- Преподавателю
- Математика
- «Свойства тригонометрических функций»
«Свойства тригонометрических функций»
Раздел | Математика |
Класс | - |
Тип | Конспекты |
Автор | Байжуманов Д.М. |
Дата | 16.03.2014 |
Формат | docx |
Изображения | Есть |
Тема: «Свойства тригонометрических функций»
Цели: - ознакомить учащихся со свойствами тригонометрических функций, с понятиями знаков, периодичности, четности и нечетности тригонометрических функций;
- обучить учащихся определению знаков выражения тригонометрических функций используя свойства тригонометрических функций;
- развитие кругозора математических знаний в области раздела «Элементы тригонометрии»;
- воспитание сознательного отношения к изучению данной темы.
Тип: Урок ознакомления с новым материалом.
Метод: Словесное объяснение, рассказ, демонстрация слайдовых презентаций, практическое закрепление изученного материала.
Оборудование: интерактивная доска
Ход урока
-
Организационный момент
-
Проверка подготовленности учащихся к уроку.
-
Приветствие учителя и учащихся.
-
Фиксация отсутствующих учащихся.
-
Постановка целей и задач урока.
-
Актуализация опорных знаний.
-
Устный опрос:
-
Что называют синусом угла ? (Отношение ординаты точки к радиусу)
-
Что называют косинусом угла ? (Отношение абсциссы точки к радиусу)
-
Что называют тангенсом угла ? (Отношение ординаты точки к ее абсциссе)
-
Что называют котангенсом угла ? (Отношение абсциссы точки к ее ординате)
-
Какой четверти принадлежит угол 140° (II), (I), 225° (III), (IV)?
-
Ознакомление с новым материалом.
-
Знаки тригонометрических функций
Из определения тригонометрических функций следует, что знаки («+» и «-») каждой функции зависят от знаков координат конца подвижного радиуса, т.е. от того, в какой четверти лежит его конец.
Предположим, что при повороте начального радиуса ОА в положительном направлении получен подвижный радиус ОВ и он сделал полный оборот. Здесь мы видим, как изменяются координаты точки В, являющейся концом подвижного радиуса (рис. 1).
РисНетрудно заметить, что когда точка В находится в верхней полуокружности, координата y положительна, а при переходе точки В на нижнюю полуокружность координата y отрицательна. Так как знак синуса угла по определению зависит от знака y, поэтому и I и II четвертях , в III и IV четвертях (слайд ).
Из определения знак косинуса угла зависит от знака координаты x. Поэтому, когда точка В находится в правой полуокружности, абсцисса x имеет положительный знак, а когда точка В находится в левой полуокружности, абсцисса x имеет отрицательный знак. Следовательно, в I и IV четвертях , а в II и III четвертях (слайд ).
Поскольку , то знаки этих функций будут положительными в тех координатных четвертях, когда координаты точки В имеют одинаковые знаки, и отрицательны в тех четвертях, когда координаты точки В имеют противоположные знаки. Следовательно, в I и III четвертях , а во II и IV четвертях (слайд ).
Результаты исследования знаков тригонометрических функций можно указать также в виде таблицы (слайд ).
Четверти
Функции
I
II
III
IV
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
+
+
-
+
-
-
-
Периодичность тригонометрических функций
Выше мы рассмотрели случаи, когда подвижный радиус совершал полный оборот. Известно, что если подвижный радиус и дальше продолжает свое круговое движение, то его конец снова займет одно из предыдущих положений. Другими словами, тригонометрические функции снова принимают те же значения, которые имели от 0 до . И эти их значения не изменяются при повторении полных оборотов несколько раз.
Функции, обладающие таким свойством, называются периодическими функциями.
Если к аргументу тригонометрических функций прибавить полный оборот () целое число раз, то их значения не изменятся. При повороте радиуса ОА на угол и на угол , и на угол и т.д. получится один и тот же радиус ОВ, т.е. для углов , и т.д. тригонометрические функции имеют одни и те же значения.
Следовательно, функции являются периодическими функциями.
Исследованные свойства тригонометрических функций позволяют свести нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса любого угла к нахождению их значений для неотрицательного угла, меньшего
Рассмотрим примеры. Найдем .
-
-
;
-
.
3. Четность и нечетность тригонометрических функций
До сих пор тригонометрические функции мы рассматривали в основном для случаев . Теперь перейдем к рассмотрению формулы, которая выражает тригонометрические функции отрицательного аргумента через значения тригонометрических функций с положительным аргументом. Для этого, как и прежде в прямоугольной системе, возьмем окружность с центром в начале координат и с радиусом ОА (рис. 2).
Предположим, что при повороте радиуса ОА на угол он переходит в радиус ОВ, а при повороте радиуса ОА на угол он займет положение . Если соединить точки В и , то получим равнобедренный треугольник . ОР является биссектрисой угла этого треугольника. Поэтому точки В и будут симметричны относительно оси .
РисВам известно, что точки, симметрично расположенные относительно оси , имеют одинаковые абсциссы и противоположные ординаты. Поэтому, если координаты точки В обозначим через , то координатами точки будут .
Значит,
Эти равенства записываем в виде формулы следующим образом:
(1)
Если изменение знака аргумента влечет за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной, а если изменение знака аргумента не влечет изменения знака функции, то функция называется четной. Следовательно, из приведенной выше формулы (1) можно сделать вывод о том, что синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, а косинус является четной функцией.
Далее записываем определения:
Если изменение знака аргумента влечет за собой и изменение знака функции, то функция называется нечетной.
Если изменение знака аргумента не влечет изменения знака функции, то функция называется четной.
Например:
-
Первичное закрепление нового материала.
Для усвоения и закрепления нового изученного материала, учащимся необходимо выполнить следующие задания:
-
совместно с учителем: № 287 (устно), № 288 (устно), №289 (у доски) - 2 учащихся, № 290 (у доски) - 1 учащийся;
-
самостоятельно: задания по карточкам (по уровням) - выборочно; тестовые задания (по уровням).
Учащиеся работают по учебнику.
№ 287 (устно) Определите знак выражений:
а) - «+» (положительный, т.к. угол находится в I четверти, а синус в I четверти имеет знак «+»);
б) - «+» (положительный, т.к. угол находится в I четверти, а косинус в I четверти имеет знак «+»);
в) - «-» (отрицательный, т.к. угол находится в II четверти, а тангенс во II четверти имеет знак «-»);
г) - «+» (положительный, т.к. угол находится в III четверти, а котангенс в III четверти имеет знак «+»);
д) - «-» (отрицательный, т.к. угол находится в IV четверти, а синус в IV четверти имеет знак «-»);
е) - «+» (положительный, т.к. угол находится в III четверти, а тангенс в III четверти имеет знак «+»).
№ 288 (устно) Углом, какой четверти является , если:
а) - угол лежит в IV четверти;
б) угол лежит в III четверти;
в) угол лежит во II четверти;
г) угол лежит в III четверти.
№ 289 (у доски) - 2 учащихся
Определите знак произведения:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е)
№ 290 (у доски) - 1 учащийся
Сравните значения выражений с нулем:
а)
б)
в)
г)
Далее выполнение учащимися самостоятельной работы по карточкам и тестовые задания
Вариант А(1)
-
Определите знак следующих выражений:
а) б)
в) г)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Вариант А(2)
-
Определите знак следующих выражений:
а) б)
в) г)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Вариант В(1)
-
Определите знаки произведений:
а)
б)
в)
-
Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант В(2)
-
Определите знаки произведений:
а)
б)
в)
2. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант С(1)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
-
Определите знак выражения:
а)
б)
в)
3. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант С(2)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
-
Определите знак выражения:
а)
б)
в)
3. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Тестовое задание №1
-
Отношение абсциссы точки на окружности к ее ординате называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
-
В какой четверти расположен угол:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение
А) В) 1; С) ; D)
-
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол :
А)D) .
-
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) ; В) C) ; D)
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Углом, какой четверти является угол если
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Выразите в градусах угол :
А) ; В) ; С) ; D)
-
Выразите в радианах угол :
А) В) ; С) D)
Тестовое задание №2
1. В какой четверти расположен угол :
А) I; B) II; C) III; D) IV.
2. Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Отношение абсциссы точки на окружности к радиусу называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
-
В какой четверти расположен угол:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение
А) В) 1; С) ; D)
-
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол :
А)D) .
-
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) ; В) C) ; D)
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Углом, какой четверти является угол если
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
После выполнения самостоятельной работы, необходимо провести проверку.
-
Вторичное закрепление материала
-
Какие знаки имеют тригонометрические функции?
-
В каких четвертях имеет положительные знаки синус, косинус, тангенс и котангенс?
-
В какой четверти имеют положительные знаки все тригонометрические функции?
-
Какая функция является четной, и почему?
-
Какие функции называются нечетными, и почему?
-
Подведение итогов урока
-
Обсуждение успешности достижения целей и задач урока:
-
С какими свойствами тригонометрических функций мы сегодня познакомились?
-
Какими навыками и умениями вы сегодня обучились на уроке?
-
Как вы считаете, достигли ли мы поставленной цели?
-
Аргументированное выставление оценок за урок.
-
Разъяснение домашнего задания:
-
Д/з - № 291 стр.106.
Вариант А(1)
-
Определите знак следующих выражений:
а) б)
в) г)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Вариант А(2)
-
Определите знак следующих выражений:
а) б)
в) г)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
Вариант В(1)
-
Определите знаки произведений:
а)
б)
в)
-
Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант В(2)
-
Определите знаки произведений:
а)
б)
в)
2. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант С(1)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
-
Определите знак выражения:
а)
б)
в)
3. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Вариант С(2)
-
Углом, какой четверти является угол , если:
а)
б)
в)
-
Определите знак выражения:
а)
б)
в)
3. Найдите значение выражения:
а) б)
в) г)
Тестовое задание №1
-
Отношение абсциссы точки на окружности к ее ординате называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
-
В какой четверти расположен угол:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение
А) В) 1; С) ; D)
-
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол :
А)D) .
-
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) ; В) C) ; D)
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Углом, какой четверти является угол если
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Выразите в градусах угол :
А) ; В) ; С) ; D)
-
Выразите в радианах угол :
А) В) ; С) D)
Тестовое задание №2
1. В какой четверти расположен угол :
А) I; B) II; C) III; D) IV.
2. Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Отношение абсциссы точки на окружности к радиусу называется:
А) Синусом угла; В) Косинусом угла; С) Тангенсом угла; D) Котангенсом угла.
-
В какой четверти расположен угол:
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение
А) В) 1; С) ; D)
-
Поворотом, на какой угол радиус займет такое же положение, что и при повороте на угол :
А)D) .
-
Среди чисел найдите число, меньшее нуля:
А) ; В) C) ; D)
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)
-
Углом, какой четверти является угол если
А) I; B) II; C) III; D) IV.
-
Найдите значение :
А) ; В) ; С) D)