Методические указания для студентов по выполнению практических работ по математике

Министерство образования и науки Астраханской области

ГБОУ АО СПО «Астраханский технологический техникум»

КОМПЛЕКТ МЕТОДИЧЕСКИХ УКАЗАНИЙ

ДЛЯ СТУДЕНТОВ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ

ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ

по математике

для специальностей

100107 Коммерция (по отраслям)

080118 Страховое дело (по отраслям)

080114 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)

Одобрена на заседании

цикловой методической

комиссии

Протокол №

от « » 2014г.

Председатель

____________ Суходол Т. В.

УТВЕРЖДАЮ

Зав.заочного отделения Лазаренко В.М ________

« » 2014 г.

Составила

Утешева Е. Ф.

преподаватель математики ГБОУ АО СПО «Астраханский технологический техникум»

Рецензент:

Кандитат педагогических наук,

Доцент кафедры «Математика»

ФГОУ ВПО «Астраханский

государственный технический

университет» Булычева Ю.В.

Данная работа содержит методические указания к практическим работам по дисциплине «Математика» и предназначена для обучающихся специальностям среднего профессионального образования заочного отделения.

Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по предмету «Математика».

Пояснительная записка

Федеральными государственными образовательными стандартами среднего профессионального образования предусматривается формирование умений самостоятельного принятия решений и профессиональных задач, заниматься самообразованием. В этой связи, большое значение приобретает организация самостоятельной деятельности студентов на учебных занятиях. Разработка данного методического материала является актуальной, поскольку способствует развитию таких умений.

Методические указания предназначены для организации самостоятельной работы студентов заочного отделения на уроках математики.

Методические указания содержат следующие элементы: содержание практической работы, теоретические сведения к практической работе, решение типовых примеров для выполнения работы, вопросы для подготовки к практической работе, рекомендуемую литературу.

Практические занятия служат связующим звеном между теорией и практикой. Они необходимы для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, а так же для получения практических навыков. Практические задания выполняются студентом самостоятельно, с применением знаний и умений, полученных на уроках, а так же с использованием необходимых пояснений, полученных от преподавателя при выполнении практического задания.

Данная работа содержит методические указания к практическим работам по дисциплине «Математика» и предназначена для обучающихся по специальностям среднего профессионального образования.

Цель разработки: оказание помощи обучающимся в выполнении практических работ по предмету «Математика».

Целями проведения практических занятий являются:

- обобщение, систематизация, углубление, закрепление полученных теоретических знаний по конкретным темам учебной дисциплины «Математика»;

- формирование умений применять полученные знания на практике, реализацию единства интеллектуальной и практической деятельности;

- выработка при решении поставленных задач таких профессионально значимых качеств, как самостоятельность, ответственность, точность.

Методические указания разработаны в соответствии с учебной программой. В зависимости от содержания они могут выполняться студентами индивидуально или фронтально.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………..5

1. Практическая работа №1. Вычисление производной функций, нахождение касательной к графику функций………………………..6

2. Практическая работа №2. Вычисление дифференциала функций, нахождение дифференциала первого и второго порядка…………10

3. Практическая работа № 3. Нахождение промежутков возрастания (убывания), точек экстремума……………………………………….13

4. Практическая работа № 4. Исследование и построение графиков функций………………………………………………………………..21

5. Практическая работа № 5. Интеграл. Методы интегрирования. Вычисление неопределенного интеграла……………………………30

6. Практическая работа № 6. Вычисление определенного интеграла..39

7. Практическая работа № 7. Применение определенного интеграла для вычисления площадей фигур…………………………………………46

8. Практическая работа № 8. Элементы теории вероятностей и математической статистики: классическое определение вероятности события, формула полной вероятности, формула Байеса, формула Бернулли, ……………………………………………………………….56

9. Рекомендуемая литература………………………………………………….65

Введение

Комплект методических указаний для студентов по выполнению практических работ предназначен для использования в учебном процессе.

В методических указаниях присутствует необходимый теоретический минимум, включающий важнейшие определения,теоремы и формулы. Часть из них сопровождается подробными решениями.

К практическому занятию от студента требуется предварительная подготовка, которую он должен провести перед занятием. Список литературы и вопросы, необходимые при подготовке, студент получает перед занятием из методических рекомендаций к практическому занятию.

Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического

или практического материала, либо отсутствовал на занятии по уважительной причине, то он может получить консультацию преподавателя.

Требования к оформлению практической работы.

При выполнении работы и ее оформлении необходимо соблюдать следующие правила:

- работа оформляется в тетради, имеющей поля для замечании преподавателя;

- решение задач необходимо располагать в порядке номеров, указанных в заданиях;

- решение задач надо оформлять аккуратно, подробно объясняя все действия и используемые формулы;

- после получения проверенной преподавателем работы, студент должен исправить все отмеченные ошибки и недочеты;

- в случае незачета студент должен в кратчайший срок выполнить все требования преподавателя и представить работу на повторную проверку.

Зачет по каждой практической работе студент получает после её выполнения и предоставления преподавателю на проверку, оформленного отчета, в котором указывает полученные знания и умения в ходе выполнения практической работы, а также ответов на вопросы преподавателя, если таковые возникнут при проверке выполненного задания.

Практическая работа № 1.

Тема: Вычисление производной функции, нахождение касательной к графику функций.

Цель: Проверить на практике знание понятия производной функции, умение находить производные элементарных функций, сложных функций, обратных функций , пользуясь таблицей производных и правилами дифференцирования, понятием сложная и обратная функция.

При выполнении работы необходимо научиться:

- вычислять производные, применяя правила дифференцирования;

- находить касательную к графику функции;

Содержание практической работы.

