Проектная работа «Методика проведения уроков решения задач по теме «Делимость чисел»

Муниципальное образовательное учреждение

Дополнительного профессионального образования

( повышения квалификации) специалистов

Воскресенский научно - методический центр

Проектная работа

«Методика проведения уроков решения задач по теме «Делимость чисел»

слушателя курсов «Методические подходы к решению

математических задач при подготовке выпускников

к государственной итоговой аттестации за курс

среднего ( полного) общего образования »

Казарцевой Анны Викторовны

Преподаватель: Лизунова Людмила Николаевна

г. Воскресенск

2014 г.

Содержание

Введение

Основная часть

Заключение

Список использованной литературы

Приложение

Введение.

Делимость чисел - это важный раздел в школьном курсе математики. Данная тема впервые встречается в учебниках IV класса, подробно изучается в VI и рассматривается на высоком уровне в VIII классе. В ней рассматриваются такие темы как: делимость целых неотрицательных чисел, деление с остатком, наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, алгоритм Евклида, простые и составные числа, основная теорема арифметики и признаки делимости.

Тема «Делимость чисел» интересна и отличается от некоторых тем программы, тем, что она хорошо применима и в жизни. Признаки делимости натуральных чисел непосредственно используются в быту. Особенно признаки деления на 2, на 5, на 10 ( при купле - продаже) .

Первый этап углубленного изучения математики является в значительной мере ориентационным. На этом этапе ученику надо помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем чтобы по окончанию IX класса он смог сделать осознанный выбор в пользу дальнейшего углубленного либо обычного изучения математики. Интерес и склонность учащегося к математике должны подкрепляться и развиваться.

Углубленное изучение математики на втором этапе предполагает наличие учащихся более или менее устойчивого интереса к математике и намерение выбрать после окончания школы профессию, связанную с ней. Обучение на этом этапе должно обеспечить подготовку к поступлению в ВУЗ, к профессиональной деятельности, требующей достаточной высокой математической культуры.

Учащиеся должны приобрести умения решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и и излагать собственные рассуждения при решении задач и доказательств теорем, правильно пользоваться математической терминологией и символикой, применять рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований.

Следует заметить, что требования к знаниям учащихся при углубленном изучения предмета не должны быть завышенными. Чрезмерность требований порождает перегрузку, что ведет, особенно на первом этапе изучения, к угасанию интереса к математике. Минимальный обязательный уровень подготовки, достижение которого учащимися является необходимым и достаточным условием выставлением ему положительной отметки, при углубленном и обычном изучении один и тот же.

В связи с предоставленным учащимся правом начать углубленное изучение математики как с VIII класса, так и с X класса и необходимость в любом случае обеспечить им возможность изучения полного, целостного курса содержание обучения на первом и втором этапах имеет ряд пересечений. Соответствующий материал в старших классах рассматривается с учащимися, приступавшим к углубленному изучению с VIII класса, в повторительном, обзорном порядке.

Для поддержания и развития интереса к предмету следует привлечь исторические сведения на уроке. Это можно осуществить, как и самому учителю, так и дать задание учащимся сделать небольшой доклад. В докладах можно осветить о жизнедеятельности ученых: Эратосфена, Евклида, Чебышева, Виноградова и о их вкладе в области делимости чисел. Интересно и познавательно будет рассказать о «решете Эратосфена».

На уроках по теме «Делимость чисел» возможно привлечение и игрового момента, причем не только в среднем звене, но и в старших классах. Например, при помощи кроссворда можно повторить определения основных понятий, свойства делимости чисел.

На втором этапе возрастает роль теоретических знаний , становится весьма значимыми такие их качества, как системность и обобщенность. Значительное место на этом этапе должно быть уделено решению задач, отвечающих требованиям для поступающих в ВУЗы, где математика является профилирующим предметом.

Цель исследования: изучить признаки делимости натуральных чисел и их применение при решении нестандартных задач

Для достижения цели были поставлены задачи:

• Изучить теоретический материал по данной проблеме.

• Отработать при решении задач полученные теоретические знания.

• Составить комплекс наиболее интересных и увлекательных задач

• Ознакомить с универсальным методом делимости на любое натуральное число.

Объект исследования: делимость натуральных чисел.

Предмет исследования: применение признаков делимости при решении задач.

Гипотеза исследования:

Если изучить признаки делимости натуральных чисел и показать их применение в решении математических задач, то это повлияет на вычислительные навыки и поможет привлечь внимание к изучению математики.

Новизна проведённой исследовательской работы заключается в том, что

данное направление прежде не рассматривалось основательно, со всей глубиной. Данный проект призван привлечь внимание подростков к изучению математики.

Практическая значимость этого исследования заключается в следующем: в результате привлечения внимания подростков к математике должна возрасти их заинтересованность в данном предмете, что несомненно должно повысить успеваемость учащихся

Методы исследования:

изучение литературы; анализ; синтез; аналогии ; сравнение;

изучение и обобщение опыта.

Основная часть

Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Сумма, разность и произведение двух целых чисел всегда является целым числом, то есть множество целых чисел замкнуто по отношению к действиям сожжения, вычитания и умножения. По отношению же к действию деления множество целых чисел не является замкнутым. Поэтому при изучении теории, связанной с делением целых чисел, возникает вопрос о выполнимости этого действия для данных двух чисел, то есть о делимости этих чисел.

Определение: Будем говорить, что а делится на чис­ло b, и писать а b, т. е. существует натуральное число q, такое, что a = b·q, если существует частное а:b, где а и b - натуральные числа, число b называют делителем числа а.

Свойства делимости:.

Из равенства а = а·1 и а = 1·а следует, что для любого а из N0 имеем :

а а ( рефлективность) причем а а = 1, при а ≠0

2. а 1 ( любое число делится на 1), причем а 1 = а.

Запись 0 : 0 не имеет числового значения, так как для всех b из N0 справедливо равенство 0 = b0 и потому 0 : 0 не определено, так как в этом случае нет ни одного числа с из N0 такого, сто = 0 с. Кратко говорят: «делить на ноль нельзя.»

3.Если a b и а > 0, то a ≥ b ( натуральный делитель не превосходит натурального частного)

4.Если a b и b а , то a = b ( антисимметричность)

5.Если a b и b c, то a с (транзитивность)

6. Если a с и b с , то для любых чисел m и n из N0 имеем ( ma + nb) с. Если кроме того ma > nb, то ( ma - nb) с.

7. Если a b и k ≠0, то ka kb

8. Если ka k b и k не = 0, то a b

9. Если a bс, то (а : b ) с , а если (a : b) с то a bс

Определение 1. Если a и b- натуральные числа и а b, то число b называют делителем числа а и пишут: b есть Д(а).

Пример: 36 9, следовательно, 9 есть Д(9).

Следствие 1. Всякое натуральное число a_, отличное от 1, имеет не менее двух различных делителей.

Действительно, а : 1 и а а, следовательно, 1 и а - делители числа а. Других делителей может и не быть, например, число а = 7 делится только на 1 и на 7, но существуют натуральные числа, имеющие и более двух делителей; так, например, у числа а = 6 четыре делителя: 1, 2, 3 и 6.

Примечание. Натуральное число 1 имеет только один делитель- 1.

Определение 2. Натурально е число называют простым, если оно имеет два и только два различных делителя. Натураль­ное число называют составным, если оно имеет более двух раз­личных делителей.

Примеры. 2, 3, 5, 7, 11-простые числа;

4, 6, 8, 9, 10, 12 - составные числа.

Примечание. Число 1 не простое и не составное, так как оно имеет только один делитель.

Следствие 2. Всякое натуральное число имеет конечное множество делителей,

Действительно, каждый делитель натурального числа а меньше, либо равен а и поэтому находится среди чисел:

1, 2, 3, 4, ..., а- 1, а.

Но таких чисел конечное множество, следовательно, множе­ство делителей а и подавно будет конечным.

Отметим, что известные в настоящее время способы отыскания делителей натуральных чисел требуют значительной затраты времени и сил. Наиболее примитивный из этих способов такой: данное число а делят на числа 1, 2, 3, 4, ,.._, а-1 и отбирают из них те, на которые а делится. Некоторое усовершенствование этого способа нахождения делителей вытекает из того, что частное от деления числа а на его делитель b является также делителем числа а. действительно, если то, откуда

.делители b и с, произведение которых равно данному числу а, называются взаимно дополнительными делителями этого числа. Выписывая с каждым делителем числа а и дополнительный делитель, так сократим процесс нахождения делителей. Найдем, например, таким путем делители числа 36:

1. 36 : 1 = 36; 1 и 36 - первая пара взаимно доп. Делителей,

2. 36 : 2 = 18; 2 и 18 - вторая

3. 36 : 3 = 12; 3 и 12 - третья

4. 36 : 4 = 9; 4 и 9 - четвертая

5. 36 не : 5

6. 36 : 6 = 6

Делитель и частное стали равными, поэтому процесс уже закончен. Так как дальше начнется повторение найденных делителей.

Результат можно записать в виде следующей таблицы:

36

1

2

3

4

6

36

18

12

9

Определение 3: общим делителем данных натуральных чисел a, b, c, …h, называют число d , являющимся делителем каждого из чисел.

Обозначение: d есть ОД(a, b, c,…h)

Следствие 3: любые два или несколько натуральных чисел имеют конечное множество общих делителей.

