АЛГОРИТМЫ, ИНСТРУКЦИИ И ПАМЯТКИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Бюджетное общеобразовательное учреждение г.Омска «Средняя общеобразовательная школа № 86»

АЛГОРИТМЫ, ИНСТРУКЦИИ И ПАМЯТКИ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ

Омск - 2014

Алгоритмы, инструкции и памятки для самостоятельной работы по математике для учащихся 10 - 11 классов. Составитель О.В. Дмитриева, Омск, 2014. - 28 с.

Издание содержит алгоритмы, инструкции и памятки для самостоятельной работы по математике и предназначено для учащихся 10 - 11 классов.

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..4

1. Алгебра…………………………………………………………………………5

1.1 Алгоритм исследования функции и построение ее графика……………….6

1.2 Алгоритм исследования функции на экстремум…………………………...6

1.3 Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения

функции…………………………………………………………………………...6

1.4 Алгоритм нахождения угла между касательной и осью…………………..6

1.5 Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции……...7

1.6 Алгоритм представления бесконечной периодической десятичной

дроби в виде обыкновенной……………………………………………………..7

1.7 Алгоритм решения логарифмических неравенств…………………………7

1.8 Алгоритм решения логарифмических уравнений…………………………8

1.9 Алгоритм решения неравенств методом интервалов……………………...8

1.10 Алгоритм решения показательных неравенств…………………………...8

1.11 Алгоритм решение показательных уравнений……………………………9

1.12 Алгоритм решения рациональных неравенств……………………………9

1.13 Алгоритм решения тригонометрических уравнений……………………..9

1.14 Алгоритм решения тригонометрических уравнений, сводящихся

к квадратным…………………………………………………………………….10

1.15 Памятка «Логарифмирование и потенцирование»………………………11

1.16 Памятка «Логарифмы и их свойства»…………………………………….12

1.17 Памятка «Логарифмическая функция и ее график»……………………..13

1.18 Памятка «Показательная функция и ее свойства»……………………….14

1.19 Памятка «Преобразованию графиков функции»…………………………15

1.20 Памятка «Решение иррациональных уравнений»……………………….15

1.21 Памятка «Правила действия со степенями»……………………………...16

1.22 Памятка «Решение показательных уравнений и неравенств»…………..17

1.23 Памятка «Решение тригонометрических уравнений»…………………...18

1.24 Памятка «Свойства степени с отрицательным, нулевым и

дробным показателем»………………………………………………………….20

1.25 Памятка «Свойства функции y = cos x и ее график»…………………….21

1.26 Памятка «Свойства функции y = sin x и ее график»……………………..22

1.27 Памятка «Свойства функции y = ctg x и ее график»……………………..23

1.28 Памятка «Свойства функции y = tg x и ее график»………………………24

2. Геометрия…………………………………………………………………….25

2.1 Алгоритм нахождения объема геометрического тела…………………….26

2.2 Алгоритм построения изображения пирамид……………………………...26

2.3 Алгоритм решения задач векторным способом…………………………...26

2.4 Алгоритм решения задач координатным способом………………………26

2.5 Алгоритм построения сечения методом следов…………………………..27

2.6 Инструкция: сложение двух векторов по правилу треугольника………..27

2.7 Инструкция: сложение двух векторов по правилу параллелограмма……27

Введение

Алгоритмы, инструкции и памятки составлены в соответствии с рабочей программой по «Математике». Специфика математики как учебной дисциплины предполагает обязательную самостоятельную деятельность.

Выделяют два основных вида самостоятельной работы: аудиторная (выполняется по непосредственным руководством преподавателя) и внеаудиторная.

Внеаудиторная и аудиторная самостоятельная работа по математике - спланированное, организованное и контролируемое мероприятие, выполняемое по тщательно разработанным заданиям преподавателя. Разрабатывая задания, преподаватель должен учитывать предельный объем заданий, оптимальные затраты времени на их выполнение, типичные ошибки при выполнении различных видов работ, причины их возникновения и способы устранения, особенности и способности обучающихся.

Цель издания - помощь в выполнении самостоятельной работы учащихся в овладении практического материала. Издание состоит из двух разделов: алгебра и геометрия.

Одним из видов самостоятельной работы для формирования умений и навыков является решение задач и упражнений по алгоритму с использованием памяток и инструкции.

