Конспект урока по геометрии на тему Движение!

На этом уроке мы дадим определение понятию движения, осевой и центральной симметрии. Сначала рассмотрим, как отображается плоскость на себя. После этого дадим определение понятию движение, изобразим это графически. Изучим, что означает осевая и центральная симметрия, основные их свойства.

Тема: Движение

Урок: Понятие движения

1. Введение

Отображение плоскости на себя.

Все понятия, которые будут введены нами в этом разделе, фактически, уже изучались нами ранее, с той лишь разницей, что теперь мы введем их в общем виде.

Ось симметрии.

Осевая симметрия - это такой тип симметрии, при которой каждой точке плоскости, например в точке М (Рис. 1), по определенному закону ставится в соответствие другая точка той же плоскости.

Рис. 1.

Закон, согласно которому проводится это соответствие, таков:

Из точки М проводится перпендикуляр к прямой и получается точка Р, точка пересечения перпендикуляра с осью. Откладывался отрезок РМ₁=РМ, и находится точка М₁. Итак, любой точке М плоскости ставится в соответствие единственная точка М₁ плоскости, при этом:

1. МР^а, Р - точка их пересечения

2. РМ₁=РМ , откуда получалась точка М₁

При этом мы опирались на известный геометрический факт: из точки М можно провести лишь одну прямую перпендикулярную данной прямой.

Обратная операция: если при осевой симметрии точке М ставится в соответствие точка М₁, то точке М₁ ставится в соответствие точка М.

Точно такие же операции соответствия можно провести и для пары точек N и N₁ той же плоскости (Рис. 1), причем если нам известна точка N₁, которая поставлена в соответствие точке N, то нам известна и сама точка N. Итак, каждой точке плоскости ставится в соответствие иная точка плоскости. И любая точка плоскости имеет свою соответствующую точку.

Осевая симметрия является частным случаем так называемого отображения плоскости насебя.

Другим частным случаем отображения плоскости на саму себя является центральная симметрия.

Точка плоскости М переходит в точку плоскости другую М₁ по следующему закону (Рис. 2):

1. проводится прямая МО

2. эта прямая продолжается и на ней откладывается отрезок ОМ₁=ОМ, получаем точку М₁

М₁ ставится в соответствие точке М.

Рис. 2.

Оба представленных примера отображений обладают следующим свойством:

если взять отрезок MN длиною а, то он перейдет в отрезок M₁N₁ той же длины, т. е. расстояние между любыми точками сохраняются.

Отображение плоскости на себя, при котором все расстояния сохраняются, называетсядвижением,

т. е. «плоскость двигается, а расстояние сохраняется». Движений таких несколько, мы пока рассмотрели два из них, а именно осевую симметрию и центральную симметрию. Теперь докажем, что каждая из этих симметрий является движением. Надо доказать, что любые расстояния сохраняются.

Докажем это для осевой симметрии.

Итак, при от отображении, М → М₁, N → N₁, причем РМ₁=РМ, NQ=QN₁ (Рис. 3)

Нам нужно доказать, что MN= M₁N₁.

Рис. 3.

Доказательство.

Составим чертеж (Рис. 4).

Сделаем дополнительные построения, построим точку К такую, что МК^ NN₁,

тогда точка К отобразится в точку К₁.

Докажем равенство прямоугольных треугольников MNК и M₁N₁К₁. В этих треугольниках длины, интересующие нас, являются гипотенузами, значит, надо доказать равенство катетов.

МК = М₁К₁ как два перпендикуляра к параллельным прямым.

Из Рис. 4 видно, что NK = NQ - KQ и N₁K₁ = N₁Q - K₁Q. Из этих равенств и условия того, что точка N отобразилась в точку N₁, вытекает, что NK = N₁K₁.

То есть треугольники равны по двум катетам, а следовательно, равны и их гипотенузы, то есть MN = M₁N₁, что и требовалось доказать.

Рис. 4.

Рис. 5.

Докажем теперь, что центральная симметрия также является движением. Дополним Рис. 2 точкой N и точкой N₁, в которую отобразится первая точка при центральной симметрии (Рис. 5).

Для этого построим отрезок ON и его продолжение - отрезок ON₁, получим точку N₁. При этом ON₁ = ON. Необходимо доказать, что MN = M₁N₁

Доказательство.

по двум сторонам и углу между ними (ÐMОN = ÐM₁ОN₁ как вертикальные, а соответствующие стороны треугольников равны вследствие законов центральной симметрии) .

То есть и при центральной симметрии любые расстояния сохраняются. Таким образом, и центральная симметрия является движением.

Итак, мы рассмотрели отображение плоскости на себя. Рассмотрели два примера отображения плоскости на себя: осевую симметрию и центральную симметрию. И подметили одно важное обстоятельство, что любые расстояния при этих преобразованиях сохраняются. Те преобразования плоскости на себя, которые сохраняют все расстояния, называются движениями. Мы доказали, что осевая симметрия является движением и центральная симметрия является движением.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. - М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7-11 кл. общеобр. учрежд. - М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 293, § 1, пункт 113,114, № 1148, 1152