Статья на тему Значимость тригонометрических неравенств

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

НЕРАВЕНСТВ И ИХ ИЗУЧЕНИЕ В ШКОЛЕ

Д.В. Михеев,

Тема «Тригонометрические неравенства» является одним из основных разделов школьной алгебры. В связи с недостаточной разработкой данной темы в методическом плане эта тема интересует многих методистов в настоящее время. Tема интересна и с точки зрения истории. Данной темой и ее разработкой занимались многие ученые еще в древности.

Что такое тригонометрия? Скучные и никому не нужные формулы - скажут почти все старшеклассники. В этой статье сделаем попытку их разубедить. Слово «тригонометрия» искусственно составлено из греческих слов: «тригон»- треугольник и «метрезис»- измерение. Основная задача тригонометрии состоит в решении треугольников, т.е. в вычислении неизвестных величин треугольника по данным значениям других его величин. Так, в тригонометрии решают задачу о вычислении углов треугольника по данным его сторонам, задачу о вычислении сторон треугольника: по площади и двум углам и т.д. Так как любую вычислительную задачу геометрии можно свести к решению треугольников, то тригонометрия охватывает своими применениями всю планиметрию и стереометрию и широко применяется во всех разделах естествознания и техники.

Учение о решении сферических треугольников называется сферической тригонометрией; в противоположность этому учение о решении обычных треугольников называют плоской или прямолинейной тригонометрией.

Впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника, были найдены древнегреческими астрономами Гиппархом (2 в. До н.э.) и Клавдием Птоломеем (2 в. До н.э.)

Позднее зависимости между отношениями сторон треугольника и его углами начали называть тригонометрическими функциями.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543)-творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1601) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а так же в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского и сферического треугольника потрем данным. Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер, т.е. факты, которые мы сейчас формулируем в терминах тригонометрических функций, формировались и доказывались с помощью геометрических понятий и утверждений.

Начиная с XVII в. тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движение различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались, и приобрели важные значения для всей математики. Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII века Леонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук. После Эйлера тригонометрия приобрела форму исчисления: различные факты стали доказываться путем формального применения формул тригонометрии, доказательства стали намного компактнее, проще.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

В течение всех лет обучения в школе решают различные виды уравнений и неравенств. Не сосчитать, сколько линейных, квадратичных, дробно-рациональных уравнений и неравенств решили ученики за эти годы. Однако в старших классах при решении показательных или логарифмических неравенства, когда после преобразования ученик переходит к алгебраическому неравенству, он все равно допускает ошибки. Это не удивительно, решение уравнений и неравенств - один из наиболее трудных вопросов. Действительно, чтобы правильно решить уравнение или неравенство, нужно уметь проводить тождественные преобразования входящих в него выражений, нужно уметь безошибочно вычислять, нужно знать, какие способы решения неравенств в каких случаях целесообразнее применить. Очевидно, что уравнения и неравенства, изучаемые в старшей школе, осваиваются учащимися хуже, так как на их рассмотрение отводиться незначительное количество часов, а при их решении ученику необходимо владеть комплексом умений, полученных в основной школе, а так же новыми знаниями, связанными с каждым из новых видов неравенств. Такого объема упражнений, который обычно предлагается в учебниках по алгебре и началам анализа для 10-11-х классов, явно недостаточно для формирования умения решать тригонометрические неравенства.

Решение тригонометрических неравенств стоит в одном ряду с такими важными темами, как решение числовых неравенств и решение систем неравенств с одной переменной. Исторически сложилось, что тригонометрическим уравнениям и неравенствам уделялось особое место в школьном курсе. Еще греки, на заре человечества, считали тригонометрию важнейшей из наук, ибо геометрия - царица математики, а тригонометрия - царица геометрии. Поэтому и мы, не оспаривая древних греков, будем считать тригонометрию одним из важнейших разделов школьного курса, да и всей математической науки в целом.