Проектно-исследовательская работа по геометрии 8 класс Как определить высоту школы с помощью подручных средств

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 1» города Воткинска УР

Школьная научно-практическая конференция учащихся

«Сохраним мир потомкам»

« Как определить высоту предмета с помощью подручных средств »

Авторы: Порсев Иван,

Захаров Влад

ученики 8 «а» класса МБОУ СОШ №1

Научный руководитель:

Колесникова Татьяна Павловна

учитель математики МБОУ СОШ №1

Воткинск, 2015г.

Содержание.

1 Введение…………………………………………………….1-3

2 Теоретическая часть………………………………………..3-4

3. Практическая часть………………………………………..4-18

4. Заключение………………………………………………...17-18

5. Использованная литература………………………………18-19

1 Введение

«Время от времени следует производить

самые дикие эксперименты. Из них почти

никогда ничего не выходит, но если они

удаются, то результат бывает потрясающим»
Эразм Дарвин

В начале прошлого столетия великий французский архитектор Корбюзье как-то воскликнул: «Все вокруг геометрия!». Сегодня уже в начале 21-го столетия мы можем повторить это восклицание с еще большим изумлением. В самом деле, посмотрите вокруг - всюду геометрия! Современные здания и космические станции, авиалайнеры и подводные лодки, интерьеры квартир и бытовая техника, микросхемы и даже рекламные ролики. Воистину, современная цивилизация - это Цивилизация Геометрии. Геометрические знания и умения, геометрическая культура и развитие являются сегодня профессионально значимыми для многих современных специальностей, для дизайнеров и конструкторов, для рабочих и ученых. Важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Геометрические знания широко применяются в жизни - в быту, на производстве, в науке.

Геометрия - это целый мир, который окружает нас с самого рождения. Ведь все, что мы видим вокруг, так или иначе относится к геометрии, ничто не ускользает от ее внимательного взгляда. Геометрия помогает человеку идти по миру с широко открытыми глазами, учит внимательно смотреть вокруг и видеть красоту обычных вещей, смотреть и думать, думать и делать выводы. Использование различных приборов, механизмов и приспособлений в наше время значительно упрощает жизнь современных людей. Но иногда возникают ситуации, когда нет возможности применить технические средства. Например: довольно часто туристам требуется определить расстояния на местности, оценить размеры предметов. Из-за отсутствия приборов это можно сделать с помощью подручных средств или на глаз.

Актуальность исследования

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе математики и физики методов измерения высоты здания.

2. Приобретенный опыт позволит находить без каких-либо сложных технических устройств расстояние до недоступных точек наиболее удобным способом.

3. Изучение данной темы помогает более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам ЕГЭ и ГИА.

Основная цель нашей работы: научиться измерять недоступные высоты разными способами, формирование математических приемов решения различных задач реальной жизни

В связи, с чем были поставлены следующие задачи:

1. знакомство с историческим и теоретическим материалом по вопросу измерения высоты недосягаемого объекта;

2. решение практических задач;

3. Показать практическое применение геометрических знаний в окружающем нас мире.

4. Показать умение проводить измерительные работы на местности.

Гипотезы: 1.Длина шага человека равна половине его роста.

2. Если человек знает подобие треугольников, возникнет необходимость их применения в жизни

Методы исследования: Сравнительный, аналитический, теоретические и экспериментальные исследования:

1. работа с литературой;

2. поиск информации во всемирной сети Интернет;

3. практические методы: измерения и сравнение;

4. математические расчеты

Объектом исследования нашей работы является здание школы.

Предметом исследования - высота школы и способы её измерения.

При написании данной работы нами были использованы знания тем: "Пропорция", "Равнобедренный треугольник", "Прямоугольный треугольник", «Подобные треугольники», «Решение треугольников» для измерений на местности, связать теорию с практикой и с окружающим нас миром.

Для проведения экспериментов было использовано следующее оборудование: линейка (цена деления - 1 мм), рулетка (цена деления - 1 см), зеркало, транспортир (цена деления 1°), две рейки (их длины будут указаны ниже), камушек, сферический груз, секундомер (цена деления 0,01 с), кусок мела, катушка светлых ниток, карандаш, маркер, ножницы, воздушный шарик и др.

2. Теоретическая часть.

«Природа говорит языком математики. Буквы этого языка - круги, треугольники и иные математические фигуры.»

Галилео Галилей.

Высота пирамиды по способу Фалеса

Самый легкий и самый древний способ - без сомнения, тот, которым греческий мудрец Фалес за шесть веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался его тенью. Фалес, говорит предание, избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. В этот момент высота пирамиды должна равняться длине отбрасываемой ее тени. Это, пожалуй, единственный случай, когда человек извлекает пользу из своей тени.

Чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать некоторые геометрические свойства треугольника, - именно следующие два:

1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, и обратно - что стороны, лежащие против равных углов треугольника, равны между собою (открыл сам Фалес).

2. Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.

Вооруженный этими знаниями Фалес вправе был заключить, что, его собственная тень равна его росту, солнечные лучи встречают ровную почву под углом в половину прямого, следовательно, вершина пирамиды, середина ее основания и конец ее тени должны обозначить равнобедренный треугольник.

Этим простым способом очень удобно воспользоваться. Но в наших широтах не так легко, как в Египте, подстеречь нужный для этого момент. Солнце у нас низко стоит над горизонтом, и тени бывают, равны высоте отбрасывающих предметов лишь в околополуденные часы летних месяцев.

Можно возразить, неужели без геометрии неясно, что во сколько раз дерево выше, во столько раз и тень его длиннее?

Конечно, нет. Здесь нужно применить признак подобия треугольников по двум углам.

Изменим способ Фалеса: в солнечный день можно пользоваться любой тенью, какой бы длины не была. Измерив свою тень или тень какого - либо шеста, вычисляем: АВ : ав = ВС : вс, т.е. высота дерева во столько же раз больше собственной высоты, во сколько раз тень дерева длиннее вашей тени.

Измерения голыми руками.

Рассматривается, что у большинства людей расстояние между концами расставленных рук равно росту - правило, подмеченное гениальным художником и ученым Леонардо да Винчи: оно позволяет пользоваться нашими «живыми метрами». Исследовав учащихся нашего класса, мы убедились в этом.

Искусство мерить шагами.

Проходя 10м, и посчитав количество шагов, мы сделаем вывод, что на самом деле длина шага человека равна половине его роста, считая до уровня глаз.

3. Практическая часть.

Ход эксперимента.

Способ измерения

Описание работы

1.

При помощи журнала или записной книжки.

А

В качестве прибора для приблизительной оценки недоступной высоты вы можете использовать и свою карманную записную книжку, если она снабжена карандашом, всунутым в чехольчик или петельку при книжке. Она поможет вам построить в пространстве те два подобных треугольника, из которых получается искомая высота. Книжку надо держать возле глаз так, как показано на фото. Она должна находиться в отвесной плоскости, а карандаш выдвигается над верхним обрезом книжки настолько, чтобы, глядя из точки а, видеть верх здания покрытой кончиком карандаша. Тогда, вследствие подобия треугольников и, высота здания определится по пропорции.

МС=7,98м СЕ=0,15м АЕМ=45°, тогда , , АМ=8,13 ∙ 1. Мой рост 1,62м, тогда высота здания 8,13+1,77=9,9м

2.

Использование зеркала

(или лужи)

Оборудование: рулетка и зеркало.

Чтобы воспользоваться этим методом нужно знать закон отражения света и свойство подобия треугольников.

Ход работы:

1. Необходимо положить зеркало на землю.

2. Найти положение, при котором в зеркале видно отражение края крыши школы, а с другой стороны отражение человека.

3. Измерить расстояния:

от человека до зеркала, от школы до зеркала; рост человека.

4. Составить простое соотношение:

H/h=L/l,

где H - высота школы,

h - высота человека =1,75м

L - расстояние от зеркала до школы = 5,77м

l - расстояние от зеркала до человека =1м

5. Вычислить H :

H = h_*L/l

6. Повторить измерения при разных значениях L несколько раз, для увеличения точности эксперимента.

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 10,1 метра.

3.

Использование треугольника с углом 45 градусов

(в качестве треугольника можно свернуть обычный лист бумаги так, чтобы один угол был равен 45 градусам. Охотники могут заменить треугольник ружьем с ремнем. )

Оборудование: треугольник с углом 45 градусов или любой предмет его заменяющий.

Необходимо построить равнобедренный треугольник, одним из катетов которого является школа.

Ход работы:

1. Отойти от школы на такое расстояние пока линия крыши школы не совместится с линией гипотенузы треугольника и вашего глаза. Держа треугольник вертикально, посмотреть вдоль гипотенузы и увидеть крышу школы.

2. Измерить расстояние L от школы до человека.

3. Прибавить к полученному числу рост человека до уровня глаз h, это и будет высота школы H.

4. Результаты занести в таблицу:

L

8,5

h

1,5

H

10

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 10 метров.

4.

Метод скаутов. Используя карандаш

(ручку или палочку)

Оборудование: карандаш, рулетка.

