Макеевская общеобразовательная школа

І- ІІІ ступеней № 72

Аннотация

Данный курс предназначен для учащихся 8 класса: для тех, кто желает приобрести новые знания по теме «Квадратные уравнения». Материал курса предполагает рассмотреть всевозможные способы решения квадратных уравнений.

При выполнении данного курса учащиеся учатся решать уравнения различными способами, приобретают навыки исследовательской деятельности, смогут продемонстрировать определённую логическую культуру.

Пояснительная записка

Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, степенных, логарифмических, иррациональных уравнений и неравенств. Поэтому курс «Квадратные уравнения» - это первый необходимый шаг на пути освоения решений различных видов уравнений. При решении квадратных уравнений с параметром, кроме использования определённых алгоритмов решения, нужно подлинное понимание материала.

Цель курса: создание ориентационной и мотивационной основы для осознанного выбора учеником профиля обучения; уточнение его готовности и способности осваивать математику на повышенном уровне.

Задачи данного курса заключаются в следующем:

- предоставить возможность учащимся осмысленно выбирать наиболее

рациональные способы решения уравнений;

- формировать у учащихся определённую логическую культуру;

- развивать исследовательские умения.

Курс рассчитан на 5 часов. При проведении занятий ведущее место отводится парной, групповой и индивидуальной деятельности учащихся. Значительна доля самостоятельной работы. Учитель выполняет роль консультанта и координатора, т. к. большая часть времени посвящена комбинированным занятиям: тренинг + практикум. При изложении нового материала используются мини-лекции, диалог, подводящий к обобщению.

При оценивании достижений учащихся учитывается не только их активность на занятиях, но и работа с дополнительной литературой, выступления с сообщениями, выполнение зачётной работы исследовательского характера.

Ожидаемые результаты обучения

Знать: 1) Определение квадратного уравнения

2) Формулы для нахождения корней квадратного уравнения

3) Свойства коэффициентов квадратного уравнения

4) Формулировку прямой и обратной теорем Виета

Уметь: 1) Решать квадратные уравнения рациональным способом

2) Распознавать и решать целые квадратные уравнения, которые

сводятся к квадратным.

3) Использовать теорему Виета при анализе зависимости корней и коэффициентов квадратного уравнения

Тематический план

Наименование темы

Количество

часов

Виды деятельности

1.Квадратные уравнения. Алгоритм решения. Теорема Виета.

1

Беседа, сообщение, парная работа

2. Решение типовых задач с помощью квадратных уравнений.

1

Работа в группах

3. Урок «Оцени себя сам»

1

тренинг, практикум (парная и индивидуальная работа)

4. Зачет по теме «Квадратные уравнения»

1

Индивидуальная работа, самостоятельная работа

5. Обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Квадратные уравнения»

1

Индивидуальная работа, соревнование

Урок № 1.

Тема: Квадратные уравнения

Цель:

1. Познакомить учащихся с квадратными уравнениями, дискриминантом, теоремой Виета

2. Показать учащимся, как решаются квадратные уравнения различных видов

3. Развивать внимание и логическое мышление учащихся

4. Воспитывать аккуратность и четкость в записи учащихся

Оборудование:

1. Таблица: Решение квадратных уравнений

2. Таблица: Решение неполных квадратных уравнений

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Составление конспекта лекции

Определение. Уравнение вида , где - некоторые числа, причем , а

-переменная, называется квадратным.

Примеры: ; ; . В каждом из уравнений назвать, чему равны коэффициенты.

Определение. Если в уравнении вида хотя бы один из коэффициентов или равен нулю, то уравнение называют неполным квадратным.

1. Если , то уравнение имеет вид . Оно решается разложением на множители. Уравнение данного вида всегда имеет два корня, всегда один из них равен нулю.

Пример: решить самостоятельно:

_{4х(х+4)=0, 4х=0 или х+4=0, тогда х=0, х=4}

Ответ: х=0, х=4.

Если в=0, то уравнение имеет вид . Оно решается только тогда, когда у коэффициентов и разные знаки. При решении уравнений применяют формулу разности квадратов.

Пример:

1).

,

_{1-2у=0; 1+2у=0. Тогда 2у=1 и 2у=-1;}

_{у=0,5; у=-0,5.}

Ответ: у=0,5; у=-0,5.

