Дидактический материал математике на тему Решение задач по теории вероятности для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ (9-11 класс)

Задачи для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ по вероятности

1. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Греции, 4 спортсмена из Болгарии, 3 спортсменов из Румынии и 7 - из Венгрии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Венгрии.

Решение: Всего исходов 4+6+7+3=20; Благоприятных - 7. Ответ: 7/20=0,35

2. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 20 до 29.

Решение: Искомая вероятность равна P=0.94−0.56=0.38. Ответ 0,38

3. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора Преображенского окажется запланированным на последний день конференции?

Решение: Воспользуемся классическим определением вероятности. По условию задачи, на последний день приходится 12 докладов, а всего их 75, тогда искомая вероятность равна P=12/75=0.16. Ответ 0,16

4. На семинар приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России. Ответ: 0,3

5. На семинар приехали 3 ученых из Индонезии, 3 из Камбоджи, 4 из Чили и ещё 10 ученых из стран Европы. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из Индонезии. Ответ: 0,15

6. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 6 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 6 спортсменов из Германии и 10 - из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Франции.

Решение: Всего исходов 6+3+6+10=25; Благоприятных - 3. Ответ: 3/25=0,12. Ответ: 0,12

7. В турнире чемпионов участвуют 6 футбольных клубов: «Барселона», «Ювентус», «Бавария», «Челси», «Порту» и «ПСЖ». Команды случайным образом распределяют на две группы по три команды. Какова вероятность того, что «Барселона» и «Бавария» окажутся в одной группе?

Решение:

Пусть "Барселона" и "Бавария" должны попасть в первую группу. Вероятность того, что туда попадет "Барселона", равна 3/6=1/2, так как в группе 3 места, а всего команд 6. Вероятность того, что в первую группу попадет и "Бавария", равна 2/5, так как в группе уже осталось 2 места, а всего выбираем из 5 оставшихся команд. Следовательно, вероятность того, что обе команды попадут в первую группу, равна 1/2∗2/5=0,2. Так как группы две, то вероятности складываюся (обе команды попадут в первую ИЛИ во воторую группу). Тогда искомая вероятность равна 0,4. Ответ: 0,4.

8. Родительский комитет закупил 10 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 3 с машинами и 7 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Васе достанется пазл с машиной. Решение 3/10. Ответ : 0,3

9. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства - яйца высшей категории, а из второго хозяйства - 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства. Решение: Обозначим за x искомую вероятность того, что купленное яйцо произведено в первом хозяйстве. Тогда 1−x - вероятность того, что купленное яйцо произведено вторым хозяйством. Применим формулу полной вероятности и получим 0.4x+0.2(1−x)=0.35⇒x=0.75. Ответ : 0,75

10. Родительский комитет закупил 20 пазлов для подарков детям на окончание года, из них 6 с машинами и 14 с видами городов. Подарки распределяются случайным образом. Найдите вероятность того, что Володе достанется пазл с городом. Ответ: 14/ 20 = 0,7

11. На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с яблоками. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с яблоками. Ответ: 0,2

12. В сборнике билетов по физике всего 25 билетов в 13 из них встречается вопрос по оптике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене попадется билет по оптике.

Ответ: 13/25=0,52

13. В сборнике билетов по физике всего 15 билетов в 12 из них встречается вопрос по электростатике. Найдите вероятность того, что в случайном выбранном билете на экзамене не попадется билет по электростатике. Ответ : 3/15 = 0,2

14. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 5, но не дойдя до отметки 11 часов.

Решение: Всего на 12 секторов разбивают циферблат числа от1 до 12. Благоприятные для нас сектора от 5 до 11. Их - 6. Тогда Р = 6/12 = 0,5. Ответ : 0,5

15. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что часовая стрелка застыла, достигнув отметки 4, но не дойдя до отметки 7 часов.

Решение: Всего 12 секторов. Благоприятные - 3. Тогда Р = 3/12 = 0,25. Ответ : 0,25

16. Команда бобслеистов состоит из четырех человек. Если хотя бы один спортсмен заболеет, то команда не выходит на старт. Вероятность заболеть для первого участника команды составляет 0,1, для второго - 0,2, а для третьего - 0,3, а для четвертого - 0,4. Какова вероятность, что команда бобслеистов не выйдет на старт?

