Разработка внеклассного мероприятия по математике

Учитель математики высшей квалификационной категории,

победитель приоритетного национального проекта «Образование»

конкурса лучших учителей РФ

Дубовикова Ольга Александровна

МОУ Лицей «Технический» г.о. Самара

Вступление

(двое ведущих)

Предмет математики так сложен, что надо не упускать случая сделать его несколько занимательнее.

Этим мы сегодня и займемся.

Итак, разные разности, забавные факты из истории математики и жизни

математиков.

1. Лучше уж пусть стоят!

Послушайте историю об одном математике и о его часах.

У математика было двое часов: одни уже давно не ходили, а другие работали исправно, только за сутки «убегали» всего на одну секунду. Как - то раз, решив строго научно выяснить вопрос о том, какие из этих часов чаще показывают правильное время математик, заложил такую задачу в ЭВМ. И ответ

компьютера был обескураживающим: исправно работающие часы, показав

однажды правильное время, больше никогда не повторили бы такого результата на протяжении всей остальной жизни математика, в то время как «стоящие»

часы показывают абсолютно точное время дважды в сутки.

Действительно, часы, которые за сутки убегают вперед на одну секунду,

за 60 суток убегут на одну минуту. Что бы убежать на час, им понадобится

60 · 60 = 3600 суток и только через 3600 · 12 = 43200 суток

(более чем через 118 лет!) они покажут правильное время.

Так что пусть уж лучше стоят!

2. Слышали ли вы что-нибудь о теории «Сивых жил»?

Если нет - ничего страшного, сейчас услышите

Крупный русский математик и инженер, основоположник теории

автоматического регулирования, министр финансов И. А. Вышнеградский (1832 - 1895), в бытность директором Петербургского технического института поносил своих профессоров за обилие ошибок и опечаток в их

литографированных лекциях. Когда же раскрыли его собственные

литографированные лекции, то в их заголовке вместо «Теории живых сил»

было написано «Теория сивых жил»…

3. Хитрости арифметики

Несмотря на микрокалькуляторы и компьютеры, математики ищут все новые способы вычислений. Вот, например, способы нахождения квадратов

чисел от 1 до 99.

Квадрат любого двузначного числа находится сложением двух

слагаемых. Первое получается приписыванием квадрата первой цифры к

квадрату второй цифры. Второе слагаемое - удвоенное произведение цифр данного числа. При этом сложение производится со сдвигом на одну цифру влево. Вот примеры:

8 1 4 9 6 4 0 9 2 5 0 4

+ 1 2 6 + 4 8 + 2 0

97²= 9 4 0 9 83²= 6 8 8 9 52²= 2 7 0

4. Сейчас вы узнаете о том, что невероятное бывает вероятным

Инсценировка

Ведущий: Английский писатель Грэм Грин, автор широко известных произведений, близких жанру детективного романа, которому и самому нередко доводилось выполнять задания военной разведки, однажды, беседуя с одним математиком, сказал:

Грэм Грин: «В юности я не боялся испытать судьбу и в отчаянную минуту даже сыграл в «русскую рулетку»: вынул один патрон из револьвера, крутанул барабан, приставил дуло к виску и нажал на спусковой крючок…»

Ведущий: Математик оживился, деловито осведомился?!

Математик: «А сколько было гнезд в барабане?»

Грэм Грин: «Шесть!»

Ведущий: Математик сделал какие-то сложные

расчеты и с изумлением воскликнул:

Математик: «Это невероятно! По теории вероятности

вы должны были неминуемо погибнуть!»

Грин: (рассмеявшись)

"Вероятно, меня спало то, что я не знал теории

вероятностей. Но мне думается, что здесь вероятнее

другое - ведь в барабане револьвера и был всего

один патрон!»

5. Все вы знаете о Рене Декарте, по крайней мере о его знаменитой

системе координат. Сегодня о Рене Декарте с неожиданной стороны.

Рене Декарт (1596 - 1650) создатель аналитической геометрии, относился к

математике без должного почтения. Еще в «Правилах для руководства ума» он писал, что «нет ничего более пустого, чем заниматься бесполезными числами и воображаемыми фигурами». С этим мнением ученого, прежде всего,

соглашался его брат, делавший политическую карьеру. Он заявлял, что

«брату парламентского советника стыдно унижаться до того, чтобы быть математиком».

6. Хотите - верьте, хотите - проверьте, но существуют

числа со «знаком качества».

В бесконечном ряду натуральных чисел 1,2,3,4… внимание математиков

издавна привлекали числа, обладавшие удивительным свойством: сумма

делителей числа (исключая само число) равна самому этому числу.