2). Решений нет, так как это сумма квадратов, а не разность.

2. Если в=0 и с=0, то уравнение имеет вид . Уравнение имеет единственный корень х=0.

Решение полных квадратных уравнений.

Определение. Выражение вида называют дискриминантом квадратного уравнения.

Для нахождения корней квадратного уравнения пользуются формулами:

Если коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записать в другом виде: ; ,

Вывод:

1. Если D>0 , то уравнение имеет два разных корня

2. Если D<0, то уравнение не имеет решений

3. Если D=0, то уравнение имеет два равных корня

Примеры:

1).

Решение

а=3, в=5, с=-8

=121 > 0

Ответ:

2).

Решение

а=1, в=5, с=10

= -15 < 0

Ответ: корней нет.

3). Решить самостоятельно:

_{а=1, в=-6, с=9}

I способ:

II способ: = 0

;

.

Ответ: .

Решение задач с помощью квадратных уравнений

Задача 1. Сумма двух чисел равна 13, их произведение равно 40. Найдите эти числа.

Решение. I + II = 13, I * II = 40

Пусть х - первое число, тогда (13 - х) - второе число. Зная, что их произведение равно 40, составляем уравнение:

_=9,

_{х = 8; х = 5}

Если первое число 8, тогда второе 5; если первое число 5, то второе 8.

Ответ: 8 и 5.

Теорема Виета

Определение. Квадратное уравнение с первым коэффициентом, равным единице, называется приведенным. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным.

Разделим обе части уравнения на 5

- приведенное квадратное уравнение.

Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Пример. Проверить теорему Виета для уравнения

1).

;

Ответ: ;

2). Самостоятельно:

Обратная теорема. Если два числа в сумме равны , а произведение равно , то эти числа являются корнями квадратного уравнения

_{Пример:}

_{1). Составить квадратное уравнение, чтобы корни его были 2 и 3.}

_{Решение. , значит}

_{, значит}

_Ответ:

2). Самостоятельно: , . Составить квадратное уравнение

Определение. Уравнение вида , называется биквадратным.

Биквадратное уравнение решается с помощью замены вида

Пример

1).

Решение

Пусть , тогда

, а

, а

Возвращаясь в замену , решаем два уравнения:

, тогда ,

корней не имеет

Ответ: ,

2). Самостоятельно:

Итог урока

Домашнее задание: выучить конспект, п.19- 23, ответить на вопросы 1-5 после п. 23.

Урок № 2

Тема: Решение типовых задач с помощью квадратных уравнений

Цели:

1. Способствовать выработке у учащихся умений и навыков в решении в решении уравнений и задач, применяя теорему Виета и формулы корней квадратного уравнения.

2. Развивать логическое мышление и внимание у учащихся

3. Проверить усвоение теоретического материала по теме «Квадратные уравнения».

4. Оборудование: таблицы, медиапроектор, листочки для математического диктанта

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Индивидуальная работа ученика у доски по карточке:

а) запишите в общем виде квадратное уравнение

б) формула дискриминанта

в) формулы корней квадратного уравнения

г) теорема Виета

3. Устно по медиапроектору со всем классом

а) назовите коэффициенты в уравнениях

; ; ; ;

б) найдите корни уравнения

;

3. Математический диктант на листочках

1. Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 3 (-5), второй -5 (3), свободный член равен 0

2. Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого второй коэффициент и свободный член равны -2 (-3)

3. Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -5(-3), свободный член равен 7 (5) и решите его

4. Запишите неполное квадратно уравнение, у которого первый коэффициент равен 3 (5), второй коэффициент равен 5 (7) и решите его.

4. Работа с классом:

Решите уравнения

Решение:

а=2, b=7, с=-9

D=b²-4ac, D=49-4* 2* (-9), D=121, D>0 2 корня

Решение:

3х²-18х=0

3x(x-6)=0

3x=0 или x-6=0

Решение:

(10x+4)(10x-4)=0

Решение:

х₁+х₂=2 х₁=7

10x-4=0 х₁х₂=-35 х₂=-5

Ответ: х₁=7; х₂=-5

Решите задачи:

1. Периметр прямоугольника равен 20 см. найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см

Решение.

