ГБУ КО ПОО

«ОЗЕРСКИЙ ТЕХНИКУМ ПРИРОДООБУСТРОЙСТВА»

«Согласовано»

Заместитель директора по образовательной деятельности

____________ И.В.Филипенко

«___»___________20___г.

«Утверждаю»

Директор ГБУ КО ПОО

«Озерский техникум природообустройства»

____________Е.В.Юлдашева

«___»________20___г.

МАТЕМАТИКА

справочное пособие для студентов 1 курса

для специальностей: «Механизация сельского хозяйства», «Земельно-имущественные отношения», «Землеустройство», «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», «Природоохранное обустройство территорий», «Лесное и лесопарковое хозяйство»

Озерск

2014г.

Методическое пособие одобрено цикловой комиссией математических и естественнонаучных дисциплин Озерского техникума природообустройства.

Составила Белякова Л.И., преподаватель математики Озерского техникума природообустройства.

Расмотрено на заседании ПЦК

Протокол №___ от «___»_______ 20___г.

Председатель ПЦК _____________ М.С. Леончук

Введение.

Справочное пособие составлено на основе программы учебной дисциплины «Математика». Справочник формул окажет помощь студентам первого курса в организации работы по овладению системой знаний, умений и навыков в объеме действующей программы по математике.

При пользовании справочным пособием, студентам необходимо обратить внимание на то, что основные понятия и определения, формулы расположены в алфавитном порядке.

Данное справочное пособие не заменяет учебника, но помогает в освоении теоретических знаний и практических навыков при изучении дисциплины «Математика».

Абсолютная погрешность.

Определение:

Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью.

Формула:

,

где ∆ - абсолютная погрешность, x - точное значение величины, a - приближенное значение величины.

Число больше или равное абсолютной погрешности называется границей абсолютной погрешности.

Формула:

где: h - граница абсолютной погрешности.

На практике граница абсолютной погрешности равна цене деления прибора, которым ведется измерение.

Арифметическая прогрессия

Определение:

Последовательность, у которой задан первый член a₁, а каждый следующий равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называется арифметической прогрессией:

a_n+1 = a_n + d, где d - разность прогрессии.

a_n = a₁ + d(n - 1)

a_n = a_k + d(n - k)

2a_n = a_n-1 + a_n+1

a_n + a_m = a_k + a_l, если n + m = k + l

Арифметический квадратный корень

Определение

Формулы

Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа a - () - называется неотрицательное число, квадрат которого равен a.

Корнем k-ой степени из a (k - нечетное) называется число, k-ая степень которого равна a.

Геометрическая прогрессия

Определение: Последовательность, у которой задан первый член b₁0, а каждый следующий равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q  0, называется геометрической прогрессией:

b_n+1 = b_n q, где q - знаменатель прогрессии.

b_n = b₁ q^{n - 1}

b_n = b_k q^{n - k}

b_n² = b_n-1 b_n+1

b_n b_m = b_k b_l, если n + m = k + l

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

Декартова система координат. Расстояние между точками.

Расстояние между точками:

Координаты вектора:

т. C - середина отрезка AB:

Уравнение окружности:

Деление с остатком:

Формула деления с остатком: n = mk + r,

где n - делимое, m - делитель, k - частное, r - остаток: 0  r < m

Пример:

Любое число можно представить в виде:

n = 2k + r, где r = {0; 1} или

n = 4k + r, где r = {0; 1; 2; 3}

Делимость натуральных чисел:

Пусть n : m = k, где n, m, k - натуральные числа.

Тогда m - делитель числа n, а n - кратно числу m.

Число n называется простым, если его делителями являются

только единица и само число n.

Множество простых чисел: {2; 3; 5; 7; 11; 13; . . .; 41; 43; 47 и т.д.}

Числа n и m называются взаимно простыми, если у них нет общих

делителей, кроме единицы.

