Разработка урока по алгебре на тему Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители (8 класс)

Психолого-педагогический проект урока.

Алгебра, 8 класс.

Тема «Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена

на линейные множители».

Программа Алгебра. 7 - 9 классы. Авторы-составители И.И.Зубарева, А.Г.Мордкович. - М. : Мнемозина, 2007.

Тип урока комбинированный.

Выполнил учитель математики

МОУ СОШ №2 имени И.А.Сухана

Кстовского района

Черкас Ольга Ивановна

Стаж работы учителем математики 11 лет

Дата выполнения октябрь 2010 г.

Диагностика уровня развития обученности детей.

Уровень обучаемости учащихся можно определить, с помощью методики П.И.Третьякова, по которой:

- Выбирается небольшой по объему новый учебный материал, изложение и представление которого займет не более 7-8 минут (5-7 кл), 8-10 минут (8-9 кл), 10-12 минут (9-11 кл).

- Объясняется новый учебный материал, работая по возможности в разных модальностях, чтобы создать равные стартовые условия для учащихся.

- Проводится этап первичного закрепления новой информации (7-5 мин).

- Организуется самостоятельная работа учащихся в ходе которой, они отвечают на пять вопросов:

1. Напишите, что вы узнали нового на уроке.

2. Ответьте на вопрос по содержанию нового учебного материала (воспроизведите факт, событие, назовите и дайте определение новому термину, формуле и т.г.).

3. Выполните задания по образцу.

4. Выполните задания в измененной ситуации.

5. Примените полученные знания в новой ситуации, найдите их связь с предыдущим материалом, с реальной жизнью, с другими учебными предметами.

Если правильно выполнены все задания, можно говорить, о третьем творческом уровне обучаемости школьника. Если ученик справился с четырьмя заданиями, то это говорит о втором прикладном уровне обучаемости. Если выполненными оказываются три первых задания - этот ученик демонстрирует первый репродуктивный уровень обучаемости.

- 3 уровень обучаемости - наиболее высокий, творческий уровень обучаемости (способность самостоятельно интегрировать новые знания в систему собственных знаний, умение проектировать новые способы решений и т.д.).

- 2 уровень обучаемости - высокий, прикладной уровень (способность активно использовать приобретенные знания в знакомой ситуации).

- 1 уровень - репродуктивный уровень, позволяющий ученику понимать и запоминать новую информацию, применять её по алгоритму.

- и есть случаи, когда ученик не может на уроках данного предмета проявить даже минимальные возможности (группа учебного риска).

По методике П.И.Третьякова я провела 4 раза опрос учащихся и получила следующий результат:

Уровень обученности

Высокий творческий

Высокий прикладной

Средний репродуктивный

Низкий

Количество учащихся ( в %)

5%

41%

36%

18%

Итоги успеваемости класса по алгебре за год.

Оценка

«5»

«4»

«3»

«2»

Количество учащихся ( в %)

27%

46%

27%

___

Диагностика учебной мотивации.

Уровень уч. мотивации

Высокий

Средний

Низкий

Количество учащихся ( в %)

36 %

46 %

18 %

Диагностика эффективности запоминания.

Уровень эффектив. запоминания

Отличный

90 - 100 %

Хороший

50 - 90 %

Удовлетворит.

30 - 50 %

Низкий

0 - 30 %

Количество учащихся ( в %)

9 %

45%

32 %

14%

Психолого-педагогическая характеристика класса.

Данный классный коллектив существует восьмой год. Классным руководителем 8б класса я являюсь третий год. В классе 22 ученика, из них 11 девочек и 11 мальчиков. Четверо ребят из неполных семей, 1 девочка опекаемая.

В микрорайоне школы проживает 9 человек, остальные в микрорайонах других школ.

В классе 5 ребят с нарушениями зрения, 1- с нарушением осанки (искривление позвоночника, носит корсет) и 1 с сосудистым заболеванием (часто испытывает недомогание, головокружение, тошноту). Девочка с нарушением осанки находится на домашнем обучении, а мальчик с сосудистым заболеванием освобожден от физкультуры.

