Курсовая работа «Элективный курс «Решение текстовых задач»»

Министерство образования и молодежной политики ЧР

Чувашский республиканский институт образования

Кафедра физико-математических дисциплин

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС

РЕШЕНИЕ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ

Выполнила: Алексеева О.В.

учитель математики

МБОУ «Приволжская ООШ»

Маринско-Посадского района ЧР

Научный руководитель:

Хрисанова З.И.

методист кафедры ФМД ЧРИО

Чебоксары - 2011

Пояснительная записка

Умение решать текстовые задачи является одним из показателей уровня математического развития. Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения - процесс изобретательства. В настоящее время ГИА по математике в 9-ых классах, ЕГЭ - в 11-ых классах, вступительные экзамены в вузы содержат разнообразные текстовые задачи. Часто уровень сложности этих задач выходит за пределы школьного учебника. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса "Решение текстовых задач по алгебре", который предполагает формирование умения решать разнообразные текстовые задачи алгебраическим методом. Работая над материалом курса, обучающиеся должны научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение - как объект конструирования и изобретения. Программа курса имеет практическую направленность. Задачи, используемые на уроках, подобраны с учетом нарастания уровня сложности, их количество не создает учебных перегрузок для школьников. Содержание программы способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию школьников; предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие и выявление математических способностей, ориентацию на профессии, связанные с математикой, выбор профиля дальнейшего обучения. Большое внимание уделяется самостоятельной работе школьников. Программа предполагает использование нестандартных форм проведения уроков: лекций, практикумов, семинаров (теоретических, практических), что соответствует возрастным особенностям обучающихся. Данный элективный курс рассчитан в первую очередь на учащихся, желающих расширить и углубить свои знания по математике, сделать правильный выбор профиля обучения в старших классах и качественно подготовиться к ЕГЭ и конкурсным экзаменам в вузы. Он поможет школьникам систематизировать полученные на уроках знания по решению текстовых задач и открыть для себя новые методы их решения, которые не рассматриваются в рамках школьной программы. Полный минимум знаний, необходимых для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения в школе, поэтому представленный элективный курс «Решение текстовых задач» рекомендуется вводить с 9-го класса. Система семинарских занятий, предусмотренная курсом, стимулирует самостоятельную работу школьников, позволяет изучать теоретический материал, методы решения задач с последующим обсуждением на уроке результатов деятельности. Обучающийся, активно выступавший на семинарских занятиях, сдавший зачет, считается успешно окончившим данный элективный курс.

Задачи на составление уравнений, или текстовые алгебраические задачи, можно условно классифицировать по типам:

• задачи на числовые зависимости;

• задачи, связанные с понятием «процента»;

• задачи на прогрессии;

• задачи на движение;

• задачи на совместную работу;

• задачи на смеси и сплавы.

Стандартная схема решения текстовой задачи состоит из нескольких этапов:

1. Обозначение буквами x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.

2. Составление с помощью введенных переменных и известных из условия задачи величин уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях - систем неравенств).

3. Решение полученного уравнения или системы уравнений.

4. Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные и составляя уравнения, мы создаем математическую модель ситуации, описанной в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

Цели курса.

1. Сформировать у обучающихся умение решать разнообразные текстовые задачи алгебраическим методом.

2. Развивать исследовательскую и познавательную деятельность школьников.

3. Познакомить обучающихся с материалами ГИА (9 кл.), ЕГЭ (11 кл.), вступительных экзаменов в вузы.

4. Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

5. Помочь школьникам осознать степень интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы (выбор профиля обучения).

Курс рассчитан на 1 час в неделю, всего 17 часов.

2. Содержание обучения.

1. Методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический. 2 часа

Текстовая задача. Виды текстовых задач и их примеры. Решение текстовой задачи. Этапы решения текстовой задачи. Решение текстовых задач арифметическими приемами. Решение текстовых задач методом составления уравнения, неравенства или их систем. Значение правильного письменного оформления решения текстовых задач. Решение текстовой задачи с помощью графика. Чертеж к текстовой задаче и его значение для построения математической модели. Текстовые задачи для предварительного отбора. Текстовые задачи для конкурсного отбора и способы их решения: арифметические способы решения, применение линейного, квадратного, рационального уравнения или их систем, а в качестве усложнения каждого из этих приемов применяются «лишние» неизвестные, чему в большинстве учебников не обучают.