Десятичные числа:

Стандартный вид: 317,3 = 3,173 10² ; 0,00003173 = 3,173 10^-5

Форма записи: 3173 = 3 1000 + 1 100 + 7 10 + 3

Длина окружности, площадь

Площадь круга:

R

d

хорда

дуга

диаметр

радиус

O

Дроби

Сложение

Вычитание

Умножение

Деление

Составная дробь

Значения тригонометрических функций для некоторых углов

0°(0 рад)

30° (π/6)

45° (π/4)

60° (π/3)

90° (π/2)

180° (π)

270° (3π/2)

360° (2π)

N/A

N/A

N/A

N/A

N/A

N/A

N/A

N/A

N/A

N/A

Значения обратных тригонометрических функций

Функция

Значения

0

1

2

1

arccosx

/2

/3

/4

/6

0

arcsinx

0

/6

/4

/3

/2

Функция

0

1

arctgx

0

/6

/4

/3

arcctgx

/2

/3

/4

0

x₁

x₂

x₃

x₄

y

x

Исследование графика функции

+

0

+

0

-

0

+

0

-

max

min

max

y

x

x₁

x₂

x₃

y_b

a

y_a

x₄

b

c

d

Исследование функции

Область определения:

Множество значений:

Корни функции:

Критические точки

Промежутки возрастания:

Промежутки убывания:

Квадратная функция

y = ax² + bx + c, D = b² - 4ac - дискриминант

y

x

x₀

x₁

x₂

y₀

M

Уравнение параболы, проходящей через точку M: y = a(x - x₀)² + y₀

x₁, x₂ - корни параболы: ax² + bx + c = 0

y

x

a>0

D<0

y

x

a>0

D=0

y

x

a>0

D>0

y

x

y=x²

y=2x²

y=0,5x²

y

x

a<0

D<0

y

x

a<0

D=0

y

x

a<0

D>0

Квадратное уравнение:

ax² + bx + c = 0

Дискриминант: D = b² - 4ac

Если

D < 0

D = 0

D > 0

не имеет корней

имеет один корень

имеет два корня

x  

x₁

x₁; x₂

уравнение

Формула корней:

Разложение на линейные множители:

ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)

Конус

H

Координаты вектора

Координаты вектора:

Длина вектора:

Умножение вектора на число:

Куб

Линейная функция

y = kx + b, k - угловой коэффициент, b - свободный член

y

x

x_A

x_B

y_A

y_B

B

A



y

x

y=2x

y=2x+5

y=-0,5x+5

y=-1

5

-1

-2

x=-2

y

x

y=2x

y=x

y=0,5x

y= -x

Линейное уравнение:

ax + b = 0 (a  0) 

Если a = 0

b  0

уравнение

не имеет решений

x  

Если a = 0

b = 0

уравнение

имеет бесконечно много решений

x  R

Логарифм

Определение

Логарифмом числа по b основанию a называется такое число, обозначаемое , что .

a - основание логарифма (a > 0, a  1),

b - логарифмическое число ( b > 0)

Десятичный логарифм:

Натуральный логарифм:

где e = 2,71828

Формулы

Логарифмическая функция

y

x

y=log₂ x

1

y=log_0,4 x

y=log₄ x

y=log_ax

y

x

a>1

1

a<1

Метод интервалов

1)

a

c

d

+

+

+

+

-



2)

a

c

d

+

-

+

-

+



Множество значений сложной функции

Пусть , где

2

4

1

y=log₂z

z

y

z=x²-2x+5

4

1

x

z

x  (-;)



z  [4;)



y  [2;)

Модуль: уравнения и неравенства

1.

2.

3.

4.

5.

Модуль

Определение

Формулы

• x  0

• x - y  x - y

• -x=x

• x  y = x  y

• x  x

• x : y =x : y

• x + y  x + y

• x² = x²

Неравенства

Определения:

Неравенством называется выражение вида:

a < b (a  b), a > b (a  b)

Основные свойства:

Область определения функции

Функция

Условие

f(x)  0

f(x)  0

f(x) > 0

f(x)  1

f(x) > 0

f(x)  /2 + т

-1  f(x)  1

Обратные триг функции

Функция

Свойства

Область определения

Множество значений

arccosx

[0; ]

arcsinx

[-/2; /2]

arctgx

(-/2; /2)

arcctgx

(0; )

Определение тригонометрических функций



1

0

-1



0⁰

90⁰

180⁰

270⁰

cos

cos

0

-1

1

0⁰

90⁰

180⁰

270⁰





sin

sin

0

-1

1

90⁰

180⁰

270⁰





tg

tg

0

-1

1

0⁰

180⁰

270⁰





ctg

ctg

Определенный интеграл

Первообразная элементарных функций

№

f(x)

F(x)

№

f(x)

F(x)

1

6

2

7

3

4

8

5

9

Периодическая дробь

.

