Конспект внеклассного урока по математике Системы счисления (5 класс)

Конспект внеклассного урока «Системы счисления», 5 класс

Цели:

- изучить историю возникновения чисел (римские, арабские цифры);

- усвоить понятие системы счисления;

- изучить двоичную и десятичную системы счисления;

- научиться переводить числа из десятичной системы счисления в двоичную и наоборот;

- научиться применять для решения задач знания о способах перевода чисел;

- развитие познавательного интереса, творческой активности учащихся, навыков коллективной работы.

Задачи:

Обучающие:

- изучение темы «Двоичные и десятичные числа, системы счисления, перевод чисел из одной системы счисления в другую, сложение и вычитание двоичных чисел»;

- стимулирование интереса к теме через интересные задания.

Развивающая:

- развитие логического мышления, памяти, внимательности;

- развитие навыков коллективной практической деятельности.

Воспитывающая:

- формирование навыков самоорганизации и самоконтроля;

- способствовать формированию толерантного отношения к одноклассникам

Тип урока: изучение и закрепление новой темы.

Формы и методы обучения: словесный, наглядный, практический - работа в команде.

Общее время: 90 минут.

Оборудование: комплекс мультимедиа (ПК, интерактивная доска, проектор); ноутбук учителя; компьютерная презентация «История чисел, системы счисления, перевод чисел из одной системы счисления в другую», компьютерная презентация для конкурсной игры, видео-урок по изучаемой теме; задания, созданные с помощью программных средств, листы для жеребьёвки, медали для команды победителей, музыкальное сопровождение.

План урока

1. Организационный момент. Приветствие учащихся(1 мин)

2. Мотивационное начало урока . Постановка целей урока(2 мин)

3. Деление класса на команды путём жеребьёвки со считалочкой.

Изучение новой темы в игре-викторина «Волшебные числа» (70 мин), (в перерыве физкультминутка (10 мин.))

4. Подведение итогов урока. Награждение команды победителей (7 мин)

Ход урока

1. Организационный момент.

Для урока выведена на интерактивную доску ( презентация в PowerPoint «Двоичные и десятичные числа, системы счисления, перевод чисел из одной системы счисления в другую, сложение и вычитание двоичных чисел». Учитель приветствует детей.

2. Мотивационное начало урока.

Учитель. Не из учебника задача,

А по трудней открылся шифр.

Ребята поняли, что значат

Простые с виду десять цифр.

Да, путь познания не гладок,

Но знайте вы со школьных лет:

Загадок больше, чем разгадок,

И поискам предела нет!

Сегодня мы узнаем историю чисел, системы счисления, научимся переводить числа из одной системы счисления в другую. Закрепим получение знания в командной игре-викторине, победит команда, набравшая наибольшее количество баллов.

3. Деление класса на команды путём жеребьёвки со считалочкой

Учители подходят к учителю и берут завернутые билетики:

На билетах буквы А, О, С

Учитель читает считалочку:

Белка по лесу бежала

И орешки собирала

В чём же белкин интерес?

Выходи на букву С.
Буква С не подошла -
Выходи на букву А.
Буква А ушла в кино,
Выходи на букву О.
Буква О кончается -
Игры начинаются».

Команды формируются по буквенной принадлежности, в каждой команде выбираем капитана.

На интерактивную доску выводим слайд - на нём три белочки - для каждой команды:

А - Артистичная

О - Озорная

С - Солнечная

Также на слайде изображены склады орехов грецких (стоимость одного ореха 5 баллов) и кокосовых (стоимость одного ореха 10 баллов).

Объявляем правила игры - викторины: решаем задания, капитан команды, которая справилась с заданием поднимает руку - отвечает; если ответ верный - получает орех(и) в зависимости от стоимости задания, если ответ не верный - отвечает другая команда.

3. Изучение новой темы в игре-викторине «Волшебные числа»

Как мы считаем и записываем числа

Мы привыкли считать десятками. Степени десяти - числа десять (10¹), сто (10²), тысяча (10³), миллион (10⁶) мы воспринимаем как круглые, особенно удобные для счета.

Такой способ счета и такое восприятие круглых чисел сложились исторически и связаны в первую очередь с анатомическими особенностями человека. У человека на руках 10 пальцев, а поскольку пальцы были первым естественным счетным приспособлением, то число 10 утвердилось в качестве основы для счета. Возможно, если бы мы имели по 6, а не по 5 пальцев на каждой руке, то в основе счета оказалось бы число 12.

