Технология работы с геометрической задачей (восходящий анализ)

Технология работы с геометрической задачей

Класс 7, Глава «Соотношения между сторонами и углами треугольника», дополнительные задачи

Задача 305. Докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин меньше периметра треугольника.

Дано:

Δ АВС,

Точка М лежит внутри Δ АВС,

Доказать:

Р_АВС>МВ+МА+МС

Вопросы учителя

Ответы учащихся

Записи в тетради и на доске

Прочитайте условие задачи. Что дано, что необходимо доказать?

Даны произвольный треугольник и принадлежащая ему точка.

Постройте чертеж для задачи.

Дано: Δ АВС,

М Δ АВС,

Доказать:

Р_АВС>МВ+МА+МС

Что вы можете определить по рисунку?

Треугольник АВС разбит на три треугольника: Δ АВМ, Δ МВС, Δ АМС.

ВМ

ΔАВМΔ АВС

ΔМВСΔ АВС

ΔАМСΔ АВС

Какой вывод из этого следует?

Что стороны этих треугольников меньше соответствующих сторон большего треугольника

Охарактеризуйте треугольники АВС и АВМ

1. Треугольник АВМ лежит внутри треугольника АВС.

2. Длины двух сторон внутреннего треугольника всегда меньше

3. Периметр внутреннего треугольника меньше внешнего.

4. Сторона АВ общая для этих треугольников

Какой вывод из этого можно сделать?

АВ - основание треугольников АВС и АВМ.

Какое существует теоретическое положение, связывающее стороны треугольника?

Сумма двух смежных сторон треугольника всегда меньше третьей

Выразите сторону АВ используя это теоретическое положение для треугольников АВС и АВМ

АВ<BC+AC

АВ<ВМ+АМ

1. ΔАВМ и Δ АВС

ΔАВМΔ АВС

АВ<BC+AC

АВ<ВМ+АМ

Вы сделали вывод о том, что длины сторон внутреннего треугольника меньше внешнего. Как в этом случае можно записать неравенство

Т.к. ВМ<ВС, а AM<AC, то и их сумма будет также меньше суммы двух соответствующих сторон большего треугольника

АС+ВС>АМ+ВМ

Рассмотрите другу пару треугольников.

Рассмотрим треугольники АВС и МВС.

2. ΔСВМ и Δ АВС

ΔСВМΔ АВС

СВ<BА+AC

СВ<ВМ+СМ

ВА+АС>ВМ+СМ

Аналогично рассмотрим треугольники АВС и АМС

3. ΔСАМ и Δ АВС

ΔСАМΔ АВС

СА<BА+ВC

СА<АМ+СМ

ВА+ВС>АМ+СМ

Сложите получившиеся неравенства

АС+ВС>АМ+ВМ

+ ВА+АС>ВМ+СМ

ВА+ВС>АМ+СМ

2(ВА+ВС+АС)>2(АМ+СМ+ВМ)

Что вы можете сказать о левой и о правой частях неравенства?

Левая и правая часть неравенства имеет один и тот же коэффициент «2».

В скобках записана формула периметра треугольника.

Упростите неравенство

Р>AM+CM+BM

Еще раз прочитайте условие задачи.

Какие выводы Вы можете сделать?

Задача решена.

Чем интересна эта задача?

Зная, что периметр треугольника всегда больше суммы отрезков (расстояний) от произвольной точки внутри треугольника до его вершин можно решать различные задачи, используя этот факт.