Использование данного методического пособия поможет ликвидировать пробелы в ранее изученном учебном материале.

1. АЛГЕБРА

1.1 Алгоритм

исследования функции и построение ее графика

1. Найти область определения и область значений функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти стационарные точки.

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции.

5. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат, если это возможно.

7. Начертить таблицу, найти дополнительные точки графика.

8. Построить график функции.

1.2 Алгоритм

исследования функции на экстремум

1. Найти производную .

2. Найти точки, в которых: или - не существует.

3. Все точки нанести на числовую прямую и найти знаки производной на каждом из полученных интервалов. Если точка x₀ меняет свой знак с плюса на минус, то x₀ - точка максимума, если с минуса на плюс, то x₀ - точка минимума.

4. Вычисляют значение функции f (x) в каждой экстремальной точке.

1.3 Алгоритм

нахождения наибольшего и наименьшего значения функции

1. Найти значения функции на концах отрезка.

2. Найти ее значения в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (a;b).

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

1.4 Алгоритм

нахождения угла между касательной и осью

1. Найти производную, т.е. f `(x)

2. Найти угловой коэффициент по формуле: tg α = f ^′ ()

3. Найти угол α, т.е arctq

1.5 Алгоритм

нахождения уравнения касательной к графику функции

1. Найти значение функции в точке, т.е. f(x₀)

2. Найти производную, т.е. f `(x)

3. Вычислить производную в точке, т.е. f `( x₀)

4. Подставим в уравнение касательной y = f(x₀) + f^′(x₀)(x - x₀)

1.6 Алгоритм

представления бесконечной периодической десятичной дроби в виде обыкновенной

1. Обозначить периодическую десятичную дробь за х.

2. Умножить число х на 10ⁿ, где n - количество десятичных знаков до периода. (Если до периода нет десятичных знаков, этот этап пропускается).

3. Умножить обе части полученного равенства на 10^k, где k - количество цифр, составляющих период.

4. Вычитаем из равенства (3) равенства (2).

5. Вычислить х.

1.7 Алгоритм

решения логарифмических неравенств

1. Определить область определения функции, т.е. ООФ.

2. Определить, является ли данное неравенство простейшим, т.е. вида

log_af(х) > log_aq(х); если «да», то п. 5, если «нет» - п. 3.

3. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести неравенство к простейшему (основанные на определении и свойствах логарифмов, потенцирование).

4. С помощью выбранных преобразований привести неравенство к простейшему.

5. Исходя из свойств логарифмической функции, перейти от простейшего логарифмического неравенства к неравенству f(x) > q(x) при a > 1 и

f(x) < q(x) при 0 < a < 1, т.е. «Так как a > 1, то f(x) > q(x) или так как

0 < a < 1, то f(x) < q(x)».

6. Решить полученное неравенство.

7. «Исходное неравенство равносильно системе неравенств»:

неравенство из ООФ;

полученное неравенство из п. 6.

8. Решить полученную систему.

9. Записать ответ.

1.8 Алгоритм

решения логарифмических уравнений

1. Определить, является ли данное уравнение простейшим, т.е. вида

log_af(х) = log_aq(х); если «да», то п. 4, если «нет» - п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшему (основанные на определении и свойствах логарифмов, потенцирование).

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшему.

4. Исходя из свойств логарифмической функции, перейти от простейшего

5. логарифмического уравнения к уравне­нию f(x) = q(x), т.е. если

log_af(х) = log_aq(х), то f(x) = q(x).

6. Решить полученное уравнение.

7. Сделать проверку.

8. Записать ответ.

1.9 Алгоритм

решения неравенств методом интервалов

1. Разложить многочлен на простые множители.

2. Найти корни многочлена.

3. Изобразить их на числовой прямой.

4. Разбить числовую прямую на интервалы.

5. Определить знаки множителей на интервалах знакопостоянства.

6. Выбрать промежутки нужного знака.

7. Записать ответ (с помощью скобок или знаков неравенства).

1.10 Алгоритм

решения показательных неравенств

1. Определить, является ли данное неравенство простейшим, т.е.

2. вида a^f(x) > a^q(x); если «да», то п. 4, если «нет» - п. 2.

3. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести неравенство к простейшему (основанные на свой­ствах степеней, уравнивание оснований степеней, логарифмирование).

4. С помощью выбранных преобразований привести неравенство к простейшему.

