Конспект урока ФУНКЦИИ у = х–n (n N), ИХ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

У р о к 81 Функции у = х^-n (n  N), их свойства и графики

Цели: ввести определение степенной функции с целым отрицательным показателем; изучить графики и свойства функций вида у = х^-2n, научить строить графики и с их помощью графически решать уравнения.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (10-15 мин).

В а р и а н т I

1. Постройте график функции:

а) y = -x⁴; б) y = (x - 3)⁵ - 2.

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x⁶ на отрезке [- 2; 1].

3. Определите число решений системы уравнений:

В а р и а н т II

1. Постройте график функции:

а) y = -x⁵; б) y = (x - 2)⁴ - 3.

2. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y = x⁸ на отрезке [- 1; 2].

3. Определите число решений системы уравнений:

II. Изучение нового материала.

1. О п р е д е л е н и е. Функции вида у = х^-n, где n - натуральное число, называют степенными функциями с отрицательным целым показателем.

2. По определению степени с отрицательным показателем, х^-n =

Поэтому вместо записи у = х^-n можно использовать запись

3. В курсе алгебры 8 класса мы изучили функцию ее свойства и график (рис. 110 на с. 123 учебника). График - гипербола.

4. Рассмотрим функцию у = х^-2 = при х ≠ 0, ее график и свойства.

Рассмотрим таблицу значений функции у = , х > 0 (с. 101) и построение точек по координатам (рис. 111a и рис. 111б на с. 125 учебника).

Затем изучим построение графика у = х^-2 по рис. 112 на с. 126.

5. Записать в тетрадь свойства функции у = х^-2:

1) D(f) = (- ∞; 0) (0; + ∞);

2) четная функция;

3) убывает на открытом луче (0; + ∞), возрастает на открытом луче
(- ∞; 0);

4) ограничена снизу, не ограничена сверху;

5) нет ни наименьшего, ни наибольшего значений;

6) непрерывна при х < 0 и при х > 0;

7) Е(f) = (0; + ∞);

8) выпукла вниз и при х < 0, и при х > 0.

6. Рассмотреть функцию у = х^-2n.

Речь идет о функциях у = у = у = и т. д.

График такой функции похож на график функции у = (рис. 112).

Кривая у = асимптотически приближается к осям координат. Ось х (прямая у = 0) является горизонтальной асимптотой графика функции
у =, а ось у (прямая х = 0) вертикальной асимптотой этого графика.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 13.1 (а) устно.

2. Решить № 13.2 (в) на доске и в тетрадях.

3. Решить № 13.7 (а; б), используя график у = или график рис. 112 учебника.

а) у = х^-4 на отрезке [ 1].

у = у(1) = значит, у_наим = 1; у_наиб = 16.

б) на луче (- ∞; - 2]; у_наим не существует; у_наиб =

4. Решить № 13.9 (б; г) на доске и в тетрадях.

б) у = х^-4 и у = - 2; решим уравнение х^-4 = - 2; = - 2 - нет решений.

г) у = и у = | х |; решим уравнение = | х |.

тогда точки (- 1; 1) и (1; 1).

О т в е т: б) нет точек пересечения графиков функций; г) точки (- 1; 1) и (1; 1).

5. Решить № 13.15 (а; г).

Объясняет учитель.

а) у = х^-n; т очка (2; ); х = 2; у = ;

= 2^-n; 2^-8 = 2^-n; n = 8.

г) у = х^-n; точка (; 625), тогда ()^-n = 625; 5ⁿ = 5⁴; n = 4.

IV. Итоги урока.

Домашнее задание: изучить материал на с. 122-127 учебника; решить № 13.2 (а), № 13.7 (в; г); № 13.12, № 12.33^● (б).