Из 22 учащихся 15 человек занимаются в кружках и секциях, что составляет 68 % от всего класса. Из них 7 мальчиков и 1 девочка серьезно занимаются спортом. Они активно участвуют в различных спортивных соревнованиях, в т.ч. и за честь школы, занимают призовые места. Ребята, которые не посещают учреждения дополнительного образования, не остаются в стороне. Я их привлекаю к работе внутри класса ( готовим классные часы, выпускаем газеты и т.д.).

Класс очень дружный. Как говориться, один за всех и все за одного. Ребята доброжелательны друг с другом. Но это не мешает поддерживать дух соревновательности, стремление быть лучшим.

В учебе класс считается одним из сильных в параллели. Класс работоспособный. Качество знаний составляет 60%. Среди них две отличницы: Королева Лена и Стаканова Маша.

Активный познавательный интерес и ответственное отношение к учёбе проявляют Королева Лена, Стаканова Маша, Муравьёв Алёша, Зимин Артур, Устинов Андрей, Киселев Илья, Мешкова Наташа, Булгакова Ира. В целом в классе сформировалось позитивное отношение к учебной деятельности. Ослабленный интерес к учёбе наблюдается у Белораменского Миши, Макарова Саши, Чекурова Толи, Крисеева Максима, Помеловой Оли.

На основе наблюдений в учебной и других видах деятельности, бесед с детьми и учителями, особенностей речи учащихся, можно разделить класс на три группы по уровню обучаемости.

К высокому уровню обучаемости относятся 6 человек (27 %). У этих детей сформирован стойкий познавательный интерес и развита самодисциплина. Ребята быстро включаются в работу, работоспособны на всех этапах урока. Внимание произвольное. Они умеют логически мыслить, выделять главное, анализировать, сравнивать, обобщать, устанавливать причинно-следственные связи. Эти дети быстро запоминают и легко воспроизводят учебный материал. Речь хорошо развита, сформирована адекватная самооценка.

К среднему уровню обучаемости можно отнести 11 человек (50 %). Эти дети хорошо усваивают учебный материал, но им требуется больше времени на его усвоение, они нуждаются в повторении, иногда индивидуальной консультации со стороны учителя или сильного ученика. Уровень саморегуляции, у этой группы детей, средний, не всегда видят свои ошибки. Внимание произвольное, преобладает механическая память. Больше у них развито наглядно-образное мышление.

К низкому уровню обучаемости относятся 5 человек (23 %). Эти дети пассивны, с низкой работоспособностью. Они не могут сосредоточиться, быстро утомляются. Выполнять задания могут только по аналогии, по образцу. Такие дети нуждаются в контроле со стороны учителя, в индивидуальной помощи. У них низкий уровень восприятия. Внимание непроизвольное. Дети с трудом выделяют существенные признаки, с трудом анализируют, сравнивают. Плохо запоминают и воспроизводят изученный материал. Они испытывают затруднения в выражении своих мыслей.

ОПИСАНИЕ ИСХОДНОГО УРОВНЯ ЗНАНИЙ, УМЕНИЙ И НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ.

На момент проведения урока все учащиеся знают, что такое квадратное уравнение, старший коэффициент, второй коэффициент, свободный член, полное и неполное квадратное уравнение, корень уравнения. Все учащиеся знают формулу дискриминанта и корней полного квадратного уравнения, а также умеют определять количество корней уравнения в зависимости от дискриминанта, умеют решать неполные квадратные уравнения.

Ребята сильного и среднего уровня обучаемости научились правильно и быстро решать как полные, так и неполные квадратные уравнения. Дети низкого уровня обучаемости хорошо знают все формулы, необходимые для решения полного уравнения, но допускают ошибки вычислительного характера и ошибки в знаках коэффициентов. Иногда испытывают трудности в определении способа решения неполного квадратного уравнения. А поэтому выполняют задание медленно и нередко прибегают к помощи учителя или сильного ученика.

Всего на главу « Квадратные уравнения» по программе отводится 21 час. Урок по теме « Теорема Виета» - это 16 урок в данной главе. Таким образом, дети уже хорошо владеют основными понятиями связанными с квадратными уравнениями. А также умеют применять полученные знания к новым ситуациям, таким как: решение рациональных уравнений и решение задач с помощью уравнений. Данный урок - урок изучения нового материала с элементами самостоятельной работы. Этот урок не является последним в данной теме, поэтому на последующих уроках материал будет закреплен и проверен при проведении самостоятельной и контрольной работы.

Тема: «Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители».