Пусть х см длина прямоугольника, тогда у см- ширина. Зная, что P = 20 см и S= 24 см, составляем и решаем систему уравнений :

; ; ;

Ответ: 6 см и 4 см

2. В уравнении один из корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент .

Решение.;

; ;

Ответ:;

_{Рассмотрим такие задачи:}

_{1.Сопротивление f дороги движения автомобиля при скорости v записывается формулами:}

_{а). на качественном шоссе f=}

_{б).на плохой дороге}

_{в). по булыжной мостовой}

_{г). по грунтовой дороге}

_{При какой скорости сопротивление будет наименьшим?}

_{Для решения такого рода задач, необходимо выделить полный квадрат двучлена.}

_{Решение}

_а).

_б).

_в).

_г).

_{Сопротивление будет наименьшим:}

_{а). на качественном шоссе, если v=10 км/ч}

_{б). на плохом шоссе, если v=6.25км/ч}

_{в). по булыжной мостовой, если v=5км/ч}

_{г). по грунтовой дороге, если v=11.25км/ч}

_{2.Скорость течения в канале на разных глубинах записывается формулой:}

, где - глубина воды,- скорость воды в м/мин.

Как изменяется с глубиной скорость движения воды?

Решение:

Выделим полный квадрат:

Ответ: Наибольшая скорость течения в канале на глубине 0,4 м

Итог урока.

Домашнее задание.

Решите уравнения:

; ; ;

Решите задачи:

1. Периметр прямоугольника равен 30 см, а площадь 56 см. Найдите его стороны.

2. В уравнении ;. Найдите другой корень и коэффициент

Урок №4

Тема: Зачет по теме «Квадратные уравнения»

Цели:

1. Проверить знания учащихся , полученные на уроках по заданной теме

2. Систематизировать знания, умения и навыки учащихся по решению квадратных уравнений

3. Развивать логическое мышление учащихся

4. Работать над четкостью и аккуратностью записей учащихся

Оборудование:

1. Зачетные карточки

2. медиапроектор

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Устно по медиапроектору:

1. Укажите в квадратном уравнении его коэффициенты:

_{; ; ;}

2. _{Решите уравнение:}

_{; ;}

3. _{Работа учащихся у доски:}

1. _{Решить уравнения:}

_;

2. _{Записать коэффициенты и вычислить дискриминант:}

_;

3. _{Решить уравнение:}

4. _{Составить уравнение по его корням:}

5. _{Решить уравнения выделением квадрата:}

_;

6. _{Решить биквадратное уравнение:}

4. _{Вопросы:}

1. _{Какое уравнение называется квадратным?}

2. _{Какое уравнение называется неполным квадратным?}

3. _{Виды неполного квадратного уравнения и способы их решения.}

4. _{Какое уравнение называется приведенным квадратным?}

5. _{Способы решения приведенного квадратного уравнения.}

6. _{Какое выражение называется дискриминантом?}

7. _{Формулы корней квадратного уравнения.}

8. _{Сколько корней может иметь квадратное уравнение?}

9. _{Как читается теорема Виета?}

_{Дополнительно:}

10. _{Вывести формулу корней квадратного уравнения.}

11. _{Доказать теорему Виета и ей обратную.}

12. _{Какое уравнение называется биквадратным? Как оно решается?}

_{Практическая часть зачета (в 4 вариантах, задания аналогичные).}

1. _{Решить уравнения:}

_{; ; ; .}

2. _{Найдите два последовательных целых числа, сумма квадратов которых равна 221}

3. _{Составьте квадратное уравнение, чтобы оно имело корни: 0 и 7/3; 1 и 10.}

_{Итог урока.}

_{Домашнее задание: (на 2 недели)}

_{Сборник задач и заданий для тематического оценивания (А.Г. Мерзляк).}

_{«3-5» № 72(1-6) ;73(1-3); 74; 75(1-8); 90}

_{«6-9» № 76(1-4); 77(1-4) ; 79(1-5); 97; 101;}

_{«10-12» № 80(1-4); 82(1-3); 83(1-3); 89; 104; 10}

_{Урок № 3}

_{Урок «оцени себя сам» по теме «Квадратные уравнения».}

_Цели:

1. Обобщить, систематизировать и расширить знания учащихся по теме «Квадратные уравнения».

2. Развивать логическое мышление и элементы творческой деятельности учащихся.