Доказательство:

Пусть а - одно из данных чисел. По определению каждый общий делитель данных чисел является, в частности, и делителем числа а, следовательно, общих делителей не больше, чем у делителей числа а. но множество делителей у числа а конечно ( следствие 2), поэтому множество общих делителей у данных чисел и подавно будет конечным.

1<d₁ <d₂ <…<d_n

Следствие 4: среди общих делителей данных натуральных чисел имеется наименьший и наибольший.

Действительно, по предыдущему следствию общих делителей у данных чисел конечное множество, следовательно, среди них есть наименьший и наибольший. Записав их в порядке возрастания.

Получим наименьший общий делитель - 1 и наибольший -

Наибольший общий делитель чисел a,b,c…,l обозначают символом НОД (a,b,c…,l) либо (a,b,c…,l); последним обозначением чаще пользуются в научной литературе, а первым - в учебной и в школе.

Пример: найдем НОД ( 18, 30, 84)

Д(18) = 1,2,3,6,9,18

Д(30) = 1,2,3,5,6,10,15,30

Д(84)= 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84

ОД(18,30,84) = 1,2,3,6

НОД (18, 30,84) = 6

Определение 4: два числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель, равен единице, и - взаимно составными, если их наибольший общий делитель ≠ 1.

Например, числа 9 и 20 - взаимно простые, так как НОД ( 9,20) =1

Числа 6 и 20 - взаимно составные, так как НОД (6, 20)≠1( он равен 2)

В III веке до нашей эры гениальный греческий математик Евклид в своих знаменитых «Началах» указывает следующий простой прием отыскания наибольшего общего делителя двух чисел: для получения наибольшего общего делителя чисел а и b надо производить последовательные деления:

1) a b = q₁ (ост. r₁ ), то есть a = bq + r₁ ,где 0 ≤ r ₁< b.

2) b r₁ = q₂ (ост. r₂ ), то есть b = r₁ q₂ + r₂ ,где 0 ≤ r ₂< r₁.

3) r₁ r₂ = q₃ (ост. r₃ ), то есть r₁ = r₂q₃ + r₃ ,где 0 ≤ r ₃< r₂.

4) r₂ r₃ = q₄ (ост. r₄ ), и т. д. до получения остатка, равного нулю; последний из остатков, отличных от 0, и будет наибольшим общим делителем чисел а и b. В случае же, когда уже первый остаток = 0, число

а b , поэтому НОД (a, b) = b.

Поясним сказанное на примере. Пусть требуется найти НОД(861, 455).Производим последовательное деление:

1)861:455= 1 (ост. 406),

2) 455:406-1 (ост. 49),

3) 406: 49-8 (ост. 14),

4) 49: 14 = 3 (ост. 7),

5) 14: 7 = 2 (ост, 0), следовательно, НОД(861, 455) = 7.

Последовательность делений, выполняемых при отыскании НОД, называют обычно алгоритмом Евклида. Термин "алгоритм" пред­ставляет искаженное сокращение имени знаменитого математика Магомета ибн Муса Альхова - Резми, .жившего в IX в. н. э. в г. Хорезме (в, нынешнем Узбекистане). Этим термином обозна­чается всякая последовательность математических операций, вы­полняемых по определенным правилам с целью получения неко­торого результата.

Дадим обоснование указанного приема отыскания НОД двух чисел.

1) Прежде всего отметим, что алгоритм Евклида не может быть бесконечным, так как получающиеся в последовательных делениях целые неотрицательные остатки убывают: r₁ > r₂ > r₃ >…,

и поэтому через конечное число таких делений непре­менно получится остаток, равный нулю. Пусть таким остатком оказался r_k+1

а все предшествующие ему остатки : r₁ ,r₂ ,r₃ ,…r_k ≠ 0, тогда весь алгоритм можно записать так:

a = bq + r₁ ,где 0 ≤ r ₁< b.

b = r₁q₂ + r₂ ,где 0 ≤ r ₂< r₁.

r₁ = r₂q₃ + r₃ ,где 0 ≤ r ₃< r₂.

^{……………………………………………}

^{…………………………………………….}

r_k-3 = r _k-2q_k-1 + r_k-1 ,где 0 ≤ r _k-1< r_k-2.

r_k-2 = r _k-1q_k + r_k,где 0 ≤ r _k< r_k-1.

r_k-1 = r _kq_k+1 + 0.

2) Сперва убедимся в том, что r_k - ОД(а,b)

Действительно, просматривая все строки алгоритма вобратном порядке с учетом известных нам признаков делимости суммы и произведения замечаем, что в последней строке r_k-1 r_k

в предпоследней строке r _k-1q_k r_k и r_k r_k

поэтому r_k-2 r_k аналогичным образом убеждаемся, поднимаясь вверх по алгоритму, что r_k-4 r_k ; r_k-5 r_k ;…; r₃ r_k ; r₂ r_k ; r₁ r_k

и, наконец, придя во вторую строку, видим, что b r_k,

а поэтому в первой строке и a r_k т. е. r_k - общий делитель чисел а и b

3) Теперь убедимся методом от противного, что r_k .-наиболь­ший общий делитель чисел а и b

Допустим, что существует OД {а, b) = c> r_k

Тогда в первой строке алгоритма сумма ас и слагаемое (bq_t)с, следовательно, по теореме и другое слагаемое r₁ разделится на с;

во второй строке сумма b c и слагаемое (r₁q₂) c следова­тельно, по той же теореме и другое слагаемое r₂ c.

Аналогич­ными рассуждениями обнаружим в третьей строке алгоритма, что r₃ c., в четвертой строке, что r₄ c и т. д., наконец, в предпослед­ней строке - что r_k c. , а это невозможно, так как по допущению c> r_k

Вывод: остается признать, что r_k - наибольший общий делитель чисел а. и b.

Основные свойства НОД двух чисел.

I..Если умножить каждое из двух данных чисел а и b на и то же число n то на это же число и умножится и НОД (а,b)

Действительно, умножим на п части равенств и неравенств в каждой строке алгоритма Евклида, записанного для чисел а и b 2 страницы назад 1

получим:

an = (bn)q₁ + r₁n ,где 0 < r₁n< bn

bn = (r₁n)q₂ + r₂n ,где 0 < r₂n< r₁n

r₁n = (r₂n)q₃ + r₃n ,где 0 < r₃n< r₂n

r₂n = (r₃n)q₄ + r₄n ,где 0 < r₄n< r₃n

…………………………………………………..

…………………………………………………

r_k-2n = (r_k-1n)q_k+ r_kn ,где 0 < r_kn< r_k-1n

r_k-₁n = (r_kn)q_k+1+ 0

Замечаем, что числа an и bп подверглись здесь алгоритму Евклида, причем последний отличный от нуля остаток равен r_kn поэтому НОД (an, bn)= r_kn

А так, как r_k = НОД (а, b), то НОД (an, bn) = НОД(а, b)n, что и требовалось доказать.

II. Если каждое из двух данных чисел а и b разделить на одно и то же число n (когда деление возможно), то и НОД (а, b) разделится на число n.

Действительно, приняв во внимание, что а = (a n)n и b = (b n)n, можно записать:

НОД(а, b) = НОД [(a n)n ; b = (b n)n]

Но по I свойству НОД [(a n)n ; b = (b n)n]= n·НОД (a n ;b n)

следовательно, НОД(а,b ) = n·НОД (a n ;b n)

откуда НОД (a n ;b n) = НОД (a, b) n;

Это свойство значительно сокращает процесс отыскания наиболь­шего общего делителя некоторых чисел; например: НОД (600, 800)= 200 * НОД(3,4) = 200·1=200.

III. Если НОД двух данных чисел а я b делится на число n, то каждое из этих чисел разделится на n.

В самом деле, пусть НОД(a b) = d; тогда имеем:

ad и dn → an

bd и dn → bn

IV. Частные от деления данных чисел а и b на их наиболь­ший общий делитель d суть числа взаимно простые, и обратно, если частные от деления а и b на некоторое число с взаимно простые, то число с есть НОД (а, b).

Свойство IV выражает необходимое и достаточное условие того, что число с есть НОД (а, b) в следующем виде: чтобы число с было НОД (а, b), необходимо и достаточно, чтобы част­ные от деления а и b на с были взаимно простые.

Это свойство может быть использовано при проверке правиль­ности найденного НОД.

Например, некто утверждает, что НОД (840; 720) = 60; проверяем:

84060 = 14,

72060 =12,

НОД(14: 12)= 2, а не 1, следовательно, НОД(840; 720)= не 60.

И действительно, НОД(840; 720)= 120

НОД(7; 6) = 120 · 1 = = 120; а не 60.

Признаки делимости

Что бы узнать делится ли число а на b, не всегда нужно выполнить письменно деление а на b. В некоторых случаях это можно узнать по десятичной записи чисел.

Запись а = 6018 означает, что число а имеет вид : 6·1000 + 0·100 + 1· 10 + 8 или , иначе, вид 6· 10³ + 0·10² + 1·10 + 8

Будем записывать сумму а_n10ⁿ + a_n-110^n-1+…+a₁10 + a₀ так: ¯а_па_п_₁...а₁ а₀ ( черта наверху показывает, что мы рассматриваем не произведение чисел а_п, а_п__1, … ,.а₁ , а₀ а десятичную запись числа а)

Если существует такое натуральное число к, что 10^к делится на b, то на b делится все числа 10ⁿ ,где n > k. Поэтому число а имеет при делении а b тот же остаток, что и число a_к-110^к-1+…+a₁10 + a₀.