Примером может стать 28:

28=1+2+4+7+14

Математики нарекли такие числа совершенными.

Древним грекам было известно всего четыре совершенных числа:

6, 28, 496, 8128.

Как же находить такие числа? Для этого нужно руководствоваться теоремой Евклида: «Если А=2ⁿ-1 есть число простое, то число М=(2ⁿ-1)·2^n-1 есть число совершенное».

ХV век подарил людям пятое совершенное число 33550336. Девятое такое число нашел в 1893 году уральский математик-самоучка И. Бервушин

2⁶⁰(2⁶¹-1)=2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176

Математики за всю историю науки нашли всего 24 совершенных числа. С 13-го по счету их ищут с помощью ЭВМ. 24-е совершенное число содержит 12003 цифры. Не случайно в I веке нашей эры Никомах Геразский писал:

«Совершенные числа красивы, но известно, что красивые вещи редки и

немногочисленны, безобразные же встречаются в изобилии.

6. Инсценировка события, состоявшегося в Нью-Йорке в октябре 1903 года на заседании математического общества

«Доклад без слов»

Член ученого совета: Слово предоставляется профессору Коулу.

Ведущий: Профессор не говоря ни слова, быстро подходит к доске и начинает вычислять:

1. 2⁶⁷=2·2·2·2·…..·2

2. 2⁶⁷ - 1

3. _х761 838 257 287

193 707 721

…..287

Ведущий: Результаты совпали, и таким образом было

доказано, что 2⁶⁷ - 1 составное число, а не простое, как

подозревали до этого почти 200 лет.

Член ученого совета: Впервые в истории Американского

математического общества его члены бурно аплодисментами

приветствовали докладчика.

Ведущий: Профессор Коул, так и не проронив ни слова, сел на место.

Когда позднее у Коула спросили:

Член ученого совета: Сколько времени потратили вы на это доказательство?

Ведущий: Он ответил…

Коул: Все воскресенья в течение 3-х лет.

6. Инсценировка «Американские сенаторы и число π».

Ведущий: В 1837 году в нижней палате штата Индиана (США) в третьем чтении обсуждался один законопроект.

Председательствующий: Господа! И снова выносится на обсуждение законопроект о признании значением π числа 4, вместо 3,14159….

I конгрессмен: Категорически прошу записать следующую мотивировку: «Математики до сих пор ошибались, ибо точное значение π есть именно 4».

Председательствующий: Джентльмены! Прошу голосовать. Очень хорошо! Билль принимается единогласно и передается в сенат штата.

Ведущий: Билль был рассмотрен в первом чтении в сенате, и уже

прошел второе чтение. Но к этому времени газеты подняли по этому поводу шум.

Репортер: История не знает другого примера, чтоб сенат, обходящийся налогоплательщикам в 250 $ в день, тратил время на такую ерунду.

Ведущий: Однако и при третьем чтении законопроект получил одобрение большинства.

Репортер: Только через девять дней, когда сенаторам популярно, на уровне начальной школы, объясняли абсурдность их поступка, они скрепя сердцем отменили закон, расписавшись в своей неграмотности.

Ведущий: Остается добавить, что все народы на заре своего развития принимали π равным 3, а это гораздо ближе к действительности.

6. Хитрости арифметики

Несмотря на микрокалькуляторы и компьютеры, математики ищут все новые способы вычислений. Вот, например, способы нахождения квадратов

чисел от 1 до 99.

Квадрат любого двузначного числа находится сложением двух

слагаемых. Первое получается приписыванием квадрата первой цифры к

квадрату второй цифры. Второе слагаемое - удвоенное произведение цифр данного числа. При этом сложение производится со сдвигом на одну цифру влево. Вот примеры:

8 1 4 9 6 4 0 9 2 5 0 4

+ 1 2 6 + 4 8 + 2 0

97²= 9 4 0 9 83²= 6 8 8 9 52²= 2 7 0 4

10. Шаг солнца

Во всем мире принято странное деление окружности на 360°.

Оказывается, такое деление окружности ведет свое начало от вавилонских жрецов. Они, наблюдая движение солнца, обнаружили, что в день равноденствия оно от восхода до заката описывает на небесном своде полуокружность,

в которой видимый поперечник солнца (32') укладывается ровно 180 пар раз.

В окружности с приемлемой точностью укладывается 360 удвоенных

видимых поперечников Солнца, то есть 360 его шагов; каждый градус - это шаг бога Мардука, который для халдейских жрецов был олицетворением Солнца.