Решение. Найдем вероятность того, что команда выйдет на старт: P₁=(1−0.1)∗(1−0.2)∗(1−0.3)∗(1−0.4)=0,3024. Тогда вероятность того, что команда не выйдет на старт, равна P=1−P₁=1-0,3024= 0.6976. Ответ 0,6976.

17. В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ 6/30=0,2

18. В группе туристов 16 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист А. полетит первым рейсом вертолёта. Ответ: 4/16 = 0,25

19. В лыжных гонках участвуют 13 спортсменов из России, 2 спортсмена из Норвегии и 5 спортсменов из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России. Ответ: 7/20=0,35

20. На экзамене 35 билетов, Стас не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что при случайном выборе ему попадется выученный билет. Ответ: 28/35=0,8

21. В каждой двадцать пятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Коля покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке.

Решение: Так как, согласно условиям в каждой двадцать пятой банке кофе есть приз,

то в остальных 24-х приза нет. Тогда, вероятность того, что Коля не найдёт приз в своей банке равна

24 / 25 = 0,96 Ответ: 0,96 :

22. Из 600 клавиатур для компьютера в среднем 12 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная клавиатура исправна. Ответ: 1- 12/600=0,98

23. В среднем на 147 исправных дрелей приходятся три неисправные. Найдите вероятность того, что выбранная дрель исправна. Ответ: 147/150=0,98

24. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру Кате не выпадет. Ответ 4/5=0,8

25. Девятиклассники Петя, Катя, Ваня, Даша и Наташа бросили жребий, кому начинать игру. Найдите вероятность того, что жребий начинать игру должен будет мальчик. Ответ : 0,4

26. В кармане у Серёжи было четыре конфеты - «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка». Ответ: 1/4=0,25

27. Перед началом первого тура чемпионате по теннису участников разбивают на игровые пары случайный образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 теннисистов, среди которых 7 спортсменов из России, в том числе Анатолий Москвин. Найдите вероятность того, что в первом туре Анатолий Москвин будет играть с каким-либо теннисистом из России. Ответ: 6/75=0,08

28. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?

Решение: найдём сколько выступлений запланировано на третий день: (80-8)/4=18

Тогда, вероятность того, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса равна

Р = 18/80=0,225 Ответ: 0,225

29. По статистическим данным вероятность того, что телефон марки "Sumsung", купленный в магазине "Евросеть", прослужит больше четырёх лет равна 0,83. Вероятность того, что он прослужит больше пяти лет, равна 0,66. Найдите вероятность того, что телефон данной марки выйдет из строя в течение пятого года эксплуатации.

Решение: Вероятность искомого события равна P = 0,83−0,66 = 0,17. Ответ 0.17.

30. Какова вероятность того что случайно выбранное натуральное число от 30 до 54 делится на 2?

Решение. От 30 до 54 25чисел. Четных из 13.(30 31; 32 33; 34 35;… 52 53; и 54 ) Ответ 13/25=0,52

31. В урне 5 красных и 3 синих шара. На удачу выбирают три из них. Какова вероятность того, что два из них будут синими.

Решение. (2/3*1/5)/3/8=2/15*8/3=16/45=0,3(5)

32. В урне 30 шаров : 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение.

Два несовместных события Р(А+В)=Р(А)+Р(В)= 5/30+10/30=15/30=0,5

33. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 5.

Решение. Всего трехзначных чисел 900, из 180 чисел кратны 5, поэтому Р = 180/900 = 0,2 Ответ: 0,2

34. В урне лежат 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар будет: белый, черный, синий, красный, белый или черный, синий или красный, белый или черный или синий?

Решение. События вынуть шар белого цвета или вынуть шар черного цвета несовместны. Поэтому в решении используем теорему сложения. Всего 70 шаров.

Найдем Р(б)=10/70: Р(ч)=15/70: Р(с)=20/70: Р(к)=25/70

По теореме о сумме получим Р(б+ч) = Р(б)+ Р(ч)= 10/70+15/70=25/70= 5/14; Р(с+к)= Р(с)+Р(к)= 20/70+25/70=45/70=9/14; Р(б+ч+с) = Р(б)+Р(с)+ Р(ч)=10/70+20/70+15/70=45/70=9/14

35. Коля выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 4.

