Научная работа Фибоначчи сандары

Мазмұны:

Аннотация......................................................................................................2

І.Кіріспе..........................................................................................................3

ІІ. Негізгі бөлім............................................................................................. 5

1. Алтын қима пропорциясы. Ф және φ......................................................5

2. Алтын қиманың тарихы............................................................................6

4. Пропорцияның құрылымы.......................................................................9

5. Екінші алтын қима....................................................................................10

6. Алтын пішіндер. Алтын тікбұрыш........................................................10

7. Алтын үшбұрыш. ....................................................................................11

8. Алтын бесбұрыш. ....................................................................................11

9. Архимед серіппесі....................................................................................13

10. Фибоначчи сандары...............................................................................13

11. Алтын қима кескіндемеде.....................................................................15

ІІІ.Қорытынды..............................................................................................17

Пайдаланылған әдебиеттер.........................................................................18

Пікір..............................................................................................................19

Аннотация

Бұл ғылыми жобада «Алтын қима» туралы мағлұматпен толық танысып, оның қазіргі кездегі қолданысы зерттелген. Зерттеліп отырған жұмыс білім алуды жалғастыруға қажетті нақты математикалық білімді меңгеруге, интелектіні дамытуды көздей отырып, математикалық іс-әрекетке тән және қоғамда толыққанды қызмет етуге қажетті зерттеу сапасын қалыптастыруға мүмкіндік береді. Бұл ғылыми жоба «Алтын қиманың» қазіргі кездегі музыка, сәулет өнеріндегі қолданысын зерттеу - мәселесі болып табылады. Зерттеу жұмысының жаңалығы - өскелең ұрпақтың біліктілігін қалыптастыруға бағытталған. Нәтижесінде білім алуды жалғастыруға қажетті математикалық саланы меңгереді

Having studied the maintenance of the scientific project on a theme "Gold section", it investigated its applications presently and has got acquainted with its basic theory. Making investigated work, has assessed results of research from the mathematical point of view. Investigated enables to deepen knowledge on the mathematician, to develop intelligence and to use knowledge in a society. This scientific project proves, that " the Gold section " can be used in decisions of problems of area of music, art. Investigation research work it is directed on increase of cognitive abilities juvenile generations. As a result of scientific research the pupil will seize bases of mathematical sciences, expands an outlook and becomes the competitive person in society.

Кіріспе бөлім

Ғылыми жұмыс өмірдің мазмұны мен мақсатына айналғанда ғана жемісті болмақ.

А.Ф.Иоффе

Қазақстанның орта білім жүйесінің алдында бүкіл адамзаттың құндылық тұғырнамасында қалыптасқан, тәні және жаны сұлу, өзіне-өзі сенімді, ғылыми-тоериялық білімділігі мен тәжірибелік қабілеттері арқылы күрделі әлемдік, өмірлік әрі әлеуметтік кеңістікке еркін ене алатын қасиеттерге ие дарынды тұлға тәрбиелеу міндеті қойылып отыр. Соның ішінде ғылыми зерттеу жұмысы - қазіргі заман біліміне сай ғылым болмақ.

Республикамыздың президенті Н. Назарбаев өзінің жолдауында әлемдегі ең озық 30 елдің қатарына кірізу стратегиясын айқындаған болатын. Сонымен бірге Елбасы Қазақстанның әлемдік экономикаға ойдағыдай кіруі бағытындағы басты міндеттерінің бірі- ғылым мен білім, жаңа технологиялар бәсекелестіктің шешуші факторы екендігін атап көрсетті.

Ғылыми зерттеу табандылықты, шыдамдылықты, көп ойлануды, сондай-ақ еңбекқорлықты талап етеді. Ғылыми зерттеу әрбір оқушыда сапалы және терең білім іскерліктің болуын, олардың шығармашылықпен жұмыс істеуін, ойлауға қабілетті болуын талап етеді. Оқушылардың өз бетімен жұмысын қалыптастыру оқушының ғылымға деген қызығушылығынан және қажеттілігінен туады. Сондай-ақ өз қызығушылығымнан туындаған «Алтын қима» тақырыбын зерделеу, оның қыр-сырларын ашып, ғылым негізінің бір жолына шығару мақсатым болмақ. «Талаптыға нұр жауар» демекші, қажымас қайрат, таусылмас талап болса, зерттеулердің көптеген сырларын аша алатынымызды естен шығармауымыз керек.