Отсюда следует, что если 10^к делится на b, то число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на b в том и только том случае, когда на b делится число ¯a_к-110^к-1+…+a₁10 + a₀.

Выведем из этого утверждения следующие признаки делимости:

Признак делимости на 2:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 2 в том и только случае, когда на 2 делится число а₀ ( то есть цифра в разряде единиц)

Это значит, что число а делится на 2 в том и только том случае, когда его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.

Признак делимости на 4 и 25:

Число а делится на 4, тогда и только тогда на 4 делится двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а.

Если последние две цифры числа образуют число, делящиеся на 25. то число делится на 25 (то есть его десятичная запись оканчивается либо на 00, либо на 25, либо на 50. либо на 75)

Признак делимости на 5:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 5 в том и только случае, когда его десятичная запись оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0.

Признак делимости на 3 ( на 9):

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 3 ( на 9) в том и только случае, когда на 3 ( на 9) делится сумма а_п + а_п-1 + ...+ а₁ + а₀ цифр десятичной записи этого числа.

Признак делимости на 10:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 10 в том и только случае, когда его десятичная запись оканчивается либо цифрой 0.

Признаки делимости на 6,12,14,15,18,21:

Теорема: Число делится на составное число, являющееся произведением двух взаимно простых числе, если оно делится на каждое из этих чисел.

• Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6

• Если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12.

• Если число делится на 3 и на 5 , то оно делится на 15.

• Если число делится на 3 и на 25, то оно делится на 75.

В силу этой теоремы можно сформулировать признаки делимости на 14, 15, 18. 21, …

14 = 2·7 (2,7)=1

15 = 3·5 (3,5)=1

18 = 2·9 (2,9) = 1

21 = 3·7 ( 3,7) = 1

Признак делимости Паскаля:

Если остаток от деления 10^k на b равен r_к, где к = 0, 1, ...п, то остаток oт деления числа а= а_па_п_₁...а₁ а₀ на b совпадает с остатком от деления на b числа

a_nr_n+…+a₁r₁+a₀ делятся на b(в частности, если a_nr_n+…+a₁r₁+a₀ делится на b, то и число а делится на b).

Признак делимости на 7 и на 13:

Что бы узнать, делится ли натуральное число а на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 ( соответственно на 13). То и заданное число делится на 7( соответственно на 13) .

Признак делимости на 8:

Если число, образованное тремя последними цифрами числа, делится на 8. то и число делится на 8.

Признак делимости на 125:

Если число, образованное тремя последними цифрами числа, делится на 125. то и число делится на 125.

Признак делимости на 11:

Что бы узнать, делится ли на 11 натуральное число а, надо сложить отдельно цифры его десятичной записи, стоящие на четных местах, и цифры, стоящие на нечетных местах, и из большей суммы вычесть меньшую. Если полученная разность делится на 11. то и число делится на 11.

Пример. Что бы узнать, делится ли на 11 число 237 849 568. составляем сумму 2+7+4+5+8 = 26 и 3+8+9+6 = 26. так как 26 - 26 =0 делится на 11. то и данное число делится на 11.

Заключение.

Содержанием школьной арифметики является изложение учения о числе, о действиях над числами, о свойствах действий в объеме, необходимом для вычислений, применяемых на практике. Однако изложение теории в первых классах начальной школы на должном теоретическом уровне невозможно в силу возрастных особенностей учащихся, поэтому преподавание арифметики носит пропедевтический характер, ученики обучаются практике вычислений; вопросы теории излагаются не симметрически, не в виде логического курса, в котором из основных определений понятий путем логических рассуждений выводятся новые результаты, а в виде некоторых правил, сформулированных на основе практики. В силу этого курс арифметики в первых классах школы обычно называется практическим. По мере повышения общего развития учеников оказывается возможным уже в четвертом классе систематическое изложение арифметики, причем вопросы теории не обязательно связаны с техникой вычислений и решением практических задач, а имеют и самостоятельное образовательное значение, как например учение о делимости.

Делимость чисел является одним из самых важных вопросов в теории чисел. Основной задачей теории чисел является изучение свойств целого числа. Ряд важных проблем этой теории непосредственно или косвенно связан с понятием делимости числа. Необходимо упомянуть и знаменитых основателей теории чисел. Это, в первую очередь, Л.Эйлер, проживший около тридцати лет в России; П.Л. Чебышев, которым была создана теоретико-числовая школа ( единственная по своему значению во всем мире). Наиболее фундаментальные результаты были получены и ученым И.М.Виноградовым и его школой.

Список использованной литературы .

1.Андронов И.К., Окунев А.К. Арифметика рациональных чисел. Пособие для учителей. М., «Просвещение», 2009.

2. Баранова И.В. и другие «Задачи по математики для 4-5 классов», М. «Просвещение» 20099

3. Берман Г.Н. «Число и наука о нем». М. 2009

4. Брадис В.М. «Методика преподавания математики в средней школе». М. «УЧПЕДГИЗ»2009

6. Виноградов И.М. Основы теории чисел.-М., Издательство «Наука»,1965

7. Воробьев Н.Н. Признаки делимости.-М., «Гос. издательство физико-матем. лит-ры»,2003

8.Гельфанд М.Б., Павлович В.С. внеклассная работа по математике в восьмилетней школе.-М.: Просвещение, 1985.

9. Груденов Я.И. «Совершенствование методики работы учителя математики». М. «Просвещение 2010»

10. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики.- М. «УЧПЕДГИЗ»( переизд)2012

11.Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: доп. главы к шк.учеб8кл.:Учбн. пособие для учащихся школ и классов с углубл. изуч. Математики/Под ред. Г.В.Дорофеева.-М.:Просвещение,2010

12.Малыгин К.А. Элементы историзма в преподавании математики в средней школе. Пособие для учителей. Под ред. И.Я.Депман.-М. просвещение,2011

13. Методика преподования математики в средней школе: общая методика. А.Я.Блох, Е.С.Канин и др.,Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр . 2010

14. Мордкович А.Г. ,Семенов П.В. алгебра и начала анализа, часть 1,10 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений ( профельный уровень).-М.: «Издательство МНЕМОЗИНА», 2012.

15. Окунев Л.Я. Краткий курс теории чисел . учебное пособие для пединститутов.-М.:Просвещение,2012

16. Перельман Я.И.«Занимательная алгебра», М., 2013 г.

Приложение.

Урок 1.

ПЛАН:

1. Организационный момент 2'

2. Объяснение темы 36'

3. Домашнее задание 2'

ЦЕЛИ:

Образовательная: Обобщение и углубление темы «делимость натуральных чисел и их свойства», изученные в 5 - 6 классах, вывод доказательств свойств делимости целых неотрицательных чисел.

Развивающая: Внимательность, усидчивость, расширить кругозор и математическую культуру учащихся, развить умение самостоятельно мыслить.

Воспитательная: Познавательный интерес к предмету, умение слушать окружающих, аккуратность

МЕТОД: Словесный, наглядный

ФОРМА: Коллективная

ТИП: Урок лекция

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Здравствуйте, садитесь. Тема сегодняшнего занятия «Делимость чисел. Натуральные числа и их свойства. Делимость целых неотрицательных чисел». Урок пройдет в форме лекции. Внимательно слушайте, конспектируйте записи и включайтесь в работу вместе со мной.

2.

В 5- 6 классах мы изучали свойства натуральных, целых и рациональных чисел и арифметические операции над ними. В основе изучения целых и рациональных чисел лежали свойства натуральных чисел и операций над ними. В самом деле, положительное рациональное число задается парой натуральных чисел ( числителем и знаменателем дроби, изображающей это число) и все операции над такими числами сводятся к операциям над их числителями и знаменателями. Отрицательные числа получаются путем приписывания знака «- » к положительному числу. Поэтому в основе всей арифметики лежат натуральные числа.

По сути дела, вся теория натуральных чисел сводится к одному единственному отношению - «следовать за». Например, 4 следует за числом 3, 17 - за числом 16, и т. д. при этом есть число 1, которое ни за каким другим натуральным числом не следует. Существуют четыре свойства отношения следования^,из которых можно вывести все остальные свойства натуральных чисел и операций над ними. Эти свойства сформулировал итальянский математик ДЖ. Пеано ( 1858 - 1932) в 1891 г.

• Единица - натуральное число, которое не следует ни за каким другим натуральным числом

• За каждым натуральным числом следует одно и только одно число

• Каждое натуральное число, отличное от 1, следует за одним и только одним натуральным числом

• Совокупность натуральных чисел, содержащая число 1, а вместе с каждым числом и следующие за ним число, содержит все натуральные числа.

Основные утверждения:

• Для натуральных чисел существуют операции сложения и умножения, причем сумма и произведение натуральных чисел являются натуральными числами

• Сложение и умножение натуральных чисел обладают свойствами перестановочности и сочетательности: a + b = b + a , ab = ba, ( a + b ) + c = a + ( b + c ), ( ab)c = a( bc)

• Умножение натуральных чисел обладает свойством распределительности относительно сложения: a(b+c) = ab + ac

• Имеет место равенство 1а = а

Далее к натуральным числам присоединяют число 0, для которого выполняются равенства а + 0 = а , а · 0 = 0

После чего определяют отношение «а меньше b» , обозначающее, что в последовательности 0, 1, 2, 3, 4, …,n , … число а встречается раньше числа b.

