РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ по дисциплине ОДП. 01 Математика основной профессиональной образовательной программы по специальности СПО 38. 02. 01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям). Геометрия

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«КАРТАЛИНСКИЙ МНОГООТРАСЛЕВОЙ ТЕХНИКУМ»

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по дисциплине ОДП.01 Математика

основной профессиональной образовательной

программы по специальности СПО

38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Геометрия

Разработчик: Неустроева О. В.

п. Бреды

2015 год

Рабочая тетрадь по дисциплине ОДП.01 Математика: Геометрия. Разработчик Неустроева Ольга Владимировна.

Рабочая тетрадь является частью программы подготовки специалистов среднего звена ГБОУ СПО (ССУЗ) КМТ БФ по специальности СПО 080114 «Экономика и бухгалтерский учет» (по отраслям).

Рабочая тетрадь предназначена для обучающихся первого года обучения.

Рабочая тетрадь представляет собой методические рекомендации к практической части «Геометрия». Работа с тетрадью позволяет значительно повысить общую подготовку обучающихся по дисциплине. Основные задачи: ознакомить обучающихся с содержанием дисциплины; привить навыки использования этих знаний в практической деятельности.

Рабочая тетрадь содержит краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практической работы обучающихся и инструкцию по их выполнению, методику анализа полученных результатов.

Для обучающихся социально - экономических дисциплин.

ФИ обучающегося_____________________________________ № группы____________

Специальность Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям).

Оценивание индивидуальных образовательных достижений по результатам выполнения практических заданий производится в соответствии с универсальной шкалой (таблица):

Примечание. Нумерация тем дана по логической схеме учебной программы по дисциплине «Математика».

СОДЕРЖАНИЕ

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве

5

Аксиомы стереометрии и следствия из них. Определение и признаки параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.

5

Определение и признак параллельности прямой и плоскости.

9

Определение и признак параллельности плоскостей.

10

Определения, свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей.

12

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве

14

Определение и признак перпендикулярности прямых в пространстве, прямой и плоскости.

14

Определение расстояния от точки до плоскости. Наклонная и её проекция на плоскость.

16

Тема 22 Теорема о трех перпендикулярах. Определение и признак перпендикулярности плоскостей.

18

Определение, свойства и признак перпендикулярности плоскостей. Определения углов между прямыми, между прямой и плоскостью.

20

Определение угла между плоскостями. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

23

Многогранники. Площади поверхностей и объёмы многогранников

25

Определения многогранных углов, многогранников, призмы и её элементов. Призма, площадь ее поверхности.

25

Призма, площадь ее поверхности. Параллелепипед, его виды и площадь поверхности.

28

Свойства параллелепипеда. Основные принципы построения сечений

29

Пирамида, её элементы, площадь поверхности и объём.

36

Пирамида, её элементы, площадь поверхности и объём. Правильные многогранники.

39

Тела вращения, площади их поверхностей и объёмы

46

Цилиндр, его элементы, площадь поверхности, формула объема.

46

Цилиндр, его элементы, площадь поверхности и объём. Конус, его элементы, площадь поверхности и объём.

48

Определение шара и сферы и их элементов. Формулы площади сферы и объёма шара.

50

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Тема 15. Аксиомы стереометрии и следствия из них. Определение и признаки параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве.

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости.

Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

А
В (точки А, В, С лежат в плоскости )
С

рис. 4

А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

АB
Прямая АВ лежит в плоскости

рис. 5

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

а = М
Прямая а и плоскость пересекаются в точке М.

рис. 6

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

= a
и пересекаются по прямой а.

рис. 7

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.
Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Следствие 3. Через две параллельные прямые проходит плоскость и притом только одна.

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

рис. 1

a || b (прямая а параллельна прямой b)
прямая с и прямая а не параллельны
прямая с и прямая b не параллельны

Теорема о параллельных прямых. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

рис. 2

Ma
b||а и Мb (b - единственная)

Определение. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

рис. 3

отрезок СD || отрезку АВ

Свойства параллельных прямых

Свойство 1. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

рис. 4

Свойство 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

рис. 5

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Признак скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

рис. 6

a
b = K
Ka

=> a и b - скрещивающиеся прямые.

