Понятие математической модели, аналитической и статистической модели

Занятие 3, 4 (лекция)

Тема: Математические модели

План

1. Задача производственного планирования.

2. Общий вид задачи производственного планирования.

3. Простые способы записи задачи производственного планирования.

4. Варианты задачи производственного планирования.

Цели занятия:

На занятии вы узнаете

• Понятие математической модели, аналитической и статистической модели;

• Основные этапы построение математических моделей;

• Примеры задач на построение математических моделей.

Порядок работы на занятии:

1. Прочитать текст лекции или прослушать лекцию преподавателя.

2. Законспектировать лекцию.

3. Ответить на контрольные вопросы, не заглядывая в конспект.

4. Проверьте свои ответы по конспекту.

5. Если ответы ошибочны, еще раз прочитайте лекцию и ответьте на контрольные вопросы. Будьте готовы к устному опросу и к применению знаний на практических занятиях.

В исследовании операций широко применяются как аналитические, так и статистические модели. Каждый из этих типов имеет свои преимущества и недостатки.

Аналитические модели более грубы, учитывают меньшее число факторов, всегда требуют каких-то допущений и упрощений. Зато результаты расчета по ним легче обозримы, отчетливее отражают присущие явлению основные закономерности. А, главное, аналитические модели больше приспособлены для поиска оптимальных решений.

Статистические модели, по сравнению с аналитическими, более точны и подробны, не требуют столь грубых допущений, позволяют учесть большое число факторов. Но и у них - свои недостатки: громоздкость, плохая обозримость, большой расход машинного времени, а главное, крайняя трудность поиска оптимальных решений, которые приходится искать «на ощупь», путем догадок и проб.

Наилучшие работы в области исследования операций основаны на совместном применении аналитических и статистических моделей.

Рассмотрим несколько математических моделей.

1 Задача производственного планирования

Начнем с рассмотрения простого примера. Школьный бар составляет и продает фруктовые коктейли двух видов.

Один литр коктейля "Утро" содержит 675 мл виноградного сока, 200 мл апельсинового сока и 125 мл клюквенного сока.

Коктейль "Свежесть" содержит те же соки, но в другой пропорции. Один литр "Свежести" состоит из 150 мл клюквенного, 450 мл виноградного и 400 мл апельсинового сока.

Коктейли в баре продаются порциями любого объема. Цена порции устанавливается из расчета: литр коктейля "Утро" стоит 1200 рублей, литр "Свежести" - 1000 руб.

В баре имеются запасы соков: 48 л апельсинового, 22 л клюквенного и 108 л виноградного сока.

Из трех соков можно составлять различные комбинации объемов коктейлей. Каждая такая комбинация соответствует своему производственному плану школьного бара. Производственный план представлен в данном случае двумя числами, соответствующими объемам выпуска двух коктейлей.

Некоторые планы могут оказаться невозможными (недопустимыми), для них не хватит имеющихся в наличии соков. Другие будут возможными, для них соков хватит.

Возможных, допустимых планов, конечно, чрезвычайно много. Каждому такому плану соответствует своя выручка от продажи коктейлей.

Задача состоит в нахождении наилучшего, оптимального плана, то есть такого, среди допустимых, плана, которому соответствует наибольшая выручка.

Для того чтобы решить эту задачу, запишем сначала исходные данные в удобной форме, сведем их в таблицу (табл. 1).

Таблица 1.

В последнем столбце таблицы указано наличие соков в школьном баре. В предшествующих двух столбцах - расходы соков на изготовление 1 л коктейля. Для удобства сопоставления данные приведены в литрах сока на литр коктейля, так что сумма трех чисел в столбце равна 1 (одному литру). В.нижней строке приведены цены за один литр одного и другого коктейля.

Построим математическую модель задачи. Составление модели начинается с введения переменных. Мы хотим найти наилучший (оптимальный) производственный план. Такой план в данном случае - это пара величин, соответствующих количеству литров одного и другого коктейля.

Обозначим

посредством х₁ - количество литров коктейля "Утро",

посредством х₂ - количество литров коктейля "Свежесть".

Таким образом, переменные введены.

