Конспект урока по теме: Простейшие тригонометрические уравнения

Урок-лекция по теме «Arccosα, аrcsinα, аrctgα, аrcctgα»

Учебная задача:

Открыть формулы корней простейших тригонометрических уравнений с помощью числовой окружности;

Диагностируемые цели:

Ученик знает:

• определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса числа;

• формулы нахождения корней простейших тригонометрических уравнений;

умеет:

• находить корни уравнений cosx=a, sinx=a и т.д. по формулам;

• находить значение arccosα, arcsinα, arctgα и arcctgα для табличного значения а

понимает:

• происхождение нового обозначения;

• роль видовых отличий понятий: arccosα, arcsinα, arctgα и arcctgα.

Планирование

№ урока

Тема урока

Тип урока

Цели

1

Арккосинус. Решение уравнения cost=a

Урок-лекция

Ввести определение понятия арккосинуса и открыть формулу корней простейшего тригонометрического уравнения cost=a с помощью числовой окружности.

2

Арксинус. Решение уравнения sint=a

Урок-лекция

Ввести определение понятия арксинуса по аналогии с определением понятия арккосинуса и открыть формулу корней простейшего тригонометрического уравнения sint=a с помощью числовой окружности.

3

Арктангенс и арккотангенс. Решение уравнений tgt=a, ctgt=a

Урок-лекция

Ввести определения понятий арктангенса и арккотангенса по аналогии с определением понятия арккосинуса и арксинуса, открыть формулу корней простейших тригонометрических уравнений tgt=a, ctgt=a с помощью числовой окружности.

4-5

Решение простейших тригонометрических уравнений

Урок решения задач

Отработать формулы корней простейших тригонометрических уравнений на примерах.

Урок-лекция по теме «Arccosα, аrcsinα, аrctgα, аrcctgα»

Мотивационно-ориентировочная часть:

Актуализация:

- Решим уравнение cost=

- Чтобы решить уравнение cost= , нужно вспомнить, что называется косинусом числа t.

(Косинусом числа t называется абсцисса точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t.)

- Как можно переформулировать данную задачу?

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой x= и записать, каким числам t они соответствуют.)

- Значит, мы свели задачу к ранее известной . Решим ее.

(

M

LСтроим единичную окружность. Строим прямую x=, она пересекает

Р

N

числовую окружность в точках M и P . Точка M соответствует числу , а значит и любым числам вида +2πk, kz. Точка P соответствует числу -, а значит и любым числам вида -+2πk, kz. Ответ: t=+2πk, kz.)

- Решим уравнение cost=-. Переформулируйте эту задачу.

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой x=- и записать каким числам t они соответствуют.)

-Найдите решение.

(Строим прямую x=-, она пересекает числовую окружность в точках L и N. Точка L соответствует числам вида , z. Точка N - числам вида -, z. Ответ: t=, z.)

-Решим неравенства cost> и cost<. Рассмотрим первое неравенство.

-Переформулируйте задачу.

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой x> и записать, каким числам t они соответствуют.)

-Опять свели задачу к уже известной, решение которой не вызывает затруднений.

(Прямая x= пересекает числовую окружность в точках M и P. Неравенству x> соответствуют точки дуги PM с началом в точке P и концом в точке M при движении против часовой стрелки. Значит точка P соответствует числам вида -+2πk, kz,точка M соответствует числам вида +2πk, kz. Тогда решением является неравенство -+2πk <t< +2πk, kz.)

-Рассмотрим неравенство cost<. Нужно найти на числовой окружности точки с абсциссой x< и записать, каким числам t они соответствуют.

(Неравенству x< соответствуют точки дуги MP с началом в точке M и концом в точке P при движении против часовой стрелки. Точка P соответствует числам вида k, kz. Точка M соответствует числам вида +2πk. Тогда решением является неравенство )

Оформление тетради:

cost=

cost>

cost<.

Решение

решение

решение

Мотивация:

-Решим уравнение cost=.

(Строим прямую x=. Она пересекает окружность в двух точках K и S. Ребята понимают, что корни есть и записывают их t=t+2πk,

t=t+2πk.

