Тема 1. Действительные числа.

Действительные числа - это положительные числа, отрицательные числа или нуль. Все действительные числа делятся на рациональные и иррациональные. Первые - это числа, представленные в виде дроби. Вторые - это действительное число, не являющееся рациональным. Совокупность действительных чисел обладает рядом свойств.

1. Свойство упорядоченности.

Свойство упорядоченности. Для любых двух чисел определено соотношение порядка, т. е. два произвольных действительных чисела удовлетворяют одному и только одному из следующих соотношений: или ; при этом, если , то

2. Свойства операций сложения.

- свойство коммутативности ,

- свойство ассоциативности.

.

.

3. Свойства операции умножения.

- свойство коммутативности,

- свойство ассоциативности

4. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения.

Рациональные числа - это положительные и отрицательные числа и нуль.

Рациональной дробью называется выражение вида ,где -целое число - числитель дроби, а- натуральное число - знаменатель дроби.

Дроби - эквивалентны, если .

Сложение рациональных чисел.

При сложении рациональных чисел с равными знаками складывают их абсолютные величины и ставят общий знак.

При сложении рациональных чисел с разными знаками из большего по модулю числа вычитают меньшее и ставят знак большего.

Умножение рациональных чисел.

При умножении двух отрицательных чисел умножают их модули и ставят знак плюс ( минус на минус дают плюс) При умножении двух чисел с разными знаками умножают их модули и ставят знак минус (минус на плюс дают минус)

Деление рациональных чисел.

При делении двух отрицательных чисел делят их модули и ставят знак плюс ( минус на минус дают плюс) При делении двух чисел с разными знаками делят их модули и ставят знак минус (минус на плюс дают минус)

Сравнение чисел с рациональным показателем.

Дано x₁ и x₂ и 0<x₁<x₂ и р>0, тогда x^p₁<x^p₂.

Дано x₁ и x₂ и p<0, тогда

Иррациональные числа - это все бесконечные десятичные непериодические дроби.

Действия над иррациональными числами располагают теми же свойствами, какие принадлежат действиям над числами рациональными.

Индивидуальные задания по теме

«Действительные числа»

Задание 1. Вычислите:

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 2. Найдите значение выражения.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 3. Найдите значение выражения:

Вариант 1.

а). при a=31,2

б). если

Вариант 2.

а). при a=22,8

б). если

Вариант 3.

а). при a=35,4

б). если

Вариант 4.

а). при a=28,5

б). если

Вариант 5.

а). при a=12,6

б). если

Вариант 6.

а). при a=35,1

б). если

Вариант 7.

а). при a=20,7

б). если

Вариант 8.

а). при a=14,1

б). если

Вариант 9.

а). при a=21

б). если

Вариант 10.

а). при a=12,9

б). если

Вариант 11.

а). при a=29,4

б). если

Вариант 12.

а). при a=36,6

б). если

Вариант 13.

а). при a=36,9

б). если

Вариант 14.

а). при a=13,5

б). если

Вариант 12.

а). при a=36,3

б). если

Решение типового варианта.

Задание 1. Вычислите:

Решение:

1).

2).

3). 3,41*2,15+2,975*0,4=7,3315+1,19=8,5215

Ответ: 8,5215

Задание 2. Найдите значение выражения.

а). б). в).

Решение :

а).

Выполним преобразования:

Ответ: 2.

б). .

Решение.

Ответ: 33.

в).

Решение.

Ответ: 2.

Задание 3. Найдите значение выражения:

а). при a=36,7 б). , если

Решение:

а). при a=36,7

Выполним действия в скобках:

Тогда:

Подставляем a=36,7:

-10a=-10*36,7=-367

Ответ: -367.

б). если

Из условия =3 находим, что , и подставляем в дробь:

.

Ответ: 2.

Тема 2. Степень числа, степенная функция.

Степень с натуральным показателем

Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а.

Записывается: аⁿ

Если a>0, то aⁿ>0.

Если a<0, то aⁿ>0 при a - четном; an<0 при a - нечетном.

Степень отрицательного числа

Если а<0 и n - нечетное число, то аⁿ<0.

Если а<0 и n - четное число, то аⁿ>0.

а²≥0 при любом а.

Степень с целым показателем

Если а≠0 и n - натуральное число, то

Степень с рациональным показателем

Если а - положительное число, - рациональное число

(m - целое, n - натуральное), то

Умножение степеней с одинаковым основанием

Деление степеней с одинаковым основанием

Возведение степени в степень

Возведение в степень произведения

Возведение в степень дроби

Формулы сокращённого умножения .

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ

Функция вида называется степенной функцией, где - показатель степени.

Общий вид .

Свойства степенной функции:

Если - натуральное число , то функция :

определена на всей числовой оси

обращается в нуль при

четная при четном и нечетная при нечетном

неограниченно возрастает при бесконечном возрастании аргумента .

Если - отрицательное целое число , то степенная функция определяется равенством . Она определена при всех отличных от нуля .

Для рационального показателя ( - несократимая дробь) степенная функция определяется формулой

.

Графики типичных степенных функций с рациональным показателем

Индивидуальные задания по теме

«Степень числа. Степенная функция.»

Задание 1. Упростите выражение.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 2. При каком значении р прямая имеет с параболой ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 3. Решите задачу.

Вариант 1.

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5r², где h - расстояние в метрах, t - время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Вариант 2.

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1,4+9t+5t² , где h - высота в метрах, t - время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Вариант 3.

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t)=T₀+bt+at², где t - время в минутах, T₀=135 К, a=-7,5 К/мин b=105 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1650 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Вариант 4.

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v₀=16 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a=2 м/с. За t секунд после начала торможения он прошел путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 63 метров. Ответ выразите в секундах.

Вариант 5.

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия - монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой q=100-10p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле r(p)=q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Вариант 6.

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l м с постоянным ускорением a км/ч², вычисляется по формуле v²=2la. Определите, с какой наименьшей скоростью будет двигаться автомобиль на расстоянии 1 километра от старта, если по конструктивным особенностям автомобиля приобретаемое им ускорение не меньше 5000 км/ч². Ответ выразите в км/ч.

Вариант 7.

Для определения эффективной температуры звезд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвертой степени температуры: , где - постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, а температура - в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м, а излучаемая ею мощность P не менее 9,12*10²⁵ Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Вариант 8.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 72 км от города. Ответ выразите в минутах.

Вариант 9.

Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трех однородных соосных цилиндров: центрального массой кг и радиуса см, и двух боковых с массами кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в , дается формулой . При каком максимальном значении момент инерции катушки не превышает предельного значения 625 ? Ответ выразите в сантиметрах.

Вариант 10.

На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где - длина ребра куба в метрах, кг/м3 - плотность воды, а - ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.

Вариант 11.

Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на веревке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведерка сила давления воды на дно не остается постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где - масса воды в килограммах, скорость движения ведерка в м/с, - длина веревки в метрах, g - ускорение свободного падения (считайте м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведерко, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Вариант 12.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону где - время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, - начальная высота столба воды, - отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а - ускорение свободного падения (считайте м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объема воды?

Вариант 13.

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону, где - начальный уровень воды, м/мин², и м/мин постоянные, - время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.

Вариант 14.

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой , где м, - постоянные параметры, - смещение камня по горизонтали, - высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Вариант 15.

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задается формулой . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 450 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Задание 4. Решите уравнение.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Решение типового варианта.

Задание 1. Упростите выражение.

Решение.

Решение будем проводить по действиям:

1).

2).

3).

Задание 2.

При каком значении p прямая у=6х-p имеет с параболой y=x2+4x ровно одну общую точку? Найдите координаты этой точки. Постройте в одной системе координат данную параболу и прямую при найденном значении p.

Решение.

Т.к. прямая и парабола имеют общую точку, то

x ² - 2x + p = 0

Т.к. они имеют одну общую точку, поэтому дискриминант равен 0.

D/4 + 1 - p = 0 ; p = 1

Это означает, что при p=1 прямая у= 6x-1 и парабола y=x²+4x имеют одну общую точку.

Найдем координаты общей точки: x²-2x+1=0; то x= 1, тогда y=1+4=5, т.е. А(1;5) .

Построим графики функций у= 6x-1 и y=x²+4x.

Ответ. p=1 ; А(1;5) .

Задание 3.

Для сматывания кабеля на заводе используют лебедку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где t - время в минутах, мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а мин2 - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет . Определите время после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проверить ее работу. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства при заданных значениях параметров и :

.

Учитывая то, что время - неотрицательная величина, получаем . Угол намотки достигнет значения 1200° при t = 20 мин.

Ответ: 20.

Задание 4.

Решите уравнение .

Решение.

Квадраты чисел равны, если сами числа равны или противоположны. Поэтому:

Ответ: −1.