Учебник для общеобразовательных учреждений

Алгебра, 8 класс в 2-х частях, стр.

А.Г.Мордкович и др.-М.: Мнемозина, 2008

Цель урока: ввести понятие приведенного квадратного уравнения, познакомить учащихся с соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами.

Задачи урока:

Образовательная:

Учащиеся должны знать теорему Виета и утверждение, обратное этой теореме.

. Развивающая:

Учащиеся должны уметь различать неприведенное и приведенное квадратные уравнения, уметь находить корни приведенного квадратного уравнения с помощью утверждения обратного теореме Виета.

Воспитательная:

Учащиеся должны понимать, что решить полное квадратное уравнение можно двумя способами: с помощью дискриминанта и с помощью обратной теоремы Виета), но второй способ позволяет решить уравнение устно , не прибегая к громоздким вычислениям(т.е. более рационально).

Оборудование:

доска, верхеропроектор.

План урока.

№

Этапы урока

Время

1

Организационный момент.

1 мин.

2

Актуализация опорных знаний.

5 мин.

3

Проверка домашнего задания.

4 мин.

4

Усвоение новых знаний.

15 мин.

5

Проверка понимания и закрепления учащимися нового материала.

12 мин.

6

Итог урока.

2 мин.

7

Домашнее задание.

1 мин.

Конспект урока с теоретическим обоснованием.

Этапы урока

Ход урока

Методическое обоснование

1. Орг. момент.

1 мин.

Учитель произносит слова приветствия, ученики молча и стоя приветствуют учителя. Учитель просит учащихся занять свои места, визуально проверяет готовность рабочих мест учащихся к уроку, выясняет, кто отсутствует.

Данный этап урока занимает короткий отрезок времени и направлен на быструю организацию внимания учащихся.

2.Актуализация опорных знаний.

5 мин.

I. На доске заранее записаны примеры с пропусками:

1)… × 3 = 39 2)4 + …= 12

16 × …= - 48 -7 +…= 3

… × (- 2) = 36 … + (- 6) = - 11

- 14 × …= - 28 - 7 +…= - 4

1)Учитель: Какое число пропущено в примерах 1-го столбика?

Ученики: 13; - 3; -18; 2.

Учитель: Когда произведение двух множителей является положительным числом?

Ученики: Когда оба множителя положительны или оба отрицательны.

Учитель: Когда произведение двух множителей является отрицательным числом?

Ученики: Когда один множитель положительный, а другой отрицательный.

2) Учитель: Какое число пропущено в примерах 2-го столбика?

Ученики: 8; 10; -5; 3.

Учитель: Когда сумма двух слагаемых является положительным числом?

Ученики: Когда оба слагаемых положительны или одно из слагаемых положительно и оно больше по модулю.

Учитель: Когда сумма двух слагаемых является отрицательным числом?

Ученики: Когда оба слагаемых отрицательны или одно слагаемое отрицательно и оно больше по модулю.

II. На экране высвечиваются слайд: три столбика уравнений:а)б)в).

а) 5х² = 0; б) 7х² + 6х - 1 = 0;

9х² - 1 = 0; 5х² - 4х - 1 = 0;

х² + 4 = 0; 4х² - 8х - 1 = 0;

х²- 8х = 0; 4х² - 12х + 7 = 0;

в) х² + 4х - 5 =0;

х² - 8х -9 = 0;

х² + х - 12 = 0;

х² + 5х + 6 = 0.

Учитель: Перед вами три группы квадратных уравнений. По какому признаку уравнения объединены в группу а) ?

Ученики: неполные квадратные уравнения.

Учитель: Решите (устно) эти уравнения.

Ученики: описывают способ решения и дают ответ: х = 0;

х = ± 1/3;

нет корней;

х = 0, х = 8.

Учитель: По какому признаку уравнения объединены в группу б)?

Ученики: полные квадратные уравнения (из дом. работы).

Учитель: назовите план решения таких квадратных уравнений.

Ученик: 1. Найти дискриминант по формуле

D = b² - 4ac.

2. Выяснить по дискриминанту сколько корней имеет уравнение.

3. Если D ≥ 0, то найти корни по формуле х = (- b ±√D)/ 2a. Если D < 0, то корней нет.

Данный вид задания готовит учащихся к подбору корней квадратного уравнения по обратной теореме Виета.