Способ счета еще не определяет правил записи чисел. Например, широко известный римский способ записи чисел тоже основан на счете десятками, но римская запись сильно отличается от обычной. И дело даже не в том, что в римской записи для записи чисел используются не специальные символы - цифры, а буквы латинского алфавита. (рис.1,2) Главное свойство римской записи заключается в том, что в ней каждый символ всегда обозначает одно и то же число. Например, XX в римской записи обозначает 20, CCC - 300 и т.д. Такая система называется непозиционной.

Рис. 1 Рис.2

В привычном нам способе записи одна и та же цифра обозначает разные значения в зависимости от того, на каком месте (в какой позиции) числа она стоит. Например, в числе 777 первая семерка обозначает 700, вторая - 70, а третья - 7. Подобная система записи называется позиционной.

Правила записи чисел десятичной системы счисления

Привычная нам система записи чисел называется десятичная позиционная система. Слово позиционная показывает, что значение каждой цифры зависит от ее положения в числе, слово десятичная - что в основе системы лежит число десять.

Рассмотрим правила записи чисел в десятичной системе более подробно. Записывая число, мы фактически представляем его в виде суммы степеней числа 10 - основания системы счисления. Например, запись 1998 означает сумму одной тысячи, девяти сотен, девяти десятков и восьми единиц. Это можно записать так:

1998 = 1*10³ + 9*10² + 9*10¹ + 8*10⁰

Последняя цифра любого числа - это количество единиц, вторая с конца - количество десятков и так далее. Каждая цифра имеет тем больший вес, чем дальше от конца она находится.

При делении числа на 10 в остатке получается его последняя цифра, а в частном - все число без последней цифры. Повторяя такое деление многократно, мы можем получить все цифры числа

Системы счисления

Способ записи чисел называют системой счисления.

Ученое слово счисление, созвучное со словом "вычисление", уже означает "способ записи чисел". Но математикам показалось, что фраза система счисления звучит лучше. Ничего, освоим и мы этот термин из двух слов! А теперь давайте разберемся с той системой счисления, к которой привыкли.

Десятичная системы счисления, перевод

На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они отличали друг от друга совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая большее число предметов, объединялась в понятии «много». Это был еще не счет, а лишь его зародыш.

Особо важную роль играл природный инструмент человека - его пальцы. Этот инструмент не мог длительно хранить результат счета, но зато всегда был «под рукой» и отличался большой подвижностью. Поэтому, вполне естественно, что вновь возникавшие названия «больших» чисел часто строились на основе числа 10 - по количеству пальцев на руках.

Представьте себе, что на какое-то первобытное племя напали разбойники, и вождь племени посылает человека, чтобы этих разбойников подсчитать. Когда человек прибудет на место, он начнёт считать на пальцах. Увидел разбойника, загнул палец, увидел, загнул ещё один. Предположим, что разбойников оказалось 8, но наш человек цифр ещё не знает, поэтому он не может сказать, что их было 8. Он просто подойдёт к вождю покажет ему вот столько пальцев и скажет: их было столько.

Но что делать нашему человеку, если их окажется больше 10, например 15. Ему не хватит пальцев. Он загнет 10 пальцев, а потом будет вынужден прибегнуть к следующему приёму: десяток нужно обозначить каким-нибудь предметом, например грецким орехом. То есть он может положить себе где-нибудь грецкий орех и разогнуть пальцы назад. Затем продолжить счёт досчитать разбойников загнуть ещё 5 пальцев. Вождю он покажет орех и 5 пальцев. И вождь поймёт о чём идёт речь. И так:

10 пальцев = 1 орех, а

10 орехов = 1 ананас

Один орех будет означать один десяток, а один ананас будет означать сотню.

Таким образом, число 2 ананаса, 3 ореха, 4 пальца запишется нами 234. Оно содержит 2 сотни, 3 десятка и 4 единицы.

Число 234 можно записать как

234 = 4+ 30+200 или

234 = 4+3*10+2*100 или

234=4+3*10¹+2*10²

т.е первый разряд единицы не умножается на 10 ни в какой степени, так и записывается 4, у нас 4 единицы. Второй разряд десятки умножаются на 10¹ и третий разряд сотни на 10²

Цифры 10 в десятичной системе счисления не существует. 10 число, которое образуется из цифр 1 и 0.