5. Исходя из свойств показательной функции, перейти от простейшего показательного неравенства к неравенству f(x) > q(x) при a > 1 и f(x) < q(x) при 0 < a < 1, т.е. «Так как a > 1, то f(x) > q(x) или так как 0 < a < 1, то

f(x) < q(x)».

6. Решить полученное неравенство.

1.11 Алгоритм

решения показательных уравнений

1. Определить, является ли данное уравнение простейшим, т.е. вида a^f(x) = a^q(x); если «да», то п. 4, если «нет» - п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшему (основанные на свой­ствах степеней, уравнивание оснований степеней, логарифмиро­вание).

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшему.

4. Исходя из свойств показательной функции, перейти от простейшего показательного уравнения к уравне­нию f(x) = q(x), если a^f(x) = a^q(x), a > 0, a ≠ 1,

то f(x) = q(x).

5. Решить полученное уравнение.

6. Записать ответ.

1.12 Алгоритм

решения рациональных неравенств

1. Найти область определения функции.

2. Найти нули функции.

3. Отметить на числовой прямой найденные точки.

4. Определить знаки функции в каждом интервале.

5. Записать ответ в виде объединения промежутков.

1.13 Алгоритм

решения тригонометрических уравнений

1. Определить, является ли уравнение простейшим тригоно­метрическим уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» - п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим тригонометрическим уравнениям (с использованием основных тригоно­метрических тождеств, формул приведения, теоремы сложения и следствий из нее, формул понижения степени, преобразо­ваний тригонометрических сумм в произведение и обратно).

3. С помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим.

4. Найти решения простейших уравнений по соответствующим формулам.

5. Если нужно, сделать проверку, исследование.

6. Записать ответ.

1.14 Алгоритм

решения тригонометрических уравнений, сводящихся к квадратным

1. Определить, является ли уравнение простейшим тригоно­метрическим уравнением сводящихся к квадратным; если «да», то п. 4, если «нет» - п. 2.

2. Установить, какие и в каком порядке нужно выполнить тождественные и равносильные преобразования, чтобы привести уравнение к простейшим тригонометрическим уравнениям (с использованием основных тригоно­метрических тождеств, формул приведения, теоремы сложения и следствий из нее, формул понижения степени, преобразо­ваний тригонометрических сумм в произведение и обратно). С помощью выбранных преобразований привести уравнение к простейшим.

3. Сделать замену тригонометрических функций относительно одной функции, приводя уравнение к квадратному.

4. Найти решения квадратного уравнения по формуле.

5. Подставить в замену тригонометрических функций.

6. Найти решения простейших уравнений по соответствующим формулам.

7. Записать ответ

1.15 Памятка

«Логарифмирование и потенцирование»

Алгоритм

1.16 Памятка

«Логарифмы и их свойства»

1.17 Памятка

«Логарифмическая функция и ее график»

1.18 Памятка

«Показательная функция и ее свойства»

1.19 Памятка

«Преобразованию графиков функции»

1. Для построения графика функции y=f(x)+a необходимо график функции y=f(x) перенести вдоль оси OY на вектор (0;а)

2. Для построения графика функции y=f(x+a) необходимо график функции y=f(x) перенести вдоль оси OX на вектор (-а;0)

3. Для построения графика функции y=kf(x) необходимо график функции y=f(x) растянуть в k раз вдоль оси ОY для k >1 или сжать в 1/k раз вдоль оси OY для k<1

4. Для построения графика функции y=f(kx) необходимо график функции y=f(x) сжать в k раз вдоль оси ОХ для k >1 или растянуть в 1/k раз вдоль оси OХ для k<1

5. Для построения графика функции y=-f(x) необходимо график функции y=f(x)симметрично отобразить относительно оси ОХ

6. Для построения графика функции y=f(-x) необходимо график функции y=f(x) симметрично отобразить относительно оси ОY

7. Для построения графика функции y=|f(x)| необходимо часть графика функции y=f(x), лежащую выше оси OX, оставить неизменной, а часть графика y=f(x), лежащую ниже оси OХ, симметрично отобразить относительно оси ОХ

8. Для построения графика функции y=|f(x)| необходимо часть графика функции y=f(x), лежащую правее оси OY, оставить неизменной, а часть графика y=f(x), лежащую левее оси OY, симметрично отобразить относительно оси ОY

1.20 Памятка

«Решение иррациональных уравнений»

1. Уравнения вида

возвести обе части в степень n. Проверка обязательна

2. Уравнения вида = φ(x)

3. Уравнения вида: =

= или

1.21 Памятка

«Правила действия со степенями»

Формула

Действие

Примеры

a^m · aⁿ = a^{m + n}

При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а основании остается прежним.

x⁴ · x² = x^{4 + 2} = x⁶

a^m : aⁿ = a^{m - n}

При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются, а основание остается прежним.