Выводы:

Случаи взаимного расположения прямых в пространстве.

рис. 7 Пересекающиеся прямые (лежат в одной плоскости).

рис. 8 Параллельные прямые (лежат в одной плоскости).

рис. 9. Скрещивающиеся прямые (не лежат в одной плоскости).

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Замечания:

рис. 10

лучи ОА и О₁А₁ сонаправлены
лучи А₂В₂ и О₂В₂ сонаправлены
лучи О₃А₃ и О₁А₁ не являются сонаправленными

рис. 11

ОА||О₁А₁
ОВ || О₁ В₁, то угол АОВ равен углу А₁О₁В₁
(углы с сонаправленными сторонами)

Угол между прямыми.

рис.12

Если - меньший из всех образованных углов, то угол (a; b) =

рис. 13

а и b - скрещивающиеся прямые.
М - произвольная точка пространства, через которую проведём прямые а₁||а и b₁||b

Задание № 1.

Определите: верно, ли суждение?

Ответьте «да» или «нет».

1. Любые три точки лежат в одной плоскости. ______

2. Любые четыре точки лежат в одной плоскости. ______

3. Любые четыре точки не лежат в одной плоскости. __________

4. Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна. __________

5. Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. ________

6. Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника. ________

7. Если прямые не пересекаются, то они параллельны. _______

8. Если плоскости не пересекаются, то они параллельны. _______

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 16. Определение и признак параллельности прямой и плоскости.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая a параллельна плоскости α, то пишут a || α.

Теорема. Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Еще два утверждения, которые используются при решении задач.

1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2. Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Задание № 2.

Ответьте на вопросы:

1. Как могут располагаться прямые в пространстве?

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Как могут располагаться прямая и плоскость в пространстве?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Приведите примеры параллельности прямой и плоскости из обычной жизни.

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Сделайте краткую запись следующего предложения:

Прямые f, h параллельны плоскости β.

_________________________________________________________________

2. Сделайте краткую запись всего, что изображено на рисунке.

с___________________________________________________________

_____________________________________________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 17. Определение и признак параллельности плоскостей.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. (Аксиома).

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признак параллельности плоскостей.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей.

1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.

a || b

2. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Задание № 3.

Ответьте на вопросы:

1. Как могут располагаться плоскости в пространстве?

__________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Приведите примеры параллельности плоскостей из обычной жизни.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Приведите бытовые примеры на свойства параллельности плоскостей.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решите задачи: в обеих задачах плоскости α и β параллельны.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 18-19. Определения, свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой нибудь прямой в этой плоскости, то эта прямая параллельная данной плоскости.

Следующие теоремы могут понадобиться при решении задач.

Теорема. Если плоскость β проходит через данную прямую a , параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой b , то b∥a .

Теорема. Если одна из двух параллельных прямых a∥b параллельна данной плоскости α , то другая прямая либо параллельна этой плоскости либо лежит в этой плоскости.

Задание № 4.

Решите следующие задачи.

1.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

2.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

3.

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

_____________________________________________________

4.

_________________________

_________________________

_________________________

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

__________________________

___________________________

___________________________

__________________________

___________________________

___________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

Тема 20. Определение и признак перпендикулярности прямых в пространстве, прямой и плоскости.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90^o.

рис. 1

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.

Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.

рис. 2

Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей.

Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

рис. 3

1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.

2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

рис. 4

Теорема. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Замечания.

1. Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.

2. Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

3. Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Задание № 5.

Решите следующие задачи.

Для всех заданий точка М лежит вне плоскости АВС.

1.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

2.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

3.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

4.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

5.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 21. Определение расстояния от точки до плоскости. Наклонная и её проекция на плоскость.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Рассмотрим плоскость и точку А, не лежащую в этой плоскости. Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости , и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью . Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости , а точка Н - основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок АМ. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости , а точка М - основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость . Сравним перпендикуляр АН и наклонную АМ: в прямоугольном треугольнике АМН сторона АН - катет, а сторона АМ - гипотенуза, поэтому АН < АМ. Итак, перпендикуляр, проведенный из данной точки к плоскости, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой плоскости.