Но ученики не знают какого вида числа соответствуют дуге OK, так как решение находили только для «хороших» углов.

-Вспомним как мы решали уравнение x=4. Корнями данного уравнения являются x=2, и тогда для нас вызывало затруднение решение уравнения x=2, так как мы не могли найти такое число, которое при возведении в квадрат равнялось 2. Тогда мы ввели новое обозначение - арифметический квадратный корень и записали корни в виде x=.

Постановка учебной задачи:

-Значит перед нами стоит следующая задача: ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения cost=.

Содержательная часть:

-Вернемся к решению уравнения cost=. Заметим,

что одним из корней этого уравнения является . Что такое ? Это число, которое соответствует длине дуги OM и косинус этого числа равен . Введем новое обозначение. - это дуга, дуга по латыни «arcus» и косинус равен . Поэтому появляется запись arccos.

-Какому промежутку числовой окружности принадлежит . ([0, ])

- Значит, arccos находится в промежутке [0,].

-Вернемся к решению уравнения cost=-. Что такое ?

(Число, которое соответствует длине дуги OL и косинус этого числа равен

(-))

-То есть - это arcos(-),

-В каком промежутке числовой окружности находится ? ([, π])

-Значит arccos(-) находится в промежутке [, π].

-Сформулируем определение arccosα=t в общем виде. Для этого выясним, в каком промежутке числовой окружности находится t, заметим, что это будет зависеть от знака.

Если t>0, то t[0,];

t<0, то t[, π]. Значит, t[0, π ].

- Выяснили, что cost=α. Оцените α.

(Из определения косинуса числа следует, что ≤1)

- Таким образом, если ≤1, то arccosα - это такое число t из отрезка [0, π ], косинус которого равен α.

-Запишем определение кратко:

Если ≤1, то

arccosα=t

-Что такое cost=α? ( Уравнение )

-Что называется косинусом t?

(Абсцисса точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t)

-Попробуйте переформулировать задание: решить уравнение cost=α.

(Найти на числовой окружности точки с абсциссой α и записать каким числам t они соответствуют)

-Данное уравнение решается с помощью числовой окружности.

-Как прямая α может быть расположена относительно числовой окружности?

(Пересекать и не пересекать)

-В каком случае прямая α пересекает единичную окружность в двух точках?

( при -1< α< 1)

-В каком случае в одной точке?

(при α=1 и α=-1)

-Прямая α не пересекает окружность при

α>1, α<-1. Значит, при таких значениях α

уравнение cost=α не имеет корней. При -1<α<1 уравнение cost=α имеет корни, запишем их: t=t+2πk, t=t+2πk.

-Что такое t?

(Число, косинус которого равен α)

-Попробуйте записать корни уравнения cost=α с помощью введенного нами нового обозначения arсcos.

( t=arccosα + 2πk,

t=-arccosα + 2πk или объединим серии корней и запишем их одной формулой t= arccosα + 2πk , kz)

-Вспомним, какую мы ставили перед собой учебную задачу?

(Ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения cost=)

-Теперь вы можете найти решение уравнения cost=, запишите его корни.

(t= arccos + 2πk , kz)

-Решим неравенство cost>. Переформулируйте задачу.

(Найти точки на числовой окружности, удовлетворяющие неравенству x>)

(

KУчитель с учениками обсуждает решение неравенства, пользуясь решением уравнения cost= и готовой числовой окружностью)

S

-Прямая x= пересекает окружность в двух точках K и S. Неравенству x> соответствуют точки дуги SK. Точка S соответствует числам вида -arccos + 2πk, а точка K-числам вида arccos + 2πk. Решением является неравенство -arccos + 2πk< t< arccos + 2πk, kz.

-Найдите решение неравенства cost<.

(Неравенству x< соответствуют точки дуги KS , точка K соответствует числам вида arccos + 2πk, точка S - 2π- arccos + 2πk, решением является неравенство arccos + 2πk< t< 2π- arccos + 2πk,kz.)

После этого можно предложить ученикам в качестве домашнего задания решить уравнение cost=-, неравенства cost<- и cost>- по аналогии.

