если центр описанной окружности лежит на основании
трапеции, то ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
5.Отрезок FP, параллельный основаниям трапеции и делящий
трапецию на две равновеликие части
а2 + в2
FP = √---------
2
Площади плоских фигур
Квадрат - равносторонний прямоугольник. Квадрат является правильным многоугольником.
Прямоугольник - четырехугольник, у которого все углы прямые
d1 = d2
Параллелограмм - четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны.
Ромб - параллелограмм, у которого выполняется одно из условий:
1) все стороны равны
2) диагонали взаимоперпендикулярны
3) диагонали делят углы параллелограмма пополам
Трапеция - выпуклый четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие непараллельны.
Круг - часть плоскости, лежащая внутри окружности
Треугольник - многоугольник с тремя сторонами.
p=(a+b+c)/2
S = r*p, p -полупериметр
Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого две его стороны равны.
Равносторонний треугольник - треугольник, в котором все стороны равны. В таком треугольнике все углы по 60 градусов.
Произвольный четырехугольник
Эллипс - коническое сечение, когда секущая плоскость пересекает лишь одну полость кругового конуса и не параллельна ни одной из его образующих.
Треугольники
Прямоугольный треугольник
1. Теорема Пифагора: а2 + в2 = с2.
2. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и его проекции на гипотенузу
а2 = с * ас, в2 = с * вс или а = √ с * ас , в = √ с * вс - среднее пропорциональное.
3. Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению проекций
катетов на гипотенузу: h2 = ас * вс или h = √ ас * вс
4. Произведение катетов равно произведению гипотенузы и высоты, опущенной на
гипотенузу: а * в = с * h
5. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы: mс = ½ с
6. Радиус описанной окружности равен половине гипотенузы: R = mс = ½ с
7. Сумма катетов равна удвоенной сумме радиусов описанной и вписанной
окружностей: а + в = 2 (R + r), r = p - с.
Произвольный треугольник
в2 + с2 - а2
1. Теорема косинусов: а2 = в2 + с2 - 2вс соsА, соsА = ----------------
2вс
а в с
2. Теорема синусов: ----- = ------ = ------
sinА sinВ sinС
S l2m2h2 а2
3. Для подобных треугольников: ------ = ------- = ------- = ------- = ------- = к2
S1l21m21h21 а21
Свойства медиан
1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой
пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
2. Каждая медиана делит треугольник на два равновеликих.
3. Если известны стороны треугольника, то mа = 1/2 √2в2 + 2с2 - а2.
Свойства биссектрис
1. Три биссектрисы пересекаются в одной точке О, лежащей внутри треугольника.
О - центр вписанной окружности.
2. Биссектриса делит стороны треугольника на отрезки, пропорциональные двум
другим сторонам: а1/а2 = в/с.
3. Если известны стороны треугольника, то lа =√ вс - а1а2.
Свойства высот
1.Высоты треугольника обратно пропорциональны его сторонам:
ha :hb: hc =1/а : 1/в : 1/с
2S
2. Высота треугольника: ha= ------
а
Свойства равнобедренного треугольника
1. Углы при основании равны.
2. Высота, проведенная из вершины треугольника, является медианой, биссектрисой
3. Высоты, медианы, биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.
Свойства правильного треугольника
1. Все углы правильного треугольника равны 60°.
2. Только в правильном треугольнике совпадают точки пересечения медиан,
биссектрис, высот и серединных перпендикуляров. Эта точка называется центром
правильного треугольника и является центром вписанной и описанной
окружностей.
3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении 2 : 1, считая от
вершины. 2 а
4. Только в правильном треугольнике R = 2r = -- h = ---
3 √ 3
№
Ф.И. ученика
парал-
лелограмм
прямо-
угольник
ромб
квадрат
Вопрос
1
Противоположные стороны параллельны и равны
2
Все стороны равны
3
Противолежащие углы равны, сумма соседних углов равна 180°
4
Все углы прямые
5
Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам
6
Диагонали равны
7
Диагонали перпендикулярны, являются биссектрисами его углов