О математике Древнего Китая

О математике Китая

Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II тыс. до н.э. Сохранились обозначения цифр на гадательных костях животных ХIV в. до н.э. Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., и начертание их окончательно установилось к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Китайский способ записи чисел изначально был мультипликативным. Например, запись числа 1946, используя вместо иероглифов римские цифры, можно условно представить как 1М9С4Х6. Вычисления производились на специальной счетной доске суаньпань, по принципу использования аналогичной русским счётам. Ноль сначала обозначался пустым местом, специальный иероглиф появился около XII века н. э. Для запоминания таблицы умножения существовала специальная песня, которую ученики заучивали наизусть.

Среди важнейших достижений китайской математической мысли отметим следующие: правило двух ложных положений, введение отрицательных чисел, десятичных дробей, методов решения систем линейных уравнений, алгебраических уравнений высших степеней и извлечения корней любой степени.

Сведения о математических познаниях китайцев в древности крайне скудны и разрозненны. Самым ранним математическим сочинением, если не считать трактата очжоу-би (солнечных часах), называют трактат «Математика в девяти книгах». Считается, что это сочинение появилось как своеобразный итог математических достижений Китая к началу нашей эры. Известно даже имя автора, государственного деятеля и ученого Чжан Цаня (152 до н. э.), собравшего и систематизировавшего все известные к его времени математические знания. Вместе с тем признается, что «Математика в девяти книгах» неоднократно подвергалась переработкам и дополнениям: в I веке до н. э. этим занимался Гэн Чоу-чан, в III веке н. э. - Лю Хуэй, в VI - Чжень Луань, и в VII - Ли Чун-фэн. Были и другие.

В результате трактат приобрел вид своеобразной математической энциклопедии с неоднородным содержанием. В VII-Х веках он сделался основным учебником для поступающих на государственную службу и классическим сочинением, на который опирались ученые-математики в своих исследованиях. И эта дата тоже сомнительна, но согласимся с тем, что это памятник Х века.

Книги, составляющие трактат, имели вид отдельных свитков. Они посвящены различным темам, преимущественно практического характера. Различие объясняют тем, что разные книги предназначались для чиновников разных ведомств: землемеров, инженеров, астрономов, сборщиков налогов и т. п. Позднейшие дополнения вносились в книги не по признаку математической общности, а по единству темы. То есть это некоторая солянка сборная из сведений, неизвестно откуда взявшихся.

Изложение - догматическое: формулируются условия задач (всего 246 задач) и даются ответы к ним. После группы однотипных задач приводится алгоритм их решения, состоящий или из общей формулировки правила, или из указаний последовательных операций над конкретными числами. Объяснений, определений, доказательств нет. То есть это справочник, не показывающий, на основании каких работ он составлен.

Книга первая называется «Измерение полей». Единицей измерения служит прямоугольник со сторонами 15 и 16 бу (то есть шагов, приблизительно равных 133 сантиметрам). Площади прямолинейных фигур вычисляются верно. При вычислении площадей круга, сектора и кольца принимается, что число «пи» = 3. Площадь сегмента вычисляется как площадь трапеции, большее основание которой совпадает с основанием сегмента, а меньшее основание и высота - каждое равно высоте сегмента.

Книга вторая - «Соотношение между различными видами зерновых культур»,

В четвертой книге вначале речь идет об определении стороны прямоугольника по данным площади и другой стороне. Затем излагаются правила извлечения квадратных и кубических корней, нахождения радиуса круга по его площади. Правила сформулированы специально для счетной доски. Подкоренное число делится на разряды соответственно по 2 или по 3 знака, затем последовательно подбирается очередное число корня и дается правило перестройки палочек на счетной доске.

В книге пятой, «Оценка работ», собраны задачи, связанные с расчетами при строительстве крепостных стен, валов, плотин, башен, ям, рвов и других сооружений. При этом вычисляются как объемы различных тел, так и потребности в рабочей силе, материале, транспортных средствах при различных условиях.

Книга шестая, «Пропорциональное распределение», начинается группой задач о справедливом (пропорциональном) распределении налогов. Математические методы здесь те же, что в книге третьей, где речь шла о распределении доходов между чиновниками различных классов, - пропорциональное деление, простое и сложное тройное правило. Кроме того, в шестую книгу входит серия задач на суммирование отдельных арифметических прогрессий и задач на совместную работу лиц с разной производительностью.

«Избыток-недостаток» - так называется седьмая книга. В ней подобраны задачи, приводящиеся к линейным уравнениям и их системам, и разработан способ их решения, совпадающий с методом двух ложных положений. Задачи и в этом случае накапливались в возрастающей степени трудности. Метод тоже еще не сформулирован четко и имеет много разновидностей частного характера.