Теперь подумаем о тех ограничениях, в которых происходит составление производственного плана. Почему нельзя выбрать любой план? Потому, что запасы соков в баре ограничены. Переменные, которые мы ввели, позволят выразить эти ограничения в математической форме. Первые три строки таблицы •' указывают расход соков на составление коктейлей и запасы соков. Каждая строка является основной для формирования неравенства по своему виду сока.

Это неравенство выражает, что суммарные расходы виноградного сока на коктейль "Утро" в количестве Х₁ литров и на коктейль "Свежесть" в количестве Х₂ литров (левая часть неравенства) не должны превосходить общих наличных запасов виноградного сока (правая часть неравенства). Аналогичное неравенство можно написать для апельсинового сока:

и для клюквенного сока:

Кроме того, количество литров коктейля не может быть отрицательной величиной, то есть

Таким образом, в целом мы получаем систему неравенств, характеризующих в математической форме условия составления плана производства коктейлей:

Такая система неравенств носит название системы ограничений задачи.

Любая пара значений переменных, то есть вектор (х₁, х₂), называется планом задачи.

Те пары значений, которые удовлетворяют всем неравенствам системы, то есть те планы, которые удовлетворяют системе ограничений, называются допустимыми планами.

Например, план (40; 50), согласно которому нужно составить 40 литров коктейля "Утро" и 50 литров коктейля "Свежесть", является допустимым планом. Чтобы проверить его допустимость, достаточно подставить значения х₁ = 40 и х₂ = 50 в систему ограничений и убедиться, что каждое из неравенств выполнено.

Разумеется, допустимым будет и всякий план с меньшим неотрицательными объемами производства коктейлей. Отсюда следует, что допустимых планов бесконечно много.

С другой стороны, рассмотрим план (120; 50), в котором объем производства "Утро" увеличен в 3 раза, а объем производства "Свежести" оставлен прежним. Этот план - недопустимый. Он не удовлетворяет третьему неравенству системы, для его выполнения требуется 22,5 л клюквенного сока, а в наличии имеется всего 22 л. И хотя этот план удовлетворяет остальным неравенствам, запасов других соков хватает, все же выполнить этот план в тех условиях, которые указаны в задаче, не удается.

Конечно, недопустимым будет и всякий план с большим объемами производства коктейлей. Недопустимых планов бесконечно много.

Сосредоточим внимание на допустимых планах. Каждый из них дает школьному бару свой размер выручки. Чтобы ее сосчитать, нужно вспомнить о ценах за единицу готовой продукции - за литр коктейля (табл.1). Например, для плана (40; 50) выручка составит:

Z = 120040 + 100050 = 98000 (руб.) В общем случае формулу для определения выручки можно представить в следующем виде:

где z - величина выручки.

Мы хотим определить тот из допустимых планов, для которого выручка является максимальной.

Выражение для выручки представляет собой математическую запись нашей цели при решении задачи. Такое выражение называется целевой функцией задачи. Мы хотим найти наибольшее значение целевой функции на множестве допустимых планов задачи.

Математическая запись цели и условий (ограничений) задачи выглядит теперь следующим образом.

Такая запись носит название математической модели задачи. Она представляет собой соединение целевой функции (с указанием, что следует отыскать ее максимум) и системы ограничений.

Построение математической модели дает двоякую пользу. Во-первых, оно позволяет сформулировать задачу в ясной, отчетливой форме. Такая форма дает возможность быстро распознать допустимые и недопустимые планы, рассчитать соответствующую выручку.

Во-вторых, построение модели позволяет превратить содержательную экономическую задачу (в нашем примере - задачу о составлении коктейлей) в чисто математическую задачу о поиске максимального значения функции при условии, что переменные подчинены определенной системе ограничений. При решении этой математической задачи молено не знать ничего о смысле входящих в нее переменных и выражений, забыть, что речь идет о соках и коктейлях, выручке и школьном баре. Это позволяет использовать при ее решении универсальные математические методы, привлечь, если потребуется, вычислительную технику и программные средства.

Полученную математическую модель можно записать в более короткой форме с использованием матриц. Введем обозначения.

Пусть С есть двухмерный вектор-строка, соответствующий коэффициентам при переменных в целевой функции, С = (1200; 1000).