11. Научный труд, выдержавший наибольшее число переизданий

Это знаменитые «Начала» великого Евклида. Впрочем, это мы, современные люди, склонны считать Евклида великим. Математики древности, работавшие с ним бок о бок, считали его не более чем популяризатором знаний, добытых трудами других геометров.

Первоначально это первое систематизированное изложение геометрии было написано на 13 папирусных свитках. Отсюда и пошли 13 книг Евклида, написанные на греческом языке в начале III века до нашей эры.

«Начала» впервые были переведены на латынь в 1120 году.

В 1482 году появился первый печатный экземпляр «Начал».

В 1570 году Евклид был переведен на английский язык,

а в 1848 - 1850 гг. - на русский.

Ни один научный труд не мог сравниться с

«Началами» по числу переизданий на

протяжении двух тысяч лет.

12. Поучительная история

Собственная позиция нужна математику ре только как ученому, но и как порядочному человеку.

Знаменитый французский физик, математик и астроном Лаплас отличился изумительной политической беспринципностью. В годы революции он - активный республиканец, при Наполеоне - министр внутренних дел, а после реставрации Бурбонов - роялист, маркиз и пэр Франции.

Характерный эпизод. Происходит баллотирование

двух кандидатов на должность непременного секретаря

Академии наук Фурье и Био. Лаплас вместо одного

бюллетеня берет два. Заполнив, кладет их в шляпу и

просит соседа выбрать наобум один из бюллетеней.

Другой он тут же публично рвет в клочья, громко

заявляя: «Я не знаю, кому из кандидатов отдал свой голос».

Но сосед случайно заметил, что в оба бюллетеня Лаплас

вписал одно имя - Фурье.

12. Необходимое уточнение

Английский математик Чарльз Бэббидж (1792 - 1871) был одержим

техническим творчеством. В числе его изобретений такие известные, как

спидометр, электросторож для коров и другие. Однажды он обратился с

посланием к поэту, лорду Альфреду Теннисону (1809 - 1892):

«Сэр, в Ваших стихах «Образ Солнца», в целом звучащих прекрасно есть строки:

Каждый миг смерть,

Каждый миг рождение.

Должно быть понято, что, если бы так, население мира не ведало б

роста. На деле же рождаемость несколько выше, чем смертность. И я предлагаю, чтоб в новом издании Ваши стихи звучали иначе:

Каждый миг смерть,

Каждый миг 1 ¹/₁₆ рождения.

Примите, сэр, мои уверения и проч.».

После этого не кажется удивительным, что именно Бэббидж первым сконструировал быстродействующее вычислительное устройство. Однако ему не повезло. Сделать его «Аналитическую машину» практически полезной могла вакуумная лампа, а она появилась лишь в 1906 году.

12. Инсценировка «Принцип доверия»

Ведущий: В математике формальная строгость доказательств нередко

ценится гораздо больше, чем то, что собственно доказывается. Все

утверждения, кроме аксиом, должны быть доказаны, все понятия, кроме

исходных, должны быть определены. Впрочем, самим математикам, не всгда

удается до конца следовать своему идеалу. Представьте: знаменитый

французский ученый Жан Лерон Д' Аламбер, и его не очень понятливый

ученик.

Д' Аламбер: Сударь! Я так долго и настойчиво пытался втолковать Вам

доказательство этой несложной математической теоремы, и все безуспешно!

Ведущий: В отчаянии Д' Аламбер воскликнул:

Д' Аламбер: Даю благородное слово, эта теорема верна!

Ведущий: Реакция непонятливого ученика была мгновенной.

Ученик: О, сударь! Этого совершенно достаточно!

Вы человек чести, и я человек чести, и ваше заверение -

лучшее из доказательств!..

12. Магические свойства чисел

Если есть некоторое натуральное число, то число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, называется обращенным по отношению к нему.

Возьмем, к примеру, 135 обращенное ему число 531. Из большего вычтем меньшее: 531 - 135 = 396. к полученной разности прибавим обращенное число 693: 396 + 693 = 1089. Какое бы трехзначное число мы ни взяли, при совершении указанных действий мы всегда получаем один и тот же результат - 1089!

721 - 127 = 594 594 + 495 = 1089

453 - 354 = 099 099 + 990 = 1089

883 - 388 = 495 495 + 594 = 1089

Правда, тут есть исключение:

Если в первоначально взятом трехзначном числе первая и третья цифры одинаковы, то уже в разности получаться нули: 202 - 202 = 000 и т.д. А вот при различных цифрах всегда получается один и тот же ответ - 1089.