Мақсаты:

Алтын қима туралы мағлұматпен толық танысып, оның қазіргі кездегі қолданысын зерттеу. Табиғатттың математикамен тығыз байланыстылығын айқындай білу, көре білу, қолдану аясын кеңейту, математикалық іс-әрекетке тән ойлау сапасын қалыптастыру.

Міндеті:

• «Алтын қима» тақырыбын зерттей отырып, негізгі теориясымен танысу;

• зерттеу жұмысын корректі түрде құрастыра білу және зерттеулердің нәтижелеріне геометриялық тұрғыдан баға беру;

Нысаны:

«Алтын қиманы» геометриялық тұрғыдан зерттеу.

Өзектілігі:

Зерттеліп отырған жұмыс білім алуды жалғастыруға қажетті нақты математикалық білімді меңгеруге, интелектіні дамытуды, математикалық іс-әрекетке тән және қоғамда толыққанды қызмет етуге қажетті зерттеу сапасын қалыптастыруға мүмкіндік береді.

Проблемасы:

«Алтын қиманың» қазіргі кездегі қолданысын және музыка, сәулет өнері, кескіндемедегі қолданысын зерттеу.

Болжамы:

Егер «Алтын қима» туралы мағлұматпен толық таныссам,

онда алған білімімді өмірде қолдана аламын, интеллектілігім және тәжірибелік іскерлігім дамиды.

Зерттеу кезеңдері:

• «Алтын қиманы» әдебиеттерден іздеу, сұрыптау;

• «Алтын қима» туралы мәліметтерді қосымша интернет жүйесінен іздеу, жобалау;

• Табылған мәліметтерді Power Point арқылы суреттеу;

Тәжірибенің әдістемесі:

Қазіргі өмірде әлеуметтік жағдайдың барлық салаларын жан-жақты зерттеу нәтижесінде жасөспірім ұрпақтың жан-дүниесін сол негізде тәрбиелеп, оның бойындағы оянбай жатқан қасиеттерді жандандыру - өмір талабы.

Зерттеу жұмысының жаңалығы:

Өскелең ұрпақтың біліктілігін қалыптастыруға бағытталған жаңа зерттеулердің негізінде білімді жетілдіру талаптарын күрделендіруге негізделген.

Нәтижесі:

• білім алуды жалғастыруға қажетті математикалық білімді меңгереді;

• интеллектіні дамытады;

• математикалық іс-әрекетке тән және қоғамда толыққанды қызмет етуге қажетті ойлау сапасын қалыптастырады;

Алтын қима пропорциясы. Ф және φ

«Геометрия екі ұлы қазынаға ие. Оның бірі - Пифагор теоремасы, екіншісі - кесіндіні шеткі және орта қатынаста бөлу.»

Дұрыс көпбұрыштарға Архимедке дейінгі көне грек

ғалымдары да өте үлкен назар аударған.Пифагорлықтар, өздерінің одақтас әмблемамен таңдаған пентаграммасын - бес бұрышты жұлдызды және шеңберді бірдей бірдей бөліктерге бөлуге арнады. Альбрехт Дюрер Германиядан алып келген дұрыс бес бұрышты құру туралы нақты теориясын Птолемейдің ұлы «Альмагест» шығармасымен одақтастырды.

Дюрердің дұрыс бесбұрышты қолданылу қызығушылығы орта ғасырда арабтық және готикалық оюларда, қамал тұрғызуда және дәрімен атылатын қару-жарақ құрастыруда көрінеді.

Леонардо до Винчи көпбұрыштар туралы көп жазғанымен, тек

қана Дюрер ұрпаққа ортағасырлық құрастыруларды қалдырған. Әрине Дюрер Евклидтің (циркуль және сызғыштың көмегімен тұрғызулар) «Бастамасымен» таныс болған, бірақ өзінің «Өлшеулі басшылығына» кіргізген жоқ. Евклид берілген доғаны үш бөлікке бөлуге тырыспайды, ал бұны Дюрер білген. Бұл тапсырма шешілмейтіндігінің дәлелі ХІХ ғасырда табылған.

Евклид ұсынған дұрыс бесбұрыштың құрылысы ортаңғы және шеткі қатынастағы дұрыс кесінді бөлігін енгізеді, ол нәтижесінде алтын кесінді деп аталып, бірнеше жүздеген жылдар бойы өзіне сәулетшілер мен архитекторлардың назарын аударып келген. [1]

Егер кесіндінің үлкен бөлігінің кіші бөлігіне қатынасы барлық бөліктің үлкен бөлігіне қатынасына тең болса, Е нүктесі АВ кесіндісін орта және шеткі қатынастарда бөледі немесе алтын қима жасайды.