Задание 1. Найти производную функции y:

а) y = 6-

б) y = (5x+7)

в) y =

г) y =

д) y =

е) y=-7-1

ж) y=(5x+7)

з) y =

и) y = ln(6x-3)

к) y =

Задание 2. Составить уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке с абсциссой х₀.

1) у = 2х⁵ - 5х², х₀ = -1

2) у = х₀ = 4

3) х² + у = 0, х₀ = -1

4) у =

5) у =

6) у=

Теоретический материал и примеры нахождения производной функции.

Определение: Производной функции f(x) (f'(x)) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при приращении аргумента стремящемся к нулю:

=f′(x)

Производные элементарных функций.

Правила дифференцирования.

Если у функций f(x) и g(x) существуют производные, то

1.С′=0

2. (u+v)′=u′+v′

3. (uv)′=u′v+v′u

4. (С·u)′=С·u′, где С=соnst

5. ()′=

6. Производная сложной функции:

f′(g(x))=f′(g)·g′(x)

Примеры.

1. Найти значение производной функции: y = 3-4x+8.

Решение:

По правилу нахождения производной алгебраической суммы функций (формула 2):

y′= (3-4x+8)′= (3-(4x)′+(8)′=3·2x+·-4·1+0=6x+·

2. Найти значение производной функции: y =+4).

Решение:

Функция представляет собой произведение двух множителей: u=+4. По формуле 3:

y′ =+4))′ = +4)+ +4)′=6+4)+·.

3. Найти значение производной функции: y=.

Решение:

Функция представляет собой частное двух выражений: u=4. По формуле 5: y′== =

Решение. Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции (формула 6):

5. Если , то

6. y = x³ - 3x² + 5x + 2. Найдем y '(-1).

y ' = 3x² - 6x+ 5. Следовательно, y '(-1) = 14.

7.Если y = ln x · cos x, то y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙cos x - ln x · sin x.

8.

N

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то - угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().

Уравнение касательной к кривой
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

(2)

9. Составить уравнение касательной к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Решение: Используем уравнения касательной (2):

1)

2)

Подставим в уравнения и получим:

или - уравнение касательной.

Вопросы для подготовки к работе:

1. Сформулируйте определение производной функции в точке.

2. Сформулируйте правила вычисления производных.

3. Чему равна производная f(x) = xⁿ ( n -целое число).

4. Чему равна производная сложной функции?

5. Какую прямую называют касательной к графику функции f в точке

( х₀; f(x₀))?

6. В чем состоит геометрический смысл производной?

7. Напишите уравнение касательной к графику функции f в точке

( х₀; f(x₀)).

Практическая работа № 2.

Тема: Вычисление дифференциала функций, нахождение дифференциала первого и второго порядка. Механический смысл производной.

Цель: Проверить на практике знание понятия дифференциала функции, умение находить дифференциалы первого и второго порядка , пользуясь правилами дифференцирования.

При выполнении работы необходимо научиться:

- вычислять производные, применяя правила дифференцирования;

- находить дифференциалы первого и второго порядка.

Содержание практической работы.

Задание 1. Найти производную второго порядка функции y=f(x).

1)

2)

3)

4)

5)

6)

_{Задание 2. Найдите скорость и ускорение точки в момент t0, если:}

1. _{x(t) = t}³ _{- 2t}²_{+ 5, t0= 4}

2. _{x(t) = 5t - t}²_{, t0= 2}

3. _{x(t) = 3cos 2t, t0= π/4}

4. _{x(t) = 2t}²_{+ t - 4, t0= 4}

Теоретические сведения к практической работе.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

Производной n-го порядка называется производная от производной (n-1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка или

Производная третьего порядка или и т. д.

Пример . Найти производную второго порядка функции

Решение. поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

_{Механический смысл производной.}

Значение средней скорости при стремится к некоторому вполне определенному значению, которое называют мгновенной скоростью v (t)

материальной точки в момент времени t₀.

Мгновенная скорость v (t₀) определена для любой дифференцируемой функции х(t), при этом

v (t)= х^'(t)

- производная от координат по времени есть скорость. В этом заключается механический смысл производной.

Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:

a = v^' (t)

- производная от скорости по времени есть ускорение.

Пример. Материальная точка движется по закону

х(t)= t²+ v₀ t + х_0,

где a ≠ 0, v₀ и х₀ - постоянные. Найти скорость и ускорение движения.

Решение. Скорость этого движения есть первая производная от координат по времени:

v = х^'(t)= ( t²+ v₀ t + х₀)^'= 2 t+ v₀ = а t+ v₀

Ускорение - это вторая производная от координат по времени:

a = х^''(t), т.е. а = v^' (t) = (а t+ v₀)^'= а.

Вопросы для подготовки к работе:

1. Какая функция называется дифференцируемой?

2. Как называется процесс отыскания производной?

3. В чем состоит механический смысл производной?

4. Запишите формулу для нахождения скорости тела в момент t_.

5. Запишите формулы для нахождения ускорения тела в момент t_.

Практическая работа № 3.

Тема: Нахождение промежутков возрастания (убывания) и точек экстремума.

Цель: Проверить на практике знание и умение находить промежутки возрастания и убывания, умение находить точки экстремума.

При выполнении работы необходимо научиться:

- находить промежутки возрастания и убывания функций;

- находить точки экстремума функций.

Содержание практической работы.

Задание . Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

1. у =

2. y =

3. y =

4. y =

5. y =

6. y = - 2x-

Теоретические сведения к практической работе.

