Особенности введения темы «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений»

Особенности введения темы «Решение задач с помощью дробно- рациональных уравнений».

Закирова И.С., учитель математики

высшей кв. категории

МБОУ «Шеморданский лицей»

Текстовые задачи в математике играют очень важную роль. Их решение способствует развитию мышления учащихся, более глубокому усвоению идеи функциональной зависимости, повышает вычислительную культуру. В процессе решения текстовых задач у учащихся формируются умения и навыки моделирования реальных объектов и явлений. Этапы решения задач являются формами развития мыслительной деятельности.

И естественно, что одним из вопросов методики преподавания математики является вопрос формирования у учащихся умений и навыков решения текстовых задач.

В курсе математики 5 - 9 классов рассматриваются два основных способа решения текстовых задач: арифметический и алгебраический. Арифметический способ состоит в нахождении значений неизвестной величины посредством составления числового выражения (числовой формулы) и подсчета результата. Алгебраический способ основан на использовании уравнений, составляемых при решении задач.

Остановимся на некоторых основных вопросах пропедевтической работы по составлению уравнений при решении текстовых задач.

Такая работа в основном осуществляется в 5 - 6 классах, хотя простейшие задачи уже решались этим методом в 1 - 4 классах.

Здесь можно выделить два основных этапа. На первом задача учителя состоит в том, чтобы систематически и целенаправленно формировать у учащихся некоторые важные общеучебные и математические навыки. На втором этапе основное внимание должно быть уделено выявлению зависимостей между величинами, входящими в текст задачи, и обучению переводу этих зависимостей на математический язык.

Но даже если предположить, что учащиеся неплохо поняли, как решать задачи по математике «с уравнением», умеют «выкачивать» всю информацию из задачи и записывать её в виде математических выражений «с иксом», то как только речь заходит о задачах на движение, работу, сплавы и смеси т.е. задачах, решаемых с помощью дробно-рациональных уравнений или систем уравнений, - у абсолютного большинства учащихся они «не идут»… А умение решать задачи с помощью дробных-рациональных уравнений является показателем высокого владения уровня математических знаний, подготовленности к ЕГЭ, ГИА.

Итак, как же можно подготовить учащихся к решению задач с помощью дробно- рациональных уравнений? Естественно, это должна быть систематическая планомерная работа, которую необходимо начинать уже с пятого класса.

Прежде чем перейти к самим задачам , необходимо систематически например, в форме «математического диктанта» повторять с учащимися математическую запись выражений типа:

на больше

в пять раз больше

на меньше, чем

меньше в раза

на меньше, чем

частное от деления на в полтора раза больше

квадрат суммы и равен

составляет процентов от

больше на процентов

Казалось бы, на первые три вопроса ответит и второклассник. Но почему-то у половины выпускников они вызывают затруднения, не говоря уже о вопросах и . Из года в год можно наблюдать парадоксальную картину: ученики одиннадцатого класса долго думают, как записать, что « на больше ». , в школе в этот момент они «проходят» первообразные и интегралы. Кстати, очень удобно применять структуру КО «Simultaneous Rally Table», когда два ученика одновременно выполняют работу, а по окончании передают работы друг другу на проверку.

Важным моментом также является обучение пониманию учащимися способов словесного выражения изменению величин и фиксация их в виде математических выражений или уравнений.

Достигается это с помощью соответствующих упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных чисел в 5 классе учащиеся рассматривают одно из применений умножения - увеличение числа в несколько раз. Здесь для достижения указанной цели возможны следующие упражнения:

1) Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну m лет? (4m)

2) На первых двух полках стоит по n книг на каждой, а на третьей - m книг. Сколько книг на трех полках? (2n+m)

3) Сравните a и c, если а = 5с (а больше с в 5 раз или с меньше а в 5 раз).

4) Составьте равенство, исходя из условия: х больше у в n раз (х = nу).

