Методические указания для студентов специальности 270843

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ САМАРСКОЙ ОБЛАСТИ

ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум»

Методические указания для студентов

по выполнению практических занятий

ЕН.01 МАТЕМАТИКА

«математический и общий естественнонаучный цикл»

основной профессиональной образовательной программы

по специальности 08.02.09 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий

Сызрань, 2015

ОДОБРЕНО

УТВЕРЖДЕНО

предметной (цикловой) комиссией

Методическим советом

математических и общих естественнонаучных дисциплин

ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум»

Протокол № ______

Протокол № ______

от «___» _____________2015 г.

от «___» _____________2015 г.

Заместитель директора по учебной

Председатель: _____ Ю.Е.Кветкина

работе:____________Е.В.Вернер

Составитель: Разиева Т.С., преподаватель математики ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум»

Методические указания для выполнения практических занятий) являются частью основной профессиональной образовательной программы ГБПОУ «Сызранский политехнический техникум» по специальности 08.02.09 Монтаж, наладка и эксплуатация электрооборудования промышленных и гражданских зданий в соответствии с требованиями ФГОС СПО третьего поколения.

Методические указания по выполнению практических занятий адресованы студентам очной формы обучения.

Методические указания включают в себя учебную цель, перечень образовательных результатов, заявленных во ФГОС СПО третьего поколения, задачи, обеспеченность занятия, краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме, вопросы для закрепления теоретического материала, задания для практических занятий студентов и инструкцию по ее выполнению, методику анализа полученных результатов, порядок и образец отчета о проделанной работе.

СОДЕРЖАНИЕ

Название практических занятий

1

Действия над приближёнными значениями чисел

6

2

Исследование функции на непрерывность. Нахождение точек разрыва

10

3

Применение производной к исследованию функций

13

4

Нахождение дифференциала функции

17

5

Методы интегрирования

20

6

Вычисление различных величин с помощью определённого интеграла

24

7

Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными

30

8

Решение дифференциальных уравнений второго порядка

34

9

Геометрическая интерпретация комплексного числа

38

10

Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах

42

Введение

УВАЖАЕМЫЙ СТУДЕНТ!

Методические указания по дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА для выполнения практических занятий созданы Вам в помощь для работы на занятиях, подготовки к практическим занятиям, правильного составления отчетов.

Приступая к выполнению практического задания, Вы должны внимательно прочитать цель и задачи занятия, ознакомиться с требованиями к уровню Вашей подготовки в соответствии с федеральными государственными стандартами третьего поколения (ФГОС-3), краткими теоретическими и учебно-методическими материалами по теме практического задания, ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

В результате освоения дисциплины студент должен уметь:

• находить производную элементарной функции;

• выполнять действия над комплексными числами;

• вычислять погрешности результатов действия над приближенными числами;

• решать простейшие уравнения и системы уравнений.

В результате освоения дисциплины студент должен знать:

• основные понятия и методы математического анализа;

• методику расчета с применением комплексных чисел;

• базовые понятия дифференциального и интегрального исчисления;

• структуру дифференциального уравнения;

• способы решения простейших видов уравнений;

• определение приближенного числа и погрешностей.

Содержание дисциплины должно быть ориентировано на овладению профессиональными компетенциями:

ПК 2.4. Участвовать в проектировании силового и осветительного электрооборудования.

ПК 3.3. Участвовать в проектировании электрических сетей.

ПК 4.2. Контролировать качество выполнения электромонтажных работ

ПК 4.3. Участвовать в расчётах основных технико-экономических показателей.

В процессе освоения дисциплины у студентов должны формировать общие компетенции (ОК):

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.

ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

Все задания к практическому занятию Вы должны выполнять в соответствии с инструкцией, анализировать полученные в ходе занятия результаты по приведенной методике.

Отчет о практическом занятии Вы должны выполнить по приведенному алгоритму, опираясь на образец.

Наличие положительной оценки по практическим занятиям необходимо для получения зачета по дисциплине или допуска к экзамену, поэтому в случае отсутствия на уроке по любой причине или получения неудовлетворительной оценки за практическое занятие Вы должны найти время для его выполнения или пересдачи.