А

М

Н

Следовательно, из всех расстояний от точки А до различных точек плоскости наименьшим является расстояние до точки Н. Это расстояние, т.е. длина перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости , называется расстоянием от точки А до плоскости .

ЗАМЕЧАНИЯ

1. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости , равноудалены от другой плоскости.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

Примером параллельных плоскостей возьмем пол и потолок комнаты. Высота комнаты будет расстоянием между двумя параллельными плоскостями.

2. Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. В этом случае расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

3. Если две прямые скрещивающиеся, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Задание № 6.

Решите следующие задачи.

1.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

2.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

3.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

4.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

5.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

6.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 22 Теорема о трех перпендикулярах. Определение и признак перпендикулярности плоскостей.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Эта теорема называется теоремой о трех перпендикулярах, т.к. в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами.

Справедлива также обратная теорема.

Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и ее проекции.

Угол между прямой и плоскостью.

Проекцией точки на плоскость называется основание перпендикуляра, проведенного из этой точки к плоскости, если точка не лежит в плоскости, и сама точка, если она лежит в плоскости.

Если строим проекции всех точек фигуры на плоскость, то получим проекцию фигуры на плоскость.

Проекцией прямой на плоскость, не перпендикулярную к этой прямой, является прямая.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую не перпендикулярную к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Если прямая перпендикулярна к плоскости, то ее проекцией на эту плоскость является точка пересечения этой прямой с плоскостью. В этом случае угол между прямой и плоскостью считается равным 90º.

Если прямая параллельна плоскости, то ее проекцией на плоскость является прямая, параллельная данной. В этом случае понятие угла между прямой и плоскостью не вводят. (Иногда договариваются считать, что угол между параллельными прямой и плоскостью равен 0º).

Задание № 7.

Ответьте на вопросы.

1. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах и обратную к ней. Почему эта теорема получила такое название?

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

2. Что является проекцией точки на плоскость?

_________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

____________________________________________________________________

3. Как найти угол между прямой и плоскостью? Сделайте рисунок.

Решите задачу:

1. Точка А лежит вне плоскости (подпишите на рисунке точку А и обозначьте плоскость), расстояние от точки А до плоскости 10 см (найдите его на рисунке и обозначьте), произвольная прямая с (подпишите ее на рисунке) лежит в данной плоскости и пересекает основание наклонной, проведенной из точки А к плоскости, под прямым углом (обозначьте все прямые углы на рисунке).

Угол между наклонной и ее проекцией равен 30º. Найдите длину наклонной и длину проекции.

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________Тема 23. Определение, свойства и признак перпендикулярности плоскостей. Определения углов между прямыми, между прямой и плоскостью.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Двугранный угол.

Углом на плоскости мы называем фигуру, образованную двумя лучами, исходящими из одной точки. В стереометрии наряду с такими углами рассматривается еще один вид углов - двугранные углы.

Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями. У двугранного угла - две грани, отсюда и название. Прямая а - общая граница полуплоскостей - называется ребром двугранного угла.

Измерение двугранных углов.

Отметим на ребре двугранного угла какую-нибудь точку и в каждой грани из этой точки проведем луч перпендикулярно к ребру. Образованный этими лучами угол называется линейным углом двугранного угла.

Двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов.

Все линейные углы двугранного угла равны друг другу.

Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его линейного угла.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Если один из углом равен φ, то три угла соответственно 180º - φ, φ, 180º-φ.

Если φ - тот из четырех углов, который не превосходит каждого из остальных, то говорят, что угол между пересекающимися плоскостями равен φ. Очевидно, что 0º<φ≤ 90º.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними 90º.

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Следствие.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Задание № 8.

Ответьте на вопросы.

1. Что такое двугранный угол?

___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Сделайте чертеж двугранного угла.

2. Что такое линейный угол двугранного угла?