Еще любопытная закономерность. Возьмем 33² = 1089 и проделаем такую операцию: в левой части возведем тройки в квадрат, а в правой - умножим 1089 на 3²: 99² = 1089 · 3² = 9801, т.е. число, обращенное для 1089.

Существует только две пары четырехзначных чисел, отношение которых равно целому числу. Вот они:

9801:1089 = 9,

8712:2178 = 4.

12. О невозможности безопорного движения

Однажды к выдающемуся французскому математику и философу

Ж. Д' Аламберу (1717 - 1783) заявился некий изобретатель, держа в руках машину, которая, по его словам, могла сама себя приводить в движение без всякой опоры на другие тела.

- Стало быть, вы утверждаете, что ваша машина будет двигаться в избранном вами направлении даже в мире, лишенном всех других тел, которые ей просто не нужны? - уточнил Д' Аламбер.

И, получив утвердительный ответ, спросил:

- А как ваша машина угадает, где «вперед», а где «назад», если, кроме нее, вообще ничего нет на свете?

На это изобретатель ответить не смог, Д' Аламбер

тут же записал в рукопись своего знаменитого трактата

«Динамика»: «Тело не может само себя привести

в движение, ибо нет никакого основания к тому,

чтобы оно двигалось предпочтительнее в одну сторону,

чем в другую».

12. Волшебство нечетных чисел

Чтобы извлечь корень второй, третьей и более

высокой степени из некоторого числа, нужно

в общем случае сначала найти логарифм искомого

числа, а затем - само число. Но извлечь корень

можно иначе, представив подкоренное число

суммой нечетных чисел. При этом число слагаемых

всегда равно искомому числу, если ответ представляет

собой целое число. Начнем с корня квадратного:

√1 = 1

√4 = √1 + 3 = 2

√9 = √1 + 3 + 5 = 3

√36 = √1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 6 и т. д.

Теперь перейдем к корню кубическому:

³√1 = 1

³√8 = ³√3 + 5 = 2

³√27 = ³√7 + 9 + 11 = 3

³√64 = ³√13 + 15 + 17 + 19 = 4

³√125 = ³√21 + 23 + 25 + 27 + 29 = 5 и т. д.

Обращаем ваше внимание на то, что в этом случае нечетные числа, использовались при извлечении корней из меньших чисел, опускаются.

Извлекаем корень четвертой степени:

⁴√1 = 1

⁴√16 = ⁴√7 + 9 = 2

⁴√81 = ⁴√25 + 27 + 29 = 3

⁴√256 = ⁴√61 + 63 + 65 + 67 = 4

Так, по-видимому, можно продолжать действия до бесконечности, И можете не сомневаться, нечетные числа вас не подведут!

12. «Чертова дюжина»

Число 12 делится на 2, 3, 4, 6, что при низком уровне вычислений в древности давало большие преимущества. А вот с числом 13 были одни неприятности, поскольку оно ни на что не делилось. Вносило оно затруднения в календарь. Например, в Вавилоне год содержал 12 лунных месяцев, составляющих 354 дня и остаток 11 - 12 дней. Последний надо было куда-то девать, и там, как, впрочем, и в Древней Руси, приходилось в каждые три года вводить 13-й месяц.

Столь насильственное мероприятие доставляло массу хлопот. Астроном Д. Святский писал: «13-й месяц сбивал с панталыку наших предков в их счете времени и поэтому пользовался всеобщей нелюбовью. Отсюда и «Чертова дюжина» - 13».

И сейчас, особенно на Западе, широко распространено убеждение, что от числа 13 ничего, кроме плохого, ждать нельзя. Так, в 1930 году в Англии несколько тысяч лондонцев подписали петицию с просьбой снять с домов все

13 номера, а в США некоторые высокопоставленные чиновники никогда не входят в комнаты с номером 13. Во многих гостиницах там нет 13 номеров этажей, 13 маршрутов транспорта и т. д.

В нашей стране с этим суеверием отчасти покончено. Например, известный летчик В. Емельянов в своей книге «В военном воздухе суровом» пишет: «Я не верил в различные предвидения и приметы. Поэтому на фронте бороды не отпускал, не признавал ни понедельников («тяжелый день»), ни тринадцатых чисел. Более того, в тринадцатые числа мне часто везло в боевых делах, и это мало удивляло других пилотов. А после того как мне было присвоено звание Героя Советского Союза указом от 13 апреля 1944 года, и в списке моя фамилия оказалась под номером 13, у многих исчезло недоверие к этому «фатальному» числу».

