Справочный материал по теме: Решение квадратных уравнений

Справочный материал по теме: « Квадратные уравнения и способы их решения»

• Квадратным уравнением называют уравнение вида ax² +bx+c=0, где а,b,c- заданные числа, а≠0, х - неизвестное.

Коэффициенты а, b и с квадратного уравнения называют так:

а - первым или старшим коэффициентом, b - вторым коэффициентом, с - свободным членом.

Например, в уравнении 4х² +5х+1=0 старший коэффициент 4, второй коэффициент 5, а свободный член 1.

Квадратные уравнения могут быть полными и неполными.

• Квадратное уравнение ax² +bx+c=0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю или оба коэффициента b и c равны нулю.

Рассмотрим виды неполных квадратных уравнений и их решения.

Неполное квадратное уравнение при с=0 имеет вид ax² +bx = 0, где а ≠ 0; b≠ 0.

В левой части этого уравнения есть общий множитель x. Вынесем общий множитель x за скобки.

Мы получим x(ax+b)=0. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем x=0 или ax+b=0. Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

Решаем получившуюся систему уравнений.

Решив эту систему, мы получим и x=. Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня и x=.

Пример:

4 x²-8x=0

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

4 x²-8x=0

Разложим левую часть уравнения на множители и найдем корни:

4 x²-8x=0

4x(x-2) =0

4x=0 или x-2=0

Ответ: 0; 2.

Неполное квадратное уравнение при b=0 имеет вид ax² + c = 0, где a≠0, с≠0.

Для решения данного неполного квадратного уравнения выразим x²:

При решении последнего уравнения возможны два случая:

если , то получаем два корня:

если , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Пример:

4х²- 144=0

4х²=144

х²=144:4

х²=36

х=6 и х=-6

Ответ: 6;-6.

Пример:

3х²+ 75=0

3х²=-75

х²= -75:3

х²= - 25 в этом случае уравнение не имеет решения.

Ответ: нет корней.

Неполное квадратное уравнение при b=0 и c=0 имеет вид ax² = 0, a≠0.

Разделим обе части уравнения на а, мы получим х²=0. Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень х=0. В этом случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень х=0.

Ответ: х=0.

• Полным квадратным уравнением является то квадратное уравнение, у которого коэффициенты b и c не равны нулю, например: 3х² +4х+4=0; 2х² +3х+1=0;

-5х² +10х-5=0 и т.д.

Рассмотрим способы решения полных квадратных уравнений.

Решение с помощью дискриминанта:

Дискриминантом квадратного уравнения D называется выражение b² - 4ac, т.е.

D= b² - 4ac.

При решении уравнения с помощью дискриминанта возможны три случая:

1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:

.

Пример 1.

2х² -7х+3=0

а=2, b= - 7, c=3

D= b² - 4ac = (-7)²-4∙ 2 ∙ 3=49-24=25>0 (уравнение имеет два корня)

х₁====3, х₂====

Ответ: ; 3

2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: х₁= х₂=

Пример 2.

9х² -6х+1=0

а=9, b=-6, c=1

D= b² - 4ac = (-6)²-4∙ 9 ∙ 1=36-36=0 (говорят, что уравнение имеет один корень)

х₁= х₂= ==

Ответ: .

3. D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.

Пример 3.

5х² -8х-4=0

а=5, b=-8, c=-4

D= b² - 4ac = 8²-4∙ (-8) ∙ (-4) = 64-128= - 64<0 (уравнение не имеет корня)

Ответ: нет корней.

Рассмотрим решение квадратного уравнения вида ax² +2mx+c=0,

где а≠0, b=2m.

В этом случае дискриминант уравнения будет равен D=m ² - ac, а корни уравнения

Пример:

5х² -8х-4=0

5х² -2∙4х-4=0

а=5, m=4, с=-4

D=m ² - ac=4²-5∙(-4)=16+20=36

Ответ: - ; 2

Решение квадратного уравнения методом выделения полного квадрата.

Для решения квадратных уравнений применяется метод выделения полного квадрата. Решая уравнение данным методом, мы преобразуем его так, что в левой части получился квадрат двучлена (а - b)²=a²-2ab+b² или (а +b)²=a²+2ab+b² , а правая часть не содержит неизвестное.

Пример 1:

х² +2х -3=0

х² +2∙ х ∙1+1-1-3=(х+1)² - 4

(х+1)² = 4

х+1 =2 и х+1 = - 2

х=2-1=1 и х = - 2-1= -3

Ответ: -3; 1

Пример 2:

4х² -8х -12=0

4х² - 2∙ 2х ∙2+4 - 4-12=(2х-2)² - 16

(2х-2)² = 16

2х-2 =4 или 2х-2 = - 4

2 х=4+2 2х = - 4+2

2 х=6 2х = -2

х=6:2 х = -2:2

х=3 х = - 1

Ответ: -1;3.

Решение приведенного квадратного уравнения.

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0 называется приведенным квадратным уравнением (а=1).

Теорема Виета: Если х₁ и х₂-корни уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы х₁+ х₂= - p и х₁х₂ = q, т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример:

х² +2х -15=0

р=2, q=-15

если х₁+ х₂= - p и х₁х₂ = q, то х₁+ х₂= -2 и х₁х₂ = -15. Значит х₁=3 и х₂ =-5.

Ответ: 3; -5.

Всякое квадратное уравнение может быть приведено к виду x² + px + q = 0 делением обеих частей на коэффициент а.

Решение квадратного уравнения методом коэффициентов:

а) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов равна 0, то первый корень равен единице, а второй равен с, деленному на а.

Если а+b+c=0, то х₁=1 и х₂ =.

Пример:

5х² -8х+3=0

а=5, b= - 8, c=0

а+b+c=5+(-8)+3=0, значит х₁=1 и х₂ =.

Ответ:1; .

б) Если в квадратном уравнении сумма коэффициентов а и c равна коэффициенту b, то первый корень равен минус единице, а второй равен минус с, деленному на а.

Если а+c= b, то х₁= - 1 и х₂ =.

Пример:

6х² +10х+4=0

а=6, b= 10, c=4

а+c= b, то х₁=-1 и х₂ =Видим, что 6+4=10, значит х₁=-1 и х₂ =.

Ответ:-1; - .