При этом a < b в том и только в том случае, когда найдется такое натуральное число с, что а + с = b. Число с - называют разностью чисел b и а и обозначают b - а.

Имеют место равенства:

a - b - c = a - ( b + c) , a - b + c = a - ( b - c) , ( a - b ) c = ac - bc

Отношение a < b обладает следующими свойствами:

• Для любых чисел а и b выполняется одно и только одно из отношений a < b, a > b, a = b.

• Если a < b и b < c, то a < c

• В любой совокупности натуральных чисел, содержащих хотя бы одно число, есть наименьшее число

• Если a < b , то для любого натурального числа с имеем a + c < b + c, ac < bc

• Если c < a < b , то a - c < b - c

Из сформулированных выше свойств натуральных можно вывести ряд следующих утверждений:

• Равенство ab = 0 выполняется в том и только том случае, когда один из множителей равен нулю.

В самом деле, если а = о или b = 0, то ab = 0. обратно, если а не равно 0 и b не равно 0, то a и b - натуральные числа, а поэтому их произведение - натуральное число, а не нуль.

• Если k не = 0 и ak = bk, то a = b

В самом деле, имеем 0 = ak - bk = (a - b)k. Так как k не = 0, то из этого равенства следует, что a - b = 0, т. е. a = b.

N- совокупность всех натуральных чисел

N₀ - совокупность целых неотрицательных чисел.

Одним из важнейших понятий арифметики целых неотрицательных чисел является понятие делимости. Мы изучали его в 6- Ом классе, но лишь разъясняли свойства делимости на примерах, а не доказывали их. Сейчас проведем доказательство этих свойств.

Число а из N₀ делится на число b из N₀ , если есть такое число с из N₀ , что a = bc. В этом случае пишут a b.

Так как для любого b имеем 0b = 0, то для любого b из N₀ справедливо, что

0 b . Если a b и b не = 0, то существует лишь одно число с из N₀ такое что a = bc. В самом деле, если a = bc₁ и a = bc₂, причем с₁ не равно с₂, то 0 = bс₁ - bс₂ = b( c₁ - c₂), чего не может быть , поскольку b не = 0 и c₁ - c₂ не = 0

Единственное число с такое, что a = bc, называют частным от деления a на b ( b не = 0) и обозначают a b или a/b

Из равенства а = а1 и а = 1а следует, что для любого а из N₀ имеем а а = 1 при а не = 0 и а 1 = а.

Запись 0 : 0 не имеет числового значения, так как для всех b из N₀ справедливо равенство 0 = b0 и потому 0 : 0 не определено, так как в этом случае нет ни одного числа с из N₀ такого, сто = 0 с. Кратко говорят: «делить на ноль нельзя.»

Утверждения о делимости чисел из N₀ :

• Если a b и а > 0, то a ≥ b

• Если a b и b а , то a = b

• Если a b и b c, то a с

• Если a с и b с , то для любых чисел m и n из N₀ имеем ( ma + nb) с. Если кроме того ma > nb, то ( ma - nb) : с.

• Если a b и k не = 0, то ka k b

• Если ka k b и k не = 0, то a b

• Если a bс, то (а : b ) с , а если (a : b) с то a bс

Докажем свойство 3.

Если a b и b c, то найдутся такие числа k и l из N₀ , что a = bk, b = cl . но тогда имеем a = ( cl)k = c(lk)/ Поскольку lk принадлежит N₀ , то a с

Докажем свойство 6.

Заметим, что в силу ka k b найдется такое число с из N₀ , что ak = ( bk) c = ( bc)k. Так как k не = 0, то равенство ak = ( bc) k может выполнятся лишь тогда, когда a = bc. Значит , a b

При доказательстве различных утверждений о натуральных числах используют некоторые утверждения о совокупностях ( множествах) целых неотрицательных чисел. Назовем множество А, состоящее из некоторых целых неотрицательных чисел, конечным, если найдется такое число а из N, что х ≤ а для всех х из А. Например, множество трехзначных натуральных чисел конечно, так как все такие числа меньше, чем 1000. утверждения, о которых шла речь, формулируются следующим образом:

А) В любом множестве чисел из N₀ , содержащем хотя бы одно число ( непустом), есть наименьшее число.

Б) В любом непустом конечном множестве чисел N₀ есть наибольшее число.

ПРИМЕР:

Докажем, что для лыбых двух натуральных чисел a и b, таких что b ≤ а, найдется такое натуральное число q , что bq ≤ a < b(q + 1).

Решение:

Обозначим через А множество всех натуральных чисел с, таких, что bc ≤ a. Это множество не пустое, так как ему принадлежит число 1. В самом деле, b1 = b ≤ a. Далее, А - конечно, так как все числа из А не больше, чем а. Действительно, если с > а, то bc> ab ≥ a и поэтому с не принадлежит А. по утверждению Б) из сказанного выше следует, что в А есть наибольшее число q. Это значит, что bq ≤ a, а b(q + 1) > a.

Теорема: Если a и b - натуральные числа, такие что a ≥ b и b >1, то найдутся такие числа q и r из N₀ что a = bq + r, причем 0 ≤ r < q.

Доказательство: ( из примера) Из b ≤ a следует, что существует такое число q из N, что bq ≤ a < b(q + 1). Обозначим разность a - bq через r. Тогда имеем a = bq + r, причем 0 ≤ r < b/

Теорема доказана.

Покажем что числа q и r, для которых a = bq + r, причем 0 ≤ r < q. Однозначно определяются числами a и b. В самом деле,

пусть a = bq₁ + r₁ = bq₂ + r₂ , причем 0 ≤r₁ < r₂ < b.

Тогда 0 = (bq₁ + r₁) - (bq₂ + r₂) = b (q₁ - q₂) + (r₁ - r₂).

И поэтому r₂ - r₁ = b (q₁ - q₂).Значит r₂ - r₁ делится на b.

Поскольку b не = 0, отсюда следует, что r₂ - r₁≥b. Но это не может быть, так как 0 ≤r₁ < r₂ < b. И поэтому r₂ - r₁< b.

Аналогично доказывается невозможность неравенства r₂ < r₁. Поэтому r₂ =r₁.

Но тогда bq₁ = bq₂ и так как b не = 0, то q₁ = q_2.

Итак, пара чисел (q, r) однозначно определяется заданием пары чисел ( a, b). Число q называют неполным частным при делении а и b , а число r - остатком при делении.

3. Выучить конспект. Доказать 2, 4 и 5 свойства делимости.

Урок 2.

Цели проводимого мероприятия: актуализировать знания по математике у учащихся по теме «Делимость чисел», проконтролировать знания, умения и навыки по данной теме, развить творческие и интеллектуальные способности детей, сплотить коллектив.

Задачи: создать условия для творческой самореализации личности ребенка, дать возможность детям публично продемонстрировать свои творческие и интеллектуальные способности, подготовить к более глубокому изучению темы.

Оборудование:

• картинки для жеребьевки,

• бланки с заранее подготовленными игровыми полями

• бланки с заранее подготовленными игровыми полями для ведущего, карандаши,

• бланки для жюри для подсчета баллов,

• чистые листочки

План:

1.Жеребьевка 2-3 мин.

2. Придумывание названия команд и выбор капитанов 2 мин.

3. Объяснение правил игры 2-3 мин.

4. Объявление темы для боя 1 мин

5. Проведения мероприятия 40 мин.

6. Подведение итогов 5 мин.

Метод: словесный, наглядный

Форма: групповая

Ход урока:

Основная часть мероприятия:

Правила игры: «На одном из полученных полей вы должны расставить свои корабли: однопалубные- 4 шт., двухпалубные- 3 шт., трехпалубные-2шт.,последнее слово за капитаном; другое поле предназначено для выстрелов по кораблям команды- противника; у ведущего, тоже имеется свое поле, на котором каждая клетка имеет цифру- количество баллов; команда, начинающая игру по жребию, делает свой первый выстрел по кораблям противника. Если на этой клетке стоит корабль, команда получает очки, обозначенные на поле ведущего. Если на данной клетке нет корабля, команде предлагается ответить на вопрос, соответствующий количеству баллов на клетке. Время на обдумывание тоже соответствует цифре на клетке. В случае правильного ответа команда зарабатывает данные баллы. Если команда дала неправильный ответ, эти баллы переходят другой команде с правом сделать следующий ход. Команда выбывает из игры, если все корабли «потоплены» Выигрывает та команда, которая к моменту когда « сбиты» все корабли, наберет большее количество баллов. Корабли могут располагаться по горизонтали и по вертикали. Корабли не должны соприкасаться друг с другом. После того как игроки расположат свои корабли, ведущий вывешивает свое игровое поле с баллами, так чтобы дети могли видеть, сколько баллов присуждается за каждый вопрос. Жюри у себя в табеле фиксируют назначенные ведущим баллы. Так же на свое усмотрение они могут их участникам и не присудить за неполный ответ и даже снять за неудовлетворительное поведение ». Тема игры « Делимость чисел»

Игровое поле ведущего

а

б

в

г

д

е

ж

з

1

10

15

30

20

10

10

15

30

1

2

5

25

15

30

15

5

25

15

2

3

10

5

5

5

20

10

5

15

3

4

5

10

25

10

15

5

10

25

4

5

15

30

5

10

20

15

30

5

5

6

10

20

10

5

15

10

25

30

6

7

20

10

5

20

10

25

5

15

7

8

10

5

25

30

20

15

20

25

8

а

б

в

г

д

е

ж

з

Игровое поле команды

а

б

в

г

д

е

ж

з

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

а

б

в

г

д

е

ж

з

Вопросы.

