Разработка урока Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии.

9 класс.

Урок - лекция. (Метод укрупненной математической единицы).

Цель: ввести понятие арифметической и геометрической прогрессий, рассмотреть свойства прогрессий, формулы суммы, познакомить с характеристическим свойством прогрессий, доказать формулы n- го члена методом математической индукции.

ХОД УРОКА.

ПРОГРЕССИИ.

Арифметическая Геометрическая

÷ а₁; а₂; а₃;_…; а_n-1; а_n b₁; b₂; b₃;…; b_n-1; bn

Определение.

Арифметической Геометрической

прогрессией называется числовую последовательность, каждый член которой начиная со второго равен предыдущему

сложенному с одним умноженному на одно

и тем же числом. и тоже число.(≠ 0)

a_n+1 = a_n + d b_n+1 = b_nq

d = a_n+1 - a_n q =

d наз. разностью q наз. знаменателем

прогрессии прогрессии

Если d0,то прогрессия Если 0, q то прогрессия

является возрастающей является возрастающей

последовательностью, и последовательностью, и

0,

Свойства.

1. Формула n- го члена.

a_n = а₁ + d( n - 1) b_n = b₁q ^{n - 1} , qb

2. Характеристическое свойство.

Каждый член, начиная со второго равен

среднему арифметическому среднему геометрическому

соседних с ним членов:

a_n = b_n =

(обратить внимание на название прогрессии и на выделенные слова этого свойcтва).

b_n² =,

b_n - любые числа.

2; - 6; 18

-6=

(-6)² = 2*18

3. Формулы суммы.

S_n = n S_n =

S_n = n S_n =, q≠1

S_б/уб.=, 1

4) a₁ +a_n = a₃ + a_n-2

Сумма членов, равноотстоящих

от концов прогрессии, равна сумме

крайних членов. (Это свойство в

учебнике не выделено, но оно

применяется для доказательства

формулы суммы n членов, поэтому

это свойство надо доказать отдельно

перед формулой S_n).

Доказательство указанных формул можно дать также для обеих прогрессий одновременно.

Замечание: при доказательстве формулы n - го члена прогрессии используется метод математической индукции. Но в учебном пособии он не называется. Полезно дать метод математической индукции.

Метод математической индукции.

1. Проверить. Верно ли данное высказывание при n = 0, 1, 2, ….

(Верность равенства может начинаться не с 0, и не с 1, а с 2…).

2. Предположить, что данное высказывание верно для n = k.

3. Доказать, утверждение верно при n = k+1.

(При этом используется математические утверждения и то, что оно верно при n = k).

4. По аксиоме индукции, если утверждение верно при n = k+1, то по доказанному оно будет верно и для n = k+2, то есть для любого n.

Докажем методом математической индукции 1- е свойство.

a_n = а₁ + d( n - 1) b_n = b₁q ^{n - 1}

Доказательство.

1). Проверим, верно ли данное высказывание при n = 1, 2

a₁ = а₁ + d( 1 - 1) - верно. b₁ = b₁q ^{1 - 1} - верно.

а₂ = а₁ + d( 2 - 1)= а₁+d -верно b₂ = b₁q ^{2 - 1}=b₁q - верно

(по опред.) (по опред.)

2). Предположим, что данное высказывание верно при n = k, т.е.

а_к= а₁ + d( к- 1) - верно. b_к = b₁q ^{к - 1} - верно.

3). Докажем, что утверждение верно при n = k+1, т. е.

а_к+1= а₁ + кd - ? b_к+1 = b₁q ^к - ?

а_к+1= а_к + d (по опред.), но b_к+1 = b_кq (по опред.), но

а_к= а₁ + d( к- 1), то b_к = b₁q ^{к - 1}, то

а_к+ 1= а₁ + d( к- 1) + d = b_к+1 = b₁q ^{к - 1}q= b₁q ^к

= а₁ + кd ( исп-ся вынесение

общего множит. за скобки)

4). По аксиоме индукции, если a_n ( b_n) верно при n = k+1, то оно будет верно и для любого n.

Итог урока.

Домашнее задание: доказать 4 - е свойство арифметической прогрессии.