Пусть А есть матрица размерности 3x2, составленная из коэффициентов при переменных в системе ограничений:

Пусть В есть трехмерный вектор-столбец, составленный из правых частей неравенств, входящих в систему ограничений:

Пусть X есть двумерный вектор-столбец, составленный из переменных задачи:

Посредством О обозначен нулевой двумерный вектор-столбец:

Тогда, используя правила умножения матриц, математической модели можно придать следующую матричную форму:

max С X

Такая форма записи является более короткой и во многих случаях значительно более удобной для использования.

Как найти решение задачи, как вычислить оптимальный план? На какую максимальную выручку может рассчитать школьный бар? Сколько какого коктейля следует изготовить при этом? Следует ли изготавливать оба вида или выгоднее продавать лишь один вид коктейля? Все ли запасы соков будут при этом использованы? Если запасы соков изменились (часть ушла на другие нужды или прибыла новая партия соков), то как изменится оптимальный план? Насколько чувствителен оптимальный план к изменению цен на коктейли?

Если появилась возможность купить дополнительные объемы соков, то при каких ценах дополнительные затраты на их приобретение окупятся дополнительной выручкой от продажи коктейлей?

Ответы на эти вопросы (и многие другие вопросы такого рода) можно получить путем анализа математической модели. Позже мы научимся это делать для задач значительно более широкого класса, поэтому сейчас рассмотрим задачу производственного планирования в общем виде.

2 Общий вид задачи производственного планирования

В общем случае задача производственного планирования формулируется следующим образом. Предприятие распоряжается ресурсами различных типов. Среди таких ресурсов могут быть материально-вещественные (в нашем случае - соки), энергетические, трудовые, технические, финансовые и другие, не участвовавшие в нашем примере. Ресурсы каждого типа могут быть разделены на классы. Сырье - по видам сырья, трудовые - по профессиям и квалификации работников, техническим характеристикам, финансовые - по источникам финансирования и т.п. Пусть в результате такой классификации, такого разделения получилось m видов ресурсов.

Пронумеруем все виды ресурсов числами от 1 до m, буквой i будем обозначать номер вида ресурса. Таким образом, i удовлетворяет неравенству . Заметим, что ресурсы разных видов могут измеряться в различных единицах (тоннах, кубометрах, человеко-часах, рублях, штуках и др.).

Предприятие обладает некоторым запасом ресурса каждого вида. Запас ресурса i - го вида, измеренный в соответствующих ему единицах, обозначим посредством b_j. Индекс i около буквы b указывает, что запасы разных видов ресурсов могут быть различными.

Из этих запасов предприятие способно изготавливать различную продукцию (в нашем примере - коктейли). Обозначим буквой n общее число видов продукции, которые может выпустить предприятие из имеющихся ресурсов. Занумеруем все виды продукции числами от 1 до n. Буквой j будем обозначать номер вида продукции, так что выполняется неравенство . Продукция, как и ресурсы, может измеряться в различных единицах.

Пусть с_j - цена, по которой предприятие реализует каждую единицу продукции j-ro вида. Индекс j около буквы с указывает, что цена разных видов продукции может быть различной.

Производство продукции требует затрат ресурсов. Объем затрат зависит от вида ресурса, вида продукции и количества единиц продукции. Обозначим посредством а_ij норму затрат ресурса 1-го вида на производство продукции j-ro вида. Другими словами, а_ij - это количество ресурса i-го вида, затрачиваемое при производстве единицы продукции j-ro вида.

Задача производственного планирования состоят в том, чтобы определить, какую продукцию в каком объеме следует изготовить предприятию из имеющихся ресурсов с тем, чтобы доход от реализации продукции был наибольшим.

Построим математическую модель задачи. Сначала введем переменные. Посредством х_j обозначим искомый объем выпуска продукции j-ro вида. Математическую модель можно теперь записать в следующей форме:

Верхняя строка записи говорит о максимизации целевой функции. Сама целевая функция представляет собой сумму произведений цен на объем выпуска для различных видов продукции, то есть доход предприятия от продажи изготовленной продукции.

Фигурная скобка объединяет систему ограничений задачи, неравенства, входящие в систему, соответствуют различным видам ресурсов. Каждое такое неравенство говорит о том, что суммарное количество ресурса, используемое в производстве различных видов продукции, не превосходит общего запаса этого ресурса.