2. Задачи на проценты. 2 часа

Понятие процента. Нахождение процента от числа, числа по его проценту, составление процентного отношения. Решение типовых задач на проценты. Алгоритм решения задач методом составления уравнений. Формула начисления «сложных процентов», формула простого процентного роста. Решение задач на применение этих формул. Процентные расчеты в различных сферах деятельности. Проценты в окружающем мире (распродажи, тарифы, штрафы, банковские операции и голосование).

2. Задачи на движение (по прямой, по реке, по окружности). 5 часов

Движение тел по течению и против течения. Равномерное и равноускоренное движение тел по прямой линии в одном направлении и навстречу друг другу. Движение тел по окружности в одном направлении и навстречу друг другу. Формулы зависимости расстояния, пройденного телом, от скорости, ускорения и времени в различных видах движения. Графики движения в прямоугольной системе координат. Чтение графиков движения и применение их для решения текстовых задач. Решение текстовых задач с использованием элементов геометрии. Особенности выбора переменных и методика решения задач на движение. Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.

2. Задачи на работу. 2 часа

Формула зависимости объема выполненной работы от производительности и времени ее выполнения. Особенности выбора переменных и методика решения задач на работу. Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.

2. Задачи на смеси, сплавы, растворы. 2 часа

Формула зависимости массы или объема вещества от концентрации и массы или объема. Особенности выбора переменных и методика решения задач на сплавы, смеси, растворы. Составление таблицы данных задачи и ее значение для составления математической модели.

2. Задачи на прогрессии. 2 часа

Формула общего члена и суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий. Особенности выбора переменных и методика решения задач на прогрессии.

2. Зачёт по курсу. 2 часа

Итоговая работа является заключительным отчетом, подтверждающим усвоение основных идей и владение основными приемами решения текстовых задач, изложенными в курсе.

Ожидаемые результаты:

После изучения курса учащиеся должны:

• уметь определять тип текстовой задачи, знать особенности методики ее решения, использовать при решении различные способы;

• уметь применять полученные математические знания при решении задач;

• уметь использовать дополнительную математическую литературу.

3. Требования к математической подготовке обучающихся.

В результате изучения курса обучающиеся должны уметь:

• решать линейные, квадратные уравнения, системы различными методами: подстановкой, сложением, введением новой переменной;

• знать определения понятий: %, концентрация, производительность.

• решать текстовые задачи повышенного уровня сложности, существенно превышающего обязательный:

• на движение (по прямой, по реке, по окружности);

• на работу и наполнение резервуара;

• на смеси и сплавы;

• на многократные переливания;

• на проценты.

• работать с алгебраической моделью:

• работать с алгебраической моделью (уравнением), в которой содержится несколько переменных;

• работать с алгебраической моделью (системой), в которой число переменных превосходит число уравнений.

4. Учебно-тематический план (17 часов)

Приложения

Дидактические материалы к элективному курсу

Задачи на проценты.

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами: нахождения части от целого, восстановление целого по его известной части, нахождение процентного прироста. Рассмотрим эти алгоритмы.

1. Пусть известна некоторая величина А, надо найти а % этой величины.

Если считать, что А есть 100%, а неизвестная часть х это а %, то из пропорции

имеем .

• Пусть известно, что некоторое число b составляет а % от неизвестной величины А. Требуется найти А.

Рассуждая аналогично, из пропорции получаем .

• Пусть некоторая переменная величина А, зависящая от времени t, в начальный момент t₀ имеет значение А₀, а в момент t₁ - значение А₁.

Тогда абсолютный прирост величины А за время t₁-t₀ будет равен А₁-А₀; относительный прирост этой величины вычисляется по формуле , а процентный прирост по формуле .

ЗАДАЧА 1. Если из 225 кг руды получается 34,2 кг меди, то каково процентное содержание меди в руде?

РЕШЕНИЕ.

Если 225 кг руды - 100 %, то

34, 2 кг - х %, откуда

или х = 15,2 %.

Ответ: 15,2%.

ЗАДАЧА 2. Цену товара сперва снизили на 20%, за­тем новую цену снизили еще на 15% и, наконец, после перерасчета произвели снижение ее на 10%. Па сколько процентов всего снизили первоначаль­ную цену товара?

РЕШЕНИЕ.

Пусть х руб. - первоначальная цена товара, что соответствует 100%. Тогда после I снижения цена товара будет х - 0,2х = 0,8x (руб.).

После II снижения (руб.), а после III снижения (руб.).

Всего цена товара снизилась на (руб.).

Итак, х - 100%,

0,388х - у, откуда имеем . Таким образом, первоначальную цену товара сни­зили всего на 38,8 %.