Жазылған алтын қима қатынастарының теңдігі мынандай түрде белгіленеді:

АЕ/ВЕ = АВ/АЕ

Алтын қатынастың АЕ/ВЕ = Ф теңдігіне тең болу үшін, АЕ=а, ал ВЕ= деп аламыз.

Онда

Ф=1+1/Ф

деген қатынасқа тең болады. Яғни, Ф

Ф²-Ф-1=0

теңдеуін қанағаттандырады. Бұл теңдеудің бір ғана дұрыс түбірі болады:

Ф=(+1)/2 = 1,618034...

1/Ф үшін φ=0,618034..., 1/Ф=(-1)/2, яғни (-1) (+1) =5-1=4 екенін ескеріміз..

Ф және φ - гректің жазбаша және баспаша түрі.

Бұндай мағына көнегрек мүсіншісі Фидияның атымен аталған. Фидия

Афинадағы Парфенон храмының құрылысын басқарған. Бұл храмның пропорциясында φ саны көп кездеседі. [3]

Алтын қиманың тарихы

Алтын бөлу туралы түсінікті ежелгі грек философы және математигі Пифагор, өзінің ғылыми күнділігіне енгізген. Пифагор алтын бөлу туралы ілімді мысырлықтар мен вавилондықтардан алған деген жорамал бар. Бұған Хеопс пирамидасының пропорциясы, храмдардың, бетмүсіндердің, тұрмыс заттарының және Тутанхамона моласындағы әдемілеулер куә. Египтік шеберлер осыларды жасауда да алтын бөлуді қолданған. Француз сәулеткері Ле Корбюзье Сети І Абидос фараонның хрмындағы рельефтен және Рамсес фараонын бейнелеуші рельефтен пішіндердің пропорциялары алтын бөлудің шамаларына сәйкес екенін анықтады. Ағаш тақтайдан жасалған молада бейнеленген Зодчий Хесир, алтын бөлу пропорциясы жазылған өлшеу аспаптарын ұстап жатыр.

Гректер де шебер геометрлер болған. Өз балаларын арифметиканы геометриялық фигуралардың көмегімен оқытқан. Пифагордың квадраты және осы квадраттың диагоналі динамикалық тікбұрыштар құруда негіз

болған.

Динамикалық тікбұрыштар

Платон да алтын бөлу туралы білген. Оның «Тимей» диалогі Пифагордың математикалық және эстетикалық көзқарастарына арналған, алтын бөлу сұрағы ретінде қалған.

Парфенон қысқа жағынан 8 бағана және ұзынынан 17 бағанадан құралған. Ғимараттың биіктігінің ұзындығына қатынасы 0,618- ге тең. Егер Парфенонның «алтын қимасымен» бөлсек, онда сол немесе сол сияқты фасадтардың түрлерін аламыз. Оның жанын қазған кезде көне әлем сәулетшілері мен мүсіншілері пайдаланған циркульдер табылды. Помпей циркульінің өзі алтын бөліктерге пропорцияланған.

Парфенон

Алтын қиманың циркулі

Бізге жеткенге дейінгі көне әдебиеттердің ішіндегі Евклидтің «Бастамасында» алтын бөлулер бірінші рет еске түсіріледі. «Бастаманың» 2-ші кітабында алтын бөлудің геометриялық сызбалары берілген. Евклидтен кейін алтын бөлудің зерттеулерімен Гипсикл, Папп және т.б. айналысқан. Орта ғасырлық Еуропа Евклид «Бастамасының» алтын бөлуімен араб аудармаларынан танысты.

Қайта өрлеу заманына орайлас ғалымдардың және суретшілердің арасында алтын бөлуді қолдану деген ұғым күшейді, ол геометрияда қалай қолданылса, сәулет өнерінде де, өнерде де солай қолданылды. Суретші және ғалым Леонардо до Давинчи, итальяндық сәулетшілерде өте үлкен тәжірибе бар, бірақ білімдерінің жетіспейтіндігін көрді. Ол ойланып, геометрия туралы кітап жаза бастады , бірақ сол кезде монах Луки Пачолидің кітабы шықты, содан соң Леонардо өзінің бұл ойын тастады. Замандастардың және ғылым тарихшыларының ойы бойынша, Лука Пачоли нағыз жарық, Фибоначчи мен Галлилейдің арасындағы Италиядағы ұлы математик. 1509 жылы Венецияда

Лука Пачоллидің өте күшті көркемдеулерімен жасалған «Божестевенная пропорция» атты кітабы жарық көреді, бірақ оны Леонардо до Винчи жасады

деген пікір бар. Кітап алтын пропорцияның қуанышты әнұраны болды. Леонардо до Винчи өзінің көңілін алтын бөлу зерттеуіне де

бөлген. Ол дұрыс бес бұрыш жасайтын стереометриялық денеге қима жасаған, және әр кез қабырғалардың алтын бөлуге қатынасындай тікбұрыш алған. Сондықтан ол алтын бөлуді алтын қима деп атаған.