___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

___________________________________________________________________

Сделайте чертеж линейного угла двугранного угла.

3. Сформулируйте признак перпендикулярности двух плоскостей.

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

_________________________________________________________________

Решите задачи:

1. Точка М лежит вне плоскости АВС.

М

С

В

D

А

Дано: ABCD - прямоугольник. Прямая МВ перпендикулярна плоскости АВС. Доказать перпендикулярность плоскостей АМВ и МСВ.

____________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Плоскости α и β перпендикулярны.

F

Е

β

В

С

α

D

А

Дано: ABCD и BCFE - прямоугольники. FC = 20, DC = 15. Найти расстояние между прямой BC и плоскостью ADF.

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка ________________ подпись преподавателя________________

Тема 24. Определение угла между плоскостями. Определение расстояния между скрещивающимися прямыми.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Угол между двумя пересекающимися по прямой c плоскостями и - это угол между двумя пересекающимися прямыми a и b, по которым плоскости и пересекаются с плоскостью , перпендикулярной к прямой c.

Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые, соответственно, параллельны заданным скрещивающимся прямым.

Из определения следует, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М. Поэтому, в качестве точки М можно взять любую точку, принадлежащую одной из скрещивающихся прямых.

Задание № 9.

Ответьте на вопросы:

1. Дайте определение угла между двумя пересекающимися плоскостями.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Сделайте чертеж.

2. Дайте определение угла между двумя скрещивающимися прямыми.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Сделайте чертеж.

Решите задачи:

1. MN - ребро двугранного угла. Точки А и В лежат в разных гранях двугранного угла.

Найти величину двугранного угла.

2. MN - ребро двугранного угла. Точки А и В лежат в разных гранях двугранного угла.

Найти

Оценка ______________ подпись преподавателя _______________________

Многогранники. Площади поверхностей и объёмы многогранников.

Тема 25. Определения многогранных углов, многогранников, призмы и её элементов.

Призма, площадь ее поверхности.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Несколько плоских углов с общим началом O, из которых никакие два не лежат в одной плоскости, образуют многогранный угол. Эти плоские углы при вершине многогранного угла называются гранями, а стороны этих углов - ребрами, точка O - вершиной многогранного угла. По числу граней многогранный угол называется трехгранным, четырехгранным и т.д. Если все грани многогранного угла находятся с одной стороны от каждой из плоскостей его граней, угол называется выпуклым. В данном курсе рассматриваются только выпуклые многогранные углы.

Теорема 1.

Каждый плоский угол многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.

Теорема 2.

Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.

Многогранником в трехмерном пространстве называется совокупность конечного числа плоских многоугольников такая, что

• каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого смежным с первым по этой стороне;

• от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя по очереди от одного многоугольника к другому, смежному с ним.

Многоугольники, из которых состоят многогранники, называются гранями, их стороны - ребрами, а их вершины - вершинами многогранника.

Многогранник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани.

Из этого определения следует, что все грани выпуклого многогранника являются плоскими выпуклыми многоугольниками. Поверхность выпуклого многогранника состоит из граней, которые лежат в разных плоскостях. При этом ребрами многогранника являются стороны многоугольников, вершинами многогранника - вершины граней, плоскими углами многогранника - углы многоугольников-граней.

В выпуклом многоугольнике сумма всех плоских углов при каждой из его вершине меньше 360⁰.

Призмой называется многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.

Грани призмы, отличные от оснований, называются боковыми гранями, а их ребра называются боковыми ребрами. Все боковые ребра равны между собой как параллельные отрезки, ограниченные двумя параллельными плоскостями. Все боковые грани призмы являются параллелограммами. Соответствующие стороны оснований призмы равны и параллельны. Поэтому в основаниях лежат равные многоугольники.

Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности. Высотой призмы называется отрезок, являющийся общим перпендикуляром плоскостей, в которых лежат основания призмы. Высота призмы равна расстоянию H между плоскостями оснований.