5) Составьте задачу по уравнению 2х = 28 (Например: «В корзине было несколько грибов. После того, как в нее добавили столько же, в ней стало 28 грибов. Сколько грибов было в корзине?»)

Так как решение дробно-рациональных уравнений в конечном итоге сводится к решению квадратного или линейного уравнения, то также необходимо постоянно отрабатывать навыки их решения. Для этой работы как нельзя подходит структура «Rally Coach», когда один ученик выполняет работу, а другой контролирует, а при необходимости, и тренирует его. При применении этой структуры целесообразно формировать пары по принципу «сильный- слабый».

К очень важным умениям, которые необходимо сформировать у учащихся до того, как настает время изучения задач на дробно-рациональные уравнения, относятся и следующие:

· умение внимательно читать текст задачи,

· умение проводить первичный анализ текста задачи - выделять условие и вопрос задачи,

· умение оформлять краткую запись текста задачи,

· умение выполнять чертежи (рисунки) по тексту задачи.

Итак, наши дети хорошо подготовлены и мне, учителю, необходимо не только научить их решать задачи на «движение», «работу», «смеси», а, что более важно, убедить их в том, что это достаточно просто. Необходимо лишь уметь читать задачу, «выудив» из условия все самое важное, компактно и конкретно записывать данные, выяснять, что же брать за «икс», записывать в виде соотношений все данные условия, составлять уравнение, и, снова прочитав задачу, грамотно отвечать на поставленный в ней вопрос.

На первый взгляд, задач бесконечное множество, и невозможно запомнить формулы для их решения. Но стоит присмотреться, чтобы увидеть, например, что скорость измеряется в метрах в секунду или километрах в час, цена - в рублях за единицу товара (шт., кг и т.д.), производительность - в объеме работы за единицу времени и т.д. Значит, скорость вычисляется делением расстояния на время, цена - делением стоимости всего товара на количество, производительность - делением всего объема работы на время и т.д. То есть получается, что все задачи - однотипные, если, конечно, понимать, о чем идет речь в задаче. Правда, для этого надо прочитать условие хотя бы 3 раза. А если ничего не понятно- еще 3 раза. При решении многих задач я учу своих учеников пользоваться «волшебной» таблицей.

И так далее, и тому подобное.

Важно соблюдать порядок заполнения таблиц, чтобы в первом столбике была «скорость» (она же - цена, производительность, плотность), во втором- «время» (оно же - количество), в третьем- «путь» (он же - стоимость, работа, масса).

Рассмотрим пример задачи на «совместную работу» (почему- то такие задачи «пугают» учащихся намного хуже, чем на движение)..

Задача 1. Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч., а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

Заполняем таблицу (читаем несколько раз задачу и вносим в таблицу все числа, которые есть в условии):

Это пока все данные, по которым совершенно невозможно решить задачу.

Вспоминаем, что математики знают всё. А всё, что они не знают, можно обозначить через х, у. Так как работу обозначаем «единицей», остается производительность первого обозначить через х, а второго- через у.

А третий столбик всегда получится из соотношения уже записанных величин.

Появляются новые данные в таблице:

Если ученик может самостоятельно заполнить таблицу, значит, он умеете «выудить» из сказанного всю информацию, а не только «голые числа», что, кстати, немаловажно и в повседневной жизни.

Снова читаем условие и записываем, что :

«Известно, что работая по очереди, они выполнят заказ». Где подобное встречается в задачах на движение? «Идя навстречу друг другу, пешеходы встретятся через…То есть, вместе они преодолеют весь путь». Вместе преодолеть путь и вместе выполнить работу- это по сути одно и то же! Путь = скорость*время. Работа = производительность*время. Теперь понятно первое уравнение:

х*9+у*4=1.

По аналогии вспоминаем, что скорости при движении навстречу складываются, т. е.:

х+у=1/6.

Решив систему уравнений, получим: х= 1/15; у= 1/10.