Ответ: на 38,8 %.

ЗАДАЧА 3. Антикварный магазин, купив два предмета за 225000 руб., продал их, получив 40% прибыли. Что стоит магазину каждый предмет, если на первом прибыли получено 25%, а на втором 50%?

РЕШЕНИЕ.

Пусть I предмет куплен за х руб., тогда II куплен за (225000 - х) руб. При продаже I предмета получено 25% прибыли. Значит, он продан за 1,25x руб.

Второй предмет, на котором получено 50% прибыли, продан за

1,5 ∙ (225000 - х) руб. По условию общий % прибыли (по отношению к покупной цене 225000 руб.) составлял 40%. Значит, общая сумма выручки была руб.

Имеем уравнение 1,25x + 1,5 (225000 - х) = 315000. Умножая обе части уравнения на 4, получим 5х + 6 (225000 - х) = 315000 ∙ 4,

или 6х - 5х = 6 ∙ 225000 - 4 ∙ 315000, откуда

х = = 90 000, тогда 225000 - х = 135000.

Итак, I предмет куплен за 90000 руб., II - за 135000 руб.

Ответ: 90000 руб., 135000 руб.

ЗАДАЧА 4. Гипотенуза прямоугольного треугольни­ка равна м. Определить катеты, если извест­но, что после того, как один из них увеличить на %, а другой на %, сумма их длин сделается равной 14 м.

РЕШЕНИЕ.

Пусть длины катетов (в метрах) - х и у. Так как ги­потенуза равна м, то по теореме Пифагора полу­чим уравнение или .

После увеличения на %, т.е. на своей длины, I катет станет равным , а II катет после увеличения на % будет равен . Получим уравнение:

.

В итоге имеем систему уравнений:

откуда находим .

Ответ: 3 м, 6м.

ЗАДАЧА 5. При выполнении работы по математике 12% учеников класса вовсе не решили задачи, 32% решили с ошибками, остальные 14 человек решили верно. Сколько учеников было в классе?

РЕШЕНИЕ.

Верно решившие 14 человек составляют 100% - (12% + 32%) = 56% всех учеников класса. Тогда общее число учеников класса будет равно 14 ∙ 100 : 56 = = 25 (учеников).

Ответ: 25 учеников.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Из 22 кг свежих грибов получается 2,5 кг сухих грибов. Содержащих 12% воды. Какой процент воды в свежих грибах?

2. Два завода по плану должны были выпустить за месяц 360 станков. Первый завод выполнил план на 112%, а второй - на 110%, вместе заводы выполнили за месяц 400 станков. Сколько станков сверх плана выпустил каждый завод в отдельности?

Задачи на движение

Уравнения, которые составляются на основании условий задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении этих задач принимают следующие допущения:

1. Если нет специальных оговорок, то движение считается равномерным.

2. Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.

3. Если тело с собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения - (х-у).

При решении задач на движение рекомендуется сделать рисунок, отображающий все условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

При решении задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу либо в случае, когда один объект догоняет другой.

Пусть расстояние между точками А и В равно S. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v₁ и v₂. Пусть С - точка встречи, а t - время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем АС=v₁t, BC=v₂t. Сложим эти два равенства:

АС+СВ=v₁t+v₂t=(v₁+v₂)t Þ AB=S=(v₁+v₂)t Þ .

Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем АС=v₁t, BC=v₂t. Вычтем эти равенства:

АС-ВС=(v₁-v₂)t.

Так как АС-ВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством

.

При решении задач на движение используются формулы: , , .

При этом надо иметь в виду, что указанные величины должны быть в одной системе единиц. В задачах на движение по реке необходимо помнить формулы:

Кроме того, что если два тела начинают движение одновременно, то в случае, если они встречаются, каждое с момента выхода и до встречи затрачивают одинаковое время. Точно также обстоит дело в случае, если одно тело догоняет другое. Если же тела выходят в разное время, то до момента встречи из них затрачивает времени больше то, которое выходит раньше.

ЗАДАЧА 1. Пешеход, идущий из совхоза на железнодорожную станцию, пройдя за первый час 3 км, рассчитал, что он опоздает к отходу поезда на 40 мин, если будет идти с той же скоростью. Поэтому остальной путь он прошел со скоростью 4 км/ч и прибыл на станцию за 15 мин до отхода поезда. Чему равно расстояние от совхоза до станции и с какой постоянной скоростью на всем пути пешеход пришел бы на станцию точно к отходу поезда?