Также на данном уроке целесообразно будет предложить ребятам несколько примеров на вычисление значения арккосинуса:

-Вычислить:

1. arccos=

-Чтобы найти arccos, необходимо сначала проверить выполнимость условия <1, выполняется, значит, теперь нужно найти такое число , что cos= . Чему равно ?

(cos= arccos=)

-Действительно, [0, ] и cos=,значит, arccos=.

1. arccos(-)=

(=<1. Нужно найти такое, что cos= -; cos= - и [0,π],

значит arccos(-)=.)

2. arccos π= (3,14>1)

-Одно из условий не выполняется, значит, arccosπ не существует.

Рефлексивно-оценочная часть:

-Мы получили новую формулу корней уравнения вида cost=α, для этого ввели новое обозначение и записали решение в виде t = arccosα + 2πk , kz, где <1.

-Какие три условия нужно проверить, чтобы найти arccosα?

(<1, cost=α, 0≤ t≤ π)

-Заметим, что требуется выполнение всех условий одновременно.

-Что нам помогло решить уравнение cost=α ?

(Умение решать задачи для табличных значений)

Содержательная часть:

- Решим уравнение sint=

- Чтобы решить уравнение sint= , нужно вспомнить, что называется синусом числа t.

(Синусом числа t называется ордината точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t.)

- Как можно переформулировать данную задачу?

(Найти на числовой окружности точки с ординатой y= и записать, каким числам t они соответствуют.)

- Значит, мы опять свели задачу к ранее известной. Решим ее.

(Строим единичную окружность. Строим прямую y=, она пересекает

числовую окружность в точках M и P . Точка M соответствует числу , а значит и любым числам вида +2πk, kz. Точка P соответствует числу , а значит и любым числам вида +2πk, kz. Ответ: t=+2πk, t=+2πk, kz.)

- Решим уравнение sint=-. Переформулируйте эту задачу.

(Найти на числовой окружности точки с ординатой y=- и записать каким числам t они соответствуют.)

-Найдите решение.

(Строим прямую y=-, она пересекает числовую окружность в точках L и N. Точка L соответствует числам вида -, z. Точка N - числам вида -, z. Ответ: t=-, t=-, z.)

-Решим неравенства sint> и sint<. Рассмотрим первое неравенство. Переформулируйте задачу.

(Найти на числовой окружности точки с ординатой y> и записать, каким числам t они соответствуют.)

-Опять свели задачу к уже известной.

(Прямая y= пересекает числовую окружность в точках M и P. Неравенству y> соответствуют точки дуги PM с началом в точке P и концом в точке M при движении против часовой стрелки. Значит, точка P соответствует числам вида +2πk, kz,точка M соответствует числам вида +2πk, kz. Тогда решением является неравенство

+2πk <t< +2πk, kz.)

-Рассмотрим неравенство sint<. Нужно найти на числовой окружности точки с ординатой y< и записать, каким числам t они соответствуют.

(Неравенству y< соответствуют точки дуги MP с началом в точке M и концом в точке P при движении против часовой стрелки. Точка P соответствует числам вида k, kz. Точка M соответствует числам вида -+2πk, kz. Тогда решением является неравенство -+2πk< t < k, kz.)

Мотивация:

-Решим уравнение sint=.

(Строим прямую y=. Она пересекает окружность в двух точках K и S. Ребята понимают, что корни есть и записывают их t=t+2πk,

t=t+2πk.

Ученики не знают какого вида числа соответствуют дуге OK. C подобной ситуацией они уже встречались при решении уравнения cost=.

Постановка учебной задачи:

-Перед нами стоит задача: ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения sint= по аналогии с решением уравнения cost=.

-Вернемся к решению уравнения sint=. Заметим, что одним из корней этого уравнения является . Что такое ? Это число, которое соответствует длине дуги OM и синус этого числа равен . Введем новое обозначение. - это дуга, и синус этого числа равен . Поэтому появляется запись arcsin.

-Какому промежутку числовой окружности принадлежит . ([0, ])

- Значит, arcsin находится в промежутке [0,].