Это значит, что время выполнения заказа первым мастером - 15 часов, а время второго мастера - 10 часов.

Ответ: 10 ч, 15 ч.

Важно научить ребят перечитывать условие задачи, для того, чтобы дать компетентный ответ.

Итак, на мой взгляд, весь процесс решения задачи можно разделить на следующие этапы:

анализ задачи;

схематическая запись задачи;

поиск способа решения;

осуществление решения с помощью уравнения, системы и т.д.;

проверка решения задачи;

исследование задачи;

анализ решения

формулирование ответа задачи;

Естественно, в реальном процессе решения задачи этапы не имеют четких границ, и ребенок, не всегда выделяет их, переходя от одного к другому незаметно для себя. Вместе с тем решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все указанные этапы, осмысленное прохождение которых (вместе со знанием приемов их выполнения) делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, более успешным. Игнорирование одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к решению методом «проб и ошибок», игнорирование других (например, проверки решения задачи) - к получение неверного ответа и т.д.

Выделенные этапы служат той ориентировочной основой, опираясь на которую учитель сможет сформировать у учащихся навыки решения задач.

Конечно, невозможно научить любого ребенка решать любые задачи, ибо как бы хорошо ученик не умел решать задачи, всегда может встретиться такая, которую он решить не сможет.

Ясно, что рассчитывать на изображение методики обучения решению задач, пригодной для всех детей и во всех случаях - все равно, что искать универсальное лекарство от всех болезней. Практическая ценность обучения школьников решению текстовых задач разнообразными способами в современных условиях заключается совсем не в том, чтобы раз и навсегда вооружить их приемами решения различных задач, которые будут возникать в дальнейшем обучении, а в том, что оно обогатит их опыт мыслительной деятельности.

В качестве примера хочу привести конспект одного из уроков, который я провела со своим любимым 8 «Г».

Технологическая карта урока математики в 8 классе.

Автор: Закирова Ильсеяр Салихзяновна, учитель математики высшей квалификационной категории МБОУ «Шеморданский лицей Сабинского муниципального района РТ»

Учебник (УМК): Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. и др., Алгебра 8 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2012

Тема урока: «Решение задач с помощью рациональных уравнений»

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний

Оборудование: интерактивная доска, задания для выполнения структуры «Релли Коуч», карточки «Билетик на выход», фрагмент мульфильма «В стране невыученных уроков»»

Структуры КО, применяемые на уроке: «Релли Коуч», «Сималтиниус Релли Тэбл», «Билетик на выход».

Характеристика учебных возможностей и предшествующих достижений учащихся класса, для которого проектируется урок:

Учащиеся владеют

• регулятивными УУД:

формулировать вопросы по теме на основе опорных (ключевых и вопросительных) слов (2 уровень);

преобразовывать практическую задачу в учебно-познавательную совместно с учителем (2 уровень);

• познавательными УУД:

собирать и выделять информацию, существенную для решения проблемы, под руководством учителя (2 уровень);

У большинства учащихся не сформированы:

• коммуникативные УУД:

высказывать свою точку зрения по инициативе учителя;

• личностные УУД:

осуществлять рефлексию своего отношения к содержанию темы.

Цели урока как планируемые результаты обучения, планируемый уровень достижения целей:

Вид планируемых учебных действий

Учебные действия

Планируемый уровень достижения результатов обучения

Предметные

уметь в процессе реальной ситуации использовать «универсальные таблицы»

3 - 4 уровень - понимание, адекватное употребление в речи, выборочно - воспроизведение

умение решать основные типы задач на применение рациональных уравнений

3 - 4 уровень - понимание, адекватное употребление в речи, выборочно - воспроизведение

Регулятивные

самостоятельно ставят новые учебные задачи путем задавания вопросов о неизвестном

2 уровень - самостоятельное действие учащихся по заданному алгоритму

планируют собственную деятельность, определяют средства для ее осуществления

2 уровень- совместное с учителем действие учащихся на основе знания видов источников информации и способов работы с ними

Познавательные

получают новые знания и первичные навыки и умения применять «универсальные таблицы» при решении задач на применение рациональных уравнений; осмысливают связи и отношения в объектах изучения

3 уровень - самостоятельное действие учащихся по применению математических знаний для решения учебно-познавательных и учебно-практических задач

Коммуникативные

умение слушать и вступать в диалог; воспитывать чувство взаимопомощи, уважительное отношение к чужому мнению, культуру учебного труда, требовательное отношение к себе и своей работе.