В свое время зарубежные газеты толковали о коварстве «чертовой дюжины» в связи с полетом «Апполон - 13», чуть не закончившимся катастрофой. Видимо, поэтому журналисты напомнили перед стартом о недоброй славе злополучного числа космонавту - 13 В. Шаталову, на что получили соответствующий ответ. А в одном из репортажей с борта корабля «Союз - 13» его командир П. Климук шутил: «Нас не беспокоит номер нашего «Союза» мы уверены, что полет пройдет успешно». И это блестяще оправдалось!

12. Инсценировка «Кольцо Мебиуса»

1-й ведущий: Чуть ли не о каждом из выдающихся открытий рассказывают более или менее правдоподобную историю, начиная с Архимедовой «эврики» и ньютонова яблока и кончая открытием сегодняшних дней.

2-й ведущий: Люди, завидующие ученым, забывают, что и до Архимеда принимали ванны, и до Ньютона сотни яблок падали на головы, но открытия-то сделали Архимед и Ньютон! Мозг настоящего ученого работает непрерывно, и благодаря какому-то толчку эта работа завершается «случайным и легким» открытием.

1-й ведущий: Все настоящие математики обладают богатым воображением. И иногда воображение геометра срабатывает совершенно неожиданно.

2-й ведущий: Так было и с Августом Фердинандом Мебиусом (1790 - 1869). В его биографии астронома по должности, геометра по призванию, профессора, нет ничего необычного. С решением вопроса о строении проективной плоскости связана одна забавная история, которую неоднократно рассказывал сам Мебиус, каждый раз присоединяя к ней новые подробности.

1-й ведущий: Итак, весеннее утро 1858 года. Высоко ученого профессора Мебиуса, завершившего утренний моцион, встречает супруга…

Г-жа Мебиус: Ну, наконец-то и ты, Август! Я больше не желаю этого терпеть - поднимись в свой кабинет, и ты увидишь, на что она способна! Или ты ее уволишь, или…

(Идут в комнату к письменному столу).

Г-н Мебиус: Чем же ты так недовольна? Что могла натворить наша служанка?

2-й ведущий: Книги, рукописи на месте, утренняя почта - тоже. Только что это? С каких пор на столе валяются подвязки? Тут что-то необычное…

Г-н Мебиус: Одна подвязка, несомненно, имеет форму цилиндра с направляющей - окружностью. А вот вторая… Что, собственно, считать здесь направляющей?

Г-жа Мебиус: Ну, так что же, Август?

Г-н Мебиус: Погоди, погоди, дорогая. Значит, она просто сообразила, что, если обыкновенную полосу сушить вот так…, то получится односторонняя поверхность. Э, девочка не так глупа! Интересно, интересно!

(Г-н и г-жа Мебиус уходят).

1-й ведущий: Оставим пока г-на Мебиуса с его домашними и научными проблемами и посмотрим поближе на проективную поверхность, которую позже назвали листом Мебиуса.

2-й ведущий: Что же необычного увидел г-н Мебиус. Если взять полоску-прямоугольник АВВ'А' и сшить стороны АВ и А'В', перекрутив на 180°, то получим лист Мебиуса.

В В'

А А'

1-й ведущий: Полученная поверхность - односторонняя поверхность. Ее можно выкрасить одним цветом, не переходя через край.

2-й ведущий: Если разрезать лист Мебиуса так сказать по «средней линии», то получится замкнутая поверхность.

1-й ведущий: Если разрезать еще раз по средней линии, то поверхность распадается на две заплетенных между собой поверхности.

2-й ведущий: Ну, это уже почти фокусы. А мы сейчас о другом.

1-й ведущий: У листа Мебиуса не только одна сторона, но и один край. Ученый много лет искал такую модель и Марта «помогла» найти ее.

Ну, вот на сегодня и все математические курьезы и вся информация к размышлению.

Анатоль Франс писал: «Учиться можно только весело…

Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

Будем учиться только весело, ведь математика - это забавно!

Закончим нашу встречу веселой детской песенкой о царице наук - арифметике.

1. Чтоб водить корабли,

Чтобы в небо взлететь,

Надо много знать

Надо много уметь.

И при этом, и при этом

Вы заметьте-ка

Очень важная наука

Арифметика!

2. Почему корабли

Не садятся на мель,

А по курсу идут

Сквозь туман и метель?

Потому что, потому что,

Вы заметьте-ка

Капитанам помогает

Арифметика!

3. Чтоб врачом, моряком,

Или летчиком стать,

Надо, прежде всего

Математику знать.

А на свете нет профессии

Вы заметьте-ка,

Где бы нам ни пригодилась

Математика!