Сол кездері солтүстік Еуропадағы Германияда осы мәселелермен Альбрехт Дюрер де айналысқан. Дюрер: « Біреу бірдеңе білсе мұқтаж болғандарға оқыту қажет. Осыны істеуге менің ниетім ауды» деп жазды.

Дюрердің хаттарына қарағанда, ол Италияға барған кезде Лука

Пачолли мен кездескен секілді. Альбрехт Дюрер адам денесінің пропорциясы теориясын толық өңдеді. Дюрер өзінің бұл жүйесінде алтын қиманың негізін көрсете білді. Дюрердің пропорционалдық циркулі бізге өте мәлім.

Алтын пропорцияның кесінділер қатарын ұлғаю жағына, сонымен қатар азаю жағына қоюға болады.

Егер түзу ұзындықтарға m (φ) кесіндісін қойса, қатарына М кесіндісін ығыстарымыз. Осы екі кесінді негізінде алтын пропорцияның ұлғаю және азаю қатарларының кесінді шкаласын салуға болады.

Алтын пропорция кесіндісінің құрылу шкаласы

Кейінгі ғасырларда алтын пропорция ережесі академиялық

қағидаға айналды. 19 ғ-дың ортасын жаңа алтын қиманы зерттейтін неміс профессоры Цейзинг «Эстетические иследования» атты еңбегін жариялады. Ол алтын қима пропорциясы табиғаттың барлық құбылыстарына және өнерге әмбебап арнап, оны абсолюттеген. Цейзингтің көптеген ізбасарлары және қарсыластары болды. Ол пропорция туралы ғылымын «Математикалық эстетика» деп жариялаған. [4]

П

ропорцияның құрылымы

Кесіндіні алтын қима қатынасында бөлу.

ВС = 1/2АВ; СД=ВС

Кесіндіні алтын қима пропорциясымен бөлетін Е нүктесі жүргізіледі. В нүктесінен АВ кесіндісінің қақ ортасынан бөлінетін перпендикуляр жүргізіледі. Алынған С нүктесі А сызығымен қосылады. Алынған кесіндіден Д нүктесінен аяқталатын ВС кесіндісі кейінге қалады. АД кесіндісі тікелей АВ кесіндісіне теңгеріледі. Осыдан алынған Е нүктесі АВ кесіндісін алтын пропорция арақатынасында бөледі.

Дәл осы кесінділерді Евклид өзінің дұрыс бесбұрыш жасауында қолданылды.

Осыған байланысты жұлдызды бесбұрышта сонымен қатар «алтын қима» қолданылады. Бір қызықтысы бесбұрыштың ішінен бесбұрыш жасап жалғастырсаң, оның қатынастары сақтала береді.Сайып келгенде, жұлдызды бесбұрышта сонымен қатар «алтын қима» қолданылған.

Жұлдызды бесбұрыш пентаграмма деп аталады. Пифагорлықтар өздерінің талисмандары ретінде бесбұрышты жұлдызды таңдады. Ол денсаулықтың символы мен танымдылықтың белгісі ретінде қызмет еттді.

Қазіргі уақытта гипотеза бар, оның ең бірінші мағынасы пентаграмма, ал екінші мағынасы «алтын қима». Пентаграмманы ешкім ойлап тапқан жоқ, оны тек көшіріп алды. Бесбұрышты жұлдыздың жеміс ағаштарындағы гүлдердегі бес жапырақ , теңіз жұлдызы тәрізді түрлері бар. Және құбылыстарды табиғат жаратылымдарын адамдар қанша мың жыл бақылап келеді.

Сол себепті, объектілердің геометриялық бейнелеулері - пентаграмма - ертеректен белгілі. [6]

Екінші алтын қима

Болгарлық «Отечество» атты журналда Цветана Цекова-Карандашаның негізгі қимадан шығатын және 44:56 қатынаста бөлетін «Екініші алтын қима» атты мақаласы жарияланды.

Мұндай пропорция сәулет өнерінде де табылды, сонымен қатар ол ұзартылғын горизантальдық формат бейнелеулерінің композицияларын құруда орын алады.