5 бальные

1. Какое число называют четным?

2. Какое число называют нечетным?

3. Назовите нечетное число следующее за числом 999

4. Какие числа называют натуральными?

5. Какие числа называют целыми?

6. Какие числа называют простыми?

7. Наименьшее простое число?

8. Число 1 является делителем любого натурального числа?

9. Число 1- ни составное, ни простое?

10. Натуральное число называется простым, если оно имеет только один делитель?

11. Какое число называют общим делителем данных чисел?

12. Назовите число, которое записывается единицей с 6 нулями

13. Наименьшее натуральное число

14. Любое число которое кратно 2 и кратно 5, кратно 10?

15. Назови 3 числа которые делятся на 2 и 3

16. Сколько яиц можно съесть натощак? (1)

17. Сколько горошин входит в пустой стакан? (горох не ходит)

10 бальные.

1. Что называют делителем натурального числа а (делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка)

2. Что называют кратным натурального числа а (кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а)

3. Какое число является делителем любого натурального числа. (1)

4. Какое число и кратно n, и является делителем n (0)

5. Как по записи натурального числа определить делится оно без остатка на 10 или не делится на 10?

6. Как по записи натурального числа определить делится оно без остатка на 5 или не делится на 5?

7. Как по записи натурального числа определить делится оно без остатка на 2 или не делится на 2?

8. Назовите два четных числа кратных 5

9. Назовите три числа, которые не делятся ни на 2 и ни на5.

10. Как по записи натурального числа определить делится оно без остатка на 3 или не делится на 3?

11. Как по записи натурального числа определить делится оно без остатка на 9 или не делится на 9?

12. Какой цифрой оканчивается запись числа, делящегося на 5, если оно четно

13. Если из числа вычесть это же число, что получится (0)

14. Любое ли число, делящееся на 5,делисяна 10?

15. Верно ли утверждение: если каждое слагаемое не кратно числу а, то и сумма не кратна числу а

16. Верно ли утверждение: если уменьшаемое и вычитаемое кратны числу а, то и разность кратна числу а?

17. Может число, не делящееся на 5, оканчивается цифрой 5?

15 бальные

1.Назовите все двузначные числа, в запись которых входят лишь цифры 2 и 3 (23, 22, 33, 32)

2. Назовите три числа ,которые будут кратными числа 18

3. Назовите все числа, для которых число 12 будет кратным

4. Спутник Земли делает один оборот за 1 час 40 минут, а второй оборот - за 100 минут. Как это получается?

5. Какие двузначные числа можно записать с помощью цифр 5,0 (50, 55)

6. Как изменится однозначное число если к нему прибавить такое же число ( увеличится в двое)

7. Назовите все натуральные числа которые кратны 8 , но меньше 63

8. Запишите 3 числа, кратные числу n

9. Запишите в порядке убывания все делители числа 24.

10. Существуют ли составные числа, которые нельзя разложить на простые множители?

11. Чем могут отличатся два разложения одного и того же числа на простые множители?

12. При каких натуральных значениях а произведение 23а является простым числом?

13. Число больше своей половины на 9. Найдите это число (18)

14. Сколько 10копеечных монет мы получим, если разменяем 25 копеек (2)

15. Какие два числа называют взаимно простыми?

16. Являются ли взаимно простыми числа 77 и 20?

17. Найдите НОК 45 и 135

20 баллов.

1. Какие простые числа являются решениями неравенства 17 < р < 44

2. Записать с помощью цифр 2,4,5,1 по два четырехзначных числа, которые делятся на 9

3. Запишите наибольшее шестизначное число, которое делится на 3 и на 5

4. Верно ли утверждение, если число делится на 3, то оно делится на 9?(нет)

5. Верно ли утверждение, если число делится на 9, то оно делится на 3?(да)

6. Назовите число, при делении которого на 15 получается остаток 5 (от 20 и через каждые 15)

7. Разность двух чисел 516. Одно из них в 7 раз больше другого. Найдите эти числа. ( (86, 602)

8. Как называется одна двадцать четвертая доля суток (час)

9. На 2 руках 10 пальцев. Сколько пальцев на 10 руках? (50)

10. Верно ли, что все четные числа являются составными?

11. Все простые числа - нечетные ( нет,2 - четное и простое)

12. Что нужно что бы найти делители ( назвать все простые множители; затем их перемножить сначала парами потом тройками и т.д.)

13. Если число оканчивается цифрой 0, то какие простые делители оно обязательно имеет?

14. Найдите НОД 200, 600, 800 ( 200)

15. Сумма двух целых чисел нечетна. Четно или нечетно их произведение? ( четно)

16. Петух, стоя на одной ноге, весит 5 кг. сколько он будет весить, если встанет на обе ноги? 9 5 кг)

17. НОД 924;60) ( 12)

25 бальные

1. Назовите наименьшее кратное 2 и 3 ( 6)

2. Чему равно наименьшее общее кратное взаимно простых чисел?

3 Чему равно наименьшее общее кратное чисел, из которых одно делится на все остальные числа?

4. Может ли в разложении числа на простые множители содержатся число 8? ( нет.8 - составное)

5. Сколько минут в 1/10 части часа (6мин)

6. Шоколадка стоит рубль и еще полшоколадки. Сколько стоит шоколадка? (2 рубля)

7. Что бы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое слагаемое и сложить полученные частные (Да)

8. Какое наибольшее число одинаковых подарков можно сделать из 32 фломастеров, 24 ручек и 20 маркеров? (НОД (32, 24,20)=4)

9. С конечной остановки выезжают по двум маршрутам автобусы. Первый возвращается каждые 30 минут, второй каждые 40 минут. Через какое наименьшее время они снова окажутся на конечной остановке? ( 120 мин = 2 часа)

10. Разложите на простые множители число 3276

11. Докажите, что числа 476 и 855 взаимно простые.

30 бальные.

1. Туристические группы возвращаются на базу каждые 16 дней, 10 дней и 20 дней. Через какое наименьшее количество дней встретятся инструкторы, если отправятся в поход одновременно первого апреля? 9 80 дней)

2. От деревни Митьево до села Воронцово 20 км. Сережа шел из деревни до села со скоростью 5 км/ч, а Никита - со скоростью 4 км/ ч. На сколько Никита потратил больше времени, чем Сережа. ( на 1 час)

3. В магазин привезли 5 ящиков с красками. В каждом ящике 144 коробки, а в каждой коробке 12 тюбиков с красками. Сколько тюбиков привезли в магазин. (144* 5 * 12=8640)

4. Три самолета вылетают каждые 6,8,9 часов. Через какое наименьшее время они одновременно окажутся в аэропорту? 9 72 ч)

5. Известно, что число делится на 2, на 3 и на 5. на какие еще числа делится это число? ( 6, 10, 15, 30)

6. Какое число возвели в куб если получили число 1000 (10)

7. Могут ли 12 обезьян разделить между собой поровну 84 банана? 9да)

8. На станции стоят 3 пассажирских поезда: в первом - 418 мест в купейных вагонах, во втором - 494, а третьем - 456. сколько купейных вагонов в каждом поезде, если в каждом поезде, если в каждом вагоне не одинаковое число мест и их число больше 20?

9. На базар привезли арбузы. Если их считать десятками, то получистя целое число десятков. Если их считать дюжинами ( по 12), то опять получится целое число дюжин. Сколько арбузов привезли на базар, если их больше 300, но меньше 400?

10.Солдаты выстроились в ряды, по 12 человек в каждом, а затем перестроились по 8 человек в ряду. Сколько было солдат, если их больше 180, но меньше 200?

11. Найдите НОК и НОД чисел 1512 и 1008

а

б

в

г

д

е

ж

з

1

10

15

30

20

10

10

15

30

1

2

5

25

15

30

15

5

25

15

2

3

10

5

5

5

20

10

5

15

3

4

5

10

25

10

15

5

10

25

4

5

15

30

5

10

20

15

30

5

5

6

10

20

10

5

15

10

25

30

6

7

20

10

5

20

10

25

5

15

7

8

10

5

25

30

20

15

20

25

8

а

б

в

г

д

е

ж

з

Урок 3.

ПЛАН:

1.Организационный момент

2."Дополни предложение"

3. Актуализация знаний

4. Изучение признаков делимости

5. Закрепление

6. Домашняя работа

7. Самостоятельная работа

ЦЕЛИ:

Образовательная: обобщить, имеющиеся у учащихся знания о признаках делимости на 2, на 3, на 4, на 5, 9,10; уметь анализировать полученные знания и применять их при решении новых заданий; совершенствовать устные и письменные вычислительные и практические навыки.

Развивающая: Развить способность формированию умений применить приемы: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательная: Воспитать познавательный интерес к предмету, воспитать умение оценивать объективно труд своих товарищей, трудолюбие, усидчивость и внимательность.

МЕТОД: Словесный, практический

ФОРМА: индивидуальная, коллективная.