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами - большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами - большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку х₀ называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке - наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Достаточный признак возрастания: Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

Достаточный признак убывания функции: Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

• найти область определения функции;

• найти производную функции;

• решить неравенства и на области определения;

• к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

функция возрастает при , убывает на интервале (0;2].

Достаточное условие экстремума.

Пусть функция y=f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна.

Тогда

• если при и при , то - точка максимума;

• если при и при , то - точка минимума.

Другими словами:

• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума;

• если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума.

Алгоритм нахождения точек экстремума по достаточному условию экстремума функции.

• Находим область определения функции.

• Находим производную функции на области определения.

• Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (все перечисленные точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

• Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

• Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак - они и являются точками экстремума.

Пример 1.

Найти экстремумы функции .

Решение.

Областью определения функции является все множество действительных чисел, кроме x=2.

Находим производную:

Нулями числителя являются точки x=-1 и x=5, знаменатель обращается в ноль при x=2. Отмечаем эти точки на числовой оси

Определяем знаки производной на каждом интервале, для этого вычислим значение производной в любой из точек каждого интервала, например, в точках x=-2, x=0, x=3 иx=6.

, следовательно, на интервале производная положительна (на рисунке ставим знак плюс над этим интервалом). Аналогично

Поэтому над вторым интервалом ставим минус, над третьим - минус, над четвертым - плюс.

Осталось выбрать точки, в которых функция непрерывна и ее производная меняет знак. Это и есть точки экстремума.

В точке x=-1 функция непрерывна и производная меняет знак с плюса на минус, следовательно, по первому признаку экстремума, x=-1 - точка максимума, ей соответствуем максимум функции .

В точке x=5 функция непрерывна и производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, x=-1 - точка минимума, ей соответствуем минимум функции .

Графическая иллюстрация.

Ответ:

.

Пример 2: Исследовать на монотонность и экстремум функции

f(x) =

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
2) Найдём критические точки:

- критическая точка.
3) Методом интервалов определим знаки производной:

Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на интервале . В точке функция достигает минимума:

Пример 3: Найти экстремумы функции

Решение:

1. Функция терпит бесконечный разрыв в точке .
   2) Найдём критические точки:
   
   , - критические точки.
   3) Методом интервалов определим знаки производной:
   
   В точке функция достигает минимума: .
   В точке экстремум отсутствует.
   Ответ: в точке функция достигает минимума:
   Примечание: обратите внимание, что информацию об интервалах монотонности раскрывать не обязательно, так как по условию требовалось найти только экстремумы функции.

Пример 4: Исследовать на монотонность и экстремумы функцию

f (x) =

Решение:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки .

2) Найдём критические точки:

Примечание: в данном случае перед дифференцированием выгодно почленно разделить числитель на знаменатель
- критическая точка.
3) Определим знаки производной:

Ответ: функция возрастает на и убывает на . В точке она достигает максимума:

Пример 5: Исследовать на монотонность и экстремумы функцию

f(x) = x ln x

Решение:

Область определения: .
Найдём критические точки:

- критическая точка.
Определим знаки производной:

Ответ: функция убывает на интервале и возрастает на интервале В точке функция достигает минимума:

Вопросы для подготовки.

1. Сформулируйте признак возрастания функции.

2. Сформулируйте признак убывания функции.

3. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания.

4. Сформулируйте признак максимума.

5. Сформулируйте признак минимума.

Практическая работа № 4.

Тема: Исследование и построение графиков функций.

Цель: Проверить на практике знание и умение применять производную для исследования функций, умение исследовать функцию по общей схеме и строить графики функции.

При выполнении работы необходимо научиться:

- исследовать функцию по общей схеме с помощью производной.

Содержание практической работы.

Задание 1. Исследовать функцию и построить график:

2. y=

3. y=

4. y=

5. y=

6. y=

Теоретические сведения к практической работе.

Алгоритм исследования функций

1) Найти её область определения. Если это не слишком сложно, то полезно найти также область значений. (Однако, во многих случаях, вопрос нахождения откладывается до нахождения экстремумов функции.)

2) Выяснить общие свойства функции, которые помогут в определении её поведения: не является ли функция чётной либо нечётной, не является ли она периодической.

3) Выяснить, как ведёт себя функция при приближении аргумента к граничным точкам области определения, если такие граничные точки имеются. Если функция имеет точки разрыва, то эти точки тоже проверить на наличие вертикальных асимптот функции. Найти наклонные асимптоты.

4. Найти точки пересечения графика с осями координат, что состоит в простом вычислении значения функции при условии:

С осью ОX: y=0;

С осью ОY: x=0.

Нахождение точек пересечения с осью может привести к необходимости решить сложное алгебраическое уравнение, что, быть может, удастся сделать лишь приближённо. Отыскав корни функции и точки разрыва, мы можем определить знак функции на каждом из интервалов между этими точками. Это можно сделать либо вычислив значение функции в какой-нибудь из точек интервала, либо применив метод интервалов.

5)Найти промежутки монотонности. Для этого находят производную и решают неравенство:

. На промежутках, где это неравенство выполнено, функция возрастает. Там, где выполнено неравенство , функция убывает.

Найдя интервалы монотонности, мы можем сразу определить точки локального экстремума: там, где возрастание сменяется убыванием, располагаются локальные максимумы, а там, где убывание сменяется возрастанием - локальные минимумы.

6) Нахождение интервалов выпуклости и вогнутости ведётся с помощью второй производной. Найдя , мы определяем знаки на интервалах:

если ›0, то кривая графика функции вогнута;

если ‹0, то кривая графика функции выпуклая.

Заодно определяем точки перегиба как те точки, в которых функция меняет направление выпуклости (и непрерывна).