Рассмотрим, например, первое неравенство. В правой его части указана величина b₁ общий объем запаса ресурса первого вида. В левой его части находятся величина а_ij с одним и тем же первым индексом i=1 и различными вторыми индексами. Каждая такая величина а_ij указывает количество ресурса одного и того же первого вида, затрачиваемого на производство одной единицы продукции j-ro вида. Величина а_ij умножается на объем x_j произведенной продукции j-ro вида. Такое произведение дает затраты ресурса первого вида на производство всего количества произведенной продукции j-ro вида. Затем все эти затраты ресурса суммируются по всем видам продукции, таким образом, в левой части первого неравенства - суммарные затраты первого вида ресурса на производство всех видов продукции в соответствующих объемах. В правой части неравенства - общее количество первого вида ресурса, имеющееся в наличии. Само неравенство требует, чтобы расходуемый объем первого ресурса был не больше объема запаса этого ресурса. Аналогичный смысл, но для других видов ресурсов, имеют другие неравенства системы ограничений.

В последней строке системы ограничений указано, что количества производимой продукции не могут быть отрицательными. Заметим, что равенство нулю здесь не запрещено, то есть некоторые (или даже все) видs продукции предприятие может и не выпускать, хотя они и доступны для выпуска по имеющимся ресурсам.

Экономическая задача поиска плана производства продукции, дающего наибольший доход, превращается в математическую задачу поиска максимального значения целевой функции от n переменных при условии, что значения этих переменных подчинены системе ограничений, имеющих форму неравенств.

Всякий набор значений переменных (х₁х₂,...х_n) называется планом задачи.

Те планы, которые удовлетворяют системе ограничений, называются допустимыми планами.

Оптимальным планом; называется тот из допустимых планов, который дает наибольшее значение целевой функции среди всех ее значений на допустимых планах. Само это наибольшее значение целевой функции, то есть значение целевой функции на оптимальном плане, называется оптимумом задачи.

Решить задачу производственного планирования - значит найти оптимальный план и оптимум для ее математической модели.

3. Простые способы записи задачи производственного планирования.

Математическую модель задачи можно записать в другой, более компактной форме с использованием знака суммирования . В этой записи модель примет следующий вид:

Здесь выражение (i=l,…,m) в правой части записи указывает, что при каждом конкретном значении индекса i, лежащем в пределах от I до m, в систему входит свое неравенство, соответствующее этому значению i.

Аналогично, выражение (j=1,…,n) говорит о том, что неравенство представляет собой целую совокупность из n неравенств, каждое из которых получается при своем значении индекса j.

Особенно удобной и краткой является матричная форма записи:

Заметим, что переставлять местами сомножители в произведении матриц нельзя, если это сделать, может получиться совсем другой результат, а может и вообще перемножение матриц оказаться неосуществимым. Для правильного, корректного перемножения матриц их размерности должны быть согласованы. Поэтому важно, что в одних случаях мы рассматриваем именно вектор-строку, а в других - именно вектор-столбец. Отметим также, что хотя В и X - оба векторы-столбцы, но их размерности (их длина) различны. Размерность столбца В равна m, а размерность X равна n.

4. Варианты задачи производственного планирования

Мы рассмотрели простой вид задачи производственного планирования.

Возможны и другие, более сложные ее виды. Однако, и в этих случаях математическая модель строится без труда.

Например, по всем или некоторым видам продукции предприятие может иметь договоры с другими предприятиями - потребителями этой продукции. В соответствии с этими договорами предприятие должно выпустить течение месяца продукцию того или иного вида в объеме, не меньшем заданного. Пусть продукцию j-ro вида предприятие должно изготовить в объеме, не меньшем заданной величины dj. Тогда к системе ограничений следует дописать неравенство

Далее, предприятие может не только продавать продукцию, но и покупать продукцию других предприятий для своих производственных нужд. Для того, чтобы учесть затраты на покупку такой продукции, следует величину этих затрат, то есть произведение цены на объем покупки, ввести в целевую функцию со знаком "минус".

Для того, чтобы учесть возможности использования такой продукции в производственном процессе, следует оформить соответствующее ограничение, в правой части которого вместо наличного объема ресурса будет находиться купленный объем продукции, используемый в качестве одного из ресурсов.