ОБОРУДОВАНИЕ:

• Карточка с домашней работы

• Карточки с самостоятельной работы

ХОД УРОКА:

1. На уроке по изучению темы «Признаки делимости» мы повторим, обобщим, приведем в систематизацию данный материал, изученный в 6-ом классе, и рассмотрим этот материал уже подробнее, с рассмотрением ранее не известных признаков делимости.

2. ( двое учеников отвечают на вопросы за доской, остальные в тетради)

Вопросов в диктанте 5. Вам необходимо дополнить предложения. Математический диктант направлен на проверку ваших знаний по теме

« Делимость». Вопросы зачитываются по два раза.

Начинаем.

№1 Если натуральное число а делится на натуральное число b, то b называют делителем числа а, а а называют ____________________ числа b

ОТВ: кратным

№2. Как называют число с для а и b, если оно является делителем и для а и для b?

ОТВ: Общий делитель

№3 натуральные числа а и b называют взаимно простыми, если наибольший общий делитель этих чисел равен _______

ОТВ: 1

№ 4. Назовите разряды в натуральном числе, которые стоят левее от разряда сотен.

ОТВ: Разряд десятков и единиц

№ 5 верно ли, что бы узнать делится ли натуральное число а на 11, надо сложить отдельные цифры его десятичной записи, стоящие на четных местах, и цифры, стоящие на нечетных места, и из большей суммы вычесть меньшую. Если полученная разность делится на 11, то число а не делится на 11?

ОТВ: Нет. Если полученная разность делится на 11, то число а делится на 11.

После завершения задания, открываются доски и всем классом проверяют правильные ответы, причем вопросы зачитываются еще раз. Каждый выставляет для себя оценку по шкале: все правильно - «5»; одна ошибка - «4»; две ошибки - «3», остальные «2»

3. «Число на гробнице»

В одной из египетских пирамид ученые обнаружили на каменной плите гробницы выгравированное иероглифами число 2520. Трудно точно сказать, за что выпала такая честь на долю этого числа. Может быть, за то, что оно без остатка делится на все без исключения целые числа от 1 до 10. Действительно, нет числа, меньшего, чем 2520, обладающего указанным свойством. Нетрудно убедится в том, что это число является наименьшим общим кратным целых чисел первого десятка.

Проверим это:

1)

2520

2

1260

2

630

2

315

3

105

3

35

5

7

7

1

Разложим число на простые множители и сделаем вывод.

Вывод: 2520 делится на:

2, 3 , 4 (2*2), 5, 6 (3*2), 7, 8 (2*2*2), 9 (3*3), 10 (2*5)

2) Проверим данное утверждение, используя признаки делимости.

Будем записывать сумму а_n10ⁿ + a_n-110^n-1+…+a₁10 + a₀ так: ¯а_па_п_₁...а₁ а₀ ( черта наверху показывает, что мы рассматриваем не произведение чисел а_п, а_п__1, … ,.а₁ , а₀ а десятичную запись числа а)

Если существует такое натуральное число к, что 10^к делится на b, то на b делится все числа 10ⁿ ,где n > k. Поэтому число а имеет при делении а b тот же остаток, что и число a_к-110^к-1+…+a₁10 + a₀.

Отсюда следует, что если 10^к делится на b, то число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на b в том и только том случае, когда на b делится число ¯a_к-110^к-1+…+a₁10 + a₀.

Признак делимости на 2:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 2 в том и только случае, когда на 2 делится число а₀ ( то есть цифра в разряде единиц)

Это значит, что число а делится на 2 в том и только том случае, когда его десятичная запись оканчивается одной из цифр 0,2,4,6,8.

Признак делимости на 4:

Число а делится на 4, тогда и только тогда на 4 делится двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а.

Признак делимости на 5:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 5 в том и только случае, когда его десятичная запись оканчивается либо цифрой 5, либо цифрой 0.

Признак делимости на 3 ( на 9):

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 3 ( на 9) в том и только случае, когда на 3 ( на 9) делится сумма а_п + а_п-1 + ...+ а₁ + а₀ цифр десятичной записи этого числа.

Признак делимости на 10:

Число а =¯а_па_п_₁...а₁ а₀ делится на 10 в том и только случае, когда его десятичная запись оканчивается либо цифрой 0.

Утверждение верно.

4.

Теорема: Число делится на составное число, являющееся произведением двух взаимно простых числе, если оно делится на каждое из этих чисел.

а) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6

б) Если число делится на 3 и на 4, то оно делится на 12.

в) Если число делится на 3 и на 5 , то оно делится на 15.

г) Если число делится на 3 и на 25, то оно делится на 75.

Таким образом мы получили признак делимости на 6. тем самым мы можем проверить справедливость нашего утверждения.

Признак делимости на 7 и на 13:

Что бы узнать, делится ли натуральное число а на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой ( самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 ( соответственно на 13). То и заданное число делится на 7( соответственно на 13) .

Признак делимости на 8:

Если число делится и на 2 и на 4, то оно делится на 8.

3. Вспомнив, ранее известные нам признаки делимости и изучив, новые мы сможем поверить справедливость задачи «Число на гробнице»

Убедились, что данные задачи справедливы.

5.

Задание №1.

Вместо звездочек поставьте числа так, чтобы получилось число, делящееся:

а) на 3: 24* , 1*6, *22

б) на 5: 483* , 34*0 , 5*31

в) на 6: 25*2, 3*33, 87*

г) на 8: 257*4, 3*22, 435*5

д) на 7: 45934*, 659865*24

Задание №2.

Проверим, что число 459348965866 делится на 7, но не делится на 13.

ОТВЕТ: используя признак, получаем выражение 459 - 348 + 965 - 866 = 210

Так как 210 7 = 30

210 не 13

Таким образом заданное число делится на 7, но не делится на 13.

Задание №3.

Найдите все числа, кратные 4, удовлетворяющие двойному неравенству:

8·3³ < x < 3⁵

ОТВЕТ:

216 < х <243.

Самое большое число делящиеся на 4 и принадлежащее данному интервалу,240 ( так как число, образованное двумя последними цифрами,

40 4) . остальные значения числа х находим вычитанием 4. отсюда х = 240,236,228,224,220

Задание №4.

Докажите, что числа вида n³ - n, где n - натуральное число делится на 6

ОТВ: (n³ - n) 6

n ( n² - 1) : 6

(n - 1) n ( n+ 1) 6

Задание № 5

Всегда ли число вида n⁴ - n делится на 4? Всегда ли число вида n⁶ - n делится на 6

ОТВ: нет

2⁴ - 2 = 14 не делится на 4

2⁶ - 2 = 62 не делится на 6

Задача №6

Докажите, что если а - нечетное число, то а² - 1 делится на 8.

ОТВ: Для доказательства необходимо вспомнить какое число называют нечетным.

а = 2n +1

((2n +1)² - 1) = ( 4n² + 4n) = 4n ( n -1) , так как произведение двух последующих натуральных чисел делится на 2, то 4n ( n -1) 8

Задача №7.

Допишите к 523 три цифры так , что бы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.

ОТВ: 152 или 656

Задание №8.

Каких натуральных чисел от 1 до 1998 больше: которые делятся на 7, но не делятся на 8 или которые делятся на 8, но не делятся на 7?

ОТВ:

Первый класс: из чисел, делящихся на 7, выбросим те, которые делятся на 56.

Второй класс: из чисел, делящихся на 8, выбросим, те которые делятся на 56.

Первых чисел больше.

Задание №9:

Курьез делимости.

Четыре изумительные десятизначные числа, в каждом из них есть все цифры от о до 9, но каждая цифра только по одному разу и каждое из этих чисел делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,12,13,14, 15, 16, 17 и 18

2 438 195 760

3 785 942 160

4 753 869 120

4 876 391 520

Докажите.

6.

Задание №1.

Найдите все числа, кратные 4, удовлетворяющие двойному неравенству:

6³ < x < 7·6²

ОТВ: 244, 240,232,228,224,220

Задание №2.

Найдите все двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.

ОТВ:

11, 22, 24, 36, 15. если число записано цифрами ab, то b кратно а и либо b = а , либо b = 2а , либо b = 5а

Задание №3.

Докажите, что сумма кубов трех последовательных натуральных чисел делится на 9.

ОТВ:

( а - 1)³ + а³ + (а + 1)³ = а³ - 3а² + 3а - 1 + а³ + а³ + 3а² + 3а + 1= 3 а³ + 6а 9

а3 → 3·3к(9к² + 2) 9

а3 →

1. а = 3к - 1

3(3к-1)((3к-1)²+2)= 3(3к-1) (9к² -6к+ 3) 9

2. 2) а = 3к + 1

3(3к+1)((3к+1)²+2)= 3(3к+1 )(9к² +6к+ 3) 9

Задание №4.

Два трехзначных числа, имеющих одинаковые остатки при делении на 7, приписаны одно к другому. Докажите, что это шестизначное число делится на 7.

ОТВ:

Можно воспользоваться признаком делимости на 7 ( 7 - делитель числа 1001). Можно вычислить непосредственно: 1000( 7p +а) +( 7g + a) = 7(1000р + g) + а*1001 = 7 ( 1000р + g + 143а)

Задание №5.

Докажите, что 43¹⁹⁹⁸ - 1 делится на 77.

ОТВ:

а^2к - 1 делится на а² -1, поэтому 43¹⁹⁹⁸ - 1 делится на

43² - 1 = ( 43 -1)(43+1) = 42 * 44 = 77 *24

7.