Двоичная система счисления, перевод

Познакомимся поближе с двоичной системой счисления.

Двоичные числа - числа в двоичной системе счисления. В их записи используются две цифры: 0 и 1.

Развернутая форма записи двоичного числа - это его представление в виде суммы степеней двойки, умноженных на 0 или на 1.

Сделаем перевод числа 10101₂ в десятичную систему счисления.

Для этого выполним поразрядную запись числа.

Первый разряд единицы, поэтому так и записываем 1 ни на что не умножаем.

Цифра второго разряда 0 умножаем её на два в первой степени.

Третий разряд 1 умножаем на два во второй степени.

Цифра четвёртого разряда 0, умножаем на два в третьей степени.

И, наконец, цифра пятого разряда 1, умножаем на два в четвёртой степени.

Сложив числа, полученные в поразрядной записи, получим 21₁₀.

Т.е 10101₂=21₁₀.

Пример: Число 11101000₂ перевести в десятичную систему счисления:

11101000₂= 1·2⁷ + 1·2⁶ + 1·2⁵ +0·2⁴ + 1·2³+0·2²+0·2¹+0·2⁰=232₁₀

Для перевода десятичного числа в двоичную систему его необходимо последовательно делить на 2 до тех пор, пока не останется остаток, меньший или равный 1. Число в двоичной системе записывается как последовательность последнего результата деления и остатков от деления в обратном порядке.

Пример: Число 22₁₀ перевести в двоичную систему счисления:

22₁₀=10110₂

В двоичной системе счисления можно выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления. Рассмотрим эти операции:

Сложение в двоичной системе счисления.

Чтобы правильно сложить,
Надо правильно дружить.
Если ссора иль сраженье,
Не получится сложение.

Запишем правило выполнения в двоичной системе счисления арифметического сложения одноразрядных чисел:

0+ 0 = 0; 1+ 0 = 1; 0+ 1 = 1; 1+ 1 = 10. И рассмотрим примеры.

Вычитание в двоичной системе счисления.

Проходила наша Таня
С малышами вычитанье.
Вычитанье как понять?
Надо что-нибудь отнять:
У Иришки - орешки,
У Аришки - матрешку,
У Андрюшки - новый мяч,
Во дворе и вой, и плач.
Получается ответ:
Игрушки есть - подружек нет!

Исходя из того, что вычитание есть действие, обратное сложению, запишем правило арифметического вычитания одноразрядных чисел в двоичной системе счисления:

0 - 0=0; 1 - 0=1; 1 - 1=0; 10 - 1=1.

2. Игра-викторина «Волшебные числа»

Задание 1

Оценивается 1 грецким орехом

Перевести из десятичной системы счисления в римскую:

18, 31,46,695,749,1909,1999,1984 (Ответ: XVIII, XXXI, XLVI, DCXCV, DCCIL,

MCMIX, MIM, MCMLXXXIV)

Задание 2

Оценивается 1 грецким орехом

Может ли существовать следующие числа в двоичной системе счисления: 1111,20011,10000001. Переведите их в десятичную систему счисления. (Ответ: 15,128)

Задание 3

Оценивается 1 кокосовым орехом

Бывает ли такое?

10 100 детей

В классной комнате моей.

Я одна на всех учитель,

Классный их руководитель.

Каждый был десятиногий

И ходил так на уроки.

Каждый день по 100 занятий

Было в расписании.

Зная это, улыбались

Мальчики заранее!

Всего … 10 математик

И, конечно, чтение:

«Ах, какое удовольствие

Такое обучение!»

10 рук достали книжку

И читают про зайчишку:

«У зайца лапок было 100,

А ушек меньше вдвое…»

Совсем не понимаю я,

Бывает ли такое?

Помогите разобраться,

Что с числами случилось?

Может, стих мой перепутан?

А может, школа изменилась?

(Агалетдинова Т.Ю.)

Ответ:

1. 10100 детей

2. 10 ног, рук, уроков математики

3. 100 занятий

Как вы думаете, в какой системе счисления записаны эти числа? (двоичной)

Давайте представим каждое число в развернутой форме, а потом выполним сложение.

ПРАВИЛО: При переводе числа из любой системы счисления в 10-ю систему, исходное число надо записать в развёрнутой форме и посчитать "вес" числа.