Бөлу келесі бейнемен жүзеге асады. АВ кесіндісі алтын қима пропорциясында бөлінеді. С нүктесінен СД перпендикуляры жүргізіледі. Радиус АВ-ның ортасында А нүктесіне түзу арқылы жүргізілген Д нүктесі орналасқан. АСД тікбұрышы қақ ортасынан бөлінеді. Е нүктесі АД кесіндісін 56:44 қатынаста бөледі.

Суретте екінші алтын қиманың құрылысы көрсетілген. Ол алтын қима кесіндісі мен тікбұрыштың орта сызығының ортасында орналасқан.

Сонымен кесіндіні орта және шеткі қатынастарда бөлу бір ғана тәсілмен емес, бірнеше тәсілмен бөлінетіндігі дәлелденді. [8]

Алтын пішіндер

Алтын тікбұрыш

Егер бір жағынан АВ=а квадратын салса АВ кесіндісінен М ортасын тауып және Е нүктесінде АВ жалғасымен кесіп өтуге дейін М нүктесінде ортасы МС радиусымен шеңбер доғасын өткізсе, онда В нүктесі АЕ кесіндісін орта және шеткі қатынастарда бөледі.

Көз жеткізу үшін, Пифагор теоремасына қараймыз

МС²= а²+(а/2)²= 5а²/4

АЕ=а/2+МЕ=(+1)а/2=АВ

АЕҒД тікбұрышы АЕ=АД жағынан алтын тікбұрыш деп аталады. АВСД тікбұрышы - квадрат. ВС=а=ВЕ қарасақ, ВЕҒД да алтын екенін көру қиын емес. Бұл жағдай ВЕҒС тік бұрышын онан ары бөлшектеуге болады деген ой келеді.

Тікбұрыштың қабырғалармен қатынасы, теңдігі, тікбұрыштардың қабырғалармен қатынасы, айтқанда, 2:1, 3:2, 5:7 көрінеді деп есептеуге бола ма? Бұл сұраққа жауап беру үшін, арнайы эксперименттер жасалды. Нәтижелері әбден нанарлық, бірақ та кейбір деректер куәландырады. [1]

Алтын үшбұрыш

АВ түзуін жүргіземіз. А нүктесінен үш рет О кесіндісін кез-келген шамамен түсіреміз, сол алынған Р нүктесінен АВ түзуіне перпендикуляр жүргіземіз.

Алынған d және d₁ нүктелерін А нүктесімен түзу қосамыз. Dd₁ кесіндісінен Аd₁

түзуін жүргізе отырып, қиылысатын С нүктесін аламыз. Ол Аd₁түзуін алтын қима қатынасында бөлді. Аd₁ және dd₁ түзулерінен алтын тікбұрыш пайда болды.

Алтын үшбұрыштың құрылысы

Алтын бесбұрыш

Өте тамаша үлгі ретінде «алтын қима» өз бетімен дұрыс бесбұрыш - дөңес және жұлдызды ұсынады.

А л т ы н б е с б ұ р ы ш.

Пентаграмманы құру үшін міндетті түрде дұрыс бесбұрыш құру қажет. Мейлі, О-шеңбердің ортасы, А-шеңберлердегі нүкте, ал Е-ОА кесіндісінің ортасы. ОА радиуысына перпендикуляр, О нүктесінде құрылған, Д нүктесінде шеңбермен қиылысады. Циркульді пайдаланып, диаметрде СЕ=ЕД кесіндісін қалдырамыз. Дұрыс бесбұрыштың айналасындағы ұзыныдығы ДС-ға тең. ДС айналасына кесінді салып түзу бесбұрыш сызу үшін бес нүкте аламыз. Диагонал арқылы бесбұрыштың бұрыштарын қосып пентаграмма аламыз. Бесбұрыштың барлық диагоналдары өзара кесінділерге бөлінеді, оларға өзара бір-бірімен алтын пропорциямен байланысқан бесбұрыштың жұлдыздың соңғы нүктесі алтын үшбұрыш құрайды.

Жоғары жағынан оның шеттерінің бұрышы 36⁰, ал бүйірінің негізі оның алтын кесіндінің пропорциясына бекиді. Алтын куб-бұл қабырғалары ұзындығы 1.618 және 0.618 болатын тікбұрышты параллелепипед.

Енді Евклид «Начало»-да ұсынған дәлелдемелерді қарастырайық.

