Элективный курс Алгебра модуля. Исследование квадратного уравнения

02.21.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

Кучеряевская основная общеобразовательная школа

Бутурлиновского муниципального района Воронежской области

РАССМОТРЕНО

На ШМО

Протокол № 1

от «26» августа 2015г.

________ / _______________

СОГЛАСОВАНО

Заместитель директора по УВР

____________ Семенютина С.Н.

«___» __________ 2015г.

УТВЕРЖДАЮ

Директор МКОУ Кучеряевская ООШ

____________ Солодунова В.В.

Приказ № 61/1 от___ «_27__» августа 2015г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

элективного курса

«Алгебра модуля. Исследование квадратного уравнения»

для 9 класса (II ступень)

1 час в неделю, 34 - в год

Из них: федеральный компонент 0

региональный компонент 0

школьный компонент 34

Составил учитель математики

Халанская Валентина Григорьевна

(1 квалификационная категория)

2015- 2016 учебный год

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Рабочая программа по элективному курсу для 9 класса по предпрофильной подготовке по математике по темам « Алгебра модуля» и «Исследование квадратного уравнения» составлена на основе нормативных документов, определяющих проведение эксперимента по введению профильного обучения обучающихся в общеобразовательных учреждениях, с учетом рекомендаций авторских программ Т.Е.Бондаренко, И.Н.Данковой и О.В.Заниной.

Алгебра модуля

Элективный курс «Алгебра модуля» - предметно - ориентированный курс по выбору учащихся в рамках предпрофильной подготовки. Основная цель курса - повышение математической культуры учащихся, выходящей за рамки школьной программы, способствующей мотивации дальнейшего математического образования, самостоятельному определению в выборе профиля обучения на старшей ступени.

Курс направлен на расширение знаний учащихся, повышение уровня математической подготовки через решение большого класса задач. Стоит отметить, что навыки в решении уравнений, неравенств, содержащих модуль, и построение графиков элементарных функций, содержащих модуль, совершенно необходимы любому ученику, желающему не только успешно выступить на математических конкурсах и олимпиадах, но и хорошо подготовиться к поступлению в дальнейшем в высшие учебные заведения. Материал данного курса содержит "нестандартные" методы, которые позволяют более эффективно решать широкий класс заданий, содержащих модуль. Наряду с основной задачей обучения математики - обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Исследование квадратного уравнения

Функции вида y=ax²+bx+c (ax²+bx+c-квадратный трёхчлен), где а не равно 0, в школьном курсе математики придаётся большое значение. Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трёхчлена требуется от каждого абитуриента, так как квадратное уравнение с параметром часто включается в письменные работы и в тесты при поступлении в ВУЗы. Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах квадратного трёхчлена при решении заданий, связанных с исследованием квадратного уравнения. К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, на соотношения между корнями квадратного уравнения, на взаимное расположение корней квадратного уравнения и решение квадратных уравнений с параметром.

Цель данного курса перейти от репродуктивного уровня усвоения материала (простого решения квадратных уравнений и задач на их составление) к творческому. Научить применять знания свойств квадратного трёхчлена при выполнении нестандартных заданий. При решении таких задач школьники учатся мыслить логически, творчески. Это хороший материал для учебно-исследовательской работы, что является пропедевтикой научно-исследовательской работы.

В результате изучения курса учащиеся смогут творчески применять теорему Виета, решать задачи на исследование расположения корней квадратного уравнения и решать квадратные уравнения с параметром.

Курс рассчитан на 34 часа, 1 час в неделю.

Задачи курса:

- научить решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем сложности;

- овладеть рядом технических и интеллектуальных математических умений на уровне свободного их использования;

- приобрести определенную математическую культуру;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы;

Цели курса:

- создание условий для обоснованного выбора учащимися профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в освоении математического материала на основе расширения представлений о модуле;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы;

- формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые для жизни в современном обществе;

- помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как: а) преобразование выражений, содержащих модуль; б) решение уравнений и неравенств, содержащих модуль; в) построение графиков элементарных функций, содержащих модуль;

- создать в совокупности с основными разделами курса базу для развития способностей учащихся;

- помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

Контроль усвоения учебного материала проводится в форме тестов, самостоятельных и проверочных работ.