7) Нахождение точек пересечения графика с асимптотой и дополнительных точек. Этот пункт не носит обязательного характера, однако нахождение таких точек придаёт исследованию функции и построенному её графику законченность и полноту.

Заметим, что получающиеся в процессе исследования функции точки на осях координат и на графике полезно сразу же наносить на чертёж. Это помогает по ходу дела уяснять вид графика.

Пример. Провести полное исследование функции и построить ее график: у =

Решение.

1. Нахождение области определения функции.

Это очень важный шаг исследования функции, так как все дальнейшие действия будут проводиться на области определения.

В нашем примере нужно найти нули знаменателя и исключить их из области действительных чисел.

(В других примерах могут быть корни, логарифмы и т.п. Напомним, что в этих случаях область определения ищется следующим образом:

для корня четной степени, например, - область определения находится из неравенства ;
для логарифма - область определения находится из неравенства ).

2. Исследование функции на четность или нечетность.

Функция является четной, если . Четность функции указывает на симметрию графика относительно оси ординат.

Функция является нечетной, если . Нечетность функции указывает на симметрию графика относительно начала координат.

Если же ни одно из равенств не выполняется, то перед нами функция общего вида.

В нашем примере выполняется равенство , следовательно, наша функция четная. Будем учитывать это при построении графика - он будет симметричен относительно оси oy.

3. Нахождение промежутков возрастания и убывания функции, точек экстремума.

Промежутки возрастания и убывания являются решениями неравенств и соответственно.

Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными.

Критическими точками функции называют внутренние точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции

• во-первых, находим производную;

• во-вторых, находим критические точки;

• в-третьих, разбиваем область определения критическими точками на интервалы;

• в-четвертых, определяем знак производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку возрастания, знак «минус» - промежутку убывания.

Находим производную на области определения

Находим критические точки, для этого:

• Находим стационарные точки (они же нули числителя): в нашем примере ;

• Находим нули знаменателя: .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной внутри каждого полученного промежутка. Как вариант, можно взять любую точку из промежутка и вычислить значение производной в этой точке. Если значение положительное, то ставим плюсик над этим промежутком и переходим к следующему, если отрицательное, то ставим минус и т.д. К примеру, , следовательно, над первым слева интервалом ставим плюс.

Делаем вывод:

• функция возрастает на промежутке и на промежутке ;

• функция убывает на промежутке и на промежутке .

Схематично плюсами / минусами отмечены промежутки где производная положительна / отрицательна. Возрастающие / убывающие стрелочки показывают направление возрастания / убывания.

Точками экстремума функции являются точки, в которых функция определена и проходя через которые производная меняет знак.

В нашем примере точкой экстремума является точка х=0 . Значение функции в этой точке равно . Так как производная меняет знак с плюса на минус при прохождении через точку х=0 , то (0; 0) является точкой локального максимума. (Если бы производная меняла знак с минуса на плюс, то мы имели бы точку локального минимума).

4. Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба.

Промежутки вогнутости и выпуклости функции находятся при решениями неравенств и соответственно.

Иногда вогнутость называют выпуклостью вниз, а выпуклость - выпуклостью вверх.

Здесь также справедливы замечания, подобные замечаниям из пункта про промежутки возрастания и убывания.

Таким образом, чтобы определить промежутки вогнутости и выпуклости функции :

• во-первых, находим вторую производную;

• во-вторых, находим нули числителя и знаменателя второй производной;

• в-третьих, разбиваем область определения полученными точками на интервалы;

• в-четвертых, определяем знак второй производной на каждом из промежутков. Знак «плюс» будет соответствовать промежутку вогнутости, знак «минус» - промежутку выпуклости.

Находим вторую производную на области определения.

Далее ищем нули числителя и знаменателя.

В нашем примере нулей числителя нет, нули знаменателя .

Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак второй производной внутри каждого полученного промежутка.

Делаем вывод:

• функция выпуклая на промежутке ;

• функция вогнутая на промежутке и на промежутке .

Точка называется точкой перегиба , если в данной точке существует касательная к графику функции и вторая производная функции меняет знак при прохождении через .

Другими словами, точками перегиба могут являться точки, проходя через которые вторая производная меняет знак, в самих точках либо равна нулю, либо не существует, но эти точки входят в область определения функции.

В нашем примере точек перегиба нет, так как вторая производная меняет знак проходя через точки , а они не входят в область определения функции.

5. Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот.

Горизонтальные или наклонные асимптоты следует искать лишь тогда, когда функция определена на бесконечности.

Наклонные асимптоты ищутся в виде прямых , где и .

Если k=0 и b не равно бесконечности, то наклонная асимптота станет горизонтальной.

Кто такие вообще эти асимптоты?

Это такие линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Таким образом, они очень помогают при построении графика функции.

Если горизонтальных или наклонных асимптот нет, но функция определена на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, то следует вычислить предел функции на плюс бесконечности и (или) минус бесконечности, чтобы иметь представление о поведении графика функции.

Для нашего примера

- горизонтальная асимптота.

На этом с исследование функции завершается, переходим к построению графика.

6. Вычисляем значения функции в промежуточных точках.

Для более точного построения графика рекомендуем найти несколько значений функции в промежуточных точках (то есть в любых точках из области определения функции).

Для нашего примера найдем значения функции в точках х=-2 , х=-1 , х=-3/4 ,х=-1/4 . В силу четности функции, эти значения будут совпадать со значениями в точках х=2 , х=1 , х=3/4 , х=1/4.

7. Построение графика.

Сначала строим асимптоты, наносим точки локальных максимумов и минимумов функции, точки перегиба и промежуточные точки. Для удобства построения графика можно нанести и схематическое обозначение промежутков возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости, не зря же мы проводили исследование функции =).