Сечение призмы плоскостью, проведенной через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани, называется диагональным сечением призмы. На чертеже показана четырехугольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁. Параллелограмм BDD₁B₁ - диагональное сечение призмы. По числу сторон основания призма называется треугольной, четырехугольной, пятиугольной и т.д.

Прямой призмой называется призма, у которой боковое ребро перпендикулярно плоскости основания, другие призмы называются наклонными.

Прямая призма называется правильной, если ее основания - правильные многоугольники. У такой призмы все боковые грани - равные прямоугольники. ( Почему?)

Площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности призмы - сумма площадей ее боковых граней.

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту:

Задание № 10.

Решите задачи.

Задача 1. Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 25 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите двугранные углы при боковых ребрах призмы.

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Задача 2. Через два противолежащих ребра куба проведено сечение, площадь которого равна 64√2 см². Найдите ребро куба и его диагональ.

____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка ______________ подпись преподавателя _______________________

Тема 26. Призма, площадь ее поверхности. Параллелепипед, его виды и площадь поверхности.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Теорема 1.

Каждый параллелепипед имеет центр симметрии.

Следствие 1.

Противоположные грани любого параллелепипеда равны и параллельны.

Прямоугольным называется параллелепипед, все грани которого прямоугольники.

Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется кубом.

Три ребра, выходящие из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями (длиной, шириной, высотой).

Теорема 2.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равняется сумме квадратов его измерений: d² = a² + b² +c².

Легко заметить, что все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Задание № 11.

Ответьте на вопросы:

1. Кратко опишите все, что Вы видите на рисунке. (Пример: d - диагональ параллелепипеда).

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 27. Свойства параллелепипеда. Основные принципы построения сечений.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Прямоугольный параллелепипед.

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Свойство прямоугольного параллелепипеда.

1. В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней - прямоугольники.

Полуплоскости, в которых расположены смежные грани параллелепипеда, образуют двугранные углы, которые называются двугранными углами параллелепипеда.

2. Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые.

3. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.

4. Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.

Прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом. Все грани куба - равные друг другу квадраты.

Основные принципы построения сечений.

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение.

В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;

• прямой и точкой;

• двумя параллельными прямыми;

• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

1. Метод следов.

2. Метод вспомогательных сечений.

3. Комбинированный метод.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;

• построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;

• построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;

• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;

• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

Будем рассматривать только случай, когда плоскость пересекает многогранник по его внутренности. При этом пересечением данной плоскости с каждой гранью многогранника будет некоторый отрезок. Таким образом, задача считается решенной, если найдены все отрезки, по которым плоскость пересекает грани многогранника.

Исследуйте сечения куба (рис.2) и ответьте на следующие вопросы:

Рис. 2

- какие многоугольники получаются в сечении куба плоскостью? (Важно число сторон многоугольника);

[ Предполагаемые ответы: треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник.]

Запомните. Наибольшее число сторон многоугольника, полученного в сечении многогранника плоскостью, равно числу граней многогранника.

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

2. Примеры построения сечений:

Пример 1.

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃ , которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL - искомое сечение.

Пример 2.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

MKNTPL - искомое сечение.

Задание № 12.

Задача 1.

Построить сечение призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже (рис.3)).

Решение.

Рис. 3

Инструкция к построению.

1. Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА₁В₁В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ.

2. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S₁, принадлежащую следу.

3. Аналогично получаем точку S₂ пересечением прямых QR и BC.

4. Прямая S₁S₂ - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы.

5. Прямая S₁S₂ пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D. Аналогично получаем TU и RT.

6. PQRTU - искомое сечение.

Задача 2.

Построить сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через точки M, N, P (точки указаны на чертеже (рис.4)).

Решение.

Рис. 4

Инструкция к построению.

1. Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда.

2. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения.

3. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА₁ в некоторой точке Х.

4. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА₁D₁D, соединим их и получим прямую XN.

5. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A₁B₁C₁D₁, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В₁С₁ в точке Y.

6. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение - MYZPNX.

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 28. Пирамида, её элементы, площадь поверхности и объём.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!.