Внимание! Если в процессе подготовки к практическим занятиям или при решении задач у Вас возникают вопросы, разрешить которые самостоятельно не удается, необходимо обратиться к преподавателю для получения разъяснений или указаний в дни проведения дополнительных занятий.

Время проведения дополнительных занятий можно узнать у преподавателя или посмотреть на двери его кабинета.

Желаем Вам успехов!!!

Раздел 1 Элементы вычислительной математики

Тема 1.1 Погрешности приближённых значений чисел

Практическое занятие № 1. Действия над приближёнными значениями чисел

Учебная цель:

Приобрести навыки и умения при выполнении действий над приближенными значениями чисел

Учебные задачи:

1. Повторить понятия абсолютной и относительной погрешности.

2. Научиться выполнять действия с приближенными числами.

3. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Пусть X - точное значение некоторой величины, а х - наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:

(1)

Величина е_х, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число для которого справедливо неравенство

(2)

Число в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х - это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности е_х этого числа.

Пример: Возьмем число . Если же вызвать на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10^-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , используемого МК вместо числа

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки е_х к модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности) приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

(5)

Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

(6)

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то |π-3,14|<0,0015927<0,0016=по формуле связи получаем таким образом

Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная

Пример: А). Пусть 0 = 2,91385, В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592... число = 3,142. Тогда (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.

Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять т.е. а = 16,784±0,001.

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Пример:

а) 0,2409 - четыре значащие цифры;

б) 24,09 - четыре значащие цифры;

в) 100,700 - шесть значащих цифр.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какое число называют приближённым значением с недостатком?

2. Приближённым значением с избытком?

3. Что значит округлить число до целых?

4. Сформулируйте правило округления числел.

5. Что надо сделать с последней оставленной цифрой,если после неё идёт цифра 8 ? цифра 5 ? цифра 3?

6. Какие цифра называется значащей, верной?

Задания для практического занятия (лабораторной работы):

I вариант.

1. Вычислите сумму , взяв приближенные значения корней с точностью до 0,001.

2. Вычислите площадь параллелограмма, если а=68,7 и h=52,6. Укажите верные цифры ответа.

3. Найдите границу абсолютной погрешности произведения двух приближенных значений чисел а=7,36±0,004 и b=8,61±0,005.

4. Вычислите относительную погрешность .

5. С какой точностью надо измерить радиус круга, чтобы относительная погрешность площади круга не превышала 0,5%? Грубое приближенное значение R=8м.

II вариант.

1. Вычислите разность с четырьмя значащими цифрами.

2. Вычислите площадь прямоугольника, если а=78,6 и h=48,7. Укажите верные цифры ответа.

3. Вычислите Х=(а+b)с, если а=82,6, b=93,8 с=61,9. Укажите границу абсолютной погрешности.

4. Вычислите относительную погрешность .

5. С какой точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы относительная погрешность площади квадрата не превышала 1%? Приближенное значение стороны квадрата а=9 м.

_{Критерии оценок:}

_{На оценку «3» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на 3 вопроса для закрепления.}

_{На оценку «4» выполнить правильно 4 задания и ответить правильно на 4 вопроса для закрепления;}

_{На оценку «5» выполнить правильно 5 заданий и ответить правильно на все вопросы для закрепления.}

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.1 Функция. Предел функции. Непрерывность функции

Практическое занятие № 2. Исследование функции на непрерывность. Нахождение точек разрыва.

Учебная цель:

Сформировать умение исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва, определять род точек разрыва.

Учебные задачи:

1. Научиться исследовать функцию на непрерывность и наличие точек разрыва.

2. Научиться определять тип точек разрыва.

3. Учить рассуждать и логически мыслить

Обеспеченность занятия (средства обучения):

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практического занятия

Функция называется непрерывной в точке х₀, если она: 1) определена в точке х₀; 2) имеет конечный предел при ; 3) этот предел равен значению функции в этой точке

Функция называется непрерывной на некотором промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Точка х₀ называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполнено хотя бы одно из условий 1-3 непрерывности функции. Все элементарные функции непрерывны во всех точках, где они определены.