Осталось провести линии графика через отмеченные точки, приближая к асимптотам и следуя стрелочкам.

Задача полного исследования функции и построения графика закончена.

Графики некоторых элементарных функций можно строить с использованием геометрических преобразований графиков основных элементарных функций.

Вопросы для подготовки.

1. Опишите схему исследования функции.

Практическая работа № 5.

Тема: Интеграл. Методы интегрирования. Неопределенный интеграл.

Цель: сформировать умение вычислять неопределенные интегралы, используя различные методы интегрирования.

При выполнении работы необходимо научиться:

- вычислять неопределенные интегралы различными методами интегрирования.

Содержание практической работы

Задание 1. Вычислить интегралы.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменного.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Проинтегрировать по частям.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Теоретические сведения к практической работе

Функция , определенная на интервале , называется первообразной для функции , определенной на том же интервале , если

Если - первообразная для функции , то любая другая первообразная для функции отличается от на некоторое постоянное слагаемое, т. е. где .

Неопределенным интегралом от функции называется совокупность всех первообразных для этой функции. Обозначается неопределенный интеграл: где

Операция нахождений первообразной для данной функции называется интегрированием. Интегрирование является обратной операцией к дифференцированию:

Для проверки правильности выполненного интегрирования необходимо продифференцировать результат интегрирования и сравнить полученную функцию с подынтегральной.

Свойства неопределенного интеграла:

1.

2.

3.

4.

Таблица основных интегралов

1. 2.

3.

4. 5.

6. 7.

8. 9.

10. 11.

12. 13.

14. 15.

16. 17.

18.

Каждая из приведенных в таблице формул справедлива на промежутке, не содержащем точек разрыва подынтегральной функции. Вычисление интегралов с использованием таблицы и основных свойств называют непосредственным интегрированием.

Пример 1. Пользуясь таблицей основных интегралов и свойствами неопределенного интеграла, найти интегралы (результат интегрирования проверить дифференцированием):

Решение.

Проверка:

Проверка:

в)

Решение:

(1) Применяем правило . Не забываем записать значок дифференциала под каждым интегралом. Почему под каждым? - это полноценный множитель, если расписывать решение совсем детально, то первый шаг следует записать так:

(2) Согласно правилу , выносим все константы за знаки интегралов. Обратите внимание, что в последнем слагаемом - это константа, её также выносим.
Кроме того, на данном шаге готовим корни и степени для интегрирования. Точно так же, как и при дифференцировании, корни надо представить в виде . Корни и степени, которые располагаются в знаменателе - перенести вверх.

! Примечание: в отличие от производных, корни в интегралах далеко не всегда следует приводить к виду , а степени переносить вверх. Например, - это готовый табличный интеграл, и всякие китайские хитрости вроде совершенно не нужны. Аналогично: - тоже табличный интеграл, нет никакого смысла представлять дробь в виде . Внимательно изучите таблицу!

(3) Все интегралы у нас табличные. Осуществляем превращение с помощью таблицы, используя формулы: , и .
Особое внимание обращаю на формулу интегрирования степенной функции , она встречается очень часто, ее лучше запомнить. Следует отметить, что табличный интеграл - частный случай этой же формулы: .
Константу достаточно приплюсовать один раз в конце выражения (а не ставить их после каждого интеграла).
(4) Записываем полученный результат в более компактном виде, все степени вида снова представляем в виде корней, степени с отрицательным показателем - сбрасываем обратно в знаменатель.

Проверка.

Для того чтобы выполнить проверку нужно продифференцировать полученный ответ:

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

(1)

При этом, если то где - функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования с новой переменной с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

Решение:

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций и непрерывны, то справедлива формула:

(3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей и .

Таблица 1

Вид интеграла

Вид интеграла

- многочлен от степени , т. е. , где .

Пример 3. Проинтегрировать по частям.

Решение.

Вопросы для подготовки к работе.

1. Сформулируйте правила непосредственного интегрирования.

2. В каких случаях применяется способ интегрирования подстановкой?

3. Назовите формулу для интегрирования по частям. Что надо принять за u, а что за dv?

Практическая работа № 6.

Тема: Вычисление определенного интеграла.

Цель: Проверить на практике знание понятия определенного интеграла, умение вычислять табличные интегралы, умение вычислять определенный интеграл методом введения новой переменной и по частям.

При выполнении работы необходимо научиться:

- вычислять неопределенный интеграл методом введения новой переменной и по частям.

Содержание практической работы.

Задание 1. Вычислите определенный интеграл.

Теоретические сведения к практической работе.

Таблица первообразных (неопределенных интегралов).

Определенный интеграл, его свойства и вычисление.

Определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

= F(a)-F(b)

- соответственно верхний и нижний пределы интегрирования, они пишутся и читаются снизу вверх, а в формулу подставляются сверху вниз!)

Основные свойства определенного интеграла:

1. При перестановке пределов интегрирования изменяется знак интеграла:

2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

Пример 1.

==27-8=19.

Пример. Вычислить значение определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

Для начала отметим, что подынтегральная функция непрерывна на отрезке [1;3], следовательно, интегрируема на нем.

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что для функции множество первообразных для всех действительных значений аргумента (следовательно, и для ) записывается как . Возьмем первообразную при C = 0: .

Теперь осталось воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: .

Пример.

По формуле Ньютона-Лейбница вычислите определенный интеграл .

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке [-1;2], поэтому, интегрируема на нем.

Найдем неопределенный интеграл методом подведения под знак дифференциала: . Так мы получили множество всех первообразных функции для всех действительных x, следовательно, и для .