Учебно-тематический план

Содержание учебного курса

Алгебра модуля (16 часов)

1.Определение модуля числа и его применение при решении задач. (2 часа)

Абсолютная величина действительного числа а. Модули противоположных чисел. Упрощение выражений, содержащих переменную под знаком модуля.

2.Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль. (2часа)

Основные методы решения уравнений с модулем. Раскрытие модуля, метод интервалов. Неравенства с одним неизвестным. Основные методы решения неравенста с модулем.

3. Решение неравенств вида /х/<а и /х/>а посредством равносильных переходов. (3 часа)

Метод интервалов при решении неравенств, содержащих абсолютные величины. Применение систем неравенств или совокупности неравенств, содержащих модуль.

4.Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств (3 часа)

.Основные свойства модуля:

1.Свойства со знаком равенства

2.Свойства со знаком неравенства

3.Решение систем уравнений, содержащих модуль.

5.Решение уравнений и неравенств с модулем на координатной прямой. (2 часа)

Геометрическая интерпретация понятия модуля а. Применение формулы для определения расстояния по заданным координатам. Использование геометрического представления для решения уравнений и неравенств. Построение графиков некоторых простейших функций, заданных явно или неявно, аналитическое выражение которых содержит знак модуля. Графики уравнений.. аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины в олимпиадных заданиях.

6.Модуль и преобразование корней.(2 часа)

Использование понятия модуля при преобразовании квадратных корней.

7.Модуль и иррациональные уравнения.(1час)

Решение иррациональных уравнений с использованием модуля .Применение интервалов при решении иррациональных уравнений.

8. Контрольная работа (1час)

Исследование квадратного уравнения (18 часов)

9.Квадратное уравнение и его корни. (4ч.)

Определение квадратного уравнения. Дискриминант квадратного уравнения. Корни квадратного уравнения. Понятие о решение задачи с параметром.

10.Теория Виета (2ч.)

Формулировка теоремы Виета для полного и приведённого квадратного уравнения.

Теорема, обратная теореме Виета. Решение задач на применение теоремы Виета и обратной ей.

11.Существование корней квадратного уравнения(2ч.)

Зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта.

Решение задач на количество корней квадратного уравнения в зависимости от значения параметра.

12.Расположение корней квадратного уравнения(4ч.)

Графическая характеристика расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу. Работа с таблицей.

Решение задач.

Практикум по решению задач на расположение корней квадратного уравнения.

13.Решение квадратных уравнений с параметром (2ч.)

Что значит решить уравнение с параметром.

Решение уравнений.

14.Решение задач. (2 часа)

15.Зачет (2 часа)

I. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где х-переменная, а, b, с - некоторые числа, а0. В зависимости от дискриминанта D=b²-4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D>0), один корень (D=0) и не иметь корней (D<0). При D>0 корни уравнения могут быть найдены по формуле

-bD

2а

Если в квадратном уравнении коэффициент b заменить на 2к, то формулу корней квадратного уравнения можно записать в другом виде:

-kD/4

а

Квадратное уравнение, у которого а=1, называют приведенным и записывают в виде х²+рх+q=0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.

Примеры.

1. При каких значениях m ровно один из корней уравнения равен 0:

а) 3х²+х+2m-3=0

б) х²-2х+m-1=0

в) x²+(m+3)x+m-3=0

2. При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

а) х²+(3а-5)х=2

б)2х²-(5а-3)х+1=0

в)4х²+(5а-1)х+3а+а=0

3. При каких значениях к оба корня уравнения равны 0:

а)3х²+(к-1)х+1-к=0

б)х²-(3к+4к)х+9к-16=0

в)х²+(16-к)х+к+8=0

4. Найти корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, если

а) а + b + с = 0; б) а - b + с = 0.

Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения .

5. При каком значении а уравнения х² + ах + 1= 0 и х² + х + а = 0 имеют общий корень? Ответ: а = -2.

6. Доказать, что при любом значении а уравнение ( а - 3 ) х² + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.

II. Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета, получившее своё название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Пусть х₁ и х₂ - корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0, тогда х₁+х₂=-b/a, х₁х₂=c/a. Для приведённого квадратного уравнения х²+рх+q=0, если х₁ и х₂ - корни этого уравнения, то х₁+х₂=-p, x₁x₂=q.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х²+рх+q=0.

Примеры:

1. Не вычисляя корней уравнения 3х²+8х-1=0 найти:

а) х₁²+х₂² б)х₁х₂³+х₂х₁³

в)х₁/х₂+х₂/х₁ г)х₁⁴+х₂⁴.

1. Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения 2х²-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х₁-2 и х₂-2 б) 2х₁+3 и 2х₂+3

в)1/x₁ и 1/x₂ г) х₁+1/х₂ и х₂+1/x₁

2. При каком значении параметра а один из корней уравнения х²-3,75х+а=0 является квадратом другого?

Ответ: -125/8; 27/8.

3. При каком значении параметра а один из корней уравнения х²-(3а+2)х+а²=0 в девять раз больше другого?

Ответ: -6/19; 6.

4. Корни х₁ и х₂ уравнения х²+рх+12=0 обладают свойством х₂-х₁=1. Найти р.

Ответ:  7.

5. При каком значении параметра а уравнение х²+(а²+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0?

Ответ: - 2.

6. При каком значении параметра а уравнение (а-1)х²+(2а+3)х+2+а=0 имеет корни одного знака?

Ответ: [- 2,125; -2)  (1;+).

7. При каком значении параметра а корни уравнения ах²+(2а-1)х+а-2=0 отрицательны и их сумма меньше -5?

Ответ: [- 0,25; 0).

8. При каком значении параметра р корни уравнения (р-2)х²+2рх+р+4=0 разных знаков и их сумма отрицательна?

Ответ: (- 4; 0).

III.Существование корней квадратного уравнения

Для того чтобы квадратное уравнение ах²+bх+с=0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах²+bx+с=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х₀, в которой f(x₀)=ах₀²+bx₀+c<0. Чаще всего в качестве х₀ берут 0 (даёт достаточное условие с<0), 1(условие а+b+с<0) или -1 (условие а-b+c<0).

Пример 1.

Доказать, что при любом а уравнение (а³-2а²)х²-(а³-а+2)х+а²+1=0 имеет решение.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a²+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х₁, для которого f(x₁)<0. Очевидно, что f(1)=-a²+a-1<0 при любом а. Легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение

Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение х²-23(а-3)х +а²-3а+2=0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение. Если а²-3а+2<0, т.е. 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков. В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть те случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х. Значит, для того чтобы было х₁>0 и х₂>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:

а² -3а+2>0

а-3>0

D/4=2а²-15а+25>0 , откуда а>5.

Также рассматриваются другие случаи.

Ответ: если а<1 или 2<а<2,5, то х₁<0, х₂<0;

если а=1 или а=2, то х₁<0, х₂=0;

если 1<а<2, то х₁<0, х₂>0;

если а=2,5, то х₁=х₂<0;

если 2,5<а<5, то корней нет;

если а=5, х₁=х₂>0;

если а>5, х₁>0, х₂>0.

Пример 3.

При каких значениях параметра а уравнение а(а+3)х²+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Комментарий к решению. Данное уравнение - квадратное, если а0, а3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4=(а+3)²-а(а+3)(-3а-9)>0

Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а=0 и а=-3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а=-3.

Ответ: -3-1/3;0)(0;+)

Пример 4.

При каком значении параметра а уравнение (а-2)х²+(4-2а)х+3=0 имеет единственный корень?

