- Преподавателю
- Математика
- Сообщение по математике на тему Рациональный кубоид
Сообщение по математике на тему Рациональный кубоид
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Уильямс М.(. |
Дата | 20.12.2015 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Рациональный кубоид
Совершенный кубоид (или целочисленный кирпич) - прямоугольный параллелепипед, у которого все семь основных величин (три ребра, три лицевых диагонали и пространственная диагональ) являются целыми числами. Иначе говоря, совершенный кубоид - целочисленное решение системы диофантовых уравнений
До сих пор неизвестно, существует ли такой параллелепипед. Компьютерный перебор не нашёл ни одного целочисленного кирпича с рёбрами до 3·1012. Впрочем, найдено несколько «почти целочисленных» параллелепипедов, у которых целочисленными являются все величины, кроме одной:
-
- одна из лицевых диагоналей нецелая.
-
, - одно из рёбер нецелое.
-
Большое количество эйлеровых параллелепипедов (с нецелой пространственной диагональю).
-
Косоугольные параллелепипеды, у которых все линейные размеры целые. При этом достаточно одного непрямого угла.
В 2005 году тбилисский школьник Лаша Маргишвили предложил доказательство, что целочисленного кубоида не существует - однако на 2012 год работа так и не прошла проверку независимыми учёными. В 2012 году учитель Лаши Маргишвили, директор Грузинско-Американского лицея Мамука Месхешвили опубликовал статью, в которой называет гипотезу о несуществовании совершенных кубоидов недоказанной.
Рациональный кубоид - это почти то же самое, что и совершенный кубоид, только рёбра, диагонали на гранях и пространственная диагональ у него не целые, а рациональные числа. Рациональный кубоид легко превращается в целочисленный путем умножения всех его линейных размеров на одно и то же целое число, поэтому нахождение рационального кубоида равносильно нахождению целочисленного кубоида.
Эйлеров параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед, у которого целочисленные только рёбра и лицевые диагонали, называется эйлеровым. Самый маленький из эйлеровых параллелепипедов - (240, 117, 44), с лицевыми диагоналями 267, 244 и 125. Ещё несколько эйлеровых параллелепипедов:
-
(275, 252, 240),
-
(693, 480, 140),
-
(720, 132, 85),
-
(792, 231, 160).
Эйлер описал два семейства эйлеровых параллелепипедов (отсюда название). Впрочем, полного описания всех эйлеровых параллелепипедов также нет.
Известны такие требования к эйлеровому параллелепипеду (а значит, и к целочисленному кирпичу):
-
Одно ребро делится на 4, второе делится на 16, третье нечётное (если, конечно, он примитивный - то есть, НОД(a, b, c)=1).
-
Одно ребро делится на 3 и ещё одно - на 9.
-
Одно ребро делится на 5.
-
Одно ребро делится на 11.