= x²

x⁵ : x² = x^{5 - 2} = x⁴

(a^m)ⁿ = a^m·n

При возведении степени в степень показатели степеней перемножаются, а основание остается прежним.

(x²)³ = x⁶

(3²)² = 3⁴ = 81

(a · b · c)ⁿ = aⁿ · bⁿ · cⁿ

1) (5 · 2 · 10)² = 5² · 2² · 10² = 25 · 4 · 100 = 10000

2) 2² · 7² = 4 · 49 = 196

1)

2)

1.22 Памятка

«Решение показательных уравнений и неравенств»

1.23 Памятка

«Решение тригонометрических уравнений»

1.24 Памятка

«Свойства степени с отрицательным,

нулевым и дробным показателем»

1.25 Памятка

«Свойства функции y = cos x и ее график»

1.26 Памятка

«Свойства функции y = sin x и ее график»

1.27 Памятка

«Свойства функции y = ctg x и ее график»

1.28 Памятка

«Свойства функции y = tg x и ее график»

2. ГЕОМЕРИЯ

2.1 Алгоритм

нахождения объема геометрического тела

1. Написать формулу нахождения объема геометрического тела.

2. Выделить известные и неизвестные величины в формуле.

3. Найти неизвестные величины, используя данные задачи.

4. Подставить найденные величины в первоначальную формулу и вычислить.

2.2 Алгоритм

построения изображения пирамид

1. Построить изображение основания пирамиды.

2. Построить изображение точки пересечения высоты пирамиды с плоскостью основания.

3. Построить изображение высоты пирамиды.

4. Выбрать на высоте точку вершины пирамиды.

5. Построить изображение ребер.

2.3 Алгоритм

решения задач векторным способом

1. Ввести базис, состоящий из двух неколлинеарных или трех некомпланарных векторов. Указать длины базисных векторов и углы между ними (по возможности). Составить таблицу умножения.

2. Ввести искомые вектора и выразить их через базис

3. Найти длины искомых векторов, их скалярное произведение и углы между ними (по необходимости)

4. Ответить на вопрос задачи.

2.4 Алгоритм

решения задач координатным способом

1. Ввести прямоугольную систему координат и указать координаты точек выделенных на чертеже.

2. Ввести искомые вектора и вычислить их координаты.

3. Найти скалярное произведение векторов, их длины и косинус угла между ними (по необходимости)

4. Ответить на вопрос задачи.

2.5 Алгоритм

построения сечения методом следов

1. Выяснить имеются ли в одной грани две точки сечения (если да, то через них можно провести сторону сечения).

2. Построить след сечения на плоскости основания многогранника.

3. Найти дополнительную точку сечения на ребре многогранника (продолжить сторону основания той грани, в которой есть точка сечения, до пересечения со следом).

4. Через полученную дополнительную точку на следе и точку сечения в выбранной грани провести прямую, отметить точки пересечения её с рёбрами грани.

5. Выполнить п.1.

2.6 Инструкция:

сложение двух векторов по правилу треугольника

1. Задайте начальную точку.

2. Проведите через эту точку любой из векторов параллельным переносом.

3. Через конец построенного вектора проведите второй вектор параллельным переносом.

4. Соедините начальную точку с концом второго вектора.

5. На отрезке, соединяющем эти точки, поставьте стрелочку вектора возле конечной точки.

6. Вы получили искомый вектор, отображающий сумму векторов a и b.

2.7 Инструкция:

сложение двух векторов по правилу параллелограмма

1. Задайте начальную точку.

2. Параллельным переносом проведите из этой точки векторы a и b. Вы получили угол с двумя сторонами.

3. Достройте его до параллелограмма: через конец первого вектора проведите второй вектор, через конец второго вектора проведите первый.

4. Проведите диагональ параллелограмма из начальной точки.

5. Укажите стрелочку. Суммарный вектор найден.

28