Енді Евклидтің 72 градус бұрышты құру үшін алтын кесіндіні қолдануын қарастырайық. Тура осындай бұрыш арқылы дұрыс бесбұрыш көрініп тұр. В нүктесімен орта және шеткі қатынас арқылы бөлінген АВЕ кесіндісінен бастаймыз. В және Е нүктелерінде ортасы арқылы дөңес айналасын жүргіземіз. С нүктесінде қиылысатын АВ градусы арқылы жүреді. Төменірікте АС=АЕ екендігін дәлелдейміз. Ал қазірге осы қағиданы ұстанамыз.

Сонымен. АС=СЕ болсын. α арқылы ЕВС және СЕВ тең бұрыштарын белгілейміз. АС=СЕ болғандықтан, АСЕ бұрышы α -ға тең. Үшбұрыштың бұрыштар саны 180⁰ тең. ВСЕ бұрышын табуға болады. Ол 180⁰ 2 α тең, ал бұрышы ЕАС-3 α -180 теоремасын дәлелдейік. Бірақ онда АВС бұрышы 180- α -ға тең. АВС үшбұрышының бұрыштар санын есептей отырып,

180=(3 α -180)+(3 α -180)+(180- α) аламыз.

Одан 5 α = 360, яғни α =72.

Сонымен, ВЕС үшбұрышының негізінде әрбір бұрыштар бұрыш төбесінде екі есе үлкен, ол 36⁰ тең. Сонымен, дұрыс бесбұрыш құру үшін, Е нүктесінде ортасы арқылы кез-келген шеңберді жүргізу керек, олар ЕС Х нүктесінде қиылысады және ЕВ жақтары У нүктесінде қиылысады. ХУ кесіндісі дұрыс бесбұрыштың шеңберіне жазылған. Шеңбердің барлық жағынан айнала отырып, барлық қалған жақтарын табуға болады.

Енді АС=АЕ екендігін дәлелдейік. С нүктесінің төбесі түзу кесінді арқылы ВЕ кесіндісінде N ортасымен қосылған. СВ=СЕ екендігін байқайық, онда СNЕ бұрышы тік.

Пифагор теоремасы бойынша

СN²=а²-(а/2φ)²=а2(1-4φ² )

Осыдан

(АС/а)²=(1+1/2 φ)²+(1-1/4 φ²) =2+1/ φ=1+φ= φ²

Сонымен, АС= φ а= φАВ=АЕ, міне осыны дәледеу керек болатын. [3]

Архимед серіппесі

Алтын тікбұрыштардан квадраттарды жүйелі шексізздікке дейін кесіп тастап, әрдайым қарсы нүктелерді шеңбер ширегімен қосса, біз қарапайым қисық аламыз. Бірінші назарды оған көне грек ғалымы Архимед аударған. Ол оны зерттеп, серіппе теңдеуін шығарды. Қазіргі уақытта Архимед серіппесі техникада кеңінен қолданылады.

А р х и м е д с е р і п п е с і

Фибоначчи сандары

Алтын қимамен лақап аты Фибоначчимен белгілі Пизадағы итальян математигі Леонардонаның атымен байланысты.

1202 жылы оларға «Liber abacсi» атты кітап жазылған болатын, яғни «Книга об абаке». «Liber abacсi» өз алдында көлемді еңбек ұсынады, сол уақыттағы барлық арифметикалық және алгебралық мәлімдеулерді дерлік ұстанатын және бірнеше жүз жылда математиканың Батыс Еуропада дамуына үлкен рөл атқаруда. Сонымен қатар, бұл кітаптың арқасында еуропалықтар үндістік («арабтық») сандармен танысты. Фибоначчи 1228 жылы өз есімімен аталған (Фибоначчи санадар) сандар тізбегеін ойлаап тапқан. Бұл сандардың әрбір келесі саны өзінен бұрынғы екі санның қосындысына тең болған.

1,1+1=2

2+1=3

3+2=5

5+3=8

8+5=13

13+8=21 …..

Осы сандар тізбегенің заңдылығын өзімізді қоршаған ортадан кездестіруге болады. Ағаштардың жапырағы ағаш бұтақтарындағы екі жапырықтың арасында спираль тәрізді оралып орналасады екен, жаңғақ ағашының жапырағында 1/3 айналыс жасап, емен ағашының жапырағында -2/5 айналыспен, алмұрт жапырағы - 3/8 айналыспен, күнбағыстың дәндері спираль тәрізді айналып орналасады екен. Фибоначчидің әрбір үшінші саны жұп сан, әрбір төртінші саны үшке бөлінетін сан, әрбір 15 саны нөлмен аяқталады, көршілес екі сан өзара ждай сандар.