Комментарий к решению. Если а=2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D=а²-7а+10=0 при а=2 или а=5. Значение а=2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение - квадратное.

Ответ: а=5.

Пример 5.

При каком значении параметра а уравнение (а-1)х²+(а+4)х+а+7=0 имеет единственное решение?

Ответ: 1;2;-22/3.

Пример 6.

При каком значении параметра а уравнение (2а-5)х²-2(а-1)х+3=0 имеет единственное решение?

Ответ: 5/2;4.

Пример 7.

При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?

(х²-(3а-1)х+2а²-2)/(х²-3х-4)=0.

Ответ:-2;0,5.

IV. Расположение корней квадратного уравнения

Для решения задач этого пункта существует таблица (см. приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.

Пример 1.

При каком значении параметра а один корень уравнения х²-(3а+2)х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у=х²-(3а+2)х+2а-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [х₁;х₂] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х²-(3а+2)х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х₁<1<х₂.

Ответ: а>-2.

В общем случае для того, чтобы уравнение f(х)=ах²+вх+с=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A)<0.

Пример 2.

Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2-а)х²-3ах+2=0 больше 1/2.

Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 >1/2). Если а  2, то уравнение - квадратное. Введем обозначение f(x) = (2-а)х²-3ах+2, х_в=3а/2(2-а), D=а(17а-16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D0, х_в>1/2, (2-а)f(1/2)>0. Решая эту систему получим: 16/7а<2.

Ответ: [16/17;2].

Пример 3.

При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х²-2(а+3)х+4а=0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.

Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а2. Рассмотрим функцию f(х)= (а-2)х²-2(а+3)х+4а, (а2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале (-;2) и один раз на интервале (3;+). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:

(а-2)f(2)<0

(а-2)f(3)<0

Ответ: 2<а<5.

Пример 4.

При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х²-(3а+1)х-а-2=0 лежат в промежутке (-1;2)?

Комментарий к решению. Рассмотрим функцию f(х)= 4х²-(3а+1)х-а-2. Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох внутри интервала (-1;2). Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:

D0

-1<х_в<2

f(-1)>0

f(2)>0 Ответ: (-3/2; 12/7).

Пример 5.

Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х²+2ах+3а-2=0 удовлетворяет условию х<-1.

Ответ: а=2, а<1.

Пример 6.

Найти все значения а, при которых уравнение х²-6х+а=0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Ответ: -7<a5.

Пример 7.

Найти все значения а, при которых все корни уравнения х²+х+а=0 больше а.

Ответ: а<-2.

V.Решение квадратных уравнений с параметром

Решить уравнение с параметром - это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение х²-вх+4=0.

Комментарий к решению. Дискриминант уравнения D=в²-16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в<-4 или в>4, то х=(вв²-16)/2; если в=4, то х=в/2;если -4<b<4, то корней нет.

Пример 2.

Решить уравнение (а-2)х²-2ах+2а-3=0.

Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а=2 и а2. В первом случае исходное уравнение принимает вид -4х+1=0. Это линейное уравнение с одним корнем х=0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантом D=-4(a-1)(a-6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.

В результате решения получаем ответ:

если а<1, то корней нет;

если а=1, то х=-1;

если 1<a<2, то х_1,2=(а(1-а)(а-6))/(a-2);

если а=2, то х=0,25;

если 2<a<6, то х_1,2=(а(1-а)(а-6))/(a-2);

если а=6, то х=1,5;

если а>6, то корней нет.

Пример 3.

Решить уравнение (2а-1)х²-(3а+1)х+а-1=0.

Ответ: если а=0,5, то х=-0,2;

если -9-84<a<-9+84, то корней нет;

если а-9-84 или -9+84а<0,5 или а >0,5

то х=(3а+1+а²+18а-3)/(2а-1)

Пример 4.

Решить уравнение ах²-(1-2а)х+2-а=0.

