Урок на тему Решение тригонометрических уравнений и неравенств

ОТКРЫТЫЙ УРОК АЛГЕБРЫ В 10 КЛАССЕ.

Тема урока: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Цель урока: 1. Обобщение теоретических знаний и практических умений и навыков решения тригонометрических уравнений, применение различных способов для решения тригонометрических уравнений; подготовка к контрольной работе и к ЕНТ.

2. Развитие логики, памяти, математической зоркости, самостоятельности способности выбирать оптимальное решение для тригонометрических уравнений.

3. Воспитание математической культуры, самостоятельности, формирование навыков самоконтроля.

Тип урока: урок смотр знаний.

Оборудование: ромашка , карточки с надписями «arcos», «arsin» , «arctg», карточки с числами, карточки с заданиями.

Ход урока.

1. Организационный момент

( сообщение темы и цели урока)

2. Актуализация полученных знаний.

- На лепестках « ромашки» находятся карточки с числами. В центре ромашки поочерёдно я буду прикреплять карточки с надписями «arcos», «arsin» , «arctg» , а потом показывать лепесток. Вы должны дать верный ответ.

Например

1. Устные упражнения.

1) Проверка знаний формул для решения тригонометрических уравнений (фронтальный опрос).

Sinx = a sinx = -a sinx = 1 sinx = 0 sinx = -1

Cosx = a cosx = -a cosx = 1 cosx = 0 cosx = -1

Tgx = a tgx = -a ctgx = a ctgx = -a

2. Тест на знание формул (установить соответствие).

I - II I II

1. sinx = a 1. x = Π/2 + Πn 1. x = Πn

2. sinx = -a 2. x = (-1)ⁿarcsina + Πn 2. x = Π + 2Πn

3. sinx = 1 3. x = Πn 3. x = Π/2 + Πn

4. sinx = -1 4. x = Π + 2Πn 4. x = arctga + Πn

5. sinx = 0 5. х = (-1)^{n + 1}arcsina + Πn 5. x = 2Πn

6. cosx = a 6. х = ± arccosa + 2Πn 6. x = Π/2 + 2Πn

7. cosx = -a 7. х = Π/2 + 2Πn 7. x = ± (Π - arccosa) + 2Πn

8. cosx = 0 8. х = arctga + Πn 8. x = arcctga + Πn

9. cosx = 1 9. х = ± (Π - arccosa) + 2Πn 9. x = (-1)ⁿarcsina + Πn

10. cosx = -1 10. x = arcctga + Πn 10. x = - Π/2 + 2Πn

11. tgx = a 11. x = - arctga + Πn 11. x = ± arccosa + 2Πn

12. tgx = -a 12. x = - Π/2 + 2Πn 12. x = (-1)^{n + 1}arcsina + Πn

13. ctgx = a 13. x = Π - arcctga + Πn 13. x = - arctga + Πn

14. ctgx = -a 14. x = 2Πn 14. x = Π - arcctga + Πn

3. Для следующих тригонометрических уравнений назвать способы их решения.

1. cos²x + 3cosx + 2 = 0

2. √3 sin2x + cosx = 0

3. √3 sinx + cosx = 0

4. Cosxcos2x + sinxsin2x = -1

5. (2sinx - cosx)(1 + cosx) = 0

6. Cos²x + 4sin²x = 2sinxcosx

7. Cos²x + cos²2x + cos²3x + cos²4x = 2

4. Тест по решению тригонометрических уравнений (по материалам ЕНТ).

I II

1) sin4x = 1 1) sin2x = 0

A) Π/8 + (Π/2)K, K Є Z A) (Π/2)K + ΠK, K Є Z

B) Π/4 + Πn, n Є Z B) (Π/2)n, n Є Z

C) Π/8 + (Π/4)n, n Є Z C) Π/4 + (Π/2)n, n Є Z

2) cos (2x + Π/4) = ½ 2) cos (2x + Π/3) = 1

A) ± Π/6 + Π/8 + Πn, n Є Z A) - Π/6 + Πn, n Є Z

B) ± Π/6 - Π/4 + 2Πn, n Є Z B) - Π/6 + 2Πn, n Є Z

C) ± Π/6 - Π/8 + Πn, n Є Z C) ± 2Πn - Π/3, n Є Z

3) cos²x + 2cosx = -1 3) 2cos²x - 5cosx = -3

A) ± Π + 2Πn, n Є Z A) Πn, n Є Z

B) Π + 2Πn, n Є Z B) Π + 2Πn, n Є Z

C) ± Π/2 + 2Πn, n Є Z C) 2Πn, n Є Z

4) (sin²x - 4)(ctg3x - √3) = 0 4) (cosx + 2)(tg2x + 1) = 0

A) Π/18 + (Π/3)n, n Є Z A) - Π/8 + (Π/2)n, n Є Z

B) Π/6 + (Π/3)n, n Є Z B) Π/4 + Πn, n Є Z

C) Π/9 + (Π/3)n, n Є Z C) - Π/8 + Πn, n Є Z

5) cosx - cos5x = 2sin3x 5) cos2x + cos4x = 2cos3x

A) (Π/3)n; Π/4 + 2Πn, n Є Z A) Π/6 + (Π/3)n; 2Πn, n Є Z

B) (Π/3)n; Π/4 + Πn, n Є Z B) Π/3 + Πn; 2Πn, n Є Z

C) (Π/6)n; Π/4 + Πn, n Є Z C) Π/6 + (Π/3)n; Πn, n Є Z

II. Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

1. Группа сильных учащихся, пока класс решает тест, прорешивает следующие уравнения в совместной работе, чтобы ознакомить потом класс с их решением:

1) cosxcos2x + sinxsin2x = -1

½ (cos3x + cosx) + ½ (cosx - cos3x) = -1

Ответ: x = Π + 2Πn, n Є Z

2) cos⁴x + sin⁴x = cos4x

(1 + cos2x)² + (1 - cos2x)² = cos4x

2² 2²

Ответ: x = (Π/2)n, n Є Z

3) Решить тригонометрическое неравенство:

Cos3xcosx - sin3xsinx ≤ √2/2

Cos4x ≤ √2/2

Ответ: Π/16 + (Π/2)n ≤ x ≤ 7Π/16 + (Π/2)n, n Є Z

4) Решить тригонометрическое неравенство (новый вид) в совместной работе учителя и учащихся:

-1/2 ≤ sinx ≤ √3/2

Ответ: [ - Π/6 + 2Πn; Π/3 + 2Πn] ; [2Π/3 + 2Πn, 7Π/6 + 2Πn]

n Є Z n Є Z

III. Итог урока.

1. О формулах, применяемых для решения тригонометрических уравнений и неравенств.

2. О видах тригонометрических уравнений и способах их решения.

IV. Домашнее задание.

Решить уравнения из I.3.