Правило:

Перпендикулярность, коллинеарность

Перпендикулярные вектора:

Коллинеарные вектора:

Площадь криволинейной трапеции

x=a

y

x

y=f(x)

x=b

y=0

x₁

y

x

y=g(x)

y=f(x)

x₂

Площадь треугольника

a

h_a

a

b

c

a

b



Показательная функция

y

x

y=2^x

1

y=0,5^x

y=3^x

y = a^x

y

x

a>1

1

a<1

Правила вычисления первообразной функции

Функция

Первообразная

Правила вычисления производной функции

Сложная функция:

Правильная пирамида

Правильный многоугольник

• Площадь правильного n-угольника:

O

r

R

Преобразование графика функции

y

x

y = f(x)

y = - f(x)

y

x

y = f(x)

a

y = f(x+a)

y = f(x)

y = f(x)+b

y

x

y

x

y = f(x)

y = f(x) 

y = f(x)

y

x

y =b f(x)

y

x

y = f(x)

y = f(ax)

Призма

прямая призма

Признаки делимости чисел:

Признак

Пример

На 2

Числа, оканчивающиеся нулём или четной цифрой

…….6

На 4

Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 4.

……12

На 8

Числа, у которых три последние цифры нули или выражают число, делящееся на 8.

…..104

На 3

Числа, сумма цифр которых делится на 3.

570612

На 9

Числа, сумма цифр которых делится на 9.

359451

На 5

Числа, оканчивающиеся нулём или цифрой 5.

…….5

На 25

Числа, у которых две последние цифры нули или выражают число, делящееся на 25.

……75

На 10

Числа, оканчивающиеся нулём.

……0

Производные элементарных функций

№

Функция

Производная

№

Функция

Производная

1

6

2

7

3

8

4

5

9

Проценты

Определение:

Процентом называется сотая часть от числа. 1%A = 0,01A

Основные типы задач на проценты:

Сколько процентов составляет число A от числа B?

B - 100%

A - x%

Сложные проценты.

Число A увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшили на 25%.

Как, в итоге, изменилось исходное число?

1. A₁ = (100% + 20%)A = 120%A = 1,2A

2. A₂ = (100% - 25%)A₁=75%A₁ = 0,75A₁ = 0,751,2A = 0,9A = 90%A

3. A₁ - A = 90%A - 100%A = -10%A

 Ответ: уменьшилось на 10%.

Изменение величины.

Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?

 Ответ: уменьшится на 20%

Прямоугольный параллелепипед

прямоугольный параллелепипед

V=abc

d²=a²+b²+c²

Прямоугольный треугольник

b_c

a_c - проекция катета a



h

a

• Теорема Пифагора: Площадь:

• Тригонометрические соотношения:

• Центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.

• Радиусы окружностей:

• Высота, опущенная на гипотенузу:

• Катеты:

Равносильные уравнения:

Исходное уравнение

Равносильное уравнение (система)









Равносторонний треугольник

треугольник, у которого все стороны равны.

• Все углы равны 60⁰.

• Каждая из высот является одновременно биссектрисой и медианой.

• Центры описанной и вписанной окружностей совпадают.

• Радиусы окружностей:

• Площадь

Свойства прямых и плоскостей



A

S

O

B

M

C

D

 - двугранный угол между плоскостями (SAB) и (ABCD).

Теорема о трёх перпендикулярах:



A

A'

B

B'

Свойства тригонометрических функций

Функция

Свойства

Область определения

Множество значений

Четность-нечетность

Период

cosx

cos(-x)= cosx



sinx

sin(-x)= -sinx



tgx

tg(-x)= -tgx



ctgx

ctg(-x)= -ctgx



Свойства элементарных функций

Функция

Область определения

Множество значений

y = ax + b

x  R

y  R

x  0

y  0

y = x

x  R

y  0

y = x²

x  R

y  0

x  0

y  0

y = a^x

x  R

y > 0

y = log_ax

x > 0

y  R

y = log_xa

x > 0, x  1

y  R

Скалярное произведение



Среднее арифметическое, геометрическое

Среднее арифметическое:

Среднее геометрическое:

Степенная функция

y

x

y=x³

y=x⁵

y = xⁿ

y

x

y=x²

y=x⁴

Степень

Определение

, если n - натуральное число

a - основание степени, n - показатель степени

Формулы

Сумма, разность векторов

Таблица значений

Функция

Значения



0⁰





30⁰





45⁰





60⁰





90⁰

cosx

1

0

sinx

0

1

tgx

0

1

-

ctgx

-

1

0

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение: x² + px + q = 0

x₁ + x₂ = - p

x₁  x₂ = q

Универсальная подстановка

Уравнение движения

Тогда: ,

где - скорость, - ускорение.