Классификация точек разрыва:

1. х₀ - точка устранимого разрыва, если а)

б) в точке х₀ функция не определена

2. х₀ - точка разрыва I рода, если

- скачок функции

3. х₀ - точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какая функция называется непрерывной?

2. Какая точка называется точкой разрыва?

3. Назовите типы точки разрыва.

Задания для практического занятия:

Задание 1. Доказать, что функция является непрерывной

Задание 2. Найти точки разрыва и установить их тип

_{Критерии оценок:}

_{На оценку «3» выполнить правильно 1 задание и ответить правильно на 1 вопрос для закрепления.}

_{На оценку «4» выполнить правильно 1-2 задания и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления.}

_{На оценку «5» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.}

Инструкция по выполнению практического занятия

При выполнении заданий рассмотреть пример.

Пример 1:

Найти точки разрыва функции и установить их тип

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.2 Производная и дифференциал функции

Практическое занятие № 3. Применение производной к исследованию функций.

Учебная цель: Приобрести умения по применению производной к исследованию функций.

Учебные задачи:

1. Научиться применять производную для исследований функций.

2. Научиться строить графики функций.

3. Учить рассуждать и логически мыслить

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Чертежные принадлежности: (линейка).

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной:

1. Найти производную

2. Найти критические точки функции, в которых .

3. Найти вторую производную .

4. Исследовать знак второй производной в каждой из критических точек. Если при этом вторая производная окажется отрицательной, то функция в такой точке имеет максимум, а если положительной - минимум. Если вторая производная равна нулю, то экстремум функции надо искать с помощью первой производной.

5. Вычислить значения функции в точках экстремума.

Направление выпуклости графика функции

Кривая называется выпуклый вниз в промежутке , если она лежит выше касательной в любой точке этого промежутка. Кривая называется выпуклой вверх в промежутке , если она лежит ниже касательной, в любой точке этого промежутка.

Выпуклость вниз или вверх кривой характеризуется знаком второй производной функции : если в некотором промежутке , то кривая выпукла вниз в этом промежутке; если же , то кривая выпукла вверх в этом промежутке.

Правило нахождения точек перегиба графика функции .

1. Найти вторую производную .

2. Найти критические точки функции , в которых образуется в нуль или терпит разрыв.

3. Исследовать знак второй производной в промежутках, на которых найденные критические точки делят область определения функции . Если критическая точка разделяет промежутки выпуклости противоположных направлений, то она является абсциссой точки перегиба графика.

4. Вычислить значения функции в точках перегиба.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Правило нахождения экстремумов функции с помощью второй производной.

2. Какие точки функции называются критическими?

3. Что называется экстремумом функции?

4. В каком случае кривая выпуклая вниз, и в каком случае - вверх?

5. Правила нахождения точек перегиба графика функции .

Задания для практического занятия:

Вариант 1

Вариант 2

1. Исследуйте функцию на экстремум с помощью второй производной

2. Найдите промежутки выпуклости и точки перегиба кривых

3. Дан закон прямолинейного движения точки (t - в секундах, s - в метрах). Найдите максимальную скорость движения этой точки.

_{Критерии оценок:}

_{На оценку «3» выполнить правильно1 задание и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления.}

_{На оценку «4» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на 3 вопроса для закрепления.}

_{На оценку «5» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.}

Инструкция по выполнению практической работы

При выполнении первого задания рассмотрите пример.

Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной

.

1) Производная

.

2) Критические точки :

, - критические точки.

3) Вторая производная

.

4) Исследовать знак второй производной в каждой критической точке:

, значит, является точкой максимума

, значит, является точкой минимума.

5) Вычислим значения функции в этих точках:

Ответ: ; .

2. При выполнении второго задания рассмотрите пример.

Найти промежутки выпуклости и точки перегиба кривой

1)Производная :

2) Вторая производная :

3) Критические точки: .

- критическая точка.

4) Исследуем знак второй производной в промежутках и

;

точка перегиба

Найдём

Ответ: на промежутке кривая выпукла вниз; на промежутке кривая выпукла вверх; - точка перегиба.