Самостоятельная работа содержит 3 задания и рассчитана на 5 минут. Проводится. Что узнать на сколько ребята усвоили данную тему,первые пять учеников, решившие задания получают отметки в журнал. Остальные обмениваются друг с другом тетрадями и сверяются с правильными ответами.

За правильно решенные 3 задания ставятся «5», за 2 задания- «4». Ученики. Решившие менее двух заданий должны большее время уделить изучению данной темы дома.

Вариант:

1) Вместо звездочек поставьте цифры так , что бы получилось число делящиеся:

1. на 5: 483* , 34*0

2. на 9: 179*, 54*7, 5*24

3. на 8: 257*4

2) Сформулируйте признак делимости на 75 (смотри ранее)

3) Известно, что сумма двух чисел делится на b. Следует ли отсюда, что каждое слагаемое делится на b?

ОТВ: нет.

Пример : ( 1 + 2) 3 , но 2 не 3 и 1 не 3

Урок 4.

ПЛАН:

1. Организационный момент

2. Математический диктант

3. Решение задач

4. Историческая справка

5 Физкультминутка

6. Домашнее задание

7. Подведение итогов уроков

Образовательная: Обобщить и закрепить усвоенное учащимися понятия делителя, кратного, простого и составного чисел, умения находить наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное, применение признаков делимости и алгоритма Евклида, отработать навыки решения задач

Развивающая: Развить логическое мышление, внимательность, умение анализировать и сравнивать, умение применить на практике полученные ранее знания, самостоятельность,

Воспитательная: Познавательный интерес к предмету, умение внимательно выслушать мнение других, уважительно относится к ответам одноклассников, умение доводить до конца начатую работу, умение оценить свой труд и труд своих товарищей.

МЕТОД: Практический, словесный

ФОРМА: Индивидуальная, коллективная

ТИП: Урок решения задач.

ОБОРУДОВАНИЕ:

• Карточки с задачами

• Карточки с домашними задачами

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

Здравствуйте, садитесь. Сегодня на занятии мы закрепим изученные понятия при помощи решения задач . Начнем урок с математического диктанта.. В конце урока домашнее задание.

2. ( двое учеников отвечают на вопросы за доской, остальные в тетради)

Вопросов в диктанте 10. Вам необходимо дать утвердительный или отрицательный ответ на прочитанные предложения. Математический диктант направлен на проверку ваших знаний по теме « Делимость». Вопросы зачитываются по два раза.

Какие из следующих высказываний истинные:

1. если а 7 и а 5, то а 35

2. если а 10 и а 15, то а 150

3. если а не делится на 3 и не делится на 5, то оно не делится на 15

4. если число не делится на 7, то оно не делится на 175?

5. Если произведение двух натуральных чисел делится на 5, то хотя бы один из множителей делится на 5

6. Если произведение двух натуральных чисел делится на 36, то хотя бы один из множителей делится на 36

7. Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 11, то их произведение не делится на 11

8. Если ни одно из двух натуральных чисел не делится на 36, то их произведение не делится на 36

9. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то хотя бы один множитель делится на 3 и хотя бы один из множителей четный

10. Если произведение нескольких натуральных чисел делится на 12, то среди этих чисел есть четное число, делящиеся на 3?

ОТВ:

1), 3) ,4), 5), 7), 9)

После завершения задания, открываются доски и всем классом проверяют правильные ответы, причем вопросы зачитываются еще раз. Каждый выставляет для себя оценку по шкале: все правильно - «5»; две ошибки - «4»; четыре ошибки - «3», остальные «2»

3. Задачи решаются самостоятельно. Если возникает трудность при решении той или иной задачи, то она разбирается на доске. Задания отображаются на интерактивной доске( кодоскоп). Правильные ответы оглашаются после решения задачи большинством учеников.

ЗАДАНИЕ №1

Докажите, что натуральное число вида а³ + 1 делится на а +1

ОТВ: При доказательстве использовать формулу сокращенного умножения

а³ + 1 = ( а + 1) (а² + а + 1)

( а + 1) (а² + а + 1) делится на ( а + 1), следовательно а³ + 1 делится на а +1

ЗАДАНИЕ №2

Докажите, что натуральное число вида n² + 5n + 6 делится на n + 2

ОТВ: При доказательстве использовать формулу Виета или найти корни уравнения используя формулу дискриминанта.

n² + 5n + 6 = 0

D = 5² - 4·6 = 1

n ₁ =

n ₂ =

Корни данного квадратного уравнения равны - 3 и -2.

n² + 5n + 6 = ( n + 3) ( n+2)

( n + 3) ( n+2) делится на ( n +2) так как входит в разложение

Тогда n² + 5n + 6 делится на n + 2

ЗАДАНИЕ №3

Докажите, что трехзначное число, записанное тремя одинаковыми цифрами, делится на 37

ОТВ: При доказательстве необходимо вспомнить разложения числа на разряды и признак делимости на 37.

( n 10² + n 10 + n) 37

n ( 100 + 10 + 1) 37

n · 111 37

n · 37 3 37 так как входит в разложение

ЗАДАЧА № 4

Докажите, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на b, а одно слагаемое не делится на b, то и сумма не делится на b

ОТВ: ( ab + bc+…+ n) = b ( a + c + …) + n = b ( a + c + …) b

n = не b

ЗАДАНИЕ №5

Докажите, что при любом натуральном n ,n > 1 число n⁴ + 4 является составным.

ОТВ: разложим сумму n⁴ + 4 на множители:

n⁴ + 4 = n⁴ + 4 - 4n² - 4n² = (n² +2)² - (2n)² = (n² +2 + 2n) (n² +2 - 2n)

При n є N, n > 1 каждый из множителей должен является натуральным числом, большим 1. для первого множителя это очевидно. Что бы доказать это для второго множителя выделим из трехчлена n² +2 - 2n квадрат двучлена:

n² +2 - 2n = (n² - 2n + 1 )+1 = (n - 1)² +1

Если n > 1, то (n - 1)² +1> 1

Тогда при n є N, n > 1 число n⁴ + 4 имеет два натуральных делителя боьших 1, то есть является составным числом.

ЗАДАНИЕ №6

Докажите, что если разность чисел а и b делится на m и m ≠ 0, то разность чисел ka и bk делится на mk.

ОТВ:

( a - b) m

(ka - bk ) = k ( a - b)

Так как ( a - b) m , то к( a - b) кm

ЗАДАНИЕ № 7

Заполните таблицу

a

1729

85

381

q

6

ОТВ:

Использовать теорему: Если a и b - натуральные числа, такие что a ≥ b и b >1, то найдутся такие числа q и r из N₀ что a = bq + r, причем 0 ≤ r < q.

a

1729

85

381

79

q

4

1

205

6

ЗАДАНИЕ № 8

Докажите, что числа вида n³ - n, где n - натуральное число делится на 6

ОТВ: (n³ - n) = n(n²-1)=(n-1)n(n+1)

Так произведение двух последовательных натуральных чисел делится на 2, а произведение трех последовательных натуральных чисел делится на 3. Так как (2,3)=1 → (n - 1) n ( n+ 1) = (n³ - n) 6

ЗАДАНИЕ № 9.

Всегда ли число вида n⁴ - n делится на 4? Всегда ли число вида n⁶ - n делится на 6

ОТВ: нет

2⁴ - 2 = 14 не делится на 4

2⁶ - 2 = 62 не делится на 6

ЗАДАЧА № 10

Может ли квадрат натурального числа при делении на 6 давать остаток 5?

ОТВ: Нет. При делении на 6. как и на другое любое число. Квадрат числа дает тот же остаток. Что и квадрат его остатка.

ЗАДАНИЕ № 11

Какие из делителей числа 144 кратные числу 18?

ОТВ: 2, 24, 4, 72, 6, 36, 8, 18, 3, 48, 9, 16, 12

Кратные 18: 18, 36, 72

ЗАДАНИЕ № 12

Найдите общие делители чисел 180 и 240 и выделите наибольший делитель

ОТВ: D( 180; 240)= 60

ЗАДАНИЕ №13

Найдите К( 846: 246)

ОТВ: К( 846; 246) = 34686 К(а;b) = ab / D (а;b) D (а;b)=6

ЗАДАЧА № 14

Туристы проехали за первый день 56 км, а за второй - 72 км, причем их скорость была одинаковой и выражалась целым числом километров в час и каждый день они были в пути целое число часов. Найдите скорость, с которой ехали туристы, если она была наибольшей из удовлетворяющих условию задачи.

ОТВ: НОД ( 72 ; 56) = 8

ЗАДАЧА № 15

Туристы прошли в первый день 36 км, во второй - 32 км и в третий - 24 км, причем в каждый день они были в пути целое число часов. Сколько часов они были в пути каждый день из этих трех дней, если их скорость выражалась целым числом километров, была постоянной и наибольшей и удовлетворяющих условию задачи?

ОТВ: НОД ( 36; 32: 24) = 4

36 : 4 = 9

32 : 4 = 8

24 : 4 = 6 ( дней)

ЗАДАЧА № 16.

Сколько можно составить из цифр 2,3,4 и 5 четырехзначных чисел, делящихся на 11?

ОТВ:

Воспользоваться признаком делимости на 11.

ЗАДАЧА № 17.

Какое наибольшее количество разных простых делителей может иметь шестизначное натуральное число?

ОТВ: 7

Произведение первых семи простых чисел 2·3·5·7·11·13·17 = 510510 - шестизначное число; произведение 8 меньших простых чисел семизначно.