2 уровень - совместные действия учащихся в условиях взаимопомощи и взаимоконтроля

Личностные

формировать внимательность и аккуратность в вычислениях; требовательное отношение к себе и своей работе.

2 уровень - самостоятельное выполнение действий с опорой на известный алгоритм

Структура и ход урока

Этапы урока

Задачи этапа

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

УУД

1. Организационный момент

Создать благоприятный психологический настрой на работу, подготовка к уроку необходимых принадлежностей.

Включить учащихся в учебную деятельность.

Приветствует учащихся, настраивает на продуктивную работу

Настраиваются на работу, получают позитивный заряд, концентрируют внимание

Личностные ууд обеспечивают ориентацию учащихся в социальных ролях и межличностных отношениях.

Коммуникативные ууд: управление поведением партнера - контроль, оценка действий партнера.

Умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме.

2. Актуализация знаний и умений учащихся.

Актуализация опорных знаний и способов действий.

Провести работу по домашнему заданию, актуализировать знания о видах квадратных уравнений, способах их решений, о математической записи выражений, содержащих связи и отношения величин навыки составлении математической модели текстовой задачи.

- Отвечает на вопросы учащихся, возникшие при выполнении домашнего задания.

-Проводит выборочную проверку выполнения домашнего задания

Напоминая о необходимости уметь безошибочно решать квадратные уравнения, организует работу в парах по выполнению структуры «Релли Коуч» (приложение 1), собирает работы на проверку

- проводит «Математический диктант» с учащимися по математической записи выражений ( структура «Сималтиниус Релли Тэбл»):

на больше

в пять раз больше

на меньше, чем

меньше в раза

на меньше, чем

частное от деления на в полтора раза больше

квадрат суммы и равен

составляет процентов от

больше на процентов

Открывает слайд с верными ответами для взаимопроверки

-Задает вопрос учащимся «как решают задачи с помощью уравнений?»

-Задает вопрос «А какие уравнения мы научились решать на последних уроках?»

- Задают вопросы по домашнему заданию, фиксируют ответы учителя в тетрадях

-предоставляют тетради для выборочной проверки

Работая в парах, выполняют структуру «Релли Коуч» по решению квадратных уравнений, отдают листочки на проверку.

-Отвечают письменно на вопросы «Математического диктанта», отдают тетради друг другу для взаимопроверки.

Вспоминают алгоритм решения задач с помощью уравнений

Отвечают на вопрос учителя

Регулятивные ууд:
прогнозирование - предвосхищение результата и уровня усвоения.

- контроль в форме сличения результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

-коррекция - внесение необходимых дополнений ;
- контроль, оценка действий партнера.

Коммуникативные ууд: умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с вопросами и задачами.

3.Целеполагание и мотивация

Обеспечение мотивации учения детьми, принятие ими целей урока. определить содержательные рамки урока: построение и решение математических моделей текстовых задач, решаемых с помощью дробно- рациональных уравнения.

Демонстрирует фрагмент мультфильма «В стране невыученных уроков»

Задает вопрос : «Хотели бы вы оказаться на месте Вити Перестукина и почему?».

-«Как вы думаете, с какой целью я показала вам этот фрагмент?»

- «С помощью каких уравнений мы сегодня будем решать задачи?»

-« Как можно сформулировать тему урока?»

-« А какие цели мы должны перед собой поставить?»