Ответ: если а=0, то х=-2;

если а<-0,25, то корней нет;

если а=-0,25, то х=-3;

если -0,25<а<0 или а > 0, то х_1,2=(1-2а4а+1)/2а.

Пример 5.

Решить уравнение (х²-5х+6)/(х-а)=0

Ответ: если а=2, то х=3;

если а=3, то х=2;

если а2,а3, то х=2 или х=3.

VI. Разные задачи

Пример 1.

Найти все значения а, при которых уравнения ах²+(3+4а)х+2а²+4а+3=0 имеет только целые корни.

Решение. Пусть а=0, тогда из уравнения следует, что 3х+3=0, х=-1. Поэтому а=0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а0, тогда уравнение равносильно уравнению х²+(4+3/а)х +2а+4+3/а=0. Если х₁ и х₂ - целые корни нового уравнения, то -4-3/а и 2а+4+3/а - целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а - целое число. Пусть 2а=n, где nZ, тогда а=n/2, 3/а=6/n, причем 6/n - целое число, то есть n может принимать значения из чисел 1; 2; 3; 6. Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни исходного уравнения являются целыми числами.

Ответ: 0; -1/2; 3/2.

Пример 2.

Найти все значения а, при которых уравнение х²+(а+2)х+1-а=0 имеет 2 действительных корня х₁ и х₂ такие, что х₁х₂<0, |х₁| <4, |х₂| <4.

Решение. Обозначим f(х)= х²+(а+2)х+1-а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f(-4)>0, f(4)>0, f(0)>0. Получили систему:

9-5а>0

3а+25>0

1-а<0 Решая систему, получаем 1<а<9/5.

Ответ: 1<а<9/5.

Пример 3.

Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1+а)х²-3ах+4а=0 в зависимости от а?

Ответ: если -1<а0,5, то один корень меньше 1;

если -0,5<а0, то оба корня меньше 1;

при других а таких корней нет.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение:

1. ах²+х-1=0

Ответ: если а<-1/4, то два корня;

если а=-1/4, то три корня;

если -1/4<а<0, то четыре корня;

если а=0, то один корень;

если а>0, то корней нет.

2. х²+ах-2=0

Ответ: если а<-8, то четыре корня;

если а=-8, то три корня;

если -8<а<0, то два корня;

если а=0. то один корень;

если а>0, то корней нет.

3. х²+2х-а=5

Ответ :если а<-3 или а>3, то корней нет;

если а=3, то один корень;

если -3<а<3, то два корня.

VII. Задачи к зачёту

1. При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения

2х²-рх+2р²-3р=0 равен нулю?

Ответ: р=1,5.

2. При каком значении параметра р корни уравнения 3х²+(р²-4р)х+р-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

Ответ: р=0.

3. При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х²+(3а²-а)х-а³-3а=0 равны нулю?

Ответ: а=0.

4. Не вычисляя корней уравнения 2х²-5х-4=0 найти:

а) 1/х²₁+1/х²₂;

б) х₁х₂⁴+х₂х₁⁴;

в) х₁/x₂³+x₂/x₁³.

5. Пусть х₁ и х₂ - корни уравнения 4х²-6х-1=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х₁х₂² и х₂х₁²;

б) 1/х²₁ и 1/х²₂;

в) х₁/х₂+1 и х₂/х₁+1;

6. В уравнении 5х²-ах+1=0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.

Ответ: 5.

7. При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х²-(а+3)х+6=0 равно 1,5?

Ответ: -8 ; 2.

8. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а+1)х²+(а+1)х+а=0 положительна?

Ответ:[-1/7;1/2)

9. При каких значениях параметра а корни уравнения (а+1)х²+(2-а)х+а+6=0 положительны?

Ответ: [-10 ; -6)

10. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х²+(2а+3)х+2+а=0 имеют одинаковые знаки?

Ответ: [-2,125 ; -2)  (1;+).

11. При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х²+(3а+4)х-3=0 лежат в промежутке (-2 ; 1).?