РЕШЕНИЕ.

Составим таблицу:

Расстояние, км.

Скорость, км/ч.

Время, ч.

Точно

x

v

С опозданием

x -3

3

С опережением

x-3

4

Заметим, что 15 мин = ч, а 40 мин = ч.

Тогда, уравнивая промежутки времени, записанные в таблице, получим систему уравнений:

Сравнивая правые части уравнений системы, имеем

или

, тогда (км/ч)

Ответ: 14 км, 3,5 км/ч.

ЗАДАЧА 2. Велосипедист и пешеход вышли из пунктов А и В, расстояние между которыми 12 км, и встретились через 20 мин. Пешеход прибыл в пункт А на 1ч 36 мин позже, чем велосипедист в пункт В. Найти скорость пешехода.

РЕШЕНИЕ. Обозначим через x км/ч скорость пешехода. Тогда 12 км из В в А пешеход пройдет за 12/x ч, а велосипедист это же расстояние из А в В на 1ч 36 мин=1,6ч быстрее, т. е. за ч со скоростью км/ч. Велосипедист и пешеход, двигаясь навстречу друг другу, расстояние 12 км прошли за 20мин =ч.

Составим уравнение:

или , , откуда .

Значение невозможно, так как х - скорость пешехода.

Ответ: 6 км/ч.

ЗАДАЧА 3. Найти длину поезда, зная, что он проходил с постоянной скоростью мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с и затратил 25 с на то, чтобы проехать с той же скоростью вдоль платформы длиной 378 м.

РЕШЕНИЕ. Пусть х - длина поезда, тогда скорость поезда мимо неподвижного пассажира будет м/с, а скорость поезда мимо платформы будет м/с. Согласно условию задачи эти скорости равны, т. е. имеем уравнение:

или , откуда . Следовательно, длина поезда 147 м.

Ответ: 147 м.

ЗАДАЧА 4. Моторная лодка прошла 5 км по течению и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 1ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найти скорость лодки по течению.

РЕШЕНИЕ. Пусть собственная скорость движения лодки х км/ч, где . Составим таблицу.

Скорость, км/ч.

Расстояние, км.

Время, ч.

По течению

х+3

5

Против течения

6

Так как на весь путь моторная лодка затратила 1 ч, то получим уравнение:

,

или , откуда (не подходит, так как ).

Если , то . Итак, скорость лодки по течению реки 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.

ЗАДАЧА 5. Пароход прошел 4 км против течения реки, а затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную скорость парохода, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.

РЕШЕНИЕ:

Пусть х км/ч - собственная скорость парохода.

Тогда (х+6,5) км/ч - скорость парохода по течению.

(х-6,5) км/ч - скорость парохода против течения.

Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х-6,5) км/ч, то

ч. - время движения парохода против течения.

Так как по течению пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то

ч. - время движения парохода по течению.

По условию

Решим полученное уравнение:

Откуда получаем квадратное уравнение

х²-37х+146,25=0 Þ х₁=4,5 км/ч и х₂=32,5 км/ч.

Осуществим отбор полученных решений.

Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х₁=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).

Поэтому, собственная скорость парохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: v=32,5 км/ч.

ЗАДАЧА 6. Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу и встретились через 3 ч 20 мин. Сколько времени понадобится каждому из них, чтобы пройти все расстояние, если первый пришел в то место, из которого вышел второй, на 5 ч позже, чем второй пришел в то место, откуда вышел первый?

РЕШЕНИЕ. Так как в задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии, то все расстояние примем за 1. Тогда скорость первого пешехода будет, а второго - , где х часов - время в пути первого пешехода, а у часов - время второго пешехода.

Согласно условию задачи имеем систему уравнений:

или

Решая полученную систему способом подстановки, получим .

Ответ: 10 ч, 5 ч.

Задачи для самостоятельной работы

1. Расстояние между городами А и В по шоссе равно 50 км. Из города А в город В отправился велосипедист, а через 1ч 3 мин вслед за ним отправился мотоциклист, который обогнал велосипедиста и прибыл в город В на 1ч раньше его. Найти скорость каждого, зная, что мотоциклист двигался со скоростью в 2,5 раза большей, чем велосипедист.

2. Расстояние между двумя станциями электропоезд проходит за 1 ч 30 мин. Если его скорость увеличить на 10 км/ч, то это же расстояние электропоезд пройдет за 1ч 20мин. Определить расстояние между станциями.