- Смотрят фрагмент.

- Отвечают на вопросы по фрагменту- «раздражителю».

-Потому что мы будем говорить о задачах, которые решаются с помощью уравнения.

- Решение задач с помощью дробно- рациональных уравнений.

- Называют общие и конкретные цели, как для урока, так и для себя.

Коммуникативные ууд:

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами.

постановка вопросов.

Познавательные: самостоятельное выделение-формулирование познавательной цели; логические - формулирование проблемы.

Регулятивные: целеполагание.

4. Усвоение новых знаний и способов усвоения

Цель этапа: сформировать способность к переводу текстов с русского языка на математический и обратно (построение математической модели), зафиксировать алгоритм перевода в речи и в виде эталонов.

Напоминает учащимся, что прежде чем приступать к решению задачи необходимо несколько раз внимательно прочитать условие задачи, понять какую величину обозначить за неизвестную.

Предлагает рассмотреть пример.

Задача №618.

Из города в село, находящееся от него на расстоянии 120 км, выехали одновременно два автомобиля. Скорость одного была на 20 км/ч больше скорости другого, и поэтому он пришел к месту назначения на 1 ч раньше. Найдите скорость каждого автомобиля.

Задает вопросы для решения:

Составление математической модели:

Какой процесс описывается в задаче?

Какими величинами характеризуется этот процесс?

Как связаны между собой эти величины?

Сколько реальных процессов описывается в задаче?

Значение каких величин известны?

Значение каких величин сравниваются?

Значение каких величин требуется найти?

Обращает внимание учащихся, что любую из неизвестных величин можно обозначить за х.

х км/ч скорость первого автомобиля;

(х +20) км/ч - скорость второго автомобиля;

- время первого автомобиля;

- время второго автомобиля.

Заполняет с учениками таблицу:

V( км/ч)

t (ч)

S (км)

1 автомобиль

x

120/x

120

2 автомобиль

x+20

120/x+20

120

Составляет с учащимися уравнение:

Согласно условию,

.

Предлагает учащимся работать с составленной моделью.

Обращает внимание на ответы и подводит учащихся к выводу, что , . -60 не удовлетворяет условию задачи. 40+20=60 км/ч

Напоминает, что надо получить ответ на вопрос задачи.

После решения задачи ещё раз объясняет ход решения и интересуется у учащихся, понятно ли им данное решение.

Также показывает «универсальность» таблицы для решения задач других типов

-Слушают.

-Читают задачу №618.

Отвечают на вопросы учителя по составлению математической модели, выбирают неизвестную величину для «х», выражают связи остальных величин с «х», рисуют таблицу и заполняют ее.

Составляют с учителем уравнение:

Из корней уравнения выбирают подходящий по смыслу задачи, читают условие задачи,

Отвечают на вопрос задачи.

Слушают учителя и рассматривают другие возможности использования «универсальной» таблицы.

-

Общеучебные универсальные действия:

-моделирование - преобразование объекта из чувственной формы в модель;

Универсальные логические действия:

- построение логической цепи рассуждений. Познавательные

выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
Универсальные логические ууд:

синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельно достраивая, восполняя недостающие компоненты;

5.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

Цель этапа: тренировать способность к переводу текстов с русского языка на математический и обратно, организовать проговаривание изученного содержания во внешней речи; уточнить способы действий, в которых допущены ошибки; исправить ошибки на основе правильного применения правил, зафиксировать их в речи.

-Предлагает закрепить материал, решив задачу

Задача . Два мастера, работая вместе, могут выполнить заказ за 6 ч. Если первый мастер будет работать 9 ч., а потом его сменит второй, то он закончит работу через 4 ч. За сколько времени может выполнить заказ каждый из мастеров, работая отдельно?

Заполняем таблицу (читаем несколько раз задачу и вносим в таблицу все числа, которые есть в условии):

Производительность (объем /час.)