Ответ: (-5/2 ; 5/7).

12. При каких значениях параметра а уравнение (а-1)х²=(а+1) х-а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0<х<3?

Ответ: (0;12/7); 1+23/3.

13. Решить уравнения при всех значениях параметра:

а) ах²-6х+1=0;

б) ах²=4;

в) х²-ах=0;

г) ах²+8=2х²+4а.

14. Решить уравнение (а-1)х²+2(2а+1)х+(4а+3)=0.

Ответ: если а<-4/5, то корней нет;

если а=1, то х=-7/6,

если а-4/5 и а1, то х_1,2=(-(2а+1)5а+4)/(a-1).

15. При каких значениях параметра а уравнение (а²-6а+8)х²+(а²-4)х+(10-3а-а²)=0 имеет более двух корней?

Ответ: а=2.

Требования к уровню подготовки обучающихся

Учащиеся должны знать:

- определение модуля числа;

- решение уравнений и неравенств, содержащих модель;

- преобразование выражений, содержащих модуль.

-способы решения неполных квадратных уравнений;

-формулу корней квадратного уравнения;

-формулировку теоремы Виета для полного и приведенного квадратного уравнения.

научить учащихся преобразовывать выражения, содержащие модуль;

Учащиеся должны уметь:

- точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий

-применять изученные алгоритмы для решения соответствующих заданий;

-преобразовывать выражения, содержащие модуль;

-cтроить графики элементарных функций, содержащих модуль.

-решать квадратные уравнения;

-находить зависимость числа корней квадратного уравнения от дискриминанта

-давать графическую характеристику расположения корней квадратного уравнения на числовой прямой по отношению к фиксированному числу;

- решать квадратные уравнения с параметром.

Информационно - методическое обеспечение

1.Уравнения и неравенства второй степени с параметрами.

Авторы: Беляева Э.C. Занина О. В. Савинков Ю. А.

Воронеж 2003г

2.Предпрофильная подготовка учащихся 9 класса по математике

Воронеж ВОИПКРО 2004 г

Авторы- составители: И.Н. Данкова, Т.Е. Бондаренко, О.В. Занина

2. Тематическое планирование и дидактические материалы

Авторы: Данкова И.Н. Занина О.В. Савинков Ю.А.

Воронеж 2003г

Календарно-тематическое планирование

№ п/п

Тема урока

Количество часов

Дата по плану

Дата фактически

1

Определение модуля числа и его применение при решении уравнений

1

2

Определение модуля числа и его применение при решении уравнений

1

3

Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль

1

4

Метод интервалов решения уравнений и неравенств, содержащих модуль

1

5

Решение неравенств вида /х/> а, /х/ < а посредством равносильных переходов

1

6

Решение неравенств вида /х/>a, x<a посредством равносильных переходов

1

7

Решение неравенств вида /x/>a, /x/<a посредством равносильных переходов

1

8

Свойство модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств

1

9

Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств

1

10

Свойства модуля. Применение свойств модуля при решении уравнений и неравенств

1

11

Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой

1

12

Решение уравнений и неравенств с модулями на координатной прямой

1

13

Модуль и преобразование корней

1

14

Модуль и преобразование корней

1

15

Модуль и иррациональные уравнения

1

16

Зачет

1

17

Квадратное уравнение

1

18

Квадратное уравнение

1

19

Неполные квадратные уравнения

1

20

Неполные квадратные уравнения

1

21

Теорема Виета

1

22

Теорема Виета

1

23

Существование корней квадратного уравнения

1

24

Существование корней квадратного уравнения

1

25

Расположение корней квадратного уравнения

1

26

Расположение корней квадратного уравнения

1

27

Расположение корней квадратного уравнения

1

28

Расположение корней квадратного уравнения

1

29

Решение квадратных уравнений с параметром

1

30

Решение квадратных уравнений с параметром

1

31

Разные задачи

1

32

Разные задачи

1

33-34

Зачет

2

Итого

34