ЗАДАЧА №18.

Сколько среди натуральных чисел от 1 до 60 включительно таких которые:

1. делятся на 3

2. делятся на 3, и на 5

3. делятся на 3, но не делятся на 5

ОТВ: применить признаки делимости

1. 20

2. 4

3. 16 = 20 - 4

ЗАДАНИЕ № 19

С помощью алгоритма Евклида найдите D ( 42628;33124) и D (7975; 2585)

ОТВ:

D (7975; 2585) = 55

D ( 42628;33124) = 4

ЗАДАНИЕ № 20

Среди следующих чисел найдите делящиеся на 11: 246915658 ; 371846205; 865914324015

ОТВ: 246915658

2 + 6+ 1+6+8 = 23

4+9+5+5 = 23

23 - 23 = 0

ЗАДАНИЕ №21

Какое трехзначное число равно кубу цифр его единиц. А также квадрату числа, составленного из его второй и первой цифр?

ОТВ:

729

ЗАДАНИЕ № 22

Коля составил пятизначное число, используя цифры не менее 5, затем переставил те же цифры и получил новое число, сложил оба числа и получил 126847. Не ошибся ли он?

ОТВ: Ошибся. Сумма поразрядных сложений четна ( каждая цифра складывается два раза). А у Коли она нечетная: 17 + 13 + 17+ 15 + 11

ЗАДАНИЕ № 23.

Найдите все двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.

ОТВ:

11, 22, 24, 36, 15. если число записано цифрами ab, то b кратно а и либо b = а , либо b = 2а , либо b = 5а

4.

Что мы знаем о числах.

Современные люди широко применяют в своей жизни числа. Вряд ли кто-нибудь сейчас вкладывает в числа сказочный или мифический смысл. Но так было не всегда. Для древних людей числа были элементами особого кода, с помощью которого описывался мир человека.

В наиболее древних текстах число «1»встречается крайне редко и означает не только первый элемент ряда в современном смысле, сколько целостность, единство. Число «1» приписывалось Богу и Космосу.

Число «2» лежало в основе противопоставлений ,с помощью которых в некоторых мифах описывался мир. Например, Небо и Земля, День и Ночь, Жизнь и Смерть.

Во многих древних культурах числовой ряд открывало число «3»,часто означавшее абсолютное совершенство. Достаточно вспомнить знаменитую икону Андрея Рублева «Троица». Число «3» очень часто встречается в русских народных сказках.

Число «4» широко использовалось в мифах о сотворении Вселенной и ориентации в ней : четыре стороны света , четыре времени года.

Число «7» считалось магическим и характеризовало общую идею Вселенной .До нас эта идея дошла в семи цветах спектра, семи тонах музыки. Интересно отметить, что наша память особенно хорошо удерживает лишь до семи разных впечатлений или предметов. При большей нагрузке ошибки в запоминании резко возрастают.

Наверное, поэтому число «7» очень часто встречается в пословицах и поговорках.

«7» считается счастливым числом. ( 7 слоников на счастье )

В любых древних культурах одно из наиболее употребляемых чисел-«12». Оно оставило яркий след в нашей современной культуре. Вспомним 12 месяцев, 12 часов. Число «12» ,как и «7» , тоже считается счастливым.

Ему противостоит «несчастливое число» «13». Это число называют «чертова дюжина». Многие суеверные люди и сейчас боятся или остерегаются этого числа . В Англии на улицах пропускают номер «13» для обозначения номеров домов. Даже моряки стараются 13-го числа не выходить в море.

Нам кажется удивительным ,что число «10» практически не встречается в мифах , но зато в современной системе счисления оно играет центральную роль (счет десятками).

Некоторые мыслители древности старались представить поэзию и искусство в виде своего рода математики. Сторонники Пифагора вслед за своим учителем считали, что сущность красоты кроется во внутренних числовых отношениях. Интересно и удивительно, что современная наука, например физика элементарных частиц . не может обойтись без новейших разделов математики. Кажется загадочным, что именно математика так хорошо описывает окружающий нас мир. Без глубокого знания математики, мифического происхождения чисел, трудно разобраться в искусстве, поэзии, литературе.

Загадочная семерка

Семь чудес света. Семь дней недели. Семь цветов радуги. Семь недель поста. Семь смертных грехов…Француз дает самую сильную клятву : «Крепко, как семь». Счастливый чувствует себя на седьмом небе. Герои сказок надевают семимильные сапоги и сражаются с драконом о семи головах.

Названия сказок «Волк и семеро козлят»(русская); «семь козьих голов» (албанская).

Пословицы: «Семь раз отмерь, один раз отрежь»; «Семь бед- один ответ»; «Семеро одного не ждут»; «Семь пятниц на неделе».

Число «7» буквально пронизывает всю историю культуры народов Земли .

Зародился культ числа «7» в Древнем Вавилоне. Наблюдая небо, древние астрономы насчитывали 7 планет: Солнце, Луну, Меркурий, Венеру , Марс, Юпитер, Сатурн.

Числа 2,3,5,7,11 - простые числа, а 4,6,8,9 - составные. Всякое составное число есть произведение простых. Поэтому простые числа можно назвать первоначальными числами.

Древнегреческий ученый Эратосфен, живший несколько позднее Евклида, предложил свой способ для составления таблицы простых чисел. Этот способ носит название «решето Эратосфена». В чем он заключается? Найдем ,например, все простые числа от 1 до 20. для этого выпишем все простые числа от 1 до 20 в ряд: далее будем вычеркивать числа, которые не являются простыми. В первую очередь вычеркнем число 1, та как это не простое число. Первое просто число 2. подчеркнем его и вычеркнем все числа, кратные 2, т. е. числа 4,6, … 20. Следующие простое число 3. подчеркнем его и вычеркнем все числа, кратные 3 ( которые остались не вычеркнутыми) и т.д. так мы «высеем» все интересующие нас простые числа: 2,3,5,7,11,13,17,19.

Большие заслуги в области изучения простых чисел принадлежат русским и советским математикам. П. Л. Чебышев ( 1821 - 1894) доказал, что между любым натуральным числом, большим 1, и числом, вдвое больше данного ( например, 2 и 4, 3 и 6, 10 и 20 и т. д.) всегда имеется хотя бы одно простое число.

И. М. Виноградов ( 1891 - 1983) установил, что любое достаточно большое нечетное число можно представить в виде суммы трех простых чисел, например:

7 = 2+ 2+ 3

9 = 3+3+3 = 2+2+5

15 = 3+5+7 = 5+5 +5

5. ЗАДАНИЕ №1

Докажите, что четырехзначное число, у которого цифра тысяч равна цифре сотен, а цифра десятков - цифре единиц, делится на 11.

ОТВ:

(n· 10³ + n· 10² + m·10 + m) = (n( 1000 + 100) +m (10 + 1)) = ( 1100n + 11m) = (11(100n+ m)) = 100n+ m

ЗАДАНИЕ №2

Известно, что произведение двух чисел делится на b. Следует ли отсюда, что каждый множитель делится на b?

ОТВ: нет

( 2·3) 6 , но 2 не 6 и 3 не 6

ЗАДАНИЕ №3

Известно, что разность чисел a и b делится на m, ровно как и разность чисел b и c. Следует , ли отсюда, что разность чисел а и с делится на m?

ОТВ: да

а - с = ( а - b) + ( b - с )

ЗАДАНИЕ №4

Известно, что числа а и b делятся на m, а разность а - b этих чисел делится на с. Следует ли отсюда, что число а/m - b/m делятся на с?

ОТВ: нет. Контрпример:

а = 18

b = 12

m = 3

с = 6

ЗАДАНИЕ №5

Доказать что 1589²-1 - составное число.

ОТВ:

Квадрат нечетного числа нечетное число. При вычитании 1 получаем четное число, а значит это число имеет как минимум 3 делителя:1,2 и само число. Следовательно число составное

ЗАДАНИЕ№6

Найдите К( 1960; 588)

ОТВ: К( 1960; 588) = 5880

К(а;b) = ab / D (а;b) D (а;b) = 196

ЗАДАНИЕ № 7

Заполните таблицу

a

5611

18

q

411

701

7

3

ОТВ: Использовать теорему: Если a и b - натуральные числа, такие что a ≥ b и b >1, то найдутся такие числа q и r из N₀ что a = bq + r, причем 0 ≤ r < q.

a

7405

5611

18

8

q

411

701

7

3

ЗАДАНИЕ №8

С помощью алгоритма Евклида найдите D ( 71004; 154452)

ОТВ: D ( 71004; 154452) = 732

6.

Какие из чисел 18, 35, 70, 102, 504 и 6930 делятся:

1. на 5, но не делятся на 2

2. на 2 и на 5

3. на 2, но не делятся на 5

4. на 5 и на 10

5. на 5, но не делятся на 10

6. на 10, но не делятся на 5

7. на 3 и на 9

8. на 3, но не делятся на 9

9. на 9, но не делятся на 3

ОТВ:

1. 35

2. 70 и 6930

3. 18, 102, 504

4. 70 и 6930

5. 35

6. Таких чисел нет, так как 5 - делитель числа 10

7. 18, 504 и 6930

8. 102

9. Таких чисел нет, так как 3 - делитель числа 9, то оно делится на 3

 подчеркнутые слова конспектируются под диктовку в тетради учениками