Если предприятие производит некоторую продукцию исключительно для собственных нужд (полуфабрикат), то такую продукцию можно рассматривать как покупаемую предприятием у себя самого по нулевой цене, с соответствующими естественными изменениями в модели.

Эти и многие другие дополнительные производственные условия легко могут быть учтены в математической модели. Они приводят лишь к расширению модели, увеличению числа ограничений и переменных, но не приводят к ее качественному принципиальному изменению.

5. Вопросы и упражнения

1. Опишите содержание задачи производственного планирования.

1. Сформулируйте математическую модель задачи производственного планирования. Объясните смысл входящих в нее обозначений, целевой функции, ограничений.

2. Что такое план задачи? Какие планы называются допустимыми, а какие - недопустимыми? Какой план называется оптимальным? Что такое оптимум задачи? В чем различие между оптимальным планом и оптимумом?

3. Модель задачи производственного планирования записывается в компактной форме (с помощью знака ), в матричной форме?

4. Приведите примеры (три конкретных примера) различных допустимых планов и три примера недопустимых планов для задачи о школьном баре.

Является ли допустимым план (0; 0)? Каким объемам выпуска коктейлей он соответствует? Какую выручку он приносит бару?

Предположим, что половина запасов каждого сока в баре оказалась с просроченной датой использования и непригодной к употреблению. Какие из Ваших допустимых планов сохранили свою допустимость? Остались ли недопустимые планы недопустимыми?

6. Предположим, что школьный бар обязался продавать 10 литров коктейля "Утро" и 15 литров коктейля "Свежесть" соседнему детскому саду, как ввести в математическую модель эти дополнительные условия? Будет ли теперь план (0;0) допустимым?

7. Предположим, что у школьного бара появилась возможность увеличить запасы апельсинового сока, покупая его по цене 800 руб. за литр. Бар стремится максимизировать прибыль, т.е. разность между выручкой от продажи коктейлей и затратами на покупку сока. Купленный сок вместе с имеющими запасами можно использовать для приготовления коктейлей, как изменится математическая модель в связи с изменившимися условиями?

8. В условиях предыдущего пункта предположим, что у бара появилась дополнительная возможность продавать не только коктейли, но и клюквенный сок по цене 1100 руб за литр, как изменится математическая модель в связи с этой новой ситуацией?

9. Кондитерская фабрика производит три вида карамели: сибирскую, праздничную и студенческую, для производства карамели используются три вида сырья: сахар, патока и фруктовое пюре. Для производства 1 тонны сибирской карамели требуется 500 кг сахара, 300кг патоки и 200 кг фруктового пюре. Чтобы изготовить 1 тонну праздничной карамели, необходимо 700 кг сахара, 200 кг патоки и 100 кг фруктового пюре. Для приготовления 1 тонны студенческой карамели требуется 600 кг сахара, 100 кг патоки и 300 кг фруктового пюре. На фабрике имеется 1000 тонн сахара, 1200 тонн патоки и 800 тонн фруктового пюре. Прибыль от реализации одной томны карамели составляет 4 млн.руб. для сибирской, 3 млн.руб. для праздничной и 2,5 млн.руб. - для студенческой карамели.

Требуется построить математическую модель для определения плана производства карамели, обеспечивающую фабрике прибыль от ее реализации.

10. Предположим, что кондитерская фабрика может выпускать еще один вид карамели - петербургскую. Для производства 1 тонны петербургской карамели требуется 400 кг сахара, 300 кг патоки и 300 кг фруктового пюре, прибыль от реализации тонны петербургской карамели составляет 3,5 млн.руб. Как изменится математическая модель в этой новой ситуации?

11. Предположим, что кондитерская фабрика имеет возможность покупать патоку по цене 1,4 млн.руб. за тонну и продавать сахар по цене 1 млн.руб. за тонну. Внесите соответствующие изменения в математическую модель.

12. Фабрика производит два вида красок: первый - для наружных, а второй - для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточные запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл. 1.1). Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на краску 2-го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида.

Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Таблица 1.1

Параметры задачи о производстве красок

Ингредиенты

Расход ингредиентов, т ингр./т краски

Запас, т ингр./сутки

Краска 1-го вида

Краска 2-го вида

А

1

2

6

В

2

1

8

Занятие 5 (лекция)

Тема: Задача о диете

1. Общий вид задачи о диете.

Мы рассмотрим так называемую задачу производственного планирования и ее математическую модель. Рассмотрим теперь другую задачу, относящуюся к другой области экономических исследований, не к области производства, а к области потребления. Это - так называемая задача о диете, задача о составлении наиболее экономного рациона, наиболее экономной корзины продуктов питания.

Человек в течение месяца может потреблять любые из n видов продуктов питания (хлеб, молоко, рыбу, яйца и т.д.). Пронумеруем все эти виды продуктов числами от 1 до n. Пусть j- номер продукта питания. 1j n. Продукты могут измеряться в разных единицах (килограммах, литрах, штуках). Обозначим посредством c_j цену единицы j-го продукта питания.

Каждый продукт содержит различные полезные вещества, полезные характеристики. Это - необходимые человеку белки, жиры, углеводы, различные микроэлементы, разнообразные витамины, калории. Пусть общее число видов таких полезных составляющих равно m. Пронумеруем их числами от 1 до m, порядковый номер такой полезной составляющей будем обозначать посредством i, так что 1im. Разные полезные составляющие измеряются в различных единицах. Посредством b_i обозначим то количество единиц i- й составляющей, которое человеку необходимо потребить в течение месяца.

Обозначим посредством a_ij то количество единиц i- го полезного вещества (например, витамина А), которое содержится в одной единице j- го продукта питания (например, в одном килограмме мяса).

Задача состоит в том, чтобы рассчитать наиболее экономную диету, то есть продовольственный рацион наименьшей стоимости, содержащий, тем не менее, все необходимые человеку полезные вещества в нужных объемах. Построим математическую модель для решения этой задачи.

Сначала следует ввести переменные. Нам необходимо определить рацион, то есть установить, сколько какого продукта питания необходимо приобретать человеку для потребления. В соответствии с этим и введем переменные. Обозначим посредством x_j; искомое количество единиц j- го продукта питания, 1jn.

Математическую модель задачи о диете можно записать теперь следующим образом:

В верхней строке модели указана минимизация целевой функции. Сама целевая функция представляет собой сумму произведений цен на объем покупаемых для потребления продуктов питания. Таким образом цель, формализованная в виде минимизации целевой функции - это найти набор объемов продуктов питания наименьшей суммарной стоимости.

Система ограничений представляет собой систему неравенств. Неравенства указывают, что общее количество полезных веществ, содержащихся во всех потребляемых объемах продуктов питания, должны быть не меньше заданной границы.

Рассмотрим, например, первое неравенство систем ограничений. Левая часть неравенства представляет собой сумму произведений. В этих произведениях первый сомножитель имеет один и тот же первый индекс i = 1, но различные вторые индексы j. Следовательно, во всех этих случаях речь идет об одном и том же первом полезном веществе, но о разных продуктах питания. Величина a_ij равна количеству первого полезного вещества в одной единице j- го продукта питания. После умножения этой величины на x_j получим количество первого полезного вещества, содержащегося во всем потребляемом объеме j- го продукта питания. Суммирование по всем продуктам питания дает количество первого полезного вещества, содержащегося во всем потребляемом рационе. Это левая часть первого неравенства. Требуется, чтобы она была больше или равна правой части, в которой указан наименьший допустимый объем потребления первого полезного вещества. Первое неравенство требует, таким образом, чтобы рацион обеспечивал потребление первого полезного вещества не ниже некоторой границы.

Мы рассмотрели подробно смысл первого неравенства. Аналогичный смысл имеют остальные неравенства системы ограничений. В последней строке системы указано, что потребляемые объемы продуктов питания должны быть неотрицательны. Допускается, что они могут быть равны 0, то есть некоторые из потенциально возможных продуктов питания в рацион могут не войти. Но отрицательными они быть не могут.

Как и для задачи производственного планирования, построение математической для задачи о диете означает переход к решению математической задачи. Решение математической задачи сводится к поиску минимума некоторого выражения (целевой функции) при условии, что переменные удовлетворяют системе неравенств (системе ограничений). При решении математической задачи можно отвлечься от содержательного смысла входящих в нее символов, от того, что некоторые из них - это объемы продуктов питания, другие - объемы полезных веществ, третьи - цены, что перед нами задача о наиболее экономном рационе. Именно это и позволяет использовать при ее решении универсальные и мощные математические средства.

Две рассмотренные нами экономические задачи - задача производственного планирования и задача о диете, существенно отличаются друг от друга по содержанию. В одной речь идет о производстве, в другой - о потреблении. Однако рассмотрение их математических моделей показывает, что они весьма похожи друг на друга. Общей является сама структура модели: в обоих случаях имеется целевая функция, экстремальное значение которой требуется найти, и система ограничений в виде системы неравенств. Целевая функция и выражения, стоящие в левых частях неравенств, в обоих случаях являются линейными функциями от многих переменных. Различия между моделями состоят в том, что в них требуется отыскать разные экстремумы целевой функции: в одном случае - максимум, а в другом - минимум. Кроме того, знаки неравенств в системе ограничений повернуты в разные стороны. Как мы увидим дальше, эти различия не являются принципиальными. Одну математическую модель можно легко перестроить в другую. Математические методы, применяемые для решения этих задач, оказываются одинаковыми.

Терминология, используемая в связи с этими моделями, тоже одинакова. Вектор значений переменных называется планом задачи. Те планы, которые удовлетворяют системе ограничений, называются допустимыми планами. Тот из допустимых планов, на котором целевая функция достигает своего минимального значения на множестве всех допустимых планов, называется оптимальным планом. Само это минимальное значение целевой функции носит название оптимума задачи.

2. Простые способы записи задачи о диете.

Как и для задачи производственного планирования, здесь также можно использовать различные формы компактной записи модели.

Например, можно записать ее в такой форме:

Можно воспользоваться и матричной формой записи задачи. Используя те матричные обозначения, которые были введены в связи с моделью задачи производственного планирования, нашу новую модель можно представить в следующей матричной форме:

3. Варианты задачи о диете.

Заметим, что мы рассмотрели простой вид задачи о диете. Возможны и другие, более сложные его виды. Так, например, кроме полезных веществ в продуктах питания могут содержаться и вредные вещества, потребление которых следует ограничить. Ограничения, связанные с такими вредными веществами, без труда могут быть введены в модель. Для этого следует для каждого такого вещества задать предельно допустимый объем его потребления b_k . затем в систему ограничений для каждого вредного вещества следует ввести новое неравенство, совершенно аналогичное предыдущим (левая часть которого указывает содержание данного вредного вещества во всех продуктах питания вместе взятых), и которое заканчивается знаком b_k. Так же следует поступить и для тех веществ, которые в небольших количествах являются полезными, но чрезмерное потребление, которых приносит вред. Для таких веществ следует ввести в систему два неравенства, одно из которых требует обеспечить потребление этого вещества в объеме, не ниже заданной нижней границы, а другое - в объеме, не выше заданной верхней границы.

Если некоторое вещество требуется потреблять в строго заданном количестве, то для него соответствующее ограничение будет не неравенством, а равенством.

Таким образом, в общем случае в математической модели задачи о диете могут присутствовать как неравенства со знаком , так и неравенства со знаком , а также равенства со знаком =.

Вопросы и упражнения

1. Опишите содержание задачи о диете.

2. Сформулируйте математическую модель задачи о диете. Объясните смысл входящих в нее обозначений, целевой функции, ограничений.

3. В чем сходство и в чем различие между математическими моделями задачи производственного планирования и задачи о диете?

4. Человеку для нормальной жизнедеятельности необходимо ежемесячно потреблять 3,5 кг. Белка, 1,7 кг. Жиров, 15кг. Углеводов, 250г. Минеральных солей.

В таблице указано количество граммов этих полезных веществ, содержащихся в килограмме потребляемых продуктов, а также цена за 1кг. Каждого продукта.

Полезные вещества

Содержание (г) полезного вещества в 1кг. продукта

Мясо

Молоко

Масло

Картофель

Крупа

Белки

200

30

10

20

140

Жиры

25

20

800

2

Углеводы

50

5

240

700

Мин. соли

10

6

12

14

30

Цена 1кг. Продукта (тыс.руб.)

3,8

0,8

5,4

1,2

0,9

Построить математическую модель для составления месячного рациона наименьшей стоимости, обеспечивающего месячное потребление человеком полезных веществ в необходимых объемах.