Памятка Периодические дроби для учащихся при подготовке к экзаменам

Памятка: периодические дроби

Бесконечные десятичные дроби, в которых одна или несколько цифр неизменно повторяются в одной и той же последовательности, называются периодическими десятичными дробями.

Совокупность повторяющихся цифр - период П дроби.

0,(6) - П₁ 0,6(6) - П₂

число до П₁ число до П₂

0,5(232) 0,5232(232) или 0,5(232)

Периодические дроби

Чистая - период П начинается сразу после запятой 2,3636363… = 2,(36)

Смешанная - между запятой и I периодом П₁ есть одна или несколько неповторяющихся цифр 1,08333… = 1,08(3)

1,(45) = 12,58(3) = , т.е.

столько «9…9», столько «9…9», столько «0…0»,

сколько цифр в П сколько цифр в П сколько цифр до П

Чтобы обратить чистую периодическую дробь в обыкновенную, достаточно записать числителем ее период, а знаменателем - число, выраженное столькими девятками, сколько цифр в периоде.

Чтобы обратить смешанную периодическую десятичную дробь в обыкновенную, достаточно из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и полученную разность взять числителем, а в знаменателе написать число, выраженное столькими девятками, сколько цифр

в периоде и со столькими нулями на конце, сколько цифр между запятой и периодом.

Если обыкновенная несократимая дробь обращается в бесконечную десятичную дробь, то последняя будет обязательно периодической, причем,

• если у знаменателя дроби нет множителей 2 и 5, то будет чистой периодической;

• если же знаменатель имеет множители 2 или 5, она будет смешанной.

= 0,(185), т.к. 27 = 3³ - нет множителей 2 и 5; = 0,58(3), т.к. 12 = 2² · 3 - есть множитель 2;

Если , и с взаимно простое с 10, то несократимая дробь превращается в такую бесконечную

десятичную, в которой число цифр от запятой до первого периода П₁ равно большему из показателей α и β,

а число цифр в периоде П равно числу цифр в наименьшем из чисел 9, 99, 999, …., которое делится на с.

1). Превратить

в обыкновенную дробь:

1. 3,1(73) 6. 2,11(7)

2. 0,2(1) 7. 1,(36)

3. 5,2(19) 8. 0,2(7)

4. 0,(13) 9. 5,(4)

5. 7,2(54) 10. 1,2(3)

6)

2). Решить примеры:

1. Найти НОД(90; 84) и НОК(90; 84); НОД(525; 588)

и НОК(525; 588); НОД(2205; 2475) и НОК(2205; 2475)

2. Напишите формулу чисел, дающих при делении

на 5 в остатке 3.

3). Сократить дробь: 4). Сложить дроби:

5). Привести дроби к общему знаменателю: