Урок Неоднородные дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения: тема «Неоднородные дифференциальные уравнения»

Данное занятие проводится для студентов 2 курса, Сыктывкарского государственного университета им. Питирима Сорокина.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цель занятия: Познакомить студентов с новым типом дифференциальных уравнений и научить основным принципам их решения.

Задачи урока:

1. образовательные: ознакомиться с понятием неоднородного дифференциального уравнения, узнать алгоритм решения данного уравнения, научиться решать уравнения нового типа;

2. воспитательные: воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов, стремление к творческой деятельности;

3. развивающие: развивать коммуникативные навыки во время практической работы; организовывать собственную деятельность.

Оборудование:

1. Тетрадь

2. Учебник

3. Задачник

Литература:

1. Беляева Н.А.. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие, Сыктывкар, 2011

2. Филиппов А.Ф.. Сборник задач по дифференциальным уравнениям 176 стр. Ижевск: "РХД", 2000

Ход занятия

Этапы занятия, методы, средства, приемы

Деятельность преподавателя

Деятельность учащихся

Организационный момент

(3 мин)

Здравствуйте! Я рада Вас видеть, присаживайтесь.

Давайте отметим отсутствующих.

Приветствуют преподавателя.

Староста говорит кто отстуствует.

Психологический настрой и педагогические установки на организацию работы на уроке (2 мин)

На прошлом занятии мы с вами закончили изучение большой главы «Однородные дифференциальные уравнения». Сегодня мы с Вами познакомимся с новым типом дифференциальных уравнений. Материал не представляет особых сложностей, главное, уметь уверенно интегрировать и дифференцировать.

Слушают учителя.

Вызов. Работа по методу ЗХУ.(5 мин)

Тема нашего занятия: Неоднородные дифференциальные уравнения

Сделайте, пожалуйста, табличку в тетради, состоящую из 3ех колонок: 1ая колонка - Знаю, 2ая колонка - Хочу узнать, 3я колонка - Узнал. И подумайте, что могут означать эти 3 слова, какие представления они у вас вызывают. Заполните первые 2 столбика, а 3ий столбик вы заполните по окончании занятия.

-Заполнили? Хорошо, давайте обсудим, что вы уже знаете и что хотели бы узнать по этой теме.

- Вот видите, оказывается, с этими понятиями вы ещё почти и не сталкивались. Так что сегодня мы все вместе пополним ваш багаж знаний.

Учащиеся заполняют таблицу.

Знаю: думаю что неоднородные, значит представляют собой неоднородную функцию

Хочу узнать:

Что это за уравнения, научиться их решать

Сообщение темы и цели урока (2 мин)

Итак, запишите название темы «Неоднородные дифференциальные уравнения». Умение решать такие уравнения очень важно для математиков, т.к. именно такие типы уравнений обычно описывают какие- либо физические и природные явления.

Записывают тему занятия.

Объяснение нового материала (30мин)

Определение линейного уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение вида

y′+a(x)y=f(x),

где a(x) и f(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;

• Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

y′+a(x)y=f(x),

то интегрирующий множитель определяется формулой:

u(x)=exp(∫a(x)dx).

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x).

Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

y=∫u(x)f(x)dx+Cu(x),

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

y′+a(x)y=0.

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x).

Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x0)=y0, то такая задача называется задачей Коши.

Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x0)=y0.

Вслед за учителем пишут конспект

Закрепление изученного материала с помощью задачника (30мин)

Рассмотрим пример решения таких уравнений:

Решить уравнение y′−y−xex=0.

Пр.1. Запишем данное уравнение в стандартной форме: y′−y=xex. Будем решать это уравнение, используя интегрирующий множитель:

u(x)=e∫(−1)dx=e−∫dx=e−x.

Тогда общее решение линейного дифференциального уравнения определяется выражением:

y(x)=∫u(x)f(x)dx+Cu(x)=∫e−xxexdx+Ce−x=∫xdx+Ce−x=ex(x22+C).

Пр.2:

Решить дифференциальное уравнение xy′=y+2x3.

Будем решать данную задачу методом вариации постоянной. Сначала найдем общее решение однородного уравнения:

xy′=y,

которое решается разделением переменных:

xdydx=y,⇒dyy=dxx,⇒∫dyy=∫dxx,⇒ln|y|=ln|x|+lnC,⇒y=Cx.

где C − произвольное положительное число.

Теперь заменим константу C на некоторую (пока неизвестную) функцию C(x) и далее будем искать решение исходного неоднородного уравнения в виде:

y=C(x)x.

Производная равна

y′=[C(x)x]′=C′(x)x+C(x).

Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем:

x[C′(x)x+C(x)]=C(x)x+2x3,⇒C′(x)x2+C(x)x=C(x)x+2x3,⇒C′(x)=2x.

Интегрируя, находим функцию C(x):

C(x)=∫2xdx=x2+C1,

где C1 − произвольное действительное число.

Таким образом, общее решение заданного уравнения записывается в виде:

y=C(x)x=(x2+C1)x=x3+C1x.

Давайте попробуем самостоятельно порешать уравнения такого типа, Открываем задачник на стр.56 и выполняем задания: № 431, № 432, № 433, № 434.

Решили?

Работают с учителем. Потом решают самостоятельно с последующим разбором у доски

Выводы, рефлексия, оценивание. Подведение итогов (10мин.).

Наше занятие подходит к концу, давайте подведем итог!

Заполните пожалуйста 3 колонку таблички которую мы заполняли в начале пары! Чему вы сегодня научились, что нового узнали? Через пару минут зачитаем ваши записи.

Заполняют табличку :

Познакомились с новым типом дифференциальных уравнений, изучили методы их решения.

Домашнее задание

(6 мин)

Стр. 56 задачника №436,455,440.

Посмотрите на задачи и задайте вопросы если что то не понятно.

Задают вопросы.

Организационный конец занятия

(2 мин)

На этом наше занятие окончено! Спасибо за работу!

Прощаются с учителем.

Записи студента.

1. В тетради имеются записи алгоритма решения уравнения нового типа.

2. Записи примеров решения уравнений

Литература:

1. Беляева Н.А.. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие, Сыктывкар, 2011

2. Филиппов А.Ф.. Сборник задач по дифференциальным уравнениям 176 стр. Ижевск: "РХД", 2000