Мына бір тапсырманы қарастырайық:

«Бір жұптан бір жылда қанша қоян дүниеге келеді?

Бір кісі бір жұп қоянды барлық жағынан қоршалған жерге орналастырылған. Жылына қанша қоян туылытынын білу керек. Бір айдан соң қояндар жұбы басқа қояндарды дүниеге әкеледі. Туылған көжектер екі айдан соң қояндар өздері көжектер әкеледі. [4]

Ай

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Қояндар жұбы

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

233

377Енді қояндар санынан келесі сандар ретін ұсынайық:

u₁, u₂ … u_n

Онда әрбір мүше алдыңғы екі қосындыға тең, яғни

u_n = u_n-₁+u_n-₂

Берілген реттілік асимптотикалық түрде үнемі қарым-қатынаста болады. Бірақ бұл қатынас ирроциональды, яғны шексіз сандар. Оны нақты жеткізу мүмкін емес.

Егер Фибоначчи жүйелілігінің мүшесін оның алдындағыға бөлсе (мысалы, 13:8), нәтижесі зор ирроционалды мағына 1.61803398875... және біреу арқылы басым түседі, бірақ оған жетпейді.

Жүйеліліктің асимптотикалық қылығы ирроционалды Ф саны түсініктірек болар еді, егер жүйеліліктің бірнеше алғашқы мүшелерін көрсетсе. Мына үлгідегі біріншіге екінші мүшенің, үшіншінің екінші мүшеге, төртіншінің үшіншіге қатынасы беріліп, тоғысып жатады.

1:1=1.0000 фиден төменірек 0.6180

2:1=2.0000 фиден жоғарырақ 0.3820

3:2=1.5000 фиден төменірек 0.1180

5:3=1.6667 фиден жоғарырақ 0.0486

8:5=1.6000 фиден төменірек 0.0180

Жылжу өлшемімен Фибоначчи жүйелігінде әрбір жаңа мүше келесіні үлкен және үлкен жақындауларымен Ф мүмкіндігіне бөледі. [7]

Адам құдайшыл пропорцияны саналы түде іздейді, ол оның комфортты қажеттілігін өлшейді.

Фибоначчи жүйелілігінің мүшесін болу кезінде, кері 1.618 үлкендігі пайда болады. Бірақ бұл да ерекше және ғажап құбылыс. Бастапқы

арақатынас - шексіз бөлшек, бұл қатынаста шек болмауы тиіс.

Әрбір санды келесіге бөлерде 0.382 санын аламыз.

1:0.382=2.618

Осындай тәсілмен арақатынастарды ала отырып, Фибоначчи коэффициентінің негізін аламыз: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236. Сонымен қатар 0.5 екенін ескереміз. Олар табиғатта және техникалық сараптамада ерекше роль ойнайды.

Алтын қима біз көргендей дұрыс бесбұрышпен байланыста пайда болады, сондықтан Фибоначчи сандары барлық жағынан роль ойнайды. Дұрыс бесбұрыштардың - бесбұрыштар мен дөңестерге қатысы бар.

Фиббоначи қатары математикалық казус болып қана қалар еді, егер де алтын қима зерттеушілері өсімдік, жануарлар әлемінде, өнерде қоспағанда, арифметикалық тұжырымға сай болуы керек. Ғалымдар Фибоначчи саны мен алтын қима теориясын белсенді түрде дамытты. Ю. Матиясевич Фибоначчи сандарын қолданып Гильберттің 10 мәселесін шешті. Бірнеше кибернетикалық тапсырмаларды Фибоначчи сандарын, алтын қиманы қолдана отырып бірнеше тәсілдермен шешті. АҚШ-та Фибоначчидің математикалық ассоциациясы құрылған, ол 1963 жылдан бері арнайы журнал шығарады.

Осы саладағы үлкен жетістіктердің бірі Фибоначчи сандары мен алтын қиманың талдау қорытындылары. Фибоначчи қатары (1,1,2,3,5,8) және «екілік» сандардың қатары 1,2,4,8,16... қатарының ашылуы. Бірақ олардың құрылыс алгоритмі бір-біріне өте ұқсас: бірінші жағдайда әрбір сан алдыңғы санның суммасы, яғни 2=1+1;4 = 2+2..., екіншіде-бұл алдыңғы екі сан 2=1+1,3=2+1,5=3+2... «Екілік» қатар, Фибоначчи қатары шығатын жалпы математикалық формуланы табуға бола ма?