3. Пассажир, ехавший в поезде со скоростью 40 км/ч, заметил, что встречный поезд проехал мимо за 3с. Определить скорость встречного поезда, если известно, что его длина 75 км.

4. Переднее колесо повозки на некотором расстоянии сделало на 15 оборотов больше заднего. Окружность переднего колеса равна 2,5м, а заднего - 4м. Сколько оборотов сделало каждое колесо и какое расстояние проехала повозка?

5. Из двух городов, расстояние между которыми 650 км, отправляются одновременно навстречу друг другу два поезда. Через 10 ч после отправления поезда встретятся. Если же первый поезд отправится на 4ч 20мин раньше второго, то встреча произойдет через 8ч после отправления второго поезда. Найти скорость каждого поезда.

6. По окружности, длина которой 999м, движутся два тела по одному и тому же направлению и встречаются через каждые 37 мин. Определить скорость каждого тела, если известно, что скорость первого в 4 раза больше скорости второго.

7. Лодка против течения прошла 22,5 км и по течению 28,5 км, затратив на весь путь 8ч. Определить скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2,5 км/ч.

8. Из пункта А отправили по течению реки плот. Через 5ч 20 мин вслед за плотом из того же пункта вышла моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Найти скорость плота, если известно, что скорость моторной лодки на 12 км/ч больше скорости плота.

9. Поезд должен был пройти 840 км. В середине пути он был задержан на 30 мин, а потому, чтобы прибыть вовремя, должен был увеличить скорость на 2 км/ч. Сколько времени поезд затратил на весь путь?

10. Два велосипедиста выехали одновременно из пунктов А и В, расстояние между которыми 28 км, и встретились через час. С какой скоростью двигался каждый велосипедист, если один прибыл в пункт В на 35 мин позже, чем другой в пункт А?

11. Два поезда выходят одновременно из пунктов М и N, расстояние между которыми 45 км, и встречаются через 20 мин. Поезд вышедший из М, прибывает на станцию N на 9 мин раньше, чем другой поезд в М. Какова скорость каждого поезда?

Задачи на совместную работу.

Основными компонентами этого типа задач являются:

работа;

время;

производительность труда.

Содержание задач этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого из них производительностью. В таких задачах объем всей работы, которая должна быть выполнена, принимается за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р ­- производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

.

Рассмотрим стандартную схему решения задач этого типа.

Пусть х - время выполнения некоторой работы первым рабочим,

у - время выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда - производительность труда первого рабочего,

- производительность труда второго рабочего.

- совместная производительность труда.

- время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

ЗАДАЧА 1. Двое рабочих выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого понадобится на 1 час больше, чем первому.

РЕШЕНИЕ:

Пусть х - время работы первого по выполнению всей работы.

у - время работы второго рабочего.

По условию х=у-1, и первое уравнение составлено.

Пусть объем всей работы равен 1.

Тогда - производительность труда первого рабочего,

- производительность труда второго рабочего.

Так как они работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то

- объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то

- объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

По условию .

Таким образом, мы получили систему двух уравнений

Решим ее, для этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе

Þ Þ 4у²-19у+12=0

ч. и у₂=4 ч.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи у₁=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому не подходит по смыслу задачи. Для полученного у₂=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х

х=4-1 Þ х=3 ч.

Ответ: первый рабочий выполнит работу за 3 часа, второй - за 4 часа.

ЗАДАЧА 2. Две бригады должны были закончить уборку урожая за 12 дней. После 8 дней совместной работы I бригада получила другое задание, поэтому II бригада закончила оставшуюся часть работы за 7 дней. На сколько дней II бригада убрала бы весь урожай быстрее I, если бы каждая бригада работа отдельно?

РЕШЕНИЕ.

Обозначим весь урожай через 1. Пусть I бригада может убрать весь урожай за х дней, а II - за у дней.

Тогда производительность труда I бригады будет - , а II - это часть урожая, которую убирает каждая бригада ежедневно.

Согласно условию задачи имеем систему уравнений

Итак, I бригада уберет весь урожай за 28 дней, а II - за 21 день, т. е. II бригада весь урожай уберет на 7 дней быстрее I.

Ответ: 7 дней.

ЗАДАЧА 3. Бассейн наполняется двумя трубами, действующими одновременно, за 2 ч. За сколько часом может наполнить бассейн I труба, если она, действуя одна, наполняет бассейн на 3ч быстрее, чем II?

РЕШЕНИЕ.