-Вернемся к решению уравнения sint=-. Что такое -?

(Число, которое соответствует длине дуги OL и синус этого числа равен -)

-То есть -- это arcsin(-),

-В каком промежутке числовой окружности находится -? ([-,0])

-Значит, arcsin(-) находится в промежутке [-,].

-Сформулируем определение arcsinα=t в общем виде. Для этого выясним, в каком промежутке числовой окружности находится t, заметим, что это будет зависеть от знака.

Если t>0, то t[0,];

t<0, то t[-,]. Значит, t[-,].

- Выяснили, что sint=α. Оцените α.

(Из определения косинуса числа следует, что 1)

- Таким образом, если 1, то arcsinα - это такое число t из отрезка

[-,], синус которого равен α.

-Запишем определение кратко:

Если 1, то

arcsinα=t sint=α,

-< t< .

-Что такое sint=α? ( Уравнение.)

-Что называется синусом t?

(Ордината точки единичной окружности, полученная поворотом точки (1, 0) вокруг начала координат на угол t)

-Попробуйте переформулировать задание: решить уравнение sint=α.

(Найти на числовой окружности точки с ординатой α и записать каким числам t они соответствуют)

-Данное уравнение решается с помощью числовой окружности.

-Как прямая α может быть расположена относительно числовой окружности? (Пересекать и не пересекать)

-В каком случае прямая α пересекает единичную окружность в двух точках?

( при -1< α< 1)

-В каком случае в одной точке?

(при α=1 и α=-1)

-Прямая α не пересекает окружность при α>1, α<-1. Значит, при таких значениях α уравнение sint=α не имеет корней. При -1<α<1 уравнение sint=α имеет корни, запишем их: t=t+2πk, t=t+2πk.

-Что такое t?

(Число, синус которого равен α)

-Попробуйте записать корни уравнения sint=α с помощью введенного нами нового обозначения arcsin.

( t=arcsinα + 2πk, t=π- arcsinα + 2πk, kz)

-Вспомним, какую мы ставили перед собой учебную задачу?

(Ввести новое обозначение чисел, с помощью которых найдем решение уравнения sint=)

-Теперь вы можете найти решение уравнения sint=, запишите его корни.

(t=arcsin + 2πk , t=π- arcsin + 2πk, kz)

-Решим неравенство sint>. Переформулируйте задачу.

(Найти точки на числовой окружности, удовлетворяющие неравенству y>)

(Учитель с учениками обсуждает решение неравенства, пользуясь решением уравнения sint= и готовой числовой окружностью)

-Прямая y= пересекает окружность в двух точках K и S. Неравенству y> соответствуют точки дуги SK. Точка S соответствует числам вида arcsin + 2πk, а точка K-числам вида π-arcsin + 2πk. Решением является неравенство arcsin + 2πk< t< π- arcsin + 2πk, kz.

-Найдите решение неравенства sint<.

(Неравенству y< соответствуют точки дуги KS , точка K соответствует числам вида arcsin + 2πk, точка S - 2π- arccosα + 2πk, решением является неравенство arcsin + 2πk< t< 2π- arcsin + 2πk,kz.)

После этого можно предложить ученикам в качестве домашнего задания решить уравнение sint=-, неравенства sint<- и sint>- по аналогии.

Также на данном уроке целесообразно будет предложить ребятам несколько примеров на вычисление значения арксинуса:

-Вычислить:

1. arcsin=

-Чтобы найти arcsin, необходимо сначала проверить выполнимость условия 1, выполняется, значит, теперь нужно найти такое число , что sin= . Чему равно ?

(sin= sin=)

-Действительно, [-, ] и sin=,значит, cos=.

2. arcsinπ=

(3,14>1)

-Одно из условий не выполняется, значит arcsinπ не существует.

Промежуточная рефлексивно-оценочная часть:

-Мы получили новую формулу корней уравнения вида sint=α, для этого ввели новое понятие и записали решение в виде t = arcsinα + 2πk ,

t = π-arcsinα + 2πk, kz, где 1.

-Какие три условия нужно проверить, чтобы найти arcsinα?