3. При выполнении третьего задания рассмотрим пример.

Найти максимальную скорость движения точки, если закон прямолинейного движения задан уравнением (в метрах, в секундах).

Скорость движения точки есть первая производная пути во времени:

Исследуем эту функцию на максимум и минимум с помощью второй производной:

Вторая производная отрицательна, следовательно, скорость является наибольшей при сек.

Найдём значение скорости в момент сек:

.

Ответ: .

Порядок выполнения отчёта по практической работе

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

Образец отчёта по практической работе

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.2 Производная и дифференциал функции

Практическое занятие № 4. Нахождение дифференциала функции.

Учебная цель: приобрести навыки и умения нахождения дифференциала функции

Учебные задачи:

1. Научиться находить дифференциал функции.

2. Учить рассуждать и логически мыслить

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Ручка.

4. Карандаш простой.

5. Калькулятор.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определение. Дифференциалом функции или дифференциалом первого порядка называется произведение производной этой функции на дифференциал аргумента.

Дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка.

(таблица дифференциалов прилагается).

Геометрический смысл: дифференциал функции геометрически изображается приращением ординаты касательной, проведенной в точке при данных значениях и .

.

1)

2)

3)

Вопросы для закрепления теоретического материала к практической работе.

1. Что называется дифференциалом функции?

2. Как обозначается дифференциал функции?

3^*. Каков геометрический смысл дифференциала функции?

Задания для практического занятия:

Задание: Найти дифференциал функций.

Вариант 1. Вариант 2.

1) 1)

2) 2)

3) 3)

4) 4)

5) 5)

6) 6)

7) 7)

8) 8)

_{Критерии оценок:}

_{На оценку «3» выполнить правильно 6 заданий и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления;}

_{На оценку «4» выполнить правильно 1-6. 8 задания и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления;}

_{На оценку «5» выполнить правильно 8 заданий и ответить правильно на все вопросы для закрепления.}

Инструкция по выполнению практического занятия

При выполнении заданий рассмотреть примеры

Примеры.

Найдите дифференциал функции.

1)

2)

3)

4)

5)

.

6) ;

7) ;

Порядок выполнения отчёта по практической работе

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет к практическому заданию

Образец отчёта по практической работе

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.

Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.3 Интеграл и его приложения

Практическое занятие № 5. Методы интегрирования

Учебная цель: приобрести навыки и умения при нахождении интегралов функций различными методами.

Учебные задачи:

1. Закрепить умение находить неопределенные интегралы для элементарных функций.

2. Научиться интегрировать методом замены переменной по частям.

3. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Таблица интегралов

4. Ручка.

5. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x), если в каждой точке интервала (a,b) справедливо равенство

_{Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается символом}

_{Иначе, по определению,}

_{, где F(x) - какая-либо первообразная функции f(x); С- произвольная постоянная.}

При нахождении неопределенных интегралов применяем следующие правила:

1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е. если , то .

2) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Пример1:

В основе интегрирования методом замены переменной (методом подстановки) лежит формула

Алгоритм вычисления неопределенного интеграла методом подстановки:

1. Определяют, к какому табличному интегралу приводится данный интеграл (предварительно преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Определяют, какую часть подынтегральной функции заменить новой переменной, и записывают эту замену.

3. Находят дифференциалы обеих частей записи и выражают дифференциал старой переменной (или выражение, содержащее этот дифференциал) через дифференциал новой переменной.

4. Производят замену под интегралом.

5. Находят полученный интеграл.

6. В результате производят обратную замену, т.е. переходят к старой переменной. Результат полезно проверять дифференцированием.

Пример 2:

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций и непрерывны, то справедлива формула:

(3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Пример 3:

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Почему интеграл называется неопределенным?

2. Что означает C в определении неопределенного интеграла?

3. Сформулируйте основные правила неопределенных интегралов.

4. Какие из следующих равенств записаны верно, а какие нет:

а)

б)

в)

Задания для практического занятия:

№ задания

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Найти неопределенный интеграл, пользуясь таблицей основных интегралов.

(3 балла за каждый пример)

Найти неопределенный интеграл, преобразуя выражения стоящие под знаком интеграла. (4 балла)

Найти неопределенный интеграл методом подстановки.

(4 балла за каждый пример)

Найти неопределенный интеграл , интегрируя по частям.

(5 баллов за каждый пример)

_{Критерии оценок:}

_{Оценка «3» - не менее 23 баллов;
Оценка «4» - от 29 до 33 баллов;
Оценка «5» - от 34 до 36 баллов.}

Инструкция по выполнению практического занятия

1. При выполнении первого и второго задания рассмотрите первый пример.

2. При выполнении третьего задания рассмотрите второй пример.

3. При выполнении четвертого задания рассмотрите третий пример.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.3 Интеграл и его приложения

Практическое занятие № 6. Вычисление различных величин с помощью определённого интеграла

Учебная цель:

Приобрести умения по вычислению площадей плоских фигур и объемов тел вращения с помощью определённого интеграла.

Учебные задачи:

1. Рассмотреть примеры на применение определенного интеграла.

2. Научиться вычислять площади плоских фигур и объемов тел.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Таблица интегралов

4. Ручка.

5. Карандаш простой.

6. Чертежные принадлежности: (линейка)

7. Калькулятор простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Найдём площадь S криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ox и двумя прямыми x=a и x=b, где , .

Так как дифференциал переменной площади S есть площадь прямоугольника с основанием dx и высотой ,т.е. , то интегрируя это равенство в пределах от a до b, получим .

Если криволинейная трапеция прилегает к оси Oy так, что , , то дифференциал переменной площади S равен , откуда .

В том случае, когда криволинейная трапеция, ограниченная кривой , осью Ox и прямым и , лежит под осью Ox, площадь находится по формуле .

Если фигура, ограниченная кривой , осью Ox и прямыми и , расположена по обе стороны от оси Ox, то .

Пусть, наконец, фигура S ограничена двумя пересекающимися кривыми и и прямыми и и . Тогда её площадь находится по формуле .

Пример. Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями.

1) , , ,

В данном случае требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , прямыми , , и . Посмотрим эти линии.

Ответ: 1,5 кв. ед.

2) , , ,

Ответ: 3,5 кв. ед.

3) , , , .

-парабола

-парабола

кв. ед.

Ответ:кв. ед.

4) , .

-парабола

,

,

(1;2) - вершина параболы

-прямая

Для нахождения точек пересечения решим систему:

,

,

,

,

,

кв. ед.

Ответ: 9,5 кв. ед.

Объем тела вращения.

Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

Формулы объемов тел вращения около:

оси Ох ; оси Оу

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оx площадки, ограниченной линиями y² = 4x и y = x.

Решение. Решив систему находим точки пересечения параболы и прямой: О (0; 0) и А (4; 4). Следовательно, пределы интегрирования a = 0 и b = 4. Объем тела вращения представляет собой разность объемов параболоида, образованного вращением кривой y² = 4x (V₁) и конуса, образованного вращением прямой y = x (V₂). Тогда

x

0

y

y² = 4x

y = x

A

x = 4

Ответ: (куб. ед.)

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какова формула вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченой кривой , осью Ox и прямые и ?

2. Какова формула вычисления полощади криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ox и прямыми и , лежит под осью Ox?

3. Какова площадь фигуры ограниченной двумя пересекающимися кривыми и и прямыми и , где и ?

4.От чего зависит выбор формулы для нахождения объема тела вращения?

Задания для практического занятия:

Вариант I

Вариант II

1. Вычислите площади фигур, ограниченных указанными линиями

а), , , ;

б) , , ;

в) , , ;

г) , .

а) , , , ;

б) , , , ;

в) , , ;

г) , .

2. Найти объемы тел вращения, образованных вращением вокруг оси Оx площадей, ограниченных линиями

y² - 4x = 0, x - 2 = 0, x - 4 = 0, y = 0

y² - 6x = 0, x - 2 = 0, x - 6 = 0, y = 0

_{Критерии оценок:}

_{На оценку «3» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на 2 вопроса для закрепления;}

_{На оценку «4» выполнить правильно 4 задания и ответить правильно на 3 вопроса для закрепления;}

_{На оценку «5» выполнить правильно 5 заданий и ответить правильно на все вопросы для закрепления.}

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Познакомиться с конспектами лекций и краткой теоретической справкой

2. Ответить устно на контрольные вопросы.

3. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решение заданий практической работы.

Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.4 Дифференциальные уравнения

Практическое занятие №7. Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными

Учебная цель:

Приобрести умения по решению дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.

Учебные задачи:

1. Научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

2. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Таблица интегралов

4. Ручка.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производное или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так: .

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значимых произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента или функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнениям первого порядка называются уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называются уравнения вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

, а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

Пример. Найдите общее решение уравнений с разделяющимися переменными.

а)

;

б)

Пример. Найдите частные решения дифференциальных уравнений.

;

- общее решение уравнения.

Найдем частное решение, удовлетворяющее условию .

.

Подставим найденное значение: , ,

, - решение задачи Коши.

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется решением дифференциального уравнения?

3. Что называется частными решениями дифференциального уравнения?

4. Какой вид имеет дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными?

5. Что нужно сделать для решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?

Задания для практического занятия:

I вариант:

II вариант:

III вариант:

1. Проверить, является ли решением данного дифференциального уравнения указанная функция:

2. Решите уравнение с разделяющими переменными

3. Найдите частное решение, удовлетворяющее начальному условию

у(0)=2

у(0)=1

_{Критерии оценок:}

_{На оценку «3» выполнить правильно 1-2 заданий и ответить правильно на 3-5 вопросов для закрепления;}

_{На оценку «4» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления;}

_{На оценку «5» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.}

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Ответить устно на контрольные вопросы.

2. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Раздел 2 Элементы математического анализа

Тема 2.4 Дифференциальные уравнения

Практическое занятие №8. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Учебная цель:

Приобрести умения по решению дифференциальных уравнений 2-го порядка.

Учебные задачи:

1. Научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

2. Учить рассуждать и логически мыслить.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Таблица интегралов

4. Ручка.

5. Карандаш простой.

6. Чертежные принадлежности: (линейка)

7. Калькулятор простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Уравнение, содержащие производные (или дифференциалы) не выше второго порядка, называется дифференцированным уравнением второго порядка. В общем виде уравнение второго порядка записывается следующим образом:

Общее решение дифференциального уравнения второго порядка содержит две произвольные постоянные.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(1)

где p и q - постоянные величины.

Для отыскания общего решения уравнения (1) заменой на соответствующие степени причем сама функция заменяется единицей.

Тогда общее решение дифференциального уравнения (1) строится в зависимости от корней и характеристического уравнения (2). Здесь возможны три случая.

I случай. Корни и - действительны и различные. В этом случае общее решение уравнения (1) имеет вид:

(3)

II случай. Корни и - действительные и равные: Тогда общее решение уравнение (1) записывается так:

(4)

III случай. Корни и - комплексно-сопряженные: В этом случае общее решение уравнения (1) записывается следующим образом:

(5)

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением второго порядка?

2. Какой общий вид уравнения второго порядка?

3. Какой общий вид линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянным коэффициентами?

Задания для практического занятия:

I вариант:

II вариант:

1. Решите уравнения 2^го порядка

а)

б)

а)

б)

2. Найдите частные решения дифференциальных уравнений

_{Критерии оценок:}

_{На оценку «3» выполнить правильно 1-2 заданий и ответить правильно на 1-3 вопросов для закрепления;}

_{На оценку «4» выполнить правильно 2 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления;}

_{На оценку «5» выполнить правильно 3 задания и ответить правильно на все вопросы для закрепления.}

Инструкция по выполнению практического занятия

1. При выполнении первого задания рассмотреть примеры 1-2.

Пример 1. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример 2. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

2. При выполнении первого задания рассмотреть примеры №3.

Пример 3. Найдите частные решения дифференциальных уравнений.

при при .

Составим характеристическое уравнение и найдите его корни.

Так как корни характеристического уравнения действительны и различны, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле (3) запишется так:

Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянных С₁ и С₂. Подставив в общее решение значения получим:

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение , имеем:

Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Раздел 3 Линейная алгебра

Тема 3.1 Комплексные числа

Практическое занятие № 9. Геометрическая интерпретация комплексного числа

Учебная цель:

Познакомиться с геометрической интерпретацией комплексного числа, научиться находить модуль и аргумент комплексного числа.

Учебные задачи:

1. Научиться находить модуль и аргумент комплексного числа.

2. Научиться показывать комплексные числа на координатной плоскости.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Таблица интегралов

4. Ручка.

5. Карандаш простой.

6. Чертежные принадлежности: (линейка)

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Рассмотрим на плоскости декартову прямоугольную систему координат хОу. Каждому комплексному числу z=a+bi можно сопоставить точку с координатами (a,b), и наоборот, каждой точке с координатами (c,d) можно сопоставить комплексное число w=c+di.

Таким образом, между точками плоскости и множеством комплексных чисел устанавливается взаимно однозначное соответствие. Поэтому комплексные числа можно изображать как точки плоскости. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, обычно называют комплексной плоскостью.

Пример 1: Изобразим на комплексной плоскости числа: z₁=2+i, z₂=3i, z₃=-3+2i, z₄=-1-i, z₅=-3

Однако чаще комплексные числа изображают в виде вектора с началом в точке О, а именно, комплексное число z=a+bi изображается радиус-вектором точки с координатами (a,b). В этом случае изображение комплексных чисел из предыдущего примера будет таким:

Отметим, что изображением суммы двух комплексных чисел , является вектор, равный сумме векторов, изображающих числа и . Иными словами, при сложении комплексных чисел складываются и векторы, их изображающие.

Пусть комплексное число z=a+bi изображается радиус-вектором. Тогда длина этого вектора называется модулем числа z и обозначается . Из рисунка очевидно, что

Рис. Модуль и аргумент

Угол, образованный радиус-вектором числа z с осью Ox, называется аргументом числа z и обозначается arg z. Аргумент числа определяется не однозначно, а с точностью до числа, кратного . Однако, обычно аргумент указывают в диапазоне от 0 до или в диапазоне от до . Кроме того у числа аргумент не определен.

На рис. arg z равен углу . Из того же рисунка очевидно, что

С помощью этого соотношения можно находить аргумент комплексного числа:

или

причем первая формула действует, если изображение числа z находится в первой или четвертой четверти, а вторая, если -- во второй или третьей. Если a=0, то комплексное число изображается вектором на оси Оу и его аргумент равен или .

Пример 2: Найдите модуль и аргумент комплексных чисел: z₁=-1+i, z₂=4, , z₄=5i, z₅=-2-3i

Решение. Запишем числа со строгим указанием действительной и мнимой части:

Тогда находим:

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какое число называется комплексным?

2. Что такое мнимая единица?

3. Как выглядит комплексное число в алгебраической форме?

4. Как изображаются комплексные числа на координатной плоскости?

5. Что такое модуль и аргумент комплексного числа?

Задания для практического занятия:

«3»

«4», «5»

1 вариант

2 вариант

1 вариант

2 вариант

1. Найдите модуль комплексного числа

2. Изобразите геометрически сумму двух комплексных чисел

2. Что представляет геометрически множество всех комплексных чисел

;

;

3. Найдите аргумент комплексного числа

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Ответить устно на контрольные вопросы.

2. Используя конспекты лекций и краткую теоретическую справку, решить практические задания.

Порядок выполнения отчёта по практической работе:

1. Выполнить задания.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала (устно).

3. Оформить отчёт по практической работе.

Образец отчёта по практической работе:

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Раздел 3 Линейная алгебра

Тема 3.1 Комплексные числа

Практическое занятие № 10. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Учебная цель:

Приобрести умения по нахождению действий над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.

Учебные задачи:

1. Научиться находить модуль и аргумент комплексного числа.

2. Научиться показывать комплексные числа на координатной плоскости.

Обеспеченность занятия:

1. Тетрадь для практических занятий

2. Раздаточные материалы (инструкционные карты)

3. Таблица интегралов

4. Ручка.

5. Карандаш простой.

Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Комплексными числами называются числа вида , где а и b - действительные числа, а число i, определяемое равенством называется мнимой единицей.

Комплексные числа вида и называются противоположными.

Модулем комплексного числа называется число

.

Из определения тригонометрических функций следует, что если , то имеют место равенства (1)

Пусть - модуль, а - одно из значений аргумента комплексного числа .

Так как из соотношений (1) вытекает, что

, то (2)

Таким образом, любое комплексное число можно записать по формуле (2), где

r - модуль, а - одно из значений аргумента этого числа.

Представление комплексного числа в виде , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Произведение комплексных чисел

находится по формуле , (3)

т.е.

Частное комплексных чисел находится по формуле , т.е. , .

Для возведения комплексного числа в n-ю степень используется формула

которая называется формулой Муавра.

Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа используется формула

(4)

где -арифметический корень, k=0,1,2,….,n-1.

Для комплексных показателей остаются в силе основные правила действия с показателями; например при умножении чисел показатели складываются, при возведении в степень - перемножаются.

Показательная функция имеет период, , т.е. .

В частности, при получается соотношение .

Тригонометрическую формулу комплексного числа можно заменить показательной формой:

(5)

Умножение, деление, возведение в целую положительную степень и извлечения корня целой положительной степени для комплексных чисел, заданных в показательной форме, выполняются по следующим формулам:

(6)

(7)

(8)

(9)

Представление комплексного числа в виде , где , называется тригонометрической формой записи комплексного числа.

Для представления комплексного числа в тригонометрической форме необходимо найти:

1) модуль этого числа;

2) одно из значений аргумента этого числа.

В силу многозначности тригонометрическая форма комплексного числа также неоднозначна.

Пример: Найдите произведение.

.

Пример: Выполнить деление.

Пример: Возвести в степень.

Пример: Извлечь корень из комплексного числа

Представим число 1 в тригонометрической форме:

По формуле (4) находим

Если , то

Степень с комплексным показателем определяется равенством .

В частности, при получается соотношение

(6)

которое называются формулой Эйлера.

Пример. Представить в тригонометрической форме следующие числа:

1. ; 2); 3) ; 4) ; 5) .

Решение.

а)

Так как вектор, изображающий число 2 лежит на положительной полуоси Ox, то главное значение аргумента , следовательно

или

, _.

Поскольку вектор, изображающий число 6i, лежит на положительной полуоси Oy, главное значение аргумента , поэтому , или

, .

3)

z лежит во 2-й четверти

Значит

или

4)

z лежит в 4-ой четверти

или

5)

z лежит в 3-ей четверти,

или

Пример. Представить в алгебраической форме числа:

1)

2)

Решение.

1)

2)

Тригонометрическую формулу комплексного числа можно заменить показательной формой:

Пример. Представить в показательной форме числа:

1) 2)

Решение.

Согласно формуле получим

Пример. Найти: 1) ; 2).

1. По формуле получим:

2. 

Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:

1. Какие числа называются комплексными?

2. Что называется модулем комплексного числа?

3. Какая формула используется для возведения в степень комплексного числа?

4. Какая формула используется для извлечения корня n-й степени из комплексного числа?

5. Какая тригонометрическая форма записи комплексного числа?

6. Какая показательная форма записи комплексного числа?

Задания для практического занятия:

Вариант I

Вариант II

1. Найдите произведение

2. Выполните деление

3. Возведите в степень

4. Извлеките корень

5.Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) б) в)

а)

б)

в)

6. Представьте в алгебраической форме числа

а)

б)

а)

б)

7. Найдите

а)

а)

б)

б)

8. Представьте в показательной форме числа:

а)

б)

а)

б)

Инструкция по выполнению практического занятия

1. Ответить устно на контрольные вопросы.

2. Используя конспекты лекций, решить практические задания.

Порядок выполнения отчета по практической работе

1. Выполнить задание.

2. Ответить на вопросы для закрепления теоретического материала.

3. Оформить отчет по практической работе.

Образец отчета по практической работе

Раздел.

Тема.

Учебная цель.

Название практической работы.

Решения заданий практической работы.

Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.