Исследовательская работа по математике по теме «Секреты листа Мёбиуса»

Исследовательская работа

по математике

Автор: Синега Ксения,

Ученица 6«А» класса,

МОСШ №22

Руководитель: Юдинцева

Надежда Львовна,

учитель математики I категории.

г. Нижневартовск

2008 - 2009 учебный год.

Оглавление

Введение.

Лист Мёбиуса - желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

За последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.

Геометрия-слово греческое, в переводе на русский язык означает землемерие, изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы

1. Планиметрия (лат. слово, планум - поверхность, плоскость + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, стереос - пространство + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

З. Топология (гр. топос - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжение, сжатие), не допускающих разрывов и склеивания.

Топология (от греч. tоpos - место и логия) - часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела)

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать - делать с ней всё что угодно, И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади.

Топология в основном изучает поверхности тел и она находит математическое родство между предмета­ми, которые, казалось бы, никак между со­бой не связаны. Например, с точки зрения топологии гайку, макаронину и кружку роднит то, что каждый из этих предметов имеет отверстие, хотя во всех остальных от­ношениях они совершенно различны.

Топология не имеет границ. Она проникает не только во все области математики, но и во многие другие науки. Топологию нельзя заключить ни в какие рамки и поэтому я взяла наиболее интересные (как мне кажется) факты.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии?

Да! Это односторонняя поверхность.

Пример топологии -таинственный и знаменитый лист Мебиуса.

Меня очень заинтересовала эта тема. Я решила углубить свои познания в этой области.

Цель моей работы:

Исследовать лист Мебиуса как один из объектов топологии.

Мною были поставлены задачи:

1. Собрать всевозможную информацию о листе Мебиуса

2. Исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса.

3. Установить области применения ленты Мёбиуса.

Историческая справка.

Таинственная и знаменитая Лента Мёбиуса была обнаружена независимо немецкими математиками Августом Фердинандом Мёбиусом и Иоганном Бенедиктом Листингом в 1858 году.

Август Фердинанд Мёбиус годы жизни 1790-1868г.г., немецкий геометр. Родился в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством К. Гаусса изучал астрономию. Профессор Лейпцигского университета с 1816 года. Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию систему координат и аналитические методы исследования; получил новую классификацию кривых и поверхностей, установил общее понятие проективного преобразования; исследовал коррелятивные преобразования. Начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором. Работая в спокойном уединении, Мёбиус сделал много интересных открытий. Установил (1858г.) существование односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

Открыть свой "лист" Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы ленты.

Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, ученик знаменитого К.Ф. Гаусса, астроном и геометр, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса - Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса - всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) - две стороны. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: начните постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен. Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее! А можете проследить путешествие человека по листу Мёбиуса на рисунке. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология. Любопытно, что это название ей дал Иоганн Листинг. Начало этой современной науки положили исследования листа Мёбиуса. Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Изучение листа Мёбиуса - хорошее введение к элементам топологии

Изготовление листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса относится к числу математических неожиданностей. Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВВ*А*, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и А*В*, т.е. так, что совместятся точки А и В* и точки А* и В.

Получим перекрученное кольцо. И задаемся вопросом: сколько сторон у этого куска бумаги? Две, как у любого другого? Нет. У него ОДНА сторона. Не верите?

Хотите - проверьте. Убедимся в этом: возьмём кисти и краски, начнём постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист у нас полностью будет окрашен.

Или представьте себе, что по ленте Мебиуса путешествует муравей, то пройдя весь путь, он вернется в исходную точку. При этом он обойдет обе поверхности - наружную и внутреннюю, не пересекая ребра. Это доказывает, что лента Мебиуса является односторонней поверхностью.

У листа Мёбиуса - всего одна сторона!

Эксперименты с листом Мёбиуса.

Эксперимент 1. Что получится, если обыкновенное (не перекрученное) бумажное колечко разрезать вдоль его средней линии? Очевидно - два кольца, причем длина окружности каждого будет такой же, как длина окружности первоначально взятого колечка. А если вы разрежете лист Мебиуса вдоль его средней линии, то вместо двух лент получится одна длинная лента с двумя полуоборотами.

Эксперимент 2. Если разрезать ленту Мёбиуса, отступая от края приблизительно на треть её ширины, то получаются две ленты, одна-более тонкая лента Мебиуса, другая - длинная лента с двумя полуоборотами.

Эксперимент 3. Если разрезать ленту на четыре равные части, то мы получим две ленты с двумя полуоборотами.

Эксперимент 4. Зацепим лист Мёбиуса и простое кольцо и разрежем каждое звено этой цепочки по средней линии вдоль. Получится лента с двумя полуоборотами. И за эту ленту зацеплены два кольца, каждое из которых в два раза уже исходного.

Такие эксперименты можно продолжать до бесконечности! И получать всё новые и новые результаты!

Предлагаю провести самостоятельно эксперименты:

1. Если разрезать ленту на шесть равных частей, то мы получим три ленты с двумя полуоборотами завязанные в узел.

2. Если разрезать ленту с тремя полуоборотами, то получится лента, завитая в узел трилистника.

3. Что получится если разрезать это кольцо вдоль, отступив от края на ¼? На 1/5?

А сейчас я хочу предложить очень удивительное на мой взгляд превращение листа Мебиуса!

4. Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии. Вы поразитесь тому, что получится, если разрезать двойное кольцо.

Получилась квадратная рамка!

Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мёбиус

Мы убедились в том, что лист Мёбиуса обладает такими топологическими свойствами как односторонность, непрерывность, связность.

Применение листа Мебиуса в жизни.

Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он актуален и в XX веке, и в XXΙ.

Удивительные свойства листа Мёбиуса применялись и используются сейчас в технике, физике, оптике. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Любопытно, что лист Мебиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.

Лист Мёбиуса в технике и физике

Для начала надо вспомнить, что на магнитных лентах, закрученных по Мебиусу, объем записываемой информации увеличивается вдвое и проигрывается в два раза дольше. Были созданы особые кассеты, которые дали возможность слушать их с "двух сторон" не меняя местами.

В технике, например, при шлифовании, широко используются мебиусные ленты. Подобные устройства способны не только шлифовать, но и резать различные материалы, те же граниты и базальты.

Эта лента отлично работает при обвязке и переноске грузов в портах. Ленты конвейеров для перемещения горячих материалов, если их вывернуть по Мебиусу, будут по очереди «отдыхать» от раскаленных материалов. В итоге охлаждение ленты улучшается, а лента равномерно изнашивается значит, и служить она будет дольше.. Это даёт ощутимую экономию.

Если у ременной передачи ремень сделать в виде листа Мёбиуса, то его поверхность будет изнашиваться вдвое медленнее, чем у обычного кольца.

А лет восемнадцать назад ленточке нашли совсем другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лента Мёбиуса же, поправ все законы, направления срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках - её нельзя перекрутить, как обычную - своего рода вечный двигатель. Полоса ленточного конвейера выполнялись в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась. Также в системах записи на непрерывную пленку применялись ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой зеркального своего двойника.

Силовая конструкция (квадратная), мешалка (большая круглая), винты, испытывающиеся на модели судна (два маленьких круглых)

Трансформатор

Лист Мёбиуса в природе и в жизни.

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того - такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти - спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение.

Лист Мёбиуса в искусстве.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Лист Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка Стена Темноты. Иногда научно - фантастические рассказы предполагают, что наша вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда, появляясь снова только через несколько месяцев.

А Козьма Прутков подарил читателям афоризм: "Где начало того конца, которым оканчивается начало?".

Очень интересны памятники, посвящённые ленте Мёбиуса.

Ювелиры посвятили свои работы ленте Мёбиуса.

Лист Мёбиуса изображают на различных эмблемах, значках, как, например, на значке механико-математического факультета Московского университета.

Международный символ переработки также представляет собой Лист Мёбиуса.

Кроме того именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны.

Итак в заключении я хочу сказать, что лист Мёбиуса обладает многими интересными свойствами.

1. Лист Мебиуса имеет один край.

2. Лист Мебиуса имеет одну сторону.

3. Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура лепта Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

4. Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния

Заключение.

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников.

В этой работе я пыталась описать свойства прекрасной поверхности-листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса - топологическая фигура.

Топология изучает не только односторонние поверхности. К топологи­ческим задачам относятся задачи на вычерчивание фигур одним рос­черком. Сеть таких кривых называют графами. Но об этом другой разговор.

Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни:

• У математиков- идут дальнейшие исследования;

• У школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса;

• В технике - открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса.

Мною не исчерпаны опыты с листом Мёбиуса. Они бесконечны, интересны и зависят от собственного терпения.

Литература.

1. Волошинов А.В., "Математика и искусство" издательство:"Просвещение"

2. Газета «Математика» приложение к издательскому дому «Первое сентября»,№14 1999г., № 24 2006г.

3. Гарднер М. «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978г

4. Гусев В.А., Комбаров А.П. «Математическая разминка»

5. интернет - ресурсы сайта: ru.wikipedia. org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0 25.12.2007

6. Кордемский Б. А. Топологические опыты своими руками Квант, 1974, №3

7. Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь «Педагогика»,1987

8. Савин А.П., Станцо В.В., Котова А.Ю. «Я познаю мир математика»

9. Стинрод Ю.. и Чинн У. «Первые понятия топологии», Москва, из-во «Мир», 1967 год.