(1, cost=α,- t )

-Заметим, что требуется выполнение всех условий одновременно.

-Что нам помогло решить уравнение sint=α ?

(Умение решать задачи для табличных значений)

Содержательная часть:

- Мы рассмотрели уравнения вида cost=a и sint=a, получили формулу для нахождения корней данных уравнений, для этого ввели два понятия: арккосинус и арксинус. Осталось рассмотреть решения уравнений вида tgt=a и ctgt=a.

- Как мы получали формулу корней уравнений cost=a и sint=a?

(с помощью числовой окружности).

- Значит, корни уравнений tgt=a и ctgt=a будем находить с помощью числовой окружности.

- Решим уравнение .

- Сведите данную задачу к уже известной.

(Найти на числовой окружности точки, соответствующие точке на оси тангенсов и записать, каким числам t они соответствуют.)

Учитель совместно с учениками обсуждает решение задачи.

(

А

Строим единичную окружность. Проводим ось тангенсов, отмечаем на ней точку с координатами . Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: А и В. Точка А соответствует числу , а значит и любому числу вида . Точка В соответствует числу , а значит и любому числу вида (рис. 1). Получили две серии корней: и . Замечаем, что числа и отличаются на π. Поэтому полученные серии корней можно объединить: . Ответ: t=).

0

В

- Решим уравнение .

- Переформулируйте данную задачу.

(Найти на числовой окружности точки, соответствующие точке на

оси тангенсов и записать, каким числам t они соответствуют.)

- Решим эту задачу.

(Аналогично как мы решали уравнение , на оси тангенсов отмечаем
точку с координатами . Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: С и D. Точка С соответствует числу , а значит и любому числу вида . Точка D соответствует числу , а значит и любому числу вида . Получили две серии корней: и . Замечаем, что числа и отличаются на π. Поэтому полученные серии корней можно объединить: . Ответ: t=).

С

0

D

- Решить уравнение .

Ученики решают данное уравнение тем же способом, которым решались два предыдущих уравнения.

(Строим единичную окружность. Проводим ось тангенсов, отмечаем на
ней точку с координатами . Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: М и Р.)

(1,2)

y

M

x

P

В результате ученики записывают две серии корней: и , но не знают каким числам они соответствуют.

-На какую величину отличаются числа t₁ и t₂?
(На π).

• Поэтому вторую серию значений t запишем как: . Тогда решение этого уравнения примет вид: .

- Мы уже встречались с подобной ситуацией, когда решали уравнения cost= и sint=, для этого вводили новые понятия: арккосинус и арксинус, являющихся «главным» корнем этих уравнений. Значит, чтобы решить данное уравнение, перед нами стоит задача ввести новое понятие числа. Как вы думаете, какое новое понятие можно ввести для числа t₁?

(арктангенс).

• Верно. Число t₁ называют арктангенсом числа 2. Итак, t₁ = arctg2.

• Мы нашли обозначение числа t₁,. Тогда как можно записать решение
  уравнения tgt = 2?

().

- Определим, какие значения может принимать арктангенс?

- Вернемся к уравнению . Мы нашли, что корнями данного уравнения являются t=. , - это главный корень данного уравнения. В каком промежутке он находится?

().

- В каком промежутке находится главный корень уравнения ?

().

- Можно сделать следующий вывод. Решая уравнение tgt=a, мы замечаем, что если a>0, то , если a<0, то .

- Какие значения может принимать ?

().

- Выяснили, что:

1. - это число;

2. ;

3. tgt=а.

-Сформулируйте определение арктангенса числа а.

(Арктангенс числа а - это такое число из интервала, тангенс которого равен а).

• Теперь мы можем сделать общий вывод о решении уравнения tgt=а: уравнение tgt=а имеет решения .

Задание. Вычислить:

1. ;

Решение.

т.к. и

2. ;

Решение.

т.к. и

3. .

Решение.

не существует, т.к. .

- Мы с вами решили уравнение вида tgt=a, нашли его корни с помощью числовой окружности.

- Решим уравнение .

- Заметим, что любое уравнение вида ctgt=a можно привести к виду , кроме ctgt=0. Но в этом случае можно воспользоваться тем, что и можно перейти к уравнению .