3. Воспитывать стремление к непрерывному совершенствованию своих знаний.

4. Формировать дружеские отношения и умение контролировать свои действия.

Оборудование:

1. Телефоны (2 шт.)

2. Табло «секундная стрелка»

3. Три подсказки (50х50), звонок другу, помощь зала

4. Задания игрокам

Ход урока:

1. Организационный момент

2. Учащиеся разбиваются на три группы.

Ведущая: учитель математики

Помощники: два ученика из класса

Диктор: ученик класса

I отборочный тур (на 10 секунд). Расположите в порядке изучения нами тем

1. Квадратные уравнения

2. Квадратные корни

3. Рациональные дроби

Ответ: 3, 2, 1

Победитель отборочного тура отвечает на 9 вопросов. Оценка ставится в зависимости от количества правильных ответов: «5»- за три первых вопроса; «7»- за три следующих вопроса; «10»- за три последних вопроса.

Вопросы:

1. Квадратным уравнением называется уравнение вида…

а) в) с) д)

2. В каком из квадратных уравнений правильно указаны его коэффициенты?

а) _{; ;}

_{в) ; ;}

с) _{; ;}

_{д) ; ;}

_{3. решите уравнение: а) 2; в) -1; с) 1; д) 0}

_{4. Какое из выражений называют дискриминантом?}

_{А) в) с) д)}

_{5. чему равен дискриминант квадратного уравнения}

_?

_{а) 0; в) 2; с) -1; д) 1}

_{6. При каком условии дискриминанта уравнение не имеет корней?}

а) D>0; в) D>1; с) D<0; д) D=0

7. Какой теоремой можно пользоваться при решении приведенного квадратного уравнения?

а) Пифагора в) Виета с) о сумме углов д) нет такой теоремы

8. Найдите значение корня

а) 35 в) 33 с) 53 д) 43

9. Решите уравнение

_{а) 5 и 2 в) -5 и 2 с) -5 и -2 д) 5 и -2}

_{Итог I тура . Рекламная пауза. Соощение «Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне».}

II отборочный тур.

В какой последовательности был нами изучен материал по теме «Квадратные уравнения».

1. Решение задач с помощью квадратных уравнений

2. Определение квадратного уравнения

3. Решение квадратного уравнения по формуле

Вопросы:

1. Как правильно пишется слово d ?

а) дискриминант; в) дескриминант с) дискреминант д) дискрименант

2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если d=25?

а) нет корней в) 1 с) 2 д) 5

3. Какой формулой пользуемся при решении квадратного уравнения?

а) ; в) ; с) ; д)

4. Назовите, чему равна сумма и произведение корней квадратного уравнения

_{а) 37 и 27 в) -37 и 27 с) -37 и -27 д) 37 и -27}

5. Найдите корни уравнения

_{а) 6; в) -6; с) +/-6; д) 6}

6. Найдите подбором корни уравнения

_{а) -5 и -4; в) 9 и 11; с) 5 и 4; д) -5 и 4.}

_{7. В уравнении один из корней равен 5. Найдите другой корень.}

_{а) -7; в) 7; с) 30; д) 35.}

_{8. Если в уравнении левая и правая части являются рациональными выражениями, то такие уравнения}

_{называются…}

_{а) квадратными; в) неполными; с) целыми; д) рациональными}

9. Вычислите 55

а) 3025; в) 2525; с) 2025; д) 110

Итог II тура. Рекламная пауза. Сообщение «Как составлять и решать квадратные уравнения Диофант».

III отборочный тур.

При решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом…

1. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

2. решить получившееся целое уравнение

3. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель

4. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение

Вопросы:

1. Выбери биквадратное уравнение: а) _{; в) ; с) ; д)}

2. _{При каком условии d уравнение имеет один корень? а)d=0; в) d<0; с) d>0; д) d=1}

3. _{Найди корни уравнения а) решений нет; в) 4 и -4; с) 4; д) -4}

4. _{Реши уравнение: а) -7 и -1; в) -7 и 1; с) 7 и -1; д) 7 и 1}

5. _{Автор учебника, где рассматривается тема «Квадратные уравнения» ? а) Виленкин; в) Мерзляк; с) Пифагор; д) Макарычев}