Тема 3. Показательные уравнения и неравенства.

Функцию вида y = a^x, где a > 0 и a ≠ 1, называют показательной функцией.

Основные свойства показательной функции y = a^x:

Свойство

a > 1

0 < a < 1

Область определения

D(f) = (-∞; +∞)

D(f) = (-∞; +∞)

Область значений

E(f) = (0; +∞)

E(f) = (0; +∞)

Монотонность

Возрастает

Убывает

Непрерывность

Непрерывная

Непрерывная

График показательной функции

Графиком показательной функции является экспонента:

Графики показательных функций (экспоненты)

Решение показательных уравнений

Показательными называются уравнения, в которых неизвестная переменная находится только в показателях каких-либо степеней.

Для решения показательных уравнений требуется знать и уметь использовать следующую теорему:

Теорема 1. Показательное уравнение a^f(x) = a^g(x) (где a > 0, a ≠ 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).

Основные формулы и действия со степенями:

Решение показательных уравнений.

Рассмотрим основные способы решения показательных уравнений на частных примерах.

1. Приведение к одному основанию и приравнивание степеней.

Если две степени одного и того же положительного числа, отличного от 1, равны, то равны и их показатели.

По этому же принципу можно решать и показательное уравнение а^x = b, если b есть целая степень числа а.

II. Замена переменных.

При введении в показательное уравнение новой переменой решение сводится к алгебраическому уравнению.

III. Деление обоих частей уравнения на одну из составляющих.

, где а не является целой степенью числа b, а b не является целой степенью числа а, обе части делятся либо на , либо на .

Решение показательных неравенств

Показательными называются неравенства, в которых неизвестная переменная содержится только в показателях каких-либо степеней.

При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:

1. Если a > 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) > g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) f(x) < g(x).

2. Если 0 < a < 1, неравенство

a ^f(x) > a ^g(x)

равносильно неравенству

f(x) < g(x).

Аналогично, a ^f(x) < a ^g(x) f(x) > g(x).

3. Неравенство

[h(x)] ^f(x) > [h(x)] ^g(x)

(1)

равносильно совокупности систем неравенств

Замечание.. Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно рассматривается и случай

где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).

4. Если b ≥ 0, неравенство

a^f(x) < b

не имеет решений (следует из свойств показательной функции).

При решении систем показательных уравнений или неравенств используются обычные приемы решения показательных уравнений и неравенств и обычные приемы решения систем.

Индивидуальные задания по теме

«Показательные уравнения и неравенства.»

Задание1. Решите уравнения.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

9^-x = 27

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 2. Решите неравенство.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 3. Решите систему уравнений.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Решение типового варианта.

Задание 1. Решите уравнения.

1. .

Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: −1.

2.

Решение.

Преобразуем уравнение:

Откуда

Ответ

3. .

Решение.

Разделим обе части уравнения на

Ответ: −2.

Задание 2. Решите неравенство.

2^x+2 - 2^x+3 - 2^x+4 > 5^x+1 - 5^x+2

Решение.

Используя метод общего множителя, получим

2^x+2 - 2^x+3 - 2^x+4 > 5^x+1 - 5^x+2 2^x·4 - 2^x·8 - 2^x·16 > 5^x·5 - 5^x·25

2^x(4 - 8 - 16) > 5^x(5 - 25) 2^x·(-20) > 5^x·(-20) 2^x < 5^x

Ответ:

Задание 3. Решите систему уравнений.

Решение.

1) Преобразуем первое уравнение системы к более простому виду:

2) Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду. Введем новую переменную . Тогда второе уравнение системы примет вид:

z² - z = 72, откуда находим: z₁ =9, z₂ = -8.

Из уравнения находим х + у = 2; уравнение не имеет решений.
Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать к виду: х + у = 2.

3) Решим полученную систему уравнений:

Умножим обе части второго уравнения на 9 и сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:

Из уравнения х + у = 2 находим:

Ответ:

Тема 4. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмом числа b по основанию a называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b.

Математическая операция логарифмирование является обратной по отношению к операции возведения в степень, поэтому свойства логарифмов тесно связаны со свойствами степени.

Cвойства логарифмов:

(, , , ,

1. - основное логарифмическое тождество

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Формулами перехода к новому основанию:

10.

11.

12. (следствие из свойства 11)

13.

14.

