Методическая разработка: Применение производной для решения производственных задач

Министерство образования и науки Республики Казахстан

Управление образования Карагандинской области

КГУ «Сатпаевский индустриальный колледж»

Применение производной

для решения производственных задач

Методическая разработка

Рассмотрена на заседании методической комиссии общеобразовательных предметов

Протокол № от ___ __________ года.

Составитель методической разработки:

Преподаватель математики первой категории

Абсалыкова Гульшат Куанышевна

Введение

Основная задача темы «Применение производной для решения производственных задач» - показать студентам, как в жизни и на практике применяются знания и умения нахождения производной для решения практических задач. Изучение данной темы повысит интерес студентов к предмету математика и значимости её в их специальности. Материал изучаемой темы предназначен для студентов 2 курса по специальности «Организация питания».

Усвоение этого материала является одним из важнейших условий для решения производственных задач. Кроме того, чтобы студенты успешно усвоили новую тему, они должны уметь дифференцировать простые и сложные функции; вычислять производную первого, второго порядка; знать геометрический, механический и экономический смысл производной.

На данном уроке осуществляется связь со спецдисциплинами (Организация работы предприятий питания, Технология приготовления пищи), с физикой.

Тема «Применение производной для решения производственных задач» способствует более полному, расширенному и разностороннему изучению и усвоению материала; позволит студентам осознать связь математики со спецпредметами, что должно повысить интерес к предмету математика.

Тема урока

«Применение производной для решения производственных задач»

Цель урока: продолжить формирование знаний студентов о применении производной для решения задач; об истории возникновения и развития теории дифференциального исчисления.

Задачи:

• способствовать развитию умений студентов применять полученные знания о производной для решения производственных задач; развитию навыков самостоятельности при выполнении самостоятельной работы;

• развивать логическое мышление студентов;

• содействовать воспитанию у студентов внимания и аккуратности;

• повышать интерес студентов к предмету Математика путём осуществления межпредметных связей.

Методическая цель: Решение производственных задач путем создания проблемных ситуаций для формирования профессиональных компетенции студентов.

Тип урока: комбинированный.

Межпредметные связи: физика,

I.Организационный момент

Проверка готовности к уроку присутствующих студентов.

Объявление темы и целей урока.

Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы «Применение производной», вспомним смысл производной, будем устно вычислять производную и применять её для решения производственных задач. Также мы познакомимся с историей возникновения и развития теории дифференциального исчисления. Повторение этого материала пригодится при решении производственных задач, а так же нужно для представления более полной картины развития дифференциальных исчислений.

Итак, начнем наш урок с повторения пройденного материала.

II.Повторение пройденного материала.

1.Фронтальный опрос.

• В чем заключается геометрический смысл производной? (значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной).

• В чем заключается механический смысл производной? (Если функция y = f(x) и ее аргумент «x» являются физическими величинами, то производная- это скорость изменения переменной «y» относительно переменной «x» в точке x. Например, если S = S(t) - расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная - это скорость в момент времени t. Если q = q(t) - количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q'(t) - скорость изменения количества электричества в момент времени t, т.е. сила тока в момент времени).

2. Устный счет. Вычислите производную.

Студенты с места озвучивают ответы.

1. y=2x³ +6;

7. y= x⁵ - 4x⁶

2. y =3x -2;

8. y=3ctg x-1

3. y =7+sinx

9. y= 8-9x +7cosx

4. y =x⁹

10. y= 4

5. y =2tgx-8x

11. y=3sinx-7cosx

6. y=

12. y=x⁵ -

3.Выступления студентов с опережающим домашним заданием.

Заслушаем два сообщения на тему «История возникновения и развития теории дифференциального исчисления», посмотрим презентацию.

В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники - Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам - к созданию дифференциального и интегрального исчисления. (Слайд№2)

Происхождение производной. Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие - понятие производной функции - возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.

Первую задачу ( о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки) впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле (Слайд №3)

Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами.

Флюксией называлась производная функции - флюэнты.

Флюэнтой также в дальнейшем называлась первообразная функция (Слайд №4).

В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.

В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке, и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.

(Слайд №12).

По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно. (Слайд №13)

Ньютон, создал свой метод, опираясь на прежние открытия, сделанные им в области анализа, но в самом главном вопросе он обратился к помощи геометрии и механики. Когда именно Ньютон открыл свой новый метод, в точности неизвестно. По тесной связи этого способа с теорией тяготения следует думать. что он был выработан Ньютоном между 1666 и 1669 годами.

Лейбниц обнародовав главные результаты своего открытия в 1684, опережая Исаака Ньютона, который еще раньше Лейбница пришел к сходным результатам, но не публиковал их.

Впоследствии на эту тему возник многолетний спор о приоритете открытия дифференциального исчисления.

(Слайд №15)

III. Изложение нового материла.

1.Экономический смысл производной.

Z = V^Ꞌ (t)Мы вспомнили геометрический и механический смысл производной, но этим значение производной не ограничивается: в приложениях производной отмечается, что она имеет и экономический смысл.

Например, производительность труда в данный момент есть производная объема произведённой продукции по времени:

Z- производительность труда, V - объём произведённой продукции.

Кроме того, производная позволяет находить скорость и темпы изменения различных экономических показателей.

Первая производная показывает скорость изменения, а вторая производная- скорость изменения скорости = ускорение =темпы изменения.

у ^Ꞌ

Показывает, что происходит с изучаемой величиной: увеличивается или уменьшается

у ꞋꞋ

Показывает, в каком темпе это происходит

Законспектируйте объяснение в тетрадь

2.Применим сказанное к решению задач.

Задача. Объём продукции на некотором производстве может быть описан формулой

v= - t³+ t² +100t +50, 1 t 8, t - время. Вычислите производительность труда, скорость её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.

Решение: у=v\(t)= -t³ + 15t +100(ед./час), поэтому после первого часа V^\(1) =112,5 (ед./час), V^\(7) = 82.5 (ед./час). Очевидно, что к концу рабочего дня производительность существенно снизилась. Но это факт понятный и без производной.

Как конкретно изменилась производительность? Для этого найдем её производную. Проанализируем, что с ней происходит?

у^\(t)=V^||(t)= -15t+15.

-5t + 15 =0

t=3;

Эта картина даёт более важную информацию: она говорит о том, что в первые 3 часа работы производительность растёт, а затем убывает.

у^\ 0 + 0 --

у 0 3 t

Как быстро происходит процесс изменения, т. е. в каком темпе она изменится? Этот вопрос решается с помощью второй производной от производительности у^//= -5. Этот результат говорит о том, что изменение происходит в данном случае в одном темпе.

В общем же случае при положительной производной от производительности изменение происходит в ускоренном темпе, при отрицательной - в замедленном.

Вывод. С помощью производной мы убедились, как меняется производительность труда в течение дня, через час после начала работы и за час до её окончания.

IV. Закрепление нового материала.

При закреплении материала вы сначала самостоятельно изучите уже решенную задачу, законспектируете её, а затем попробуете решить самостоятельно подобную задачу.

1.Задача. Затраты на производство «х» единиц товара d(х)=25х+200, цена товара p(х)=100 -

Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной? Чему равна максимальная прибыль?

Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной, если с каждой единицы товара взимается налог, равный 10?

Решение. Прибыль вычисляется по формуле:

Q(х)=х*р(х) - d(х) = 100х - -25х - 200 = - + 75х - 200. Получаем математическую задачу: найти максимальное значение функции Q(х). Q Ꞌ(х) = - + 75 = 0, х=1875

QꞋ (х) _______+ _______________-- _______

Q(х) 0 ↑ 1875 ↓

max

Чтобы прибыль была максимальной, надо произвести 1875 единиц товара.

Величина прибыли: 1875* (100 - ) - 25*1875 - 200 = 70112,5

С учетом налога: Q(х) = х*р(х) - d(х) - 10х =

х* р(х) - 35х - 200 = 100х - - 35х - 200 =65х - - 200, QꞋ (х) = - +65=0, х=1625.

Q ꞌ(х)___ ________ + ________________ -- ____________

0 ↑ 1625 ↓

max

Чтобы прибыль была максимальной при оплате налога, надо произвести 1625 единиц товара.

Ответ: 1) 1875; 70112,5; 2) 1625.

2.Решите самостоятельно

Задача. Опишите темпы изменения издержек, если их зависимость от объема произведенной продукции описывается формулой:

К(х) =

Пример решения задачи.

Темпы издержек = ускорение! Ускорение = вторая производная!

Кꞌ =х³ - 10х +80 =0, Д = 100 - 320< 0, следовательно, корней нет, соответствующая парабола расположена выше оси «х», т.е. К ꞌ> 0.

Это означает, что издержки растут при увеличении объема производства.

К ꞌꞌ =2х - 10, 2х - 10 = 0, х= 5 -точка перегиба

Кꞌ_____ ______________________+____________________

Кꞌꞌ 0 -- 5 +

Если 0≤ х < 5 , то Кꞌꞌ <0, если Х ≥ 5, то Кꞌꞌ> 0.

Вывод:

При изменении объема производства от 0 до 5 издержки растут в замедленном темпе, а при дальнейшем увеличении - растут в ускоренном.

3. Самостоятельная работа с разно уровневыми заданиями

в

а

р

и

а

н

т

На «3»

Вычислите производную.

На «4»

Исследуйте функцию с помощью производной

На «5»

Решите практическую задачу

1

у =8х - х³

у= х³ - 27х

Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой:

К(х) = -0,02х³ + 600х - 1000.

Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются?

2

у= х⁴ -2х

у = 2х³ -6х

Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид:

К(х) = х³ - 4х² + 9х.

Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (К_ср = )

V. Итоги урока.

1. Оценка знаний студентов.

2. Домашнее задание: учить конспект, решить задачу.

Задача № 4: Пельменный цех производит «х» кг пельменей в день. По договору он должен поставить в магазин ежедневно не менее 20 кг пельменей. Производственные мощности цеха таковы, что выпуск не может превышать 90 кг в день. Определите. при каком объеме «у» производства удельные затраты (средние затраты на единицу продукции) будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид

К(х) = - х³ + 98 х² + 200 х.

3. Рефлексия.

Что мне дал прошедший урок?

Повысил ли я свой уровень знаний?

Что было сложным на уроке?

Что мне больше всего понравилось на уроке?

Используемая литература

1. Абилкасимова А.Е. Алгебра и начало анализа. 10 класс.

2. Колмагоров А.Н. Алгебра и начало анализа. 10-11 класс.

3. Малышева О.А . Учебно- методическое пособие для студентов и преподавателей образовательного учреждения средне - профессионального образования.

11