Возьмем первообразную при С=0 и применим формулу Ньютона-Лейбница:

Пример.

Вычислить определенные интегралы .

Решение.

На отрезке подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.

Найдем множество первообразных функции : .

Возьмем первообразную и по формуле Ньютона-Лейбница вычислим требуемый определенный интеграл:

Переходим ко второму определенному интегралу.

На отрезке [-1;1] подынтегральная функция не ограничена, так как , то есть, не выполняется необходимое условие интегрируемости функции на отрезке. Более того, не является первообразной функции на отрезке [-1;1], поскольку точка 0, принадлежащая отрезку, не входит в область определения функции. Следовательно, не существует определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции на отрезке [-1;1].

Итак, перед применением формулы Ньютона-Лейбница обязательно нужно убедиться, что указанный определенный интеграл существует.

Замена переменной в определенном интеграле.

Пусть функция y = f(x) определена и непрерывна на отрезке [a; b]. Множество [a; b] является областью значений некоторой функции x = g(z), которая определена на интервале и имеет на нем непрерывную производную, причем и , тогда .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали методом подстановки.

Разберем на примере для ясности.

Пример.

Вычислить значение определенного интеграла .

Решение.

Подынтегральная функция непрерывна на отрезке интегрирования, следовательно, определенный интеграл существует.

Обозначим . При x=9 имеем , а при x=18 имеем , то есть, . Подставляем полученные результаты в формулу :

Из таблицы неопределенных интегралов видно, что одной из первообразных функции является функция , поэтому, по формуле Ньютона-Лейбница имеем

Можно было обойтись и без формулы .

Если методом замены переменной взять неопределенный интеграл , то мы придем к результату .

Таким образом, по формуле Ньютона-Лейбница вычисляем определенный интеграл:

Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла.

Пусть на отрезке [a; b] определены и непрерывны функции u(x) и v(x) вместе со своими производными первого порядка и функция - интегрируема, тогда на этом отрезке интегрируема функция и справедливо равенство .

Этой формулой удобно пользоваться в тех случаях, когда нам требуется вычислить интеграл , причем неопределенный интеграл мы бы искали интегрированием по частям.

Пример.

Вычислить определенный интеграл .

Решение.

Функция является интегрируемой на отрезке в силу своей непрерывности.

Пусть u(x) = x, а , тогда , а . По формуле получаем

Вопросы для подготовки к работе.

1. Объясните, что такое интеграл.

2. Запишите формулу Ньютона - Лейбница.

Практическая работа № 7.

Тема: Вычисление площади фигур с помощью определенного интеграла.

Цель: сформировать умение применять определенный интеграл для вычисления площадей.

При выполнении работы необходимо научиться:

- вычислять площади плоских фигур с помощью определенного интеграла.

Содержание практической работы.

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 3. Найти длину дуги кривой.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Задание 4. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Теоретические сведения к практической работе.

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями

y = f(x) или x = g(y).

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямыми , x=1, x=4.

Решение.

Построим эти линии на плоскости.

Всюду на отрезке [1;4] график параболы выше прямой . Поэтому, применяем полученную ранее формулу для площади и вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Вычисление площадей плоских фигур в декартовой системе координат

Если плоская фигура (рис. 1) ограничена линиями , где для всех , и прямыми , , то ее площадь вычисляется по формуле:

(8)

Рис. 1

Рис. 2

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим схематический рисунок (рис. 2). Для построения параболы возьмем несколько точек:

x

0

1

-1

2

-2

3

-3

4

-4

y

-2

-1

-1

2

2

7

7

14

14

Для построения прямой достаточно двух точек, например и .

Найдем координаты точек и пересечения параболы и прямой .

Для этого решим систему уравнений

Тогда Итак,

Площадь полученной фигуры найдем по формуле (8), в которой

поскольку для всех . Получим:

Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями, заданными параметрически

Если функции и имеют непрерывные производные первого порядка для всех , то площадь плоской фигуры, ограниченной линией прямыми x = a, x = b, где a = x(t₀),

b = x(t₁), и осью OX, вычисляется по формуле:

(9)

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрически:

Решение. Для построения фигуры составим таблицу значений координат (x, y) точек кривой, соответствующих различным значениям параметра

t

0

x

2

0

-2

0

2

y

0

3

0

-3

0

Рис. 3

Нанесем точки (x, y) на координатную плоскость XOY и соединим плавной линией. Когда параметр изменяется от до , соответствующая точка описывает эллипс (известно, что - параметрические формулы, задающие эллипс с полуосями a и b). Учитывая симметрию фигуры относительно координатных осей OX и OY, найдем её площадь S, умножив на 4 площадь криволинейной трапеции AOB. Согласно формуле (9) получим:

Длина дуги плоской кривой

1. Вычисление дуги плоской кривой в декартовых координатах

Рис. 4

Если кривая задана уравнением , функция имеет непрерывную первую производную при всех , то длина дуги (рис. 4) этой кривой, заключенной между точками и , вычисляется по формуле:

(10)

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Если кривая задана параметрически , и функции имеют непрерывные производные 1-го порядка при всех , то длина дуги , соответствующей изменению параметра от до , вычисляется по формуле:

(11)

Пример. Найти длину дуги кривой

а) б)

Решение.

а) Так как кривая задана в декартовой системе координат уравнением , то для вычисления длины дуги воспользуемся формулой (10). Найдем : и подставим в (10):

б)

Кривая задана параметрически, поэтому воспользуемся формулой (11). Найдем :

и подставим в (11):

Вычисление объемов тел вращения

Если тело образовано вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью OX и прямыми , (рис. 5), то его объем вычисляется по формуле:

(12)

Пример. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями:

Решение. Построим криволинейную трапецию, вращением которой получается тело вращения (рис. 6).

Чтобы получить объем тела вращения из объема тела, полученного вращением фигуры ОАВС, вычтем объем тела, полученного вращением фигуры ОАВ. Тогда искомый объем . По формуле (12) найдем и : (ед. объема);

(ед. объема);

(ед. объема).

Вопросы для подготовки к работе.

1. По какой формуле вычисляется площадь фигуры, ограниченная линиями?

Практическая работа № 8.

Тема: Решение задач на вероятность событий.

Цель: сформировать умение решать задачи на нахождение вероятностей.

При выполнении работы необходимо научиться:

- решать задачи на нахождение вероятностей.

Содержание практической работы.

Задание 1. Используя классическое определение вероятности события, решить следующие задачи:

1. В коробке 4 красных, 5 зеленых, 8 желтых, 7 белых и 1 черный шар. Найти вероятность вытащить: красный шар; синий шар; белый шар; цветной шар; или зеленый или белый шар; не красный шар; шар одного из цветов светофора.

2. В семье - двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок - девочка, если известно, что в семье есть дети обоего пола?

3. Мастер, имея 10 деталей, из которых 4 - нестандартных, проверяет детали одну за другой, пока ему не попадется стандартная. Какова вероятность, что он проверит ровно две детали?

4. В одном ящике 3 белых и 7 черных шаров, в другом ящике - 6 белых и 8 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

5. Издательство отправило газеты в три почтовых отделения. Вероятность своевременной доставки газет в первое отделение равна 0,9, во второе - 0,7, в третье - 0,85. Найти вероятность следующих событий:

а) только одно отделение получит газеты вовремя;

б) хотя бы одно отделение получит газеты с опозданием.

6. В первой урне находятся 12 белых и 4 черных шаров, а во второй 5 белых и 10 черных шаров. Из каждой урны вынули по шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными? Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?

7. В партии из 25 деталей находятся 8 бракованных. Вынимают из партии наудачу две детали. Определить, какова вероятность того, что обе детали окажутся бракованными.

8. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна шестерка.

9. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, большее 4.

10. Найти вероятность, что при бросании игральной кости выпадет число, не меньшее 2 и не большее 5.

Задание 2. Используя формулы полной вероятности и Байеса, решить следующие задачи:

1. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 2 урны?

2. Детали, изготовляемые цехом завода, попадают для проверки их на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что деталь попадет к первому контролеру =0,5, ко второму =0,6. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером =0,94, а вторым =0,92. Годная деталь при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту деталь проверил первый контролер.

3. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартная равна 0,9, а второго - 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь - стандартная.

4. Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 6 синих и 4 черных шаров, во второй - только синие и в третьей - только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар синий?

5. Имеются 2 одинаковые урны. В первой урне находятся 7 белых и 3 черных шаров, во второй - 6 белых и 4 черных. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Выбранный шар оказался черным. Какова вероятность, что этот шар из 1 урны?

Задание 3. Используя формулу Бернулли, решить следующие задачи:

1. Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток не превысит установленной нормы равна 0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

2. Найти вероятность осуществления от одного до трех разговоров по телефону при наблюдении шести независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,6.

3. Прибор состоит из пяти элементов, включенных в цепь параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за время Т равна 0,5. Для безаварийной работы прибора достаточно, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность того, что за время Т прибор будет работать безотказно?

4. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету =0,3. Какова вероятность того, что из семи приобретенных билетов три билета окажутся выигрышными?

5. Магазин получил 40 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,04. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в этой партии.

6. Вероятность изготовления на автоматическом станке стандартной детали равна 0,8. Найдя вероятности возможного числа появления бракованных деталей среди 5 отобранных, найти наивероятнейшее число появления бракованных деталей из 5 отобранных, указав его вероятность.

7. Сколько раз необходимо подбросить игральную кость, чтобы наивероятнейшее выпадение тройки было равно 10?

8. Для данного участника игры вероятность набросить кольцо на колышек =0,3. Какова вероятность того, что при шести бросках 3 кольца окажутся на колышке?

9. На самолете имеются 4 одинаковых двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя в полете равна р. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном двигателе.

10. Вероятность отказа каждого прибора при испытании равна 0,4. Что вероятнее ожидать: отказ двух приборов при испытании четырех или отказ трех приборов при испытании шести, если приборы испытываются независимо друг от друга?

11. Вероятность того, что на некотором предприятии расход электроэнергии не превысит суточной нормы равна 0,8. Какова вероятность того, что в течение пяти рабочих дней из семи перерасхода электроэнергии не будет?

Теоретические сведения к практической работе

_{Классическое определение вероятности}

Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называется теорией вероятностей.

Вероятностью Р(А) события А в испытании с равновозможными элементарными исходами называют отношение числа исходов m, благоприятствующих событию А, к числуn всех исходов испытания.

Пример 1: В партии из 30 миксеров 2 бракованных. Найти вероятность купить исправный миксер.

Аксиомы вероятностей:

Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое вероятностью события А.

Если события А₁, А₂ … попарно несовместны, то Р(А₁+А₂+…)=Р(А₁)+Р(А₂)+…

Свойства вероятностей:

Вероятность невозможного события равна нулю Р=0.

Вероятность достоверного события равна единице Р=1.

Вероятность произвольного случайного события А заключается между 0 и 1: 0<Р(А)<1.