36. В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй - 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что оба шара будут белыми? Решение. Рассмотрим события:

А - вынимаем белый шар из 1 ящика Р(А)=2/12

В - вынимаем белый шар из 2 ящика Р(В)=8/12

А и В независимые события поэтому Р(А*В)= Р(А)*Р(В)=1/6*2/3=1/9 Ответ 1/9

37. Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.

38. В первой коробке находится 2 белых и 10 черных шаров, во второй - 8 белых и 4 черных шара. Вынимаем по 1 шару из каждой коробки. Какова вероятность, что один вынутый шар белый, а другой - черный? Решение.

А - вынимаем белый шар из 1 ящика Р(А)=2/12

В - вынимаем белый шар из 2 ящика Р(В)=8/12

С - вынимаем черный шар из 1 ящика Р(С)=10/12

Д- вынимаем черный шар из 2 ящика Р(Д)=4/12

Каковы возможные случаи Р(АД) Р(ВС). Так как ящики не зависят друг от друга, то и события будут независимыми. Тогда Р(АД) = Р(А)*Р(Д)= 1/6 *1/3 = 1/18 ; Р(ВС) = Р(В)*Р(С) = 2/3 *5/6 = 5/9

В итоге у нас два несовместных события и получаем Р = Р(АД) + Р(ВС) = 11/18.

39. Вова выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 49. Решение. Трехзначных чисел - 900. Первое число которое делится на 49 это 147. Максимальное: решается неравенством 49*n < 1000 n< 20 20/49 т.е. n=20-2=18 Ответ 18/900=0,02

40. На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. Решение.P(АUB)=P(A)+P(B)-P(AB) P=0,3+0,25=0,55 P(AB)=0

41. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение. Рассмотрим события: А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате. Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения: P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52.

Приведем другое решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятость х = 0,52. Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.

42. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Обслуживание автоматов производится по вечерам после закрытия. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,25. Такая же вероятность события, что к вечеру кофе закончится во втором автомате. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,15. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах. Решение. P(АUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0,25+0,25-0,15 - хотя бы в одном, тогда если из 1-0,35=0,65 - кофе останется в обоих автоматах

43. Вероятность того, что новый персональный компьютер прослужит больше года, равна 0,98. вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,84. найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года. Решение. Прослужит дольше чем год- это значит больше двух лет или сломается в промежутке от 1 до 2 лет. Р(>1)=Р(1-2)+Р(>2) Р=0,98-0,84

44. Вероятность того, что на тестировании по математике учащийся П. верно решит больше 12 задач, равна 0,7. Вероятность того, что П. верно решит больше 11 задач, равна 0,79. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 12 задач. Ответ Р=0,79-0,7=0,09

45. Перед началом футбольного матча судья бросает монетку , чтобы определить , какая из команд будет первая владеть мячом . Команда А должна сыграть два матча - с командой В и с командой С . Найдите вероятность того что в обоих матчах первым мячом будет владеть команда А . Решение ½*1/2=0,25

46. Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Монтёр» по очереди играет с командами «Ротор», «Статор» и «Мотор». Найдите вероятность того, что «Монтёр» будет начинать только первую игру.

Решение: Капитан команды "Монтер" будет трижды кидать жребий: с капитаном команды "Ротор", затем с капитаном команды "Статор" и с капитаном команды "Мотор".

В первом жребие вероятность начать игру равна 0.5. Далее вероятность не начинать игру со "Статором" и с "Мотором" равна также по 0.5. Таким образом, вероятность начать только первую игру равна P=0.5∗0.5∗0.5=0.125. Ответ: 0,125

47. Какова вероятность того, что случайно выбранный телефонный номер оканчивается двумя чётными цифра- ми?

Решение. А- Четная предпоследняя - Р(А)=1/2. В- четная последняя Р(В)=1/2

Р = 0,5*0,5 = 0,25 или всего четных цифр 5 на последнем месте и на предпоследнем тоже 5. Итого 5*5=25. Всего цифр на двух последних местах 10*10=100. Ответ 25/100=0,25

48. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну партию.