Рассмотрим плоскость , многоугольник , лежащий в ней и точку S, не лежащую в ней. Соединим S со всеми вершинами многоугольника. Полученный при этом многогранник называется пирамидой. Отрезки называются боковыми ребрами.

Многоугольник называется основанием, а точка S - вершиной пирамиды. В зависимости от числа n пирамида называется треугольной (n=3), четырехугольной (n=4), пятиугольной (n=5) и так далее. Альтернативное название треугольной пирамиды - тетраэдр. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из ее вершины к плоскости основания.

Пирамида называется правильной, если правильный многоугольник, а основание высоты пирамиды (основание перпендикуляра) является его центром.

Все боковые ребра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками.

Апофемой пирамиды называется высота ее боковой грани. Если пирамида правильная, то все ее апофемы равны. Обратное неверно.

Площадь полной поверхности пирамиды:
Полощадью поверности пирамиды называется сумма площадей всех ее граней .
Площадь боковой поверхностии - сумма площадей всех боковых граней .
Если все апофемы равны (например в правильной пирамиде), то площадь ее боковой поверхности вычисляется по формуле , где p - полупериметр основания, а SK-апофема.

Формула объема пирамиды:
1) , где - площадь основания пирамиды, а -высота пирамиды
2) , где - радиус вписанного шара, а - площадь полной поверхности пирамиды.
3) , где MN - расстояние любыми двумя скрещивающимися ребрами, а - площадь параллелограмма, образованного серединами четырех оставшихся ребер.

Свойство основания высоты пирамиды:

Точка P (смотри рисунок) совпадает с центром вписанной окружности в основание пирамиды, если выполняется одно из следующих условий:
1) Все апофемы равны
2) Все боковые грани одинаково наклонены к основанию
3) Все апофемы одинаково наклонены к высоте пирамиды
4) Высота пирамиды одинаково наклонена ко всем боковым граням

Точка P совпадает с центром описанной около основания пирамиды окружностью, если верно одно их трех условий:
1) Все боковые ребра равны
2) Все боковые ребра одинаково наклонены к основанию
3) Все боковые ребра одинаково наклонены к высоте

Задание № 13.

Решите задачи.

1.SO - высота пирамиды. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

1.1

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

1.2

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

2. SO - высота пирамиды.

2.1

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

2.2.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 29. Пирамида, её элементы, площадь поверхности и объём. Правильные многогранники.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Многогранник называется правильным, если все его грани - равные правильные многоугольники, а все многогранные углы имеют одинаковое число граней.

Все ребра правильного многогранника - равные отрезки, все плоские углы правильного многогранника также равны.

Существует пять различных правильных многогранников (выпуклых): правильный четырехгранник (правильный тетраэдр), правильный шестигранник (куб), правильный восьмигранник (правильный октаэдр), правильный двенадцатигранник (правильный додекаэдр), правильный двадцатигранник (правильный икосаэдр).

Обозначения:

• а - длина ребра;

• V - объем;

• S_бок - площадь боковой поверхности;

• S_полн - площадь полной поверхности;

• R - радиус описанной сферы;

• r - радиус вписанной сферы;

• h - высота.

Тетраэдр - четыре грани - равносторонние равные треугольники. Тетраэдр имеет четыре вершины и шесть ребер

Куб - шесть граней - равные квадраты. Куб имеет восемь вершин и двенадцать ребер.

Октаэдр - восемь граней - равносторонние равные треугольники. Октаэдр имеет шесть вершин и двенадцать ребер

Додекаэдр - двенадцать граней - правильные равные пятиугольники. Додекаэдр имеет двадцать вершин и тридцать ребер.

Икосаэдр - двадцать граней - равносторонние равные треугольники. Икосаэдр имеет двенадцать вершин и тридцать ребер.

Задание № 14.

Творческое задание.

Вырежьте (по пунктирной линии) развертки правильных многогранников, наложите на картон и склейте, чтобы получить макеты этих пространственных фигур. Затем слева подпишите, что за пространственная фигура получилась. (Макеты тоже нужно сдать преподавателю).

_______________

________________

_______________

________________

________________

Подготовьте презентацию по теме «Величие природы в правильных многогранниках».

