«Решение задач повышенной сложности»

Рабочая программа

элективного курса по математике

для обучающихся 11-х классов

«Решение задач повышенной сложности».

Составитель рабочей программы:

Полякова Наталья Анатольевна.

Учитель математики.

Пояснительная записка.

Введение новой формы итоговой аттестации за курс средней школы - Единого Государственного Экзамена и широкое использование задач с параметрами в экзаменационных материалах ставит перед школой новую задачу - готовить учащихся к решению упражнений данного вида.

Изучение этой темы, ставя перед учениками новые проблемы, стимулирует развитие их математической культуры и навыков аналитического мышления, хорошей техники исследования.

Вместе с тем, в школьном курсе математики эта тема практически не представлена. Восполнить пробел возможно за счёт изучения данного элективного курса. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Между тем, задачи с параметрами можно и нужно использовать, уже начиная с линейных и квадратных уравнений и неравенств. Это могут быть задачи нахождения решений в общем виде, определения корней, удовлетворяющим каким-либо свойствам, исследования количества корней в зависимости от значений параметра. Так сделано в «Сборнике задач по алгебре для 8-9 классов»,1994г. (авторы:М.Л.Галицкий, А.М.Гольдман,Л.И.Звавич).

Важно, чтобы школьники уже на первых простых примерах усвоили:

1. Необходимость аккуратного обращения с параметром - фиксированным, но неизвестным числом, поняли, что оно имеет двойственную природу (с одной стороны, это некоторое число, с другой стороны, степень свободы общения с ним ограничивается его неизвестностью).

2. Запись ответа существенно отличается от записи ответа аналогичных уравнений и неравенств без параметра.

Мотивами для выбора данного курса учащимися могут быть следующие:

1. Подготовка к экзаменам.

2. Поддержка изучения школьного курса математики.

3. Заинтересованность математикой.

4. Профессиональная ориентация.

5. Математическое любопытство.

Курс ориентирован на категорию учащихся, обладающих математической подготовкой, проявляющих интерес к изучаемому вопросу, имеющих дальнейшей целью поступление в вуз. Программа также может быть использована при подготовке к олимпиадам, математическим конкурсам.

Цель курса:

1. Расширенное, профильное обучение решению задач с параметрами.

2. Подготовка к ЕГЭ по курсу «Математика».

3. Создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности.

Задачи курса:

1. Сформировать у учащихся представление о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера, показать их многообразие.

2. Научить применять аналитический метод в решении задач с параметрами.

3. Научить приёмам выполнения изображенийна плоскости и их использованию в решении задач с параметрами.

4. Научить осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновывать сделанный выбор.

5. Способствовать подготовке к поступлению в вуз и продолжению образования.

6. Обеспечить подготовку к осознанному и ответственному выбору сферы будущей профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

Нельзя отрицать, что для того, чтобы успешно решать задачи с параметрами, часто требуется, говоря словами известного немецкого математика и популяризатора науки Ф.Клейна, «хотя и не слишком изощрённое, но всё-таки трюкачество».

Содержание программы

1. Линейные уравнения с параметром.

2. Линейные неравенства с параметром.

3. Квадратные уравнения с параметром.

4. Квадратные неравенства с параметром.

Чтобы облегчить процесс обучения методам решения базовых видов задач с параметрами, наряду с обычными методиками я часто применяю элементы алгоритмизации. Опыт показывает, что после решения определённого количества специально подобранных задач конкретного типа целесообразно предложить учащимся самим попытаться выработать алгоритм решения всех задач рассмотренного типа. Наиболее подготовленные ученики легко справляются с этой по-настоящему исследовательской проблемой. Для всех учеников полученная схема служит руководством, оберегающим их от ошибок при решении задач.

Следует подчеркнуть, что решить задачу с параметрами - это значит установить, при каких значениях параметров задача имеет решения, найти эти решения в зависимости от параметров.

Содержание обучения.

Понятие параметра. Что значит решить уравнение или неравенство с параметром. Что значит исследовать уравнение, содержащее параметр.

Цель: дать первоначальное представление о параметре, помочь учащимся привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

Линейное уравнение с параметром. Общий метод решения уравнения вида ах=в, решение линейных уравнений с параметром, сводящихся к виду ах=в. Линейные уравнения с параметром, содержащие дополнительные условия.

Цель: поиск решения линейных уравнений в общем виде, исследование количества корней в зависимости от значения параметра.

Линейные неравенства с параметром вида ах≤в, ах≥в.

Цель: выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углублённое изучение методов решения линейных неравенств.

Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к линейным.

Решение квадратных уравнений и неравенств с параметром. Исследование квадратного трёхчлена. Количество корней в зависимости от значений параметра. Параметр как фиксированное число.

Графические и аналитические методы. Классификация задач.

Цель: формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметром.

Свойства функций в задачах с параметром и модулем. Схема исследования функций. Область значения функции. Подстановки. Метод оценки. Свойства монотонных функций.

Цель: сформировать умение использования свойств функций при решении уравнений и неравенств с параметром; познакомить с многообразием задач с параметром.

Тематическое планирование

№

занятий

тема

1-2

Линейные уравнения и уравнения, приводимые к линейным.

3-4

Решение уравнений, приводимых к линейным.

5-6

Линейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным.

7-8

Решение неравенств, приводимых к линейным неравенствам, либо

кнеравенствам вида

9-10

Квадратные уравнения с параметром; уравнения, приводимые к квадратным.

11-12

Решение уравнений, приводимых к квадратным уравнениям.

13-14

Квадратные неравенства с параметром.

15-16

Решение квадратных неравенств с параметром.

17-18

Алгоритмический подход в решении линейных уравнений и неравенств с параметром.

19-20

Алгоритмический подход в решении квадратных уравнений и неравенств

с параметром.

21-26

Задачи, связанные с исследованием корней квадратного трёхчлена.

27-30

Системы уравнений с параметрами.

31-34

Графические приёмы при решении задач с параметрами.

35-40

Уравнения и неравенства с параметром, содержащие знак модуля.

41-44

Параметрические задачи на касательную к кривой.

45-48

Применение производной при решении некоторых задач с параметром.

49-56

Задачи с параметрами на Едином Государственном Экзамене, олимпиадах.

57-68

Решение задач по всему курсу.

В результате изучения данного курса учащиеся должны

знать:

1. основные методы решения задач с параметрами;

2. аналитические и графические приёмы решения;

3. свойства функций в задачах с параметрами;

4. метод оценок в задачах с параметрами;

уметь:

1. проводить исследование задачи от выявления способа её решения до получения результата;

2. решать линейные, квадратные уравнения и неравенства с параметрами;

3. пользоваться аналитическими и графическими методами решения заданий с параметрами;

4. работать с дополнительной литературой;

5. работать в рамках лекционно-семинарского метода обучения.

Требования к уровню подготовки учащихся:

должны иметь элементарные умения решать задачи повышенного по сравнению с обязательным уровнем сложности;

точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач;

правильно пользоваться математической символикой и терминологией;

применять рациональные приёмы тождественных преобразований;

использовать наиболее употребляемые эвристические приёмы.

Список литературы.

• Горштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. М.:Илекса.2005.

• Крамор В.С. Задачи с параметрами и методы их решения. М.:Мир и образование.2007.

• Полякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами. М.: Илекса. 2010.

• Калугина Е.Е. Уравнения, содержащие знак модуля. М.: Илекса.2010.

• Натяганов В.Л. Методы решения задач с параметрами. Издательство московского университета. 2003.

• Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами, М.: Просвещение. 1986.