Уравнение касательной

Уравнение касательной к графику функции

в точке имеет вид: ,

где - угловой коэффициент касательной.

касательная

Тригонометрические уравнения

Косинус:

Синус:

Общая формула:

Уравнения с тангенсом и котангенсом

Усеченная пирамида

H

Усеченный конус

R₁

R₂

H

Формула дополнительного угла

_, где

Формулы двойного аргумента

Формулы обратных триг функций

Если 0 < x  1, то

arccos(-x) =  - arccosx

arcsin(-x) = - arcsinx

Если x > 0 , то

arctg(-x) = - arctgx

arcctg(-x) =  - arcctgx

Формулы половинного аргумента

Формулы произведения функций

Формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности

(a - b)² = a² - 2ab + b²

Разность квадратов

a² - b² = (a + b)(a - b)

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб разности

(a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)( a² - ab + b²)

Разность кубов

a³ - b³ = (a - b)( a² + ab + b²)

Формулы суммы аргументов:

Формулы суммы функций

Функция корень

y

x

y

x

Функция модуль

y

x

y=x

Функция обратной пропорциональности

y

y

x

x

Цилиндр

H

Четность-нечетность функций

Определение:

Функция y = f(x) называется четной, если: f(-x) = f(x)

Функция y = f(x) называется нечетной, если: f(-x )= - f(x)

Примеры:

четные функций: y = x, y = x², y = cosx

нечетные функций: y = 1/x, y = x³, y = sinx, tgx, ctgx, arcsinx, arctgx

Свойства:

График четной функции симметричен относительно оси Oy.

График нечетной функции симметричен относительно начала

системы координат О.

Числовые множества:

Натуральные числа

N = { 1; 2; 3; 4; . .}

Целые числа

Z = N  { 0; -1; -2; -3; …}

Рациональные числа

Q = Z 

Действительные числа

R = Q 

Шар

R

Шаровой сектор, сегмент

H

H

Литература

Основная

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие., 5-е изд. - М.: Высшая школа, 2002 г .

Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /Под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1987 г. - ч. 1./

Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /Под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1987 г. - ч. 2./

Математика для техникумов. Алгебра и начала анализа /Под ред. Яковлева Г.Н. - М.: Наука, 1989 г./

А.Г.Мордкович. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.1.: Учебник для общеобразовательных учреждений. - 6-е изд. - М.: Мнемозина, 2005. - 375с.

А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешков, Т.Н.Мишустина, Е.Е.Тульчинская. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: В двух частях. Ч.2.: Задачник для общеобразовательных учреждений; Под ред. А.Г.Мордковича. - 5-е изд. - М.: Мнемозина, 2004. - 315с.

Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для средних специальных учебных заведений. - М: Академия, 2003 г.

Дополнительная

Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб. Пос. - Изд. 3-е. - М.: Физматлит, 2000 г.

Ведина О.И., Десницкая В.Н. Математика: Математический анализ для экономистов: Учебник/ Под ред. А.А. Гриба. - Филинъ, 2001 г.

Выгодский М.Я. справочник по высшей математике. - Росткнига, 2001 г.

Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. - 2-е изд., испр. - Дело. 2001 г.

Москинова Г.И. дискретная математика: Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учеб. Пос. - М.: Логос, 2000 г.

Методические рекомендации по математике /Под ред. Я.С. Городского. - М.: Высшая школа, 1990 г./

Михеев В.С. Краткий справочник по математике. - Красногорск, 1996 г.

Интернет-ресурсы:

ALLMATHEMATIKA.RU

BYMATH.NET

WIKIPEDIA.ORG

UZTEST.RU

МАТЕМАТИКА

справочное пособие для студентов 1 курса

для специальностей: «Механизация сельского хозяйства», «Земельно-имущественные отношения», «Землеустройство», «Строительство и эксплуатация автомобильных дорог и аэродромов», «Природоохранное обустройство территорий», «Лесное и лесопарковое хозяйство».

Составитель Л.И. Белякова

«Озерский техникум природообустройства»

ул. Пограничная, 23,г. Озёрск, Калининградская область, 238120

тел./факс8(401-42)3-23-71;E-mail:[email protected]