Решение: Найдем вероятность того, что гроссмейстер А не выйграет ни одну партию. Она равна P₁=0.5∗0.7=0.35. Тогда, вероятность того, что А. выиграет хотя бы одну партию, равна (по формуле вероятности протипоположного события) P = 1−P₁ = 0,65. Ответ: 0,65.

49. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза. Ответ 0,5*0,32=0,16

50. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

Решение: Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей: 0,52 · 0,3 = 0,156 . Ответ: 0,156

51. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,02. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся не бракованными? Ответ 0,98*0,98=0,9604

52. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из не пристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,3. На столе лежат 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

Решение: Вероятность того, что пистолет пристрелянный равна 2/10 = 0,2, что не пристрелянный 8/10 = 0,8
Вероятность того, что попадется пристрелянный и Джон попадет, равна 0,2 · 0,9 = 0,18
Вероятность того, что попадется не пристрелянный и Джон попадет, равна 0,8 · 0,3 = 0,24

Вероятность попасть: 0,18 + 0,24 = 0,42
Вероятность промаха: Р = 1 - 0,42 = 0,58 Ответ: 0,58

53. Экспедиция издательства отправила газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,95, во второе - 0,9, в третье - 0,8. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

Решение. Решение: Введем события

А1 = (газеты доставлены своевременно в первое отделение),

А2 = (газеты доставлены своевременно во второе отделение),

А3 = (газеты доставлены своевременно в третье отделение),

по условию P(A1)=0,95;P(A2)=0,9;P(A3)=0,8

Найдем вероятность события Х = (только одно отделение получит газеты вовремя).

Событие Х произойдет, если

или газеты доставлены своевременно в 1 отделение, и доставлены не вовремя во 2 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 2 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 3,

или газеты доставлены своевременно в 3 отделение, и доставлены не вовремя во 1 и 2.

Таким образом,

X=A1⋅A2*⋅A3*+A1*⋅A2⋅A3*+A1*⋅A2*⋅A3.

Так как события А1,А2,А3 - независимые, по теоремам сложения и умножения получаем

P(X)=P(A1)⋅P(A2*)⋅P(A3*)+P(A1*)⋅P(A2)⋅P(A3*)+P(A1*)⋅P(A2*)⋅P(A3)=

=0,95⋅0,1⋅0,2+0,05⋅0,9⋅0,2+0,05⋅0,1⋅0,8=0,032.

Найдем вероятность события Y=(хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием). Введем противоположное событие Y*=(все отделения получат газеты вовремя). Вероятность этого события

P(Y*)=P(A1⋅A2⋅A3)=P(A1)⋅P(A2)⋅P(A3)=0,95⋅0,9⋅0,8=0,684.

Тогда вероятность события Y: P(Y)=1−P(Y*)=1−0,684=0,316. Ответ: 0,032; 0,316.

54. В таблице представлены результаты четырёх стрелков, показанные ими на тренировке.

Номер стрелка

Число выстрелов

Число попаданий

1

44

26

2

70

45

3

40

14

4

67

48

Тренер решил послать на соревнования того стрелка, у которого относительная частота попаданий выше. Кого из стрелков выберет тренер? Укажите в ответе его номер.

Решение. Сравним дроби

26/44 45/70 14/40 48/67 Лучший результат 4. Ответ 4.

55. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Пять выстрелов по пяти различным мишеням. Какова вероятность того, что биатлонист поразит ровно три мишени.

Решение. Так как в задаче происходит несколько выстрелов, и вероятность появления попадания одинакова при каждом выстреле, то речь идет о схеме Бернулли P_n(k)=C^k_n⋅p^k⋅(1−p)^n−k.

Ответ = 10 * 0.8³ * 0.2² = 0.2048

56. Какова вероятность того, что при 8 бросаниях монеты герб выпадет 5 раз?

Решение. Так как в задаче происходит несколько испытаний, и вероятность появления события (герба) одинакова в каждом испытании, речь идет о схеме Бернулли. Запишем формулу Бернулли, которая описывает вероятность того, что из n бросков монет герб выпадет ровно k раз: P_n(k)=C^k_n⋅p^k⋅(1−p)^n−k.