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тела вращения, площади их поверхностей и объёмы.

Тема 30. Цилиндр, его элементы, площадь поверхности, формула объема.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Определение: Прямым круговым цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг своей стороны.

Далее будем называть это тело цилиндром. На чертеже показан цилиндр, образованный при вращении прямоугольника AOO₁A₁ вокруг стороны OO₁, которая называется осью вращения (осью цилиндра) и является высотой цилиндра.

1. Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях. У цилиндра образующие параллельны и равны.

2. Поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность составлена из образующих.

3. Цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

4. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

5. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями оснований.

6. Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

7. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

8. Плоскость, проходящая через образующую прямого цилиндра и перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую, называется касательной плоскостью цилиндра

9. Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма, основания которой - равные многоугольники, вписанные в основание цилиндра. Ее боковые ребра являются образующими цилиндра.

10. Призма называется описанной около цилиндра. Если ее основания - равные многоугольники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее граней касаются боковой поверхности цилиндра.

Задание № 15.

Решите задачи.

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равен 60°. Найдите: а) высоту цилиндра; б) радиус цилиндра; в) площадь основания цилиндра.

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

2. Высота цилиндра разна 8 см, радиус равен 5 см. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, параллельной его оси, если расстояние между этой плоскостью и осью цилиндра равно 3 см.

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 31-32. Цилиндр, его элементы, площадь поверхности и объём. Конус, его элементы, площадь поверхности и объём.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Прямым круговым конусом называется тело, образованное при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.

Далее прямой круговой конус будем называть просто конусом. На чертеже показан конус, образованный в следствии вращения прямоугольного треугольника POA вокруг катета PO, называемого осью конуса, P называется вершиной конуса. Круг с центром O и радиусом OA называется основанием конуса. Отрезок, соединяющий вершину конуса с какой-нибудь точкой окружности основания, называется образующей конуса. На чертеже отрезки PA, PB, PM, PN - образующие конуса. Радиус основания конуса называется радиусом конуса.

Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на его основание. Осевым сечением конуса называется сечение конуса плоскостью, проходящей через его высоту. Плоскость, проходящая через образующую конуса и перпендикулярная осевому сечению, проходящему через эту образующую, называется касательной плоскостью конуса. При вращении образующей PA вокруг оси PO образуется боковая (коническая) поверхность конуса.

Разверткой боковой поверхности конуса (рис. 2) является круговой сектор.

Площадь боковой поверхности:

Площадь полной поверхности:

Объем:

Задание № 16.

Ответьте на вопросы:

1. Какое тело называется конусом?

______________________________________________________________________________________________________________________

2. Что такое высота конуса?

__________________________________________________________________________________________________________________________________

3. Как найти площадь боковой поверхности конуса?

_________________________________________________________________

4. Как найти объем конуса?

_________________________________________________________________

Решите задачи. SO - высота конуса.

1.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

2.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Тема 33. Определение шара и сферы и их элементов. Формулы площади сферы и объёма шара.

ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ!

Множество всех точек пространства, одинаково удаленных на расстояние R от данной точки O, называется сферой.

Сферу обозначают так: ω (O, R).

Можно определить сферу и как тело, образованное при вращении окружности вокруг своего диаметра.

Множество всех точек пространства, удаленных от данной точки O на расстояние, не большее R, называется шаром.

Иными словами шар - это объединение сферы и всех ее внутренних точек.

Можно также определить шар и как тело, образованное при вращении круга вокруг своего диаметра.

Шар обозначают так же, как сферу: ω (O, R).

Точка O называется центром сферы (шара).

Отрезок, соединяющий центр сферы с любой ее точкой, называется радиусом сферы (шара).

Отрезок, соединяющий любые две точки сферы, называется хордой сферы (шара). Иногда под радиусом или хордой подразумевают их длину. Хорда, проходящая через центр сферы, называется ее диаметром.

При пересечении сферы плоскостью наибольшая окружность образуется, если плоскость проходит через центр сферы. Линия пересечения называется большой окружностью сферы. Соответствующее сечение шара называется большим кругом шара.

