Элементарные и опорные задачи по теме «Треугольники»

Какой бы путь решения не был выбран, успешность его использования зависит, естественно, от знания теорем и умения их применять.

В теоретическую часть школьного курса геометрии включены в основном теоремы, работающие на сам этот курс, необходимые для дальнейшего развития. Многие теоремы, областью приложения которых является задачи, а не теория, из курса исключены. В связи с этим возникает необходимость возникает необходимость в выделении некоторого количества, так называемых, опорных задач, дополнительных к курсу теории. Учащийся большей частью заняты изучением конкретной темы и решением задач по этой теме. Времени на то, чтобы порешать задачи по всему курсу геометрии в целом, практически не остается.

В отличие от школьного курса предлагаемая последовательность изучения задачного материала определяется не тематикой и соответствием порядку изложения в учебнике, а уровнем сложности задач и степенью их стандартности.

Треугольники.

Произвольный треугольник (а, в, с - стороны; ,, - противолежащие им углы, р - полупериметр, R - радиус описанной окружности, r - радиус вписанной окружности, S - площадь, h_a - высота, проведенная к стороне а)

(1); (2);

(3); (4); (5);

а²=в²+с²-2вс cos (теорема косинусов) (6);

(теорема синусов) (7)

8) три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

9) Длина медианы треугольника выражается формулой: m_a=

10) Длина стороны треугольника выражается формулой: а=

11) Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

12) Длина биссектрисы треугольника выражается формулой:

13) Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон а, в, с по формуле

14) Для всякого треугольника зависимость между его высотами h_a, h_b, h_c и радиусом r вписанной окружности выражается формулой:

15) пусть известны длины двух сторон в и с треугольника АВС, и угол А, образуемый ими, тогда длина биссектрисы AD треугольника, проведенной из вершины этого угла выражается формулой

16) Определение вида треугольника по его сторонам (а,в,с - стороны, с - наибольшая)

а) если с²<а²+в², то треугольник остроугольный;

б) если с²=а²+в², то треугольник прямоугольный;

б) если с²>а²+в², то треугольник тупоугольный.

Надо научить школьников решать базисные задачи, т.е. которые входят как составные элементы во многие другие задачи.

Задача: стороны треугольника равны а, в, с. Вычислить медиану m_с, проведенную к стороне С.

Решение.

Удвоим медиану, достроив ∆АВС до параллелограмма АСВР и применим к этому параллелограмму теорему: d₁² + d₂²= 2а² + 2в², получим:

СР² + АВ² = 2АС² + 2ВС², т.е. (2m_с)² + С² = 2в² + 2а²

Замечание: при решении часто приходится делать дополнительные построения:

а) Проведение прямой, параллельной или перпендикулярной одной из имеющихся на рисунке.

б) удвоение медианы треугольника, чтобы достроить треугольник до параллелограмма.

в) проведение вспомогательной биссектрисы. и т.д.

Задача: В треугольнике АВС стороны АВ и ВC равны, ВН - высота. На стороне ВC взята точка D так, что ВD/ CD =. В каком отношении отрезок AD делит высоту ВН?

Замечание: Если в задаче требуется найти отношение каких-либо величин, то, как правило, она решается методом вспомогательного параметра. В начале решения задачи какая-либо величина принимается как известная; обозначив ее, например, буквой а, выражают через а те величины, отношения которых требуется найти. Тогда при составлении искомого отношения вспомогательный параметр а сократится.

Решение.

1. Пусть BD = а, тогда CD = 4a, АВ = 5а.

2. Проведем НК॥ AD, т.к. НК - средняя линия треугольника ADC, то DK =KC=2a.

3. ∆ВНК. Имеем: BD=a, DK = 2a, МD॥НК, По теореме Фалеса: , но , значит

Задача: Определите вид треугольника и найдите косинус наибольшего угла треугольника, если его стороны равны: а) 6, 7, 9, б) 7, 24, 25, в) 23, 25, 34.

Решение.

а)9²=81

6²+7²=36+49=85

9²>7² остроугольный треугольник cos =

б) прямоугольный, т.к. 25²=7²+24²

в) тупоугольный, т.к. cos = -

Задача: В треугольник со сторонами 10, 17, 21 см. вписан прямоугольник так, что две его вершины на одной стороне треугольника, а две другие - на двух других сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника, если известно, что его периметр равен 22,5 см.

Решение.

Можно ли вписать прямоугольник и как?

1. Определим вид треугольника: 10² = 100, 17² = 289, 21² = 441.

21²>10² + 17² => треугольный, а, значит, вписать в него прямоугольник можно только одним способом - расположить две вершины на большей стороне.

2. Найдем HB.

h_b =

HB== 8(см)

3. Пусть ED = х, тогда EF = 11,25-x , BF = 8-x

∆BEF  ∆ABC, значит, (отношение соответственных высот равно коэффициенту подобия) ; х=6.

Стороны прямоугольника 6 см. и 5,25 см.

Задача: В треугольнике АВС известно, что угол АСВ, сторона ВС на 2 см. больше стороны АВ, а Ас = 5см. Найти АС и АВ?

Решение.

1. Проведем биссектрису АD угла САВ, получим, что  ВАD= DAC = ACB.

2. ∆АDC - равнобедренный => AD = DC.

3. Пусть АВ = х, AD=DC=y, тогда ВС = х + 2, BD = х + 2 - у.

4. ∆ ADB  ∆ABC, т.к. В - общий, BAD=BCA

, .

5. Составим систему:

или

5y-10 = 2y,

3y=10

y=

; 3x=2x+4; x=4

Ответ: АВ = 4см, ВС = 6см.

Замечание:

Если ∆АВС∆DEF, то выполните следующее:

1. Загоните стороны одного треугольника в числители:

2. соответственными сторонами считаются те, которые лежат против равных углов: AB и DE, BC и DF.

Задачи для самостоятельного решения.

1. определите вид треугольника (задача решена)

2. В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины АВ и ВС, равен 3, стороны АВ = 7, угол С = 60⁰. Найти сторону ВС.

3. В треугольнике АВС известны стороны АС = 2, АВ = 3, ВС = 4. Пусть BD - высота этого треугольника ( D - на стороне АС). Найти длину отрезка CD.

4. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 6 проведана медиана к большей стороне. Определите косинус угла, образованного медианой с меньшей стороной треугольника.