Этот метод основан на простом измерении.

Ход работы:

1. Поставить одного человека рядом с углом школы.

2. Второму отойти от школы так, чтобы видеть школу целиком.

3. Перед собой вытянуть руку с карандашом, зажатым в кулаке. Прищурить один глаз, и расположить карандаш так, чтобы он полностью совпал с размерами школы.

4. Повернуть кулак на 90 градусов так, чтобы карандаш оказался параллелен земле, при этом основание карандаша должно по- прежнему совпадать с основанием школы.

5. Попросить первого человека отойти от школы в сторону на которую указывает основание карандаша. Как только он достигнет точки острия карандаша, остановиться.

6. Измерить расстояние от школы до первого человека L - это и будет высота школы H.

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 10 метров.

5.

Используя фотографию

Оборудование: фотоаппарат.

Для получения результата используем метод сравнения размеров.

Ход работы:

1. Поставить одного человека рядом со стеной школы.

2. Держа фотоаппарат вертикально сфотографировать.

3. По готовой фотографии измерить высоту человека, и школы.

4. По формуле определить высоту школы:

H = h_*L/l,

где H - высота школы,

h -рост человека = 1,77м,

l - рост человека на фотографии = 1,1см,

L - высота школы на фотографии = 6,2см

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 9,98метра.

6.

Используя тень предмета

Оборудование: рулетка.

Необходимое условие для применения этого метода - солнечный день. Для получения результата опять используем метод сравнения размеров.

Ход работы:

1. Измерить длину тени от школы и от человека, рост которого нам известен.

2. По формуле определить высоту школы:

H = h_*L/l,

где H - высота школы,

h -рост человека =1,75м

l - длина тени от человека= 2,5м,

L - длина тени от школы =14,4м

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 10,1 метра.

7.

Используя статистический метод

Оборудование: метровая линейка.

Самый простой, но и самый ненадежный метод исследования.

Ход работы:

1. Поставить человека рядом с измеряемым предметом, держащего вертикально метровую линейку.

2. Предложить оценить высоту школы на глаз как можно большему количеству людей, сравнивая его с метровой линейкой.

3. Рассчитать высоту школы H как среднее арифметическое полученных данных.

3. Результаты занести в таблицу:

№ п/п

H

1

10

2

9,5

3

9,5

5

10

6

10,5

Ср. арифм.

9,9

Вывод: используя этот метод мы выяснили, что высота школы составляет 9,9 метра.

8.

Используя воздушный шарик, наполненный гелием

Оборудование: воздушный шарик, наполненный гелием, длинная нить, метровая линейка.

Самый интересный и веселый метод измерения. Необходимо сравнить высоту школы с длиной нити. Обязательное условие - отсутствие ветра.

Ход работы:

1. Привязать к шарику нить и отпускать шарик до тех пор, пока он не достигнет верхушки школы.

2. Вернуть шарик назад и измерить длину нити - это и будет высота школы H.

Вывод: используя этот метод мы смогли определить высоту школы 10 метров

Метод математического маятника

Прикрепим к нити с одного конца груз и закинем нить так, чтобы она концом с камушком намоталась на поручень защитного ограждения на крыше. К свободному концу прикрепим сферический груз в таком месте, чтобы при его отпускании он висел близко к земле. Получим, таким образом, математический маятник.

Выведем маятник из положения равновесия, отклонив груз на малый угол относительно вертикали, проходящей через точку подвеса.

Замерим время t, необходимое для определённого числа колебаний (обозначим это число колебаний через n). Пусть n = 50, t = 312,53 c. Найдём период колебаний по формуле:

Теперь воспользуемся формулой периода колебаний математического маятника:

Исходя из формулы 1 и 2, вычислим значение неизвестной :

Очевидно, что H=l, где H - высота школьного здания. (Хотя мы и намотали нить на выступ защитного ограждения, но точкой подвеса нужно считать место соприкосновения нити с краем крыши, т.е. отрезок нити AB неподвижен.) Длина нити математического маятника l=BC.

Наконец, приходим к формуле:

Подставим численные значения всех вошедших в последнюю формулу величин, принимаю g = 9,8 м/с²:

Примечание: Формула периода колебаний математического маятника могла появиться только после 1657 г., когда Х.Гюйгенс изобрел маятниковые часы.

Ответ получить не удалось, не смогли забросить на крышу веревку, чтобы она там зацепилась.

10.

Пиратский метод

Возьмём катушку ниток, прикрепим к свободному концу мотка ниток груз, а катушку наденем на карандаш. Во время эксперимента карандаш нужно держать максимально близко к земле, а катушке - дать возможность вращаться, разматывая при этом нитку.