Обозначим через х время наполнения бассейна I трубой. Заметим, что, в каких единицах измеряется объем бассейна, в задаче не сказано. Следовательно, для решения задачи это неважно, и мы вместо условных единиц и обозначения V можем принять в принципе любое число, из которого самое удобное - 1. Составим таблицу.

Вели­чины

Процессы заполнения бассейна

I трубой

II трубой

I и II вместе

V

1

1

1

N, 1/ч

t, ч

x ?

2N - работа в единицу времени;

;

;

Составим уравнение:

, где .

Решая уравнение, находим (не удовлетворяет условию задачи). Значит, I труба наполняет бассейн за 3 ч.

Ответ: 3 ч.

ЗАДАЧА 4. Первому трактору на вспашку всего поля требуется на 2 ч меньше, чем третьему, и на 1 ч больше, чем второму. При совместной работе пер­вого и второго тракторов поле может быть вспаха­но за 1 ч 12 мин. Какое время на вспашку поля будет затрачено при совместной работе всех трех тракторов?

РЕШЕНИЕ.

Пусть х ч - время, необходимое для вспашки поля I трактору, у ч - II трактору и z ч - III трактору.

Примем площадь всего поля за 1, тогда - производительность I, - II, - III трактора. Согласно условию задачи имеем

и .

Так как 1 ч 12 мин = ч, то за это время I трактор выполнит часть работы, а II - - часть работы. Следовательно, имеем уравнение или . Таким образом, задача сводится к решению системы трех уравнений с тремя неизвестными:

Решив третье уравнение системы, находим (не удовлетворяет условию задачи, так как ).

Если , то и . Следовательно, при совместной работе трех тракторов производительность труда составит , тогда время на вспашку поля тремя тракторами составит ч.

Ответ: ч.

Задачи на сплавы и смеси.

Задачи этого раздела вызывают наибольшие, за­труднения. Речь в этих задачах идет о составлении смесей, сплавов, растворов и т. д. Решение этих задач связано с понятиями «концентрация», «процентное содержание», «влажность» и т. д. В задачах этого типа основным является понятие «концентрация». Что же это такое?

Рассмотрим, например, раствор кислоты в воде. Пусть в сосуде содержится 10 литров раствора, который состоит из 3 литров кислоты и 7 литров воды. Тогда относительное (по отношению ко всему объему) содержание кислоты в растворе равно . Это число и определяет концентрацию кислоты в растворе. Иногда говорят о процентном содержании кислоты в растворе. В приведенном примере процентное содержание будет таково: . Как видно, переход от концентрации к процентному содержанию и наоборот весьма прост.

Итак, пусть смесь массы М содержит некоторое вещество массой m. Тогда:

• концентрацией данного вещества в смеси (сплаве) называется величина ;

• процентным содержанием данного вещества называется величина с×100%;

Из последней формулы следует, что при известных величинах концентрации вещества и общей массы смеси (сплава) масса данного вещества определяется по формуле m=c×M.

Задачи на смеси (сплавы) можно разделить на два вида:

1. Задаются, например, две смеси (сплава) с массами m₁ и m₂ и с концентрациями в них некоторого вещества, равными соответственно с₁ и с₂. Смеси (сплавы) сливают (сплавляют). Требуется определить массу этого вещества в новой смеси (сплаве) и его новую концентрацию. Ясно, что в новой смеси (сплаве) масса данного вещества равна c₁m₁+c₂m₂, а концентрация .

2. Задается некоторый объем смеси (сплава) и от этого объема начинают отливать (убирать) определенное количество смеси (сплава), а затем доливать (добавлять) такое же или другое количество смеси (сплава) с такой же концентрацией данного вещества или с другой концентрацией. Эта операция проводится несколько раз.

При решении таких задач необходимо установить контроль за количеством данного вещества и его концентрацией при каждом отливе, а также при каждом доливе смеси. В результате такого контроля получаем разрешающее уравнение. Рассмотрим конкретные задачи.

ЗАДАЧА 1. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

РЕШЕНИЕ.

Пусть было взято х граммов 30% -ного раствора, а 10%-ного - у граммов, тогда . Так как первый раствор 30% -ный, то в х граммах этого рас­твора содержится 0,3 х грамма кислоты. Аналогично в у граммах 10%-ного раствора содержится 0,1 у грамма кислоты. В полученной смеси по условию за­дачи содержится г кислоты, следова­тельно, получим уравнение:

или

Таким образом, имеем систему уравнений

Вычитая из II уравнения I, получим 2х = 900 - 600; откуда х = 150, тогда у = 600 - 150 = 450.