Записываем данные из условия задачи: n=8,p=0,5 (вероятность выпадения герба в каждом броске равна 0,5) и k=5. Подставляем и получаем вероятность:

P(X)=P₈(5)=C⁵₈⋅0,5⁵⋅(1−0,5)⁸⁻⁵= 8! / 5!3!⋅0,5⁸= (6⋅7⋅8)/(1⋅2⋅3) ⋅0,58 = 0,219. Ответ 0,219.

57. Для сигнализации об аварии установлены два независимо работающих сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сигнализатор сработает, равна 0,95 для первого сигнализатора и 0,9 для второго. Найти вероятность того, что при аварии сработает только один сигнализатор.

Решение: Введем независимые события:

А1= (при аварии сработает первый сигнализатор);

А2 = (при аварии сработает второй сигнализатор);

по условию задачи P(A1)=0,95,P(A2)=0,9P(A1)=0,95,P(A2)=0,9.

Введем событие Х = (при аварии сработает только один сигнализатор). Это событие произойдет, если при аварии сработает первый сигнализатор и не сработает второй, или если при аварии сработает второй сигнализатор и не сработает первый, то есть X=A1⋅A2*+A1*⋅A2. Тогда вероятность события Х по теоремам сложения и умножения вероятностей равна

P(X)=P(A1)⋅P(A2*)+P(A1*)⋅P(A2)=0,95⋅0,1+0,05⋅0,9=0,14. Ответ: 0,14.

58. В первой урне находятся 10 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 9 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными?

РЕШЕНИЕ. Введем событие X = (Оба извлеченных шара черного цвета).

Введем вспомогательные независимые события: H_1× = (Из первой урны извлечен черный шар),

H_2× = (Из второй урны извлечен черный шар).

Найдем вероятности этих событий по классическому определению вероятности: P (H_1× )=4/14

P (H_2× ) = 9/14 . Тогда P (X)= P( H_1х) *P( H_2х ) = 2/7*9/14 = 9/49 = 0,184 . ОТВЕТ. 0,184.

59. Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0,8, 0,7 и 0,6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу.

Решение. Введем событие X = (Хотя бы один учащийся решит задачу) и противоположное ему X* = (Ни один учащийся не решит задачу). Введем вспомогательные события: A1 = (Первый учащийся решил задачу), A2 = (Второй учащийся решил задачу), A3 = (Третий учащийся решил задачу), вероятности P (A1 ) = 0,8 , P (А2 ) = 0,7 , P (А3)) = 0,6 . Выразим событие X*=A1* A2* A3* . Считаем вероятность как вероятность произведения независимых событий: Р(Х*) = (1- 0,8)( 1 - 0,7)( 1- 0,6) = 0, 2* 0,3* 0,4 = 0,024.

Тогда вероятность искомого события P (X)= 1- P( X*) = 1 - 0,024 = 0,976 . ОТВЕТ. 0,976.

60. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет пять раз. Найдите вероятность того, что он попадет в мишень ровно один раз.

61. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда "Белые" по очереди играет с командами "Красные", "Синие", "Зеленые". Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трёх право первой владеть мячом получит команда "Белые".

Решение: Составляем список всех возможных исходов в этих трёх играх с "Красными" (К), "Синими" (С) и "Зелеными" (З).
П - первая владеет мячом, Н - нет.

ППП ППН ПНП НПП ПНН НПН ННП ННН

и смотрим, в сколько из них содержится ровно 2 раза П, т.е. ровно в двух матчах команда "Белые" будет первой владеть мячом.
Таких вариантов 3, а всего вариантов - 8. Тогда искомая вероятность равна 3 / 8 = 0,375. Ответ: 0,375

62. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая - 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая - 1% . Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.

Решение: Вероятность того, что стекло куплено на первой фабрике и оно бракованное: 0,45 · 0,03 = 0, 0135

Вероятность того, что стекло куплено на второй фабрике и оно бракованное: 0,55 · 0,01= 0,0055

По формуле полной вероятности вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным равна 0,0135 + 0,0055 = 0,019. Ответ: 0,019