В этом задании учащиеся должны искать закономерность, сравнивать, делать выводы. Оно позволяет повторить изученные виды квадратных уравнений и подводит к восприятию новых понятий по теме.

3.Проверка домашнего задания.

4 мин.

На экране появляется слайд с решениями и ответами домашнего задания.

№28.3(б)

7х² + 6х - 1 = 0

D = 6² - 4· 7·(- 1)

D = 64

х1 = - 6 + 8 = 2 = 1 , х2 = - 6 - 8 = -14 = - 1

2·7 14 7 2·7 14

Ответ: 1/7, -1.

№28.3(г)

5х² - 4х - 1 = 0

D = (- 4)² - 4· 5·(- 1)

D = 36

х1 = 4 + 6 = 10 = 1,х2 = 4 - 6 = - 2 = -1 =- 0,2

2·5 10 2·5 10 5

Ответ: 1, -0,2.

№28.5(а)

4х² - 8х + 1 = 0

D = (- 8)² - 4· 4· 1

D = 48

х1 = 8 + √48 = 8 + 4√3 = 4(2 + √3) = 2 + √3

2·4 8 8 2

х2 = 2 - √3

2

Ответ: 2 ± √3 .

2

№28.5(в)

4х² - 12х + 7 = 0

D = (- 12)² - 4· 4· 7

D = 32

х1 = 12 + √32 = 12 + 4√2= 4(3 + √2) = 3 + √2

2·4 8 8 2

х2 = 3 - √2

2

Ответ: 3 ± √2 .

2

На данном этапе осуществляется контроль за выполнением домашних заданий, выявляются трудности при его выполнении и возможные ошибки.

4.Усвоение новых знаний.

14 мин.

Учитель: По какому признаку уравнения объединены в группу в)?

Ученики: полные квадратные уравнения.

Учитель: найдите отличие между уравнениями группы б) и в).

Ученики: во всех уравнениях группы в) старший коэффициент равен 1.

Учитель: Такие квадратные уравнения, старший коэффициент которых равен 1, называют приведенными. Используя известные вам способы решения квадратного уравнения, найдите корни.

1-ое уравнение решают ученики, сидящие на 1-ых партах, 2-ое - ученики, сидящие на 2-ых партах и т.д.

Ученики самостоятельно решают уравнение Первый решивший с каждого ряда записывает корни на доске и , если они найдены верно, то проверяет решение у учеников своего ряда, оказывает помощь (можно 2-3 ученика).

Учитель: Итак, перед вами приведенное квадратное уравнение и его корни.

Когда-то очень давно, около 400 лет назад, французский математик Франсуа Виет обнаружил интересную связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Я предлагаю вам пройти по следам великого математика и сделать свое маленькое открытие: найти эту закономерность (Если у учеников возникнет затруднение, то указать конкретно какие коэффициенты рассматривать).

Сделаем вывод. Чему равна сумма корней приведенного квадратного уравнения?

Ученик: второму коэффициенту с противоположным знаком.

Учитель: Чему равно произведение корней?

Ученик: свободному члену.

Учитель: Приведенное квадратное уравнение обычно записывают в таком виде х² + pх + q = 0.

Сформулируем и запишем теорему Виета.

Теорема Виета. Если х1 и х2 - корни уравнения х² + pх + q = 0, то справедливы формулы х1 + х2 = - p, х1 × х2 = q.

С помощью теоремы Виета можно составлять квадратные уравнения. Например: пусть х1 = 3 и х2 = 4 - корни уравнения х² + pх + q = 0. Найдите p и q, запишите соответствующее уравнение.

Ученик: 3+4 = - p, p = -7

3×4 = q, q = 12

Получим х² - 7х + 12 = 0.

Учитель: Но мы сегодня будем решать обратную задачу - по заданному уравнению находить его корни.

Для этого нам понадобится теорема, обратная теореме Виета: если числа х1 и х2 таковы, что х1 + х2 = - p, х1 × х2 = q, то эти числа - корни уравнения х² + pх + q = 0.

Используется частично поисковый метод. Учащиеся с помощью наводящих вопросов учителя открывают новый способ решения.

5.Проверка понимания и закрепления учащимися нового материала.

12 мин.

В классе № 29.6(а, б), 29.7(а, б)

Не используя формулу корней, найдите корни квадратного уравнения.