Касательной плоскостью к сфере называется плоскость, имеющая единственную общую точку со сферой.

Теорема 1. Через любую точку A сферы проходит единственная касательная плоскость. Эта плоскость перпендикулярна радиусу OA сферы, где O - центр сферы.

Теорема 2. Если расстояние от центра сферы до плоскости меньше радиуса сферы, то линия сечения сферы этой плоскостью - окружность.

Из теоремы следует, что, когда расстояние от центра шара до плоскости меньше радиуса, сечение шара этой плоскостью - круг. Если плоскость удалена от центра сферы на расстояние R, то она является касательной плоскостью.

Теорема 3. Плоскости, равноудаленные от центра сферы, пересекают ее по равным окружностям.

Ясно, что наибольшая окружность образуется при пересечении плоскостью, проходящей через центр сферы. Линия пересечения называется большой окружностью сферы. Соответствующее сечение шара называется большим кругом шара.

Прямая, проведенная через точку сферы перпендикулярно радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной прямой к сфере.

Теорема 4. Касательная прямая сферы имеет со сферой единственную общую точку.

Через любую точку сферы можно провести бесконечное число касательных прямых, причем все они лежат в касательной плоскости.

Теорема 5 . Объем шара равен

где R - радиус шара.

Пользуясь формулой объема шара, можно получить формулу площади поверхности шара, то есть сферы.

Задание № 17.

Ответьте на вопросы.

1. Какое тело в пространстве называется сферой?

______________________________________________________________________________________________________________________

2. Какое тело в пространстве называется шаром?

______________________________________________________________________________________________________________________

3. Как Вы понимаете разницу между сферой и шаром?

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

4. Напишите формулу для нахождения объема шара.

___________________________________________________________

5. Напишите формулу для нахождения площади сферы.

___________________________________________________________

Решите задачи.

О - центр шара, О - центр круга - сечение шара плоскостью.

1.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

2.

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

______________________________________

Оценка __________________ подпись преподавателя_______________________

Рекомендуемая литература.

1. М. И. Башмаков. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. - 9-е изд., стер. - М. : Издательский центр «Академия», 2014. - 256 с.

2. М. И. Башмаков. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования/ М. И. Башмаков. - 4-е изд., стер. - М. : Издательский центр «Академия», 2014. - 416 с.- 25 шт

3. Н. В. Богомолов. Математика: учебник для ссуз(ов)/ Н. В. Богомолов, П. И. Самойленко. - 5-е изд., перераб. И доп. - М.: Издательство Юрайт. 2013. - 396с.

4. Геометрия: учеб для 10-11 кл Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев. .,- М. Просвещение, 2011 г.

5. Рабинович Е.М. Геометрия. Задачи и упражнения на готовых чертежах. 10-11 классы.: ИЛЕКСА, М., 2012.

Интернет - ресурсы.

1. Геометрический портал: neive.by.ru

2. cleverstudents.ru/line_and_plane/angle_between_two_planes.html

3. cleverstudents.ru/line_and_plane/angle_between_skew_lines.html

4. yaklass.ru/

5. festival.1september.ru/articles/212754/

6. uztest.ru/abstracts/?idabstract=511902

7. ankolpakov.ru/piramida-i-ee-elementy/

8. matematika.egepedia.ru/doku.php/

9. mnogograns.narod.ru/

10. ru.wikipedia.org/wiki/%D6%E8%EB%E8%ED%E4%F0

11. coolreferat.com/Конус,_площадь_его_поверхности_и_объем

12. 2mb.ru/matematika/geometriya/ploshhad-poverxnosti-konusa/

13. webmath.exponenta.ru/bsd/sp/m210.html.

Неустроева Ольга Владимировна

Преподаватель МАТЕМАТИКИ

государственное бюджетное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

(среднее специальное учебное заведение)

«Карталинский многоотраслевой техникум»

Брединский филиал

РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ

по дисциплине ОДП.01 «Математика»

основной профессиональной образовательной

программы по специальности СПО

080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Геометрия

55