Встав максимально близко к стене школы, бросим груз вертикально вверх. В момент достижения грузом стены школы на размотавшуюся нить наносим штрих маркером. После спуска конструкции измеряем с помощью рулетки длину нити от её кончика до ближнего к нему кончика метки.

Примечание: Эксперимент мы выполняли втроем: первый бросал груз, второй стоял в 100 метрах и сигнализировал о достижении грузом высоты школьного здания, третий ставил метку на нити.

Ответ получить не удалось, т.к. нитка плохо разматывалась с катушки, или мы не могли добросить до крыши школы.

11.

При помощи рейки известной длины

Установим рейку перпендикулярно земле на расстоянии S от стены школы. Глаз наблюдателя расположим в точке А

Направим рейку так, чтобы один конец соприкасался с глазом, а другой был направлен на верхний край стены.

Очевидно, что < BAC = < DBE, обозначим их α.

Очевидно, высота школы равна:

Измерим с помощью транспортира угол α, α = 30°

Измерим расстояние S с помощью рулетки. S =15,4м

Подставим численные значения:

Ответ: H =9,9метра.

12.

При помощи шеста, равного росту измеряющего.

В этой задаче я использую шест, который равняется моему росту 1,75м. Место для шеста выбрала так, чтобы лежа, я видела край крыши здания на одной прямой линии с верхней точкой шеста. Шест перпендикулярен поверхности, на которой я лежу. Тогда образованный треугольник прямоугольный, и угол, где мои глаза равен 45° и, следовательно, расстояние от моей макушки до здания равно высоте здания - 10м.

Заключение.

«Правду дополняет ясность»

- Нильсон Бор.

В ходе нашего исследования мы применили двенадцать методов измерения высоты объекта. Самый ненадежный - статистический метод. Самым доступным способом является метод скаутов, т.к. он требует минимум оборудования и всего одно измерение. Все остальные способы связаны с применением метода сравнения, используя основы геометрии и законы оптики.

Результаты всех измерений отражены в таблице:

№ п/п

Метод измерения

Высота предметаH

1.

При помощи журнала или записной книжки.

9,9

2.

Использование зеркала

10,1

3.

Использование треугольника с углом 45 градусов

10

4.

Метод скаутов

10

5.

Используя фотографию

9,98

6.

Используя тень предмета

10,1

7.

Используя статистический метод

9,9

8.

Используя воздушный шарик

10

9.

При помощи рейки известной длины

9,9

10.

При помощи шеста, равного росту измеряющего.

10

Среднее арифметическое значение

9,99

Видно, что разница между наименьшим и наибольшим значением высоты объекта составляет всего 0,1 метра. Даже с учетом того, что достаточным опытом мы не обладаем и проводили подобную работу впервые, можно утверждать - точность наших измерений высокая.

Мы поинтересовались у заместителя директора школы по АХЧ Мельниковой Натальи Александровны об истинной высоте здания. По документации высота этой части школьного здания 10,12м. Так что наши измерения достаточно верны.

Конечно, измерение высоты удаленного предмета удобнее делать, когда в наличии имеется специальное измерительное оборудование. Но не каждый раз удается предугадать ситуацию, которая может возникнуть на прогулке или в туристическом походе. Вот тогда такие простые знания пригодятся и даже помогут выйти из затруднительного положения. Приведенные в приложении способы, подобраны так, чтобы можно было измерить высоту здания, не имея при себе никакого сверх технологического оборудования. Данная работа может служить хорошим пособием для подготовки к выпускным экзаменам.

Список литературы

1. Журнал «Потенциал»

2. Физический справочник

3. Учебник физики А.А.Пинского

4. В.Н.Руденко. Геометрия Просвещение 2009г.

5. Л.С.Атанасян. Геметрия. Просвещение 2013г.

6. Научно- практический и методический журнал. Математика в школе. № 2 Издательство «Школьная пресса»

7. Газета. Математика. Издательский дом «Первое сентября»

8. Я.И.Перельман. Занимательная геометрия.

9. А.П.Савин и др. Я познаю мир. Москва АСТ.2000

10. Б.В.Гнеденко и др. Энциклопедический словарь юного математика. М. «Педагогика»1985г.

11. Г.И.Глейзер. История математики в школе.Просвещение.1985.

12. taina.aib.ru/biography/nils-bor.htm

13. Газета "Математика"№25 - 2000г., Автор Г.Душкина.

14. bajena.com/ru/?p=1004

15. visotki.ru/m2.php

16. mmforce.net/msu/heart

17. fizika.ru/

5