Практическую основу последней книги «Математики в девяти книгах» составляют задачи определения недоступных расстояний и высот с помощью теоремы Пифагора и свойств подобных треугольников.

Я остановилась так подробно на обзоре содержания «Математики в девяти книгах» потому, что это сочинение является самым значительным и даже, пожалуй, единственным крупным памятником древней китайской математики. И зная любовь китайцев к своим приоритетам и стремление все свое объявлять древним, полагаем, что он был создан позже прихода европейцев в Китай.

Классическая «Математика в девяти книгах».

«Математика в девяти книгах» (Цзю чжан Суань шу) - центральное сочинение математического «Десятикнижья». Самое большое по объёму и самое содержательное, оно является одним из замечательных памятников древнего Китая времени династии Ранней Хань (206 г. до н.э. - 7 г.н.э.), правившей в одной из обширных и могущественнейших империй древнего мира.

Математический материал: правила действия дробями, алгоритм Евклида, пропорции и прогрессии, правила извлечения корней, вычисление различных площадей и объёмов, теорему Пифагора и применение подобия прямоугольных треугольников, формулы для пифагоровых чисел, вопросы практической геометрии, решение системы линейных уравнений и т.д.

Сочинение состоит из девяти довольно самостоятельных книг:

книга I «Измерение полей»;

книга II «Соотношение между различными видами зерновых культур»;

отражает старинную практику взимания налогов зерном, измеряемым в объемных мерах, и расчетов при переработке этого зерна. Математические задачи, возникающие при этом, - это задачи на тройное правило и пропорциональное деление. Ко второй книге была позднее добавлена группа задач на определение стоимости предметов, число которых берется как целое, так и дробное.

книга III «Деление по ступеням»;

книга IV «Шао-гуан» (метод извлечения квадратных кубических корней);

книга V «Оценка работ»;

книга VI «Пропорциональное распределение»;

книга VII «Избыток-недостаток»;

книга VIII «Правило фен-чен»;

книга IX «Соотношение между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике».

«Математика в девяти книгах» является первым собственно математическим сочинением из ряда классических в древнем Китае.

2. Сочинение Лю Хуэя по практической геометрии.

Лю Хуэй, математик III в. н.э., известен как основной комментатор «Математики в девяти книгах». Он обозначил метод решения - чжун-ча, т.е. «двухсловная разность» в самостоятельном трактате - « Математический трактат о морском острове». Этот трактат содержит девять задач. Они, по-видимому, сыграли большую роль в науке.

3. Метрологический трактат Сунь-цзы.

Историки установили, что это сочинение не принадлежит знаменитому древнекитайскому полководцу V в. до н.э. Сунь-цзы. Композиция: три книги-цзюня содержит 64 задачи.

4. Математический трактат Чжан Цю-цзяня.

Этот трактат написан примерно через 200 лет после написания «Метрологический трактат Сунь-цзы». Математический трактат Чжан Цю-цзяня - второй по размеру текст в «Десятикнижьи» после «Математики в девяти книгах». Он состоит из трёх книг: первой, средней, последней. Всего в них 92 задачи.

5. Практическое руководство для чиновников пяти ведомств.

Небольшой анонимный «Математический трактат пяти ведомств» относится приблизительно к IV в.

6. Арифметическое пособие Сяхоу Яна.

Текст относится к середине VI в. Трактат состоит из трёх книг, он выделяется особым стремлением к облегчению производства операций на счётном приборе. Всего 73 задачи, причём в первой книге нет задач.

7. Два трактата Чжень Луаня.

Чжень Луань жил в VI столетии н.э., был астрономом во время династии Северная Чжоу (557-583) и участвовал в состоянии календаря Тяньхе. Он изучил буддизм и написал «Трактат о весёлом пути» в трёх свитках. Чжень Луэнь - составитель и комментатор математического «Десятикнижья», автор одного из трактатов этого сборника: «Искусство счёта в Пятикнижие».

8. Трактат Ван Сяо-туна об уравнениях третьей степени.

Весь трактат в целом посвящён чётко одной проблеме - численному решению уравнений третьей степени, а также биквадратных уравнений. Он состоит из трёх групп задач. Ван Сяо-тун употреблял специальную терминологию, возможно принадлежащую ему или общеупотребительную в его время.

9. Трактат о гномоне.

«Математический трактат о Чжоу-би» - самый ранний текст из сохранившихся по истории китайской математики. Он состоит из двух свитков: верхнего и нижнего.

Таким образом, на протяжении пяти столетий были составлены и обработаны все десять трактатов математического «Десятикнижья».

Заключение

На основании всего вышеизложенного можно сделать вывод о том, что развитие математики в древнем Китае со II в. до н.э. по VII в.н.э. дало сильный толчок для дальнейшего её совершенствования и применение разработанных методов в будущем.