Урок по теме Решение уравнений, сводящихся к квадратным

Конспект урока по алгебре «Решение уравнений, сводящихся к квадратным»

Алгебра 8 и 9 классы. УМК: Ю.М.Колягин, Ю.В.Сидоров и др.

Погребняк Татьяна Николаевна Учитель математики ГБОУ лицея № 408 Пушкинского района Санкт-Петербурга 2014 - 2015 учебный год

ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ:

• Учебник алгебры 8 класс. Ю.М.Калягин,Ю.В.Сидоров и др.Изд. Просвещение

• М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре 8 - 9. Изд. Просвещение.

• Л.А.Жигулёв, Н.А.Зорина. Алгебра. 9 класс. Государственная итоговая аттестация. Изд. СМИО Пресс, Санкт- Петербург.

Тема урока: «Решение уравнений, сводящихся к квадратным»

Урок закрепления изученного.

Цель: Дидактическая - формирование у учащихся умения решать биквадратные уравнения и некоторые виды уравнений с неизвестным в знаменателе, приводящиеся к квадратным.

Развивающая - развитие логического мышления, формирование потребности приобретения новых знаний.

Воспитательная - развитие аккуратности, трудолюбия, воспитание уважения друг другу, взаимопонимания, уверенности в себе, самостоятельности.

« То, что я понял - превосходно. Думаю, таково же и то, чего я не понял»

Сократ

Учитель

Ученик

Доска

Актуализация знаний:

1. Устно:

А) Запишем тождество для любого числа α

α - α² = α - α²

Вынесем α в левой части за скобку, а правую часть разложим по формуле разности квадратов:

α (α - α) = (α - α)(α + α)

Разделим обе части равенства на выражение

α - α, получаем

α = α + α, или

α = 2α

«Сокращение» уравнений на общий множитель зачастую приводит либо к потере корней уравнения, либо к приобретению посторонних корней, либо вообще к бессмыслице, ярким представителем которой является данный софизм.

Нарушение свойства уравнения:

Деление обеих частей уравнения на выражение, равное нулю.

α - α = 0

α - α² = α - α²

α (α - α) = (α - α)(α + α) !?!

α = α + α

α = 2α

Софизм (от греч. Sophisma - уловка, выдумка, головоломка) - мнимое доказательство, в котором обоснованность заключения кажущаяся, порождается чисто субъективным впечатлением, вызванным недостаточностью логического или сематического анализа.

Гарднер:

Математический софизм - удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

2. Задания по карточкам:

Перед Вами на листе слева написаны уравнения, а справа способы решения уравнений. Свяжите уравнение с наиболее рациональным способом решения.

1. х² + 4х - 5 = 0

2. 2х² - 5х + 3 = 0 Теорема обратная

3. х² - 6х = 0 теореме Виета.

4. х² + 24 = 0 Введение новой

5. х⁴ - 10х² + 25 = 0 переменной.

6. 4х² + х - 3 = 0 Формула дискрими-

нанта.

Вынесение общего

множителя за

скобки.

1. х² + 4х - 5 = 0

теорема обратная теореме Виета,D

2. 2х² - 5х + 3 = 0

D:2, теорема обратная теореме Виета (3/2; 1). Свойство: если сумма коэффициентов равна 0, то один корень равен 1.

3. х² - 6х = 0

вынесение общего множителя за скобки

4. х² + 24 = 0

действительных корней нет

5. х⁴ - 10х² + 25 = 0

введение новой переменной

6. 4х² + х - 3 = 0

D.

1. х² + 4х - 5 = 0 Теорема обратная

2. 2х² - 5х + 3 = 0 теореме Виета.

3. х² - 6х = 0 Формула дискрими-

нанта.

4. х² + 24 = 0 Вынесение общего мно-

жителя за скобки.

5. х⁴ - 10х² + 25 = 0 Введение новой

переменной.

6. 4х² + х - 3 = 0

Есть ли на Ваш взгляд, уравнения, которые можно решить разными способами?

Да: 1; 3; 6.

Перейдём к решению уравнений самостоятельно с последующим разбором на доске.

А) 10 - 8 = 1;

Х-3 х

Б)4х⁴ + 20 х² + 25 = 0

Один ученик записывает и рассказывает о своём способе решения уравнеия.

А)10 - 8 = 1, х≠3; х≠0.

Х- 3 х

10х - 8(х - 3) - х(х-3) = 0

(х - 3)х

10х - 8х + 24 - х² + 3х = 0

х² - 5х - 24 = 0,

х₁ + х₂ = 5

х₁∙х₂ = - 24

х=8, х= - 3

Ответ: -3; 8.

Б) 4х⁴ + 20х² + 25 = 0

1 способ: (2х² +5)² = 0

2х² + 5 = 0

Корней нет.

2 способ: D =10² -4∙25 = 0

4

(х²) ₁,₂ = -10

4

Корней нет.

3 способ: D= 20² - 4∙20∙25 = 0

(х²) ₁,₂ = -20

8

Корней нет

4 способ: введение новой переменной.

Ответ: действительных корней нет.

Рассмотрим способы решения уравнения:

2t² - 5t + 2 = 0

Произведение корней равно 1, значит корни взаимно обратные числа.

Свойства уравнения: деление и умножение на выражение ≠0.

2t² - 5t + 2 =0

D :2 ∙2

t² - 5t + 1 = 0 2t² - 5t +2 = 0 I∙2

2 (2t)² - 5(2t) +4 = 0

(2t₁) + (2t₂) = 5

(2t₁)∙(2t₂) = 4

2t =1, 2t = 4

t = ½ , t = 2

Ответ: t=1/2 , t=2

Итоги урока:

- перечислите приёмы, которые успели повторить на уроке для решения квадратных уравнений.

Домашнее задание: решите уравнения

А) 6х² = 5х + 1

Б) 3х² - 5х = - 4 (умножением обеих частей уравнения на старший коэффициент)

В) 2(х² - 2х)² - 5х² + 10х + 2 = 0 (посмотрите внимательно на данное уравнение и последнее, решенное нами)

Литература: 1) Учебник алгебры 8 класс. Ю.М.Калягин,Ю.В.Сидоров и др.Изд. Просвещение

2) М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман, Л.И.Звавич. Сборник задач по алгебре 8 - 9. Изд. Просвещение.

3) Л.А.Жигулёв, Н.А.Зорина. Алгебра. 9 класс. Государственная итоговая аттестация. Изд. СМИО Пресс,

Санкт-Петербург.