№ 29(а). Учитель у доски показывает образец записи решения, а ученики с места комментируют ход решения.

х² + 3х + 2 = 0

х1 + х2 = - 3, х1 · х2 = 2

Находим подбором х1 = -1, х2 = -2.

Проверка: -1 + (-2) = -3, -1 · (-2) = 2.

Ответ: -1, -2.

№ 29.6(б), 29.7(а, б) - работа в парах.

Учитель оказывает индивидуальную помощь. У каждой пары, выполнившей задание, учитель проверяет решение и направляет их в качестве помощников к другим ученикам, которые испытывают затруднения.

№29.6(б) Ответ: 1, 14.

№29.7(а) Ответ: 1, -4.

№29.7(б) Ответ: -1, 11.

Подготовка учащихся к самостоятельному выполнению заданий.

Закрепление умений применять новые знания на практике.

Проверка усвоения учащимися нового материала, устранение обнаруженных пробелов.

6. Итог урока.

2 мин.

Вопросы учителя:

- С каким новым видом квадратного уравнения познакомились?

-Понравилось ли вам решать приведенные квадратные уравнения новым способом? Почему?

- Какие моменты вызывают затруднение?

Осмысление учениками собственной деятельности на уроке.

7. Домашнее

задание.

2 мин.

1) Выучить прямую и обратную теоремы по тетради.

2) №29.6(в, г), 29.7(в, г), 29.26(в, г).

3) пользуясь материалами учебника или другой специальной литературы, узнайте как можно найти корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, где а ≠ 1.

Объясните на примере уравнения 2х² + 5х - 3 = 0.

Задание 3) рассчитанного на учеников высокого уровня.

Самоанализ урока.

Урок по теме « Теорема Виета» - это 16 урок в главе « Квадратные уравнения». Таким образом, дети уже хорошо владеют основными понятиями, связанными с квадратными уравнениями и способами их решения. На данном уроке продолжается знакомство с новыми видами и способами решения.

На уроке использовался частично-поисковый метод обучения. Была поставлена проблема: найти взаимосвязь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения и с помощью наводящих вопросов учащиеся смогли решить эту проблему.

Каждый следующий этап урока логически вытекал из предыдущего. На этапе актуализации опорных знаний учащиеся среди трех групп квадратных уравнений узнавали изученные ранее виды, повторяли способы их решения, а также выполняли задания: поиск пропущенного числа в произведении и сумме, которые готовили их к восприятию нового материала на этапе усвоения новых знаний. В частности, где непосредственно, зная коэффициенты p и q, надо подобрать корни приведенного квадратного уравнения.

Среди изученных ранее видов четыре уравнения были из домашней работы к этому уроку. Т.е. этап проверки домашнего задания логически вытекал из предыдущего этапа.

Найдя закономерность в третьей группе уравнений, ученики познакомились с новым видом квадратного уравнения - приведенного. Затем учащиеся самостоятельно сделали открытие нового способа решения приведенного квадратного уравнения (обратная теорема Виета).

На этапе понимания и закрепления учащимися нового материала, учащиеся самостоятельно решали уравнения, применяли полученные новые знания.

Чтобы снять психологическое напряжение (страх за допущенные ошибки), учащиеся работали в парах, что позволяло им обращаться за консультацией к товарищу, а также при затруднении к учителю. Работа в парах позволяет каждому ученику работать в своем режиме, с привычной для него скоростью, т.е. создает условия для продвижения каждого ученика согласно его уровня подготовки и способностям. В пары ученики были подобраны по одинаковому уровню обученности.

На этапе актуализации опорных знаний, возможно, что учащиеся не сразу найдут нужные отличия между уравнениями группы б) и в). Иногда они начинают искать закономерности в знаках и др. Тогда можно конкретизировать вопрос: найти различия в коэффициентах этих уравнений. Но если и это не приведет к желаемому результату, то еще более конкретный - найти различия в старших коэффициентах.

Опыт показывает, что учащиеся низкого уровня обученности в дальнейшем не будут пользоваться этой теоремой для поиска корней приведенного квадратного уравнения, но на уроке по данной теме все работают с интересом, на эмоциональном подъеме.

Проблемы, возникающие на этапе понимания и закрепления учащимися нового материала, решаются при индивидуальной консультации учителя и сильного ученика.