Ответ: 150 г, 450г.

ЗАДАЧА 2. Вычислить массу и пробу сплава сереб­ра с медью, зная, что сплавив его с 3кг чистого се­ребра, получим сплав 900-й пробы (т. е. в сплаве 90% серебра), а сплавив с 2 кг сплава 900-й про­бы, получили сплав 840-й пробы.

РЕШЕНИЕ.

Пусть масса данного сплава х кг, в нем содержит­ся у % серебра: 0,01 ху кг серебра находится в дан­ном сплаве, (х + 3) кг - масса нового сплава, в нем содержится (0,01 ху + 3) кг серебра.

Так как новый сплав 900-й пробы, значит, в нем содержится серебра

0,9(х + 3) кг. Следовательно, имеем уравнение 0,01ху + 3 = 0,9(х + 3).

(х + 2) кг - масса III сплава 840-й пробы. В нем содержится 0,84 (х + 2) кг серебра. Но этот сплав со­стоит из х кг данного (0,01 ху серебра) и 2 кг 900-й пробы (1,8 кг серебра). Получим второе уравнение: 0,01 ху + 1,8 = 0,84 (х + 2).

Таким образом, имеем систему уравнений

Вычитая из I уравнения системы II, получим

3 - 1,8 = 0,9 (х + 3) - 0,84 (х + 2) или, упрощая, находим. Подставив значение х = 3 в I уравне­ние системы, находим у = 80.

Значит, данный сплав массой 3 кг содержит 80% серебра.

Ответ: масса сплава 3 кг 800-й пробы.

ЗАДАЧА 3. Имеется кусок сплава меди с оловом мас­сой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чисто­го олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы по­лучившийся новый сплав содержал 40% меди?

РЕШЕНИЕ.

Пусть х кг - масса олова, которую надо добавить к сплаву. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется кг меди. Исходный сплав массой 12кг содержал 45% меди, т. е. меди и нем было кг. Так как масса меди и в первоначальном, и в новом сплаве одна и та же, то получим уравнение

или , откуда находим х = 1,5. Следовательно, к исходному спла­ву надо добавить 1,5 кг олова.

Ответ: 1,5 кг.

ЗАДАЧА 4. Из бака, наполненного спиртом, выли­ли часть спирта и долили водой; потом из бака вы­лили столько же литров смеси; после этого в баке осталось 49 л чистого спирта. Сколько литров спир­та вылили в первый раз и сколько во второй, если вместимость бака 64л?

РЕШЕНИЕ.

Если в первый раз вылили х л спирта, то осталось (64 - х) л спирта. Когда долили бак водой, получили 64 л смеси спирта и воды, в которой содержится (64 - х) л спирта. Затем х л спирта смеси вылили, зна­чит, вылили и спирт.

л спирта вылили во второй раз, л осталось в баке.

Так как в баке осталось 49 л спирта, то можно составить уравнение:

,

,

64(64 - х) - х (64 - х) = 64 ∙ 49,

, или 64 - х = ± 56, откуда (не удовлет­воряет условию задачи).

Итак, в первый раз вылили 8 л спирта, а во второй (л) спирта.

Ответ: 8 л; 7 л.

ЗАДАЧА 5. Сосуд емкостью 8 л наполнен воздухом, содержащим 16% кислорода. Из этого сосуда вы­пускают некоторое количество воздуха и впускают такое же количество азота, после чего опять выпус­кают такое же, как и в первый раз, количество смеси и опять дополняют таким же количеством азота. В новой смеси оказалось кислорода 9%. Определить, по сколько литров выпускалось каж­дый раз из сосуда.

РЕШЕНИЕ.

Пусть из сосуда выпущено х л воздуха и введено такое же количество азота. В оставшемся количестве (8 - х) л воздуха содержится (8 - х) ∙ 0,16 л кислоро­да. Это количество приходится на 8 л смеси, так что на 1 л приходится л кислорода. Следовательно, когда вторично х л смеси заменяется х л азота, остающееся количество (8 - х) л смеси содер­жит

л кислорода. Значит, по отношению к общему количеству смеси (8 л) содержание кислорода составляет

. Согласно условию, получим уравнение:

, откуда , , то есть .

Очевидно, что 14 л выпустить из сосуда, в котором было 8 л, невозможно.

Значит, каждый раз из сосуда выпускали по 2 л смеси.

Ответ: 2 л.

Задачи для самостоятельного решения.

1. В сосуде было 12 л соляной кислоты. Часть кислоты отлили и сосуд долили водой. Затем снова отлили столько же и опять залили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% раствор кислоты?

2. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 тонн стал и с содержанием никеля 30%?

Задачи на прогрессию.

ЗАДАЧА 1. В арифметической прогрессии найти , если , а .

РЕШЕНИЕ: Т.к. , и , то запишем данные задачи в виде системы уравнений:

Решая эту систему, найдем ,. Поэтому

.

Ответ: .

ЗАДАЧА 2. Могут ли числа 10,25 и 40 в указанном порядке быть членами арифметической прогрессии?

РЕШЕНИЕ. Т.к. в условии не сказано, что эти числа - последовательные члены прогрессии, то будем считать, что , где 1<m<n. Для этой прогрессии имеем систему уравнений:

,

где - разность прогрессии. Исключив из этой системы , получим следующее соотношение, связывающее натуральные числа m и n:

.

Полагая, например, m=2, получим, что n=3, d=15 , т.е., числа m и n-натуральные и могут являться номерами членов арифметической прогрессии.

Ответ. Числа 10, 25 и 40 могут быть членами арифметической прогрессии.

ЗАДАЧА 3. Найти количество всех трехзначных натуральных чисел, делящихся на 7 без остатка.

РЕШЕНИЕ. Наименьшим трехзначным числом, делящимся без остатка на 7, является число 105, наибольшим - число 994. Все трехзначные числа, делящиеся без остатка на 7, образуют арифметическую прогрессию с , d = 7, . Найдем n по формуле общего члена: 994= 105 + 7( n-1) , отсюда n = 128.

Ответ: Всего имеется 128 трехзначных натуральных чисел, делящихся без остатка на 7.

ЗАДАЧА 4. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 91. Если к этим членам прибавить, соответственно, 25, 27 и 1, то получатся три числа, образующих арифметическую прогрессию. Найти седьмой член данной геометрической прогрессии.

РЕШЕНИЕ: По условию имеем три последовательных члена геометрической прогрессии: , . Составим первые три члена арифметической прогрессии: ,, . Составим систему уравнений:

или, ,

. Разделим одно уравнение системы на другое, затем перемножим крайние с средние члены пропорции, приведем подобные члены и получим следующее уравнение :

Решим это уравнение и получим, что . Подставим эти значения в систему уравнений и найдем или .

Найдем или .

Ответ. или .

Задания для самостоятельной работы

1. Найти первые шесть членов арифметической прогрессии, если и .

2.Сумма второго, третьего и четвертого членов арифметической прогрессии равна 1,5 , а их произведение равно -4,5. Найти первый член и разность прогрессии.

3. Найти , если .

4. Могут ли числа 2,21 и 59 быть членами арифметической прогрессии?

5. Вычислить сумму всех трехзначных чисел, кратных 3.

6.Дан треугольник, длины сторон которого образуют арифметическую прогрессию. Найти длину средней стороны, если периметр треугольника равен 12.

7. Найти пять первых членов геометрической прогрессии, если ее третий член равен 4, а четвертый равен 8.

8.Между числами 3 и 19683 вставить семь чисел так, чтобы все девять чисел образовали геометрическую прогрессию.

9.Могут ли длины сторон прямоугольного треугольника являться последовательными членами геометрической прогрессии?

10. Доказать формулы (5), (6), (10), (11).

11. Три числа образовывают геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то прогрессия станет арифметической. Если после этого увеличить последнее число на 9, то прогрессия станет снова геометрической. Найти эти числа.

12. Найти , если числа , и являются последовательными членами геометрической прогрессии.

Цоры и рекомендуемая литература.

1.Цоры:

1.1.Ресурсы по математике Хабаровской краевой заочной физико-математической школы

school-collection.edu.ru/catalog/rubr/13ebfdca-0cdc-1a2f-dc96-3a87b7e9b731/86909/

1.2.Бородина С.Н. Программа предметного элективного курса по математике "Эти известно-неизвестные прогрессии" festival.1september.ru/articles/589241/

1.3.Кузьмина Г.П.Элективный курс «Решение текстовых задач». matem21425s01.narod.ru

2.Литература.

2.1. Балаян Э.Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы / Э.Н. Балаян. - Ростов н/Д: Феникс, 2006.- ( Абитуриент).

2.2.Вольфсон Б.И. Готовимся к экзамену по математике/ Б.И. Вольфсон, В.М. Поркшеян , Л.И. Резницкий, С.М. Хартиев-Ростов н/Д: Феникс, 2005. - (Абитуриент).