Пример 2: Из 34 экзаменационных билетов, пронумерованных с помощью чисел от 1 до 34, наудачу извлекается один. Какова вероятность, что номер вытянутого билета есть число, кратное трем.

Решение: Найдем количество чисел от 1 до 34, кратных трем. Это числа 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33. Всего таких чисел 11. Таким образом, искомая вероятность

События А и В называются совместными, если они могут одновременно произойти, и несовместными, если при осуществлении одного события не может произойти другое.

События А и В называются независимыми, если вероятность наступления одного события не зависит от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей слагаемых без вероятности произведения: Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Пример 3: Вероятность поражения одной мишени - 0,7, а другой - 0,8. Какова вероятность, что будет поражена хотя бы одна мишень, если по ним стреляют независимо друг от друга.

Решение: Т.к. события совместны, то

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей слагаемых: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Р(А)+Р()=1

Условная вероятность - вероятность одного события, при условии, что другое событие уже произошло.

Вероятность произведения событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого: Р(АВ)=Р(А)∙Р(А/В) или Р(ВА)=Р(А)∙Р(В/А)

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей сомножителей: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В).

Пример 4: В двух коробках лежат ручки разного цвета. В первой коробке - 4 красных и 6 черных, во второй - 3 красных, 5 синих и 2 черных. Из обеих коробок вынимают по одной ручки. Найти вероятность, что обе ручки красные.

Решение: Найдем вероятности вытащить красную ручку из каждой коробки

Тогда вероятность того, что обе ручки красные:

Полная вероятность. Формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий Н₁, Н₂, …, которые образуют полную группу несовместных событий, то вероятность события А вычисляется по формуле

Эта формула называется формулой полной вероятности.

Если выполняются все условия, имеющие место для формулы полной вероятности, и , то выполняется равенство, называемое формулой Байеса:

Пример 1: В первой партии 20 ламп, во второй - 30 ламп и в третьей - 50 ламп. Вероятности того, что проработает заданное время, равна для первой партии 0,7, для второй - 0,8 и для третьей партии - 0,9. Какова вероятность того, что наудачу взятая лампа проработает заданное время? Найти вероятность, что эта лампа принадлежит первой партии?

Решение: Пусть событие А - наудачу взятая лампа проработает заданное время.

Тогда, пусть Н₁ - лампа из первой партии, Н₂ - лампа из второй партии и Н₃ - лампа из третьей партии. Тогда событие А/Н₁ - лампа из первой партии проработает заданное время, А/Н₂ - лампа из второй партии проработает заданное время и А/Н₃ - лампа из третьей партии проработает заданное время. Найдем вероятности

Теперь, используя формулу Байеса найдем вероятность того, что эта лампа принадлежит первой партии

Пример 2: Имеются 3 одинаковые урны. В первой урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, во второй - только белые и в третьей - только черные. Наугад выбираются урна и из нее извлекается один шар. Какова вероятность, что этот шар белый?

Решение: Пусть событие А - извлекается белый шар.

Тогда, пусть Н₁ - шар из первой урны, Н₂ - шар из второй урны и Н₃ - шар из третьей урны. Тогда событие А/Н₁ - белый шар из первой урны, А/Н₂ - белый шар из второй урны и А/Н₃ - белый шар из третьей урны. Найдем вероятности

Формула Бернулли

1. Вероятность того, что событие А наступит ровно m раз при проведении n независимых испытаний, каждый из которых имеет ровно два исхода вычисляется по формуле Бернулли

Пример 1: Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 0,2. Найти вероятность, что из 6 приобретенных билетов 2 окажутся выигрышными.

Решение:

2. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, равна

_{Пример 2: Прибор состоит из шести элементов, работающих независимо друг от друга. Вероятность безотказной работы каждого элемента за определенное время равна 0,6. Для безотказной работы прибора необходимо, чтобы хотя бы один элемент был исправен. Какова вероятность, что за данное время прибор будет работать безотказно?}

Решение:

3. Вероятность наступления события А хотя бы один раз при проведении n независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, наступит не менее m₁ и не более m₂ раз вычисляется по формуле

_{Пример 3: Найти вероятность осуществления от двух до четырех разговоров по телефону при наблюдении пяти независимых вызовов, если вероятность того, что разговор состоится, равна 0,7.}

Решение:

4. Наивероятнейшее значение m₀ числа наступления события А при проведении n повторных независимых испытаний, удовлетворяющих схеме Бернулли, вычисляется по формуле

Пример 4: Магазин получил 50 деталей. Вероятность наличия нестандартной детали в партии равна 0,05. Найти наиболее вероятное число нестандартных деталей в партии.

Решение:

Вопросы для подготовки к работе.

1. Дайте определение вероятности события.

2. Перечислите свойства вероятности.

3. Запишите формулу полной вероятности.

4. Запишите формулу Байеса.

5. Запишите формулу Бернулли.

Рекомендуемая литература

Основные источники

1. Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика. - М.: Образовательно-издательский центр «Академия», 2011

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - М: Издательский центр «Академия», 2011

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Высшая школа, 2009

4. Дадаян А.А. Математика: учеб.- М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005

Дополнительные источники

1. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2007

2. Математика и информатика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / Виноградов Ю.Н., Гомола А.И., Потапов В.И., Соколова Е.В./ - М.: Издательский центр «Академия», 2009

3. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для образовательных учреждений нач. и сред. образования / В.А. Гусев, С.Г. Григорьев, С.В. Иволгина. - М.: Издательский центр «Академия», 2011

4. Спирина М.С. дискретная математика: учеб. - М.: Издательский центр «Академия», 2006

5. Омельченко В.П. Математика. - Ростов-на-Дону.: Феникс, 2006