6. _{Реши уравнение: а) 0 и 1.5; в) 0 и -1.5; с) 0; д) 1.5}

7. _{При каких значениях верно равенство ? а) 0; в) -1; с) 1; д) нет таких значений}

8. _{Как устроен данный числовой «угол»? Как будет выглядеть следующая строка? 1 2 6 3 9 27 а) 4, 12, 36, 108 ; в) 4, 8, 16, 32; с) 4, 9, 13, 18; д) 4, 15, 26, 37 .}

9. _{Вычисли: 196 + 7396 а) 10; в) 14; с) 86; д) 100}

_{Итог III тура . Рекламная пауза. Сценка на уроке алгебры в 8 классе - тема «Квадратный корень» (связь с биологией тема «Корень»).}

_{Итог урока. Выставление оценок учащимся.}

Урок № 5

Тема: Обобщение и систематизация знаний по теме «Квадратные уравнения».

Цели урока:

1. Контроль знаний учащихся с помощью устных ответов.

2. Решение уравнений с помощью теоремы Виета и ей обратной.

3. Решение уравнений с помощью формул квадратного уравнения.

4. Формирование познавательного интереса к предмету.

Оборудование и материалы: доска, раздаточные листы с кроссвордом, медиапроектор, экзаменационные сборники , учебник Мерзляк "Алгебра 9".

I. Организационный момент.

Домашнее задание: Сборник стр.157 № 448; стр.158 №484; стр.161 №585; стр.102 № 73(1); Придумай сам кроссворд (для желающих)

(Комментарий к домашнему заданию)

II. Проверка домашнего задания:

III. Устные задания.

1) Вы видите уравнения, распределенные в группы по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы лишнее?

а)

1) 2х²-х =0
2) х² -16=0
3) 4 х² +х-3=0
4) 2 х² =0

б)

1) х² -5х+ 1=0
2) 9 х²-6х+10=0
3) х²+2х-2=0
4) х²-3х-1=0

2) Как можно решить приведенное квадратное уравнение?

-Сформулировать теорему Виета и ей обратную.

3) Не решая, проверить правильно ли указано количество корней:

а) 2 х²+5х-7=0 - 1 корень (D=25+58=81>0, значит 2 корня)
б) 4 х²+4х+1=0 - 1 корень (D=16-16=0, значит 1 корень)
в) х²-6х+11 =0 - 2 корня (D=36-44=-8<0, значит нет действ. корней)

IV. Устно решить уравнения (фиксация ответов в тетради)

(Выборочная проверка тетрадей)

V. Решение уравнений. ( к доске по карточкам 3 ученика одновременно; учащиеся класса решают эти уравнения в своем темпе)

1. (х-3)(х+3)=5х-13 Ответ: х=4; х=1

2. 2х(х+2)=10х+3,5 Ответ: х=3,5; х=-0,5

3. Ответ: х=2; х=

(Вызванные учащиеся рассказывают краткий ход своего решения.)

VI. Кроссворд (выдается раздаточный материал; проверка проецируется на доску)

ПО ГОРИЗОНТАЛИ:

1. D=в²- 4ас - ….
2. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D>0.
3. Как называется квадратное уравнение вида а х²=в.
4. Ученый, чью теорему используют при решении приведенного квадратного уравнения.
5. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D<0.

ПО ВЕРТИКАЛИ:

6. а х⁴ +в х²+с=0 - это …уравнение.
7. х²+рх+q=0 - это … квадратное уравнение.
8. х²+х+12=0. Знак корня, имеющего большую абсолютную величину.
9. Наука, которую ты изучаешь.
10. В уравнении а х²+вх+с=0 а - … коэффициент.
11. Сколько корней имеет квадратное уравнение, если D=0.

VII. Дальнейшее закрепление материала.

(Учащиеся последовательно решают задания, учитель вызывает к доске по желанию.)

1. 3 х⁴ +13 х²+4 =0 Ответ: х=±2; х = ±

2. Ответ: х=2,5

3. Сборник стр.165 №623 Ответ: 8 и 12 искомые числа.

4. * Сборник стр.104 №93(1) Ответ: х=0 (для более подготовленных учащихся)

VII. Итоги урока:

1. Выставление оценок.

2. Следующий урок будет посвящен решению задач с помощью уравнений