Шынында, S сандық параметрін алайық, ол кез-келген: 0,1,2,3,4,5... S+1 олардың алғашқы сандар - олар жалғыз, ал олардың әрқайсысы алғашқы екі санның суммасына тең. Егер осы қатардың n санын, S(n) арқылы белгілесек, онда S(n)= S(n-1)+ S(n- S-1) аламыз. Әрине, S=0 болса, осы формуладан «екілік» қатар аламыз, S=1 болса Фибоначчи қатары S=2,3,4 тең, сандардың жаңа қатары Фибоначчи сандары S атауына ие болады. Жалпы түрде алтын S пропрциясы теңдіктің түбірі S қимасы х ^S+1-х ^S-1=0

S=0 болса кесінді бөлімі тең болады, ал S=1 болса, бізге таныс калассикалық алтын қима болады. Фибоначчи сандарының S көршілестері математикалық абсолютті дәлдікпен алтын S пропорциясымен сәйкес келеді. Яғни, S қималары Фибоначчи сандары S инварианттары болып табылады. [7]

Леонардо да Винчидің Мона Лиза атты картинасы алтын қима қатынасында бөлінуі

Алтын қима кескіндемеде.

«Алтын қима» кескіндемедесінің мысалдарына сүйене өз назарымызды Леонардо да Винчидің шығармаларына тоқтамай болмайды. Оның жеке өмірі тарихи бір жұмбақ. Оның өзі айтқандай: «Ешкім математик бола алмай менің еңбектерімді оқуға батылданбайды».

Леонардо да Винчи ұлы суретші екеніне ешбір күмән жоқ, бұны оның замандастары да мақұлдады, бірақ оның жеке өмірі және қызметі бізге құпия болып қалмақ. Ол өзінің ұрпақтарына өз ойлары байланыспайтын баяндама қалдырды, ол барлық әлемде айтылған тек қана көп санды қолжазба нобайларын қалдырды.

Мона Лизаның портреті көптеген жылдар бойы зерттеушілердің назарын аударуда, суреттің композициясы алтын үшбұрыштарға негізделген, жұлдызды бесбұрыштың дұрыс бөліктері болған.

Сонымен қатар алтын қима пропорциясы Шишкиннің картиналарынан көруге болады. И.И.Шишкиннің бұл өте атақты картинасында алтын қиманың көріністері айқын көрінеді.

Рафаэльдің «Избиение младенцев» атты картинасында алтын қиманың басқа элементі - алтын серіппе көрінеді. [5]

Қорытынды

Айта кететін болсақ, алтын қима біздің өмірімізде өте үлкен қолданыста болады.

Адамның денесі алтын қима пропорциясында белдік сызықпен бөлінетіні дәлелденген.

Алтын қиманың арқасында Марс пен Юпитердің арасындағы астеоридтердің белі ашылған - пропорцияда ол жерде бір планета орналасу делінген.[2]

Нүктеде ішек қыздыруы, оны бөлетін алтын бөлулер, ішек тербеулерін шақырмайды, яғни бұл өтем нүктесі.

Ұшатын аппараттарда энергияның электромагниттік қайнарларымен тік бұрышты алтын қима пропорциясымен жасалады.

Джоконда алтын үшбұрыштарда салынған, алтын серіппе Рафаэльдің «Избиение младенцев» атты картинасында кездеседі.

Пропорция Сандро Боттичеллидің ««Рождение Венеры» атты картинасында табылған.

Алтын қима пропорциясымен жасалғандар, соның ішінде Пантеон мен Парфенон Афинада, Баженава мен Малевича сәулет ғимараттары сәулет өнерінің көптеген ескерткіштерінен белгілі. [5]

Осыдан бес ғасыр бұрын жасалған Иоган Кеплер былай деген: «Геометрия екі ұлы қазынаға ие. Оның бірі - Пифагор теоремасы, екіншісі - кесіндіні шеткі және орта қатынаста бөлу.» Осыдан біз алтын қима пропорциясын Пифагор теоремасынан кейінгі ең ұлы қазына деп білеміз.

Пайдаланылған әдебиеттер:

1. Геометрия және өнер. - М.: Мир, 1979. Д. Пидоу.

2. «Ғылым және техника» журнал.

3. «Квант» журналы, №8, 1973

4. «Математика в школе» журнал, №2,3, 1994

5. «Алтын қима кескіндемеде» - 1989. В.Ф.Ковалев.

6. Алтын пропорция коды.- А.Стахов.

7. «Фибоначи сандары» - М: Наука, 1964. Н.Н.Воробьев

8. Интернеттен хабар.