- Преподавателю
- Математика
- Пособие для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике. задание B8 (планиметрия)
Пособие для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике. задание B8 (планиметрия)
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Другие методич. материалы |
Автор | Константюк В.С. |
Дата | 22.10.2014 |
Формат | doc |
Изображения | Есть |
В8(часть1)
Дорогой ВЫПУСКНИК!!! Данное пособие содержит необходимый материал для самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике:
Задачник включает краткий справочник по планиметрии: задач, связанных с углами (задания В8).
Составитель сборника Константюк Виктория Сергеевна, учитель математики.
Удачи, ВЫПУСКНИК!!!
Задания B8. Планиметрия: задачи, связанные с углами
1.Прямоугольный треугольник: вычисление углов
!!! ВСПОМНИ:
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол - это угол, равный . Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол - меньший .
Тупой угол - больший . Применительно к такому углу «тупой» - не оскорбление, а математический термин :-)
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается . Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника - это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты - стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике - это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике - отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные соотношения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
1. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
Решение.
Имеем: (из основного тригонометрического тождества: )
Ответ: 0,96.
2. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
Решение.
Ответ: 0,25.
3. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
Решение.
Ответ: 0,96.
4. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
5. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
6. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
7. В треугольнике угол равен 90°, Найдите
8. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
9. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
10. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
11. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
12. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
13. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
14. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
15. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите .
16. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
17. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
18. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
19. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
20. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
21. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
22. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
23. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
24.
В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
25. В треугольнике угол равен 90°, - высота, , . Найдите .
26. В треугольнике угол равен 90°, - высота, , . Найдите .
27. В треугольнике угол равен 90°, - высота, , . Найдите .
28. В треугольнике угол равен 90°, высота равна 20, . Найдите .
29. В треугольнике угол равен 90°, высота равна 4, . Найдите .
30. В треугольнике угол равен 90°, высота равна 4, . Найдите .
2.Прямоугольный треугольник: вычисление внешних углов
Давайте вспомним сначала, что такое смежные углы. Вот они, на рисунке. У смежных углов одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна .
Возьмем треугольник и продолжим одну из его сторон. Внешний угол при вершине - это угол, смежный с углом . Если угол острый, то смежный с ним угол - тупой, и наоборот.
Обратите внимание, что:
1. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите синус внешнего угла при вершине .
2. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите косинус внешнего угла при вершине .
3. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
4. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите синус внешнего угла при вершине .
5. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите косинус внешнего угла при вершине .
6. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
7. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите синус внешнего угла при вершине .
8.
В треугольнике угол равен 90°, . Найдите косинус внешнего угла при вершине .
9. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите тангенс внешнего угла при вершине .
10. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите синус внешнего угла при вершине .
11. В треугольнике угол равен 90°, . Найдите косинус внешнего угла при вершине .
3.Прямоугольный треугольник: вычисление элементов
1. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
Решение.
Ответ: 4,8.
2. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
3. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
4. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
5. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
6. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
7. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
8. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
9. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
10. В треугольнике угол равен 90°, , . Найдите .
4.Равнобедренный треугольник: вычисление углов
Равнобедренный треугольник:
Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике обычно за основание принимают сторону, не равную никакой из остальных двух сторон.
Свойства равнобедренного треугольника:
1) В равнобедренном треугольнике углы при основании треугольника равны.
2) Высота, проведенная из вершины, является также биссектрисой и медианой.
Равносторонний треугольник:
Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним (или правильным) треугольником.
Свойства равностороннего треугольника:
1) Все углы равны (каждый угол равен 60∘);
2) Каждая из трех высот является также биссектрисой и медианой;
3) Центр окружности, описанной около треугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в него.
Кроме того, равносторонний треугольник, как частный вид правильного многоугольника, имеет все свойства правильного многоугольника.
1. В треугольнике , . Найдите .
Решение.
Треугольник равносторонний, значит, высота делит основание пополам.
.
Ответ: 0,5.
2. В треугольнике , . Найдите .
3. В треугольнике , высота равна 7, . Найдите .
4. В треугольнике , высота равна 24, . Найдите .
5. В треугольнике , высота равна 4, . Найдите .
6. В треугольнике , высота равна 4. Найдите .
7. В треугольнике , высота равна 20. Найдите .
8. В треугольнике , высота равна 4. Найдите .
9. В треугольнике , - высота, . Найдите .
10. В треугольнике , - высота, . Найдите .
5.Равнобедренный треугольник: вычисление элементов
1. В треугольнике , . Найдите .
Решение.
Треугольник равнобедренный, значит, высота делит основание пополам.
.
Ответ: 9,6.
2. В треугольнике , , . Найдите .
3. В треугольнике , . Найдите .
4. В треугольнике , , . Найдите .
5. В треугольнике , . Найдите .
6. В треугольнике , , . Найдите .
7. В треугольнике , . Найдите .
8. В треугольнике , . Найдите высоту .
9. В треугольнике , , . Найдите высоту .
10. В треугольнике , . Найдите высоту .
35