- Попробуем найти корни данного уравнения с помощью числовой окружности. Для этого переформулируем данную задачу.

(Найти на числовой окружности точки, соответствующие точке на оси котангенсов и записать, каким числам t они соответствуют.)

(Строим единичную окружность. Проводим ось котангенсов, отмечаем на ней точку с координатами . Проводим прямую через эту точку и точку, соответствующую началу координат. Она пересекает окружность в двух точках: А и В. Точка А соответствует числу , а значит и любому числу вида . Точка В соответствует числу , а значит и любому числу вида (рис. 1). Получили две серии корней: и . Замечаем, что числа и отличаются на π. Поэтому

полученные серии корней можно объединить: . Ответ: t=.)

С

А

x

y

-

В

Решим уравнение .

Аналогично ребята находят корни уравнения: t=.

- Как вы думаете, какие корни имеет уравнение ctgt=a?

()

• Правильно. А какие значения может принимать число а.
  (Положительные, отрицательные, равное нулю).

• Определим, какие значения может принимать арккотангенс?

• В каком промежутке находится «главный» корень уравнения ctgt =а, если а>0.
  ()

• В каком промежутке находится «главный» корень уравнения ctgt =а, если а<0.
  ().

- Тогда какие значения может принимать «главный» корень?

• То есть «главный» корень - это корень t=arcctga уравнения ctgt =а, принадлежащий интервалу от 0 до π.

- Итак, какие же значения может принимать arcctgа ?

- Таким образом:

4. arcctgа - это число;

5. ;

6. ctgt=а.

-Сформулируйте определение арккотангенса числа а.

(Арккотангенс числа а - это такое число из интервала , котангенс которого равен а).

Задание.

1. Какие из следующих выражений являются верными?

a)

б)

в)

Ответ: а), б); в) не является верным, так как .

Данные задания предназначены для осознания определения арккотангенса числа.

- Когда мы решали уравнения cost=a и sint=a, мы также решали и неравенства cost>a, cost<a и sint>a, sint<a. Посмотрим как решаются уравнения tgt>а, tgt<а.

• Решить неравенство tgt>2.

• Чтобы решить данное неравенство, надо найти на числовой окружности точки, расположенные выше точки (1,2) на оси тангенсов и записать каким числам t они соответствуют.

- Видим, что точки расположенные выше точки (1,2) принадлежат дуге MN и LK, т.е. решением данного неравенства является .

(1,2)

M

N

L

K

• Решить неравенство tgt<2.

• Как решить данное неравенство?

( надо найти на числовой окружности точки, расположенные ниже точки (1,2) на оси тангенсов и записать каким числам t они соответствуют.)

Из рисунка ребята убеждаются, что решением будут являться точки дуг MN и LK, т.е. .

y

(1,2)

M

K

х

N

L

• Решить неравенство сtgt>-2.

• Как решить это неравенство?

( надо найти на числовой окружности точки, расположенные правее точки (-2,1) на оси котангенсов и записать каким числам t они соответствуют.)

-Где находится решение данного неравенства?

(точки расположенные правее точки (-2,1) принадлежат дуге MN и LK, т.е. решением данного неравенства является )

(-2,1)

• Решить неравенство сtgt>-2.

• Чтобы решить данное неравенство, надо найти на числовой окружности точки, расположенные левее точки (-2,1) на оси котангенсов и записать каким числам t они соответствуют.

Рефлексивно-оценочная часть:

- Подведем итог урока.

- Сегодня на уроке мы рассмотрели четыре вида тригонометрических уравнений: cosx=a, sinx=a, tgx=a, ctgx=a и соответствующие неравенства, для решения которых ввели новые понятия: . Вывели формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

- Как мы находили корни этих уравнений?

(с помощью числовой окружности)

- По какой формуле находятся корни уравнения cosx=a ( sinx=a, tgx=a, ctgx=a)?

- Какие условия необходимо проверить, чтобы найти arccosα ( arcsinα, arctgα и arcctgα)?

- Какие знания помогли нам решить простейшие тригонометрические уравнения?

28