101002=1*2⁴+0*2³+1*2² +0*2¹+0*2⁰=20₁₀

10₂=1*2¹+0*2⁰=2₁₀

100₂=1*2² +0*2¹+0*2⁰=4₁₀

Теперь прочитайте стихотворение, подставив полученные числа.

Задание 4

Один вопрос оценивается одним грецким орехом.

1. Запишите арабскими цифрами числа:

XXII, XXXIV, DXIV, MDCLXVI DMIX (Ответы: 22, 34, 514, 1666, 500009).

2. Запишите римскими цифрами числа:

24, 48, 1937, 444, 3527 (Ответы: XXIV, XLVIII, MCMXXXVII, CDXLIV, MMMDXXVII).

3. В одной книге указан такой год издания MDCCXLIX. Когда издана книга? 1749г.

4. Тройка лошадей пробежала XXX км. Сколько км пробежала каждая лошадь?

5. Оцените на глаз расстояние от одной стены комнаты до другой в сантиметрах. Ответ запишите с помощью римских цифр.

6. Названия каких литературных произведений начинаются с чисел III, XII, XX, LXXXM?

Задание 5

Оценивается 1 грецким орехом 1 задание

Перевести из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления:

1) ответ

2) ответ

3) ответ

4) ответ

5) ответ

6) ответ

7) ответ

Задание 6

Оценивается 1 грецким орехом и одним кокосовым

Переведите числа из двоичной системы в десятичную и расположите значения в таблице. Если получился магический квадрат, то вы выполнили правильно.

1. 6)

2. 7)

3. 8)

4. 9)

5. 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Ответ:

8

1

6

3

5

7

4

9

2

Задание 7

Оценивается 1 кокосовым орехом

Расположите числа по возрастанию:

+, +, , , , ,

-,

Ответ: 3,5,8,16,18,37,38,41

, +, ,,, ,

+

Задание 8

Оценивается 1 грецким орехом 1 задание

Выполните сложение в двоичной системе счисления и переведите результат в десятичную систему счисления:

а) 0010001+1011101 ответ: 110

б) 11111111+11111111 ответ: 510

в)11011101+10101110 ответ: 395

г)01101111+1100011 ответ:210

Задание 9

Оценивается 1 грецким орехом 1 задание

Выполните вычитание в двоичной системе счисления и переведите число в десятичную систему счисления:

А) 111-101 ответ:2

Б) 11011-01110 ответ:13

В) 10011010-1100101 ответ:53

Г) 10101010-01010101 ответ: 85

Задание 10

Оценивается 2 кокосовыми орехами

Установите соответствие:

В двоичной системе: в десятичной системе:

а) 1010001+1001 1) 148

б) 10101-101 2) 62

в) 10101+101001 3)164

г) 10101001-101 4) 38

д) 1010001-1001 5) 72

е)1011101+110111 6) 90

ж)1011101-110111 7) 16

Ответ: а- 6,б-7 ,в-2 ,г-3 ,д-5 ,е-1 ,ж-4 .

Задание 11

Оценивается 1 кокосовым орехом

Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:

а) 110 ? 11 ? 100 =111 ;

б) 1100 ? 10 ? 10 =1000;

в) 1100 ? 10 ? 10 =1100;

г) 110 ?10 ? 10 =1010;

д) 1000 ? 11 ? 10 =11.

Ответ: а) 110-11+100 =111 ;

б) 1100-10-10 =1000;

в) 1100-10+10 =1100;

г) 110+10+10 =1010;

д) 1000-11-10 =11.

Задание 12

Оценивается 1 кокосовым орехом

Выпишите целые числа, которые больше 1011012, но меньше 1100002 в двоичной системе;

Ответ: 101101,101110,101111,110000

Задание 13

Оценивается 1 кокосовым орехом 1 задание

Вычислите выражение в двоичной системе счисления

а) 110+(101-11)

б) 1110-(101+100)

в) 1011-101+1110

Ответ: а)1000, б)101 в)10100

5. Итог урока

Рефлексия:

- Что мы изучили?
- Какое задание было самым интересным?
- Какое задание, по вашему мнению, было самым сложным?
Подсчет баллов.

Награждение команды победителей медалями.

Вы сидели и считали,
И, надеюсь, не скучали.
Но закончилась игра -
Расставаться нам пора,
И давайте на прощание
Скажем дружно…

ДО СВИДАНИЯ!

19