Частные случаи:

- десятичный логарифм

- натуральный логарифм

При упрощении выражений, содержащих логарифмы применяется общий подход:

1. Представляем десятичные дроби в виде обыкновенных.

2. Смешанные числа представляем в виде неправильных дробей.

3. Числа, стоящие в основании логарифма и под знаком логарифма раскладываем на простые множители.

4. Стараемся привести все логарифмы к одному основанию.

5. Применяем свойства логарифмов.

Давайте рассмотрим примеры упрощения выражений, содержащих логарифмы.

Логарифмической называется функция вида у = log_a x, где а - заданное число, а > 0, а ≠ 1.

Рассмотрим свойства логарифмической функции.

1) Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных чисел.

Это утверждение следует из определения логарифма, так как только при х > 0 выражение log_a x имеем смысл.

2) Множество значений логарифмической функции представлено множеством R всех действительных чисел.

3) Логарифмическая функция у = log_a x является возрастающей на промежутке х > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1.

4) Если а > 1, то при х > 1 функция у = log_a x принимает положительные значения, а при при 0 < х < 1 - отрицательные. Если 0 < а < 1, то функция у = log_a x принимает положительные значения при 0 < х < 1, отрицательные - при х > 1.

Отметим, что график любой логарифмической функции у = log_a x проходит через точку (1; 0).

При решении уравнений часто используется теорема:

Если log_a х₁ = log_a х₂, где а > 0, а ≠ 1, х₁ > 0, х₂ >0, то х₁ = х₂.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно применить одним из трех способов:

1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:

или

,

в зависимости от того, какое неравенство или проще.

2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.

3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.

Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:

1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду

Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.

2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.

Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.

3. Методом логарифмирования можно решать:

Уравнения вида

Область определения уравнения - интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, затем применим формулы логарифма степени и произведения

Приведем подобные и получим линейное уравнение относительно log_a x.

Уравнения вида

Область определения уравнения - интервал (0, ). Прологарифмируем обе части уравнения по основанию a, получим

Применим формулы логарифма степени и логарифма произведения

Введем новую переменную t=log_a x , t R. Решив квадратное уравнение At² + (B-а)t-log_a C=0, найдем его корни t1 и t2. Значение x найдем из уравнений t₁ = log_a x и t₂=log_a x и выберем среди них принадлежащие области определения уравнения.

Решение логарифмических неравенств имеет много общего с решением показательных неравенств:

а) При переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, мы также сравниваем основание логарифма с единицей;

б) Если мы решаем логарифмическое неравенство с помощью замены переменных, то нужно решать относительно замены до получения простейшего неравенства.

Однако, есть одно очень важное отличие: поскольку логарифмическая функция имеет ограниченную область определения, при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, необходимо учитывать область допустимых значений.

Если при решении логарифмического уравнения можно найти корни уравнения, а потом сделать проверку, то при решении логарифмического неравенства этот номер не проходит: при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма необходимо записывать ОДЗ неравенства.

Итак. Простейшее логарифмическое неравенство имеет вид:

V , где V - один из знаков неравенства: <,>, ≤ или ≥.

Если основание логарифма больше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется, и неравенство

равносильно системе:

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный, и неравенство

равносильно системе:

Индивидуальные задания по теме

«Логарифмические уравнения и неравенства.»

Задание 1. Решить уравнения.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 2. Решить неравенство.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 3. Решите задачу.

Вариант 1.

Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре C = 5∙10-6 Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением R = 2∙10 Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе U0 = 25 кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением:

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 46 с.

Вариант 2.

Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды кг/с. Проходя по трубе расстояние (м), вода охлаждается до температуры , причем:

(м),

Где

- теплоeмкость воды,

- коэффициент теплообмена,

- постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

Вариант 3.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени моля воздуха объeмом л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

(Дж),

Где

- постоянная,

- температура воздуха.

Какой объeм (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

Вариант 4.

Для обогрева помещения, температура в котором равна Тп = 200С, через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой Тв = 1000С. Расход проходящей через трубу воды m = 0,2 кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры Т оС, при чём

где с = 4200Дж/кг∙С - теплоемкость воды

γ = 42 Вт/м∙0С- коэффициент теплообмена,

α = 1,4 - постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 28 м.

Вариант 5.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением

(с),

где

• - постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?

Вариант 6.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени моля воздуха объeмом л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

(Дж),

Где

постоянная,

К - температура воздуха.

Какой объeм (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10980 Дж?

Вариант 7.

Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры , причeм

(м),

Где

- теплоeмкость воды,

- коэффициент теплообмена,

- постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 66 м?

Вариант 8.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени моля воздуха объeмом л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

(Дж),

Где

постоянная,

К - температура воздуха.

Какой объeм (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 35760 Дж?

Вариант 9.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением (с),

Где

- постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 72 с?

Вариант 10.

Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры , причeм

(м),

Где

- теплоeмкость воды,

- коэффициент теплообмена,

• - постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 136 м?

Вариант 11.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени молей воздуха объeмом л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

(Дж),

Где

постоянная,

К - температура воздуха.

Какой объeм (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 20100 Дж?

Вариант 12.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением

(с),

Где

- постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 84 с?

Вариант 13.

Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры , причeм

(м),

Где

- теплоeмкость воды,

- коэффициент теплообмена,

• - постоянная.

До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 108 м?

Вариант 14.

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени моля воздуха объeмом л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

(Дж),

Где

постоянная,

К - температура воздуха.

Какой объeм (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 28260 Дж?

Вариант 15.

Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением (с),

Где

- постоянная.

Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 84 с?

Решение типового варианта.

Задание 1. Решите уравнения.

Решение:

Уравнение определено для и . Первое неравенство эквивалентно x<3 и поэтому 28-3x > 28-33=28-27=1>0.
Уравнение принимает вид





.

Так как x<3, x=3 (3x=27) не является корнем уравнения, поэтому единственный корень получается из 3x=1, или x=0.

Ответ: x=0

2. log2x + 1(2x2 - 8x + 15) = 2

Решение:

Используя определение логарифма, получим уравнение

(2x² - 8x + 15) = (2x + 1)²

или, после элементарных преобразований,

x² + 6x-7 = 0,

откуда x₁ = -7 и x₂ = 1. После проверки остается x = 1.

Ответ: x=1

Задание 2. Решите неравенство.

Решение:

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

x (3;4),

x (3;4).

x ,

Ответ: 3< x <4

Задание 3. Решите задачу.

Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий моля воздуха при давлении атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

(Дж),

Где

- постоянная,

• - температура воздуха,

(атм) - начальное давление,

(атм) - конечное давление воздуха в колоколе.

До какого наибольшего давления можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 6900 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Решение:

Задача сводится к решению неравенства

при заданных значениях постоянной , температуры воздуха К, начального давления атм и количества воздуха моль:

атм.

Ответ: 6.

Тема 5. Тригонометрические формулы, тригонометрические уравнения и неравенства.

Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса R = 1 с центром O в начале координат. Координатные оси делят окружность на четыре дуги, которые называют четвертями.

Рассмотрим произвольный угол . Точка M(x;y) лежит на единичной окружности, считаем, что точка M результат поворота точки A(1;0) на угол . На оси OX находятся значения cos угла поворота, а на оси OY, соответственно, находятся значения sin углов поворота. На дополнительных осях ctg и tg параллельных осям OX и OY, соответственно, находятся значения ctg и tg угла поворота.

Тригонометрические функции (функции угла) определяются следующими равенствами:

• синус: sin=y, то есть ордината точки M;

• косинус: cos=x, то есть абсцисса точки M;

• тангенс: tg=x/y, то есть отношение ординаты к абсциссе точки M;

• котангенс: ctg=y/x, то есть отношение абсциссы к ординате точки M.

Замечание. Значение tg угла поворота не существует для углов 2+nnZ .Значение ctg угла поворота не существует для углов nnZ .

Основные тригонометрические свойства:

(основное тригонометрическое тождество)

Четность и нечетность тригонометрических функций:

нечетная

четная

нечетная

нечетная

Знаки тригонометрических функций

Таблица значений тригонометрических функций

Формулы приведения:

Чтобы написать правую часть формул приведения нужно:
1) найти четверть в которой лежит угол в скобках, считая X острым углом.
2) поставить знак данной функции в данной четверти.
3) сменить или сохранить функцию.
При или функция меняется (, )
При или функция не меняется.

Формулы сложения углов:

Формулы двойного угла:

Формулы сложения тригонометрических функций:

Простейшие тригонометрические уравнения:

1. Уравнения вида

Уравнения вида ,

2. Частные формулы:
   
   
   где
   
   

Общая формула:
,
где

Частные случаи:

1) Нули синуса:

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие нуля в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

2) решение уравнения

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

3. решение уравнения
   
   

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