Время (час.)

Работа (объем)

I

9

II

4

Вместе

6

Это пока все данные, по которым совершенно невозможно решить задачу.

Вспоминаем, что математики знают всё. А всё, что они не знают, можно обозначить через х, у. Так как работу обозначаем «единицей», остается производительность первого обозначить через х, а второго- через у.

А третий столбик всегда получится из соотношения уже записанных величин.

Появляются новые данные в таблице:

Снова читаем условие и записываем, что :

«Известно, что работая по очереди, они выполнят заказ». Где подобное встречается в задачах на движение? «Идя навстречу друг другу, пешеходы встретятся через…То есть, вместе они преодолеют весь путь». Вместе преодолеть путь и вместе выполнить работу- это по сути одно и то же! Путь = скорость*время. Работа = производительность*время. Теперь понятно первое уравнение:

х*9+у*4=1.

По аналогии вспоминаем, что скорости при движении навстречу складываются, т. е.:

х+у=1/6.

Решив систему уравнений, получим: х= 1/15; у= 1/10.

Это значит, что время выполнения заказа первым мастером - 15 часов, а время второго мастера - 10 часов.

Ответ: 10 ч, 15 ч.

- Самостоятельно пробуют заполнить таблицу. Проводят корректировку с помощью учителя. Составляют систему уравнений, решают ее и приходят к ответу задачи

Общеучебные универсальные действия:

-моделирование - преобразование объекта из чувственной формы в модель;

Универсальные логические действия:

- построение логической цепи рассуждений. Познавательные

-выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;
Универсальные логические ууд:

-синтез как составление целого из частей, в том числе самостоятельно достраивая, восполняя недостающие компоненты;

-выбор оснований и критериев для сравнения

Регулятивные ууд:

контроль в форме сличения способа действия и его результата с эталоном;
-коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в план и способ действия

6. Подведение итогов урока. Информация о домашнем задании.

Дать качественную оценку работы класса и отдельных обучаемых.

Обеспечение понимания детьми цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Вопросы учащимся:

- Вспомните, какие цели и задачи мы перед собой ставили?

-Что нового узнали на уроке?

Удалось ли решить поставленные задачи? Каким способом? Какие получили результаты? Что нужно сделать ещё?

- В чём испытывали трудности?

- Где можем применить новые знания? (При решении задач).

Оценивает работу учащихся.

Задает домашнее задание с комментированием: Прочитать п.26 из учебника, разобрать примеры.

№ 619; №625.

-Отвечают на вопросы -Вспоминают и проговаривают вслух.

-Записывают домашнее задание

Познавательные ууд:

-рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
-самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели;

Регулятивные ууд:

- оценка - выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще подлежит усвоению, осознание качества и уровня усвоения.

Коммуникативные ууд:

-умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

- владение монологической и диалогической формами речи

8. Рефлексия

Инициировать рефлексию детей по поводу психоэмоциональ-

ного состояния, мотивации их собственной деятельности и взаимодействия с учителем и другими детьми в классе.

Предлагает заполнить листочки с «Билетиками на выход 3-2-1»

Рефлексия: заполняют «билетики на выход»

Познавательные: рефлексия.

Приложение1. Структура «Релли Коуч»

Реши уравнения:

1. 2х2 +6х-4=0 1. 6х2 -7х+1=0

2. 4х2 -100=0 2. 6х2 -225=0

3. 8х2 -х+1=0 3. 7х2 +2х+4=0

4. 2х2 +6х=0 4. 3х2 +9х=0

Приложение2 . «Билетик на выход 3-2-1»

3 самых важных момента для тебя на сегодняшнем уроке

1.________________________________________________

2. ________________________________________________

3. ________________________________________________

2 момента, на которые ты хотел бы уделить внимание дополнительно

1.__________________________________________________

2. _________________________________________________

1 главное чувство, которое ты испытываешь после этого урока

1._________________________________________________