Подготовка к ЕГЭ: решение стереометрических задач по теме Пирамида

Решение стереометрических задач по теме "Пирамида"

На сегодняшний день многие учителя сталкиваются с проблемой как подготовить всех учащихся класса к успешной сдаче ЕГЭ. Изучение курса геометрии должно базироваться на сочетании наглядности и логической строгости. Опора на наглядность - непременное условие успешного усвоения материала. Известно, что задача может служить не только целью, но и средством обучения. Учиться решать задачи с помощью опорных задач - идея древняя. Я постаралась подобрать задачи разного уровня сложности: категории "В" и "С". Первые задачи довольно простые. Решение следующих требует проработки предыдущего материала и хорошо развитого пространственного представления.

Задачи части "В"

1. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Ответ: 340

2. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Ответ: 240

3. Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Ответ: 4

4. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.

Ответ: 8

5. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна .

Ответ: 0,25

6. Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен .

Ответ: 3

7. Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?

Ответ: 4

8. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.

Ответ: 64

9. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 48

10. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 4,5

11. Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E - середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Ответ: 3

12. От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Ответ: 3

13. Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1: 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Ответ: 10

14. Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?

Ответ: 4

15. Ребра тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырех его ребер.

Ответ: 0,25

16. Найдите объем пирамиды, высота которой равна 6, а основание - прямоугольник со сторонами 3 и 4.

Ответ: 24

17. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 12, объем равен 200. Найдите боковое ребро этой пирамиды

Ответ: 13

18. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро равно 4. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 36

19. Объем правильной шестиугольной пирамиды 6. Сторона основания равна 1. Найдите боковое ребро.

Ответ: 7

20. Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.

Ответ: 144

Задачи части "C"

21. Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды равно 4 и наклонено к плоскости основания под углом 30°. Найдите объём пирамиды.

Ответ:

22. Найдите объём пирамиды, основанием которой прямоугольный треугольник с катетами 8 и 6, если каждое боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости основания под углом 45°.

Ответ: 40

23. Полная поверхность правильной четырёхугольной пирамиды равна 144. Угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°. Найти объём пирамиды.

Ответ: 96

24. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде, стороны основания которой 6 и 4. Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если её боковые грани наклонены к плоскости большего основания под углом 60°.

Ответ:

25. В правильной шестиугольной пирамиде SA…F, боковые рёбра которой равны 2, а стороны основания 1, найдите косинус угла между прямой АС и плоскостью SAF.

Ответ:

31. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, все боковые рёбра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SAD.

Ответ:

26. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием АВС известны рёбра АВ= и SC =17. Найдите угол образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М - точка пересечения медиан грани SВС.

Ответ:

27. Найдите сторону основания правильной треугольной пирамиды объёмом 36, если её высота вдвое больше радиуса окружности, описанной около основания.

Ответ: 6

28. Найдите двугранный угол при ребре основания правильной треугольной пирамиды, если угол между её боковыми рёбрами равен ?.

Ответ:

29. На высоте правильной треугольной \пирамиды взята точка, удалённая от бокового ребра пирамиды на расстояние и делящая высоту в отношении 1: 2, считая от вершины. Найдите объём пирамиды, если её боковые грани наклонены к основанию под углом .

Ответ: 216

30. Найдите высоту пирамиды, основанием которой служит треугольник со сторонами 7,8 и 9, если её боковые рёбра наклонены к основанию под углом

Ответ:

31. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с вершиной S боковое ребро равно a, а двугранный угол при этом ребре равен ?. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки B,D и середину ребра SC.

Ответ:

32. На каком расстоянии от ребра SA

правильной пирамиды SABCD с вершиной S, должна проходить плоскость, параллельная рёбрам BC=a и AS=b, чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была максимальной?

Ответ:

33. Основанием пирамиды служит трапеция, в которой каждая из боковых сторон и меньшая из параллельных сторон равна a, а острые углы равны ?. Найдите объём пирамиды, если её боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол ?.

Ответ:

34. Найти объём правильной шестиугольной усечённой пирамиды, стороны основания которой a и b, (a > b), а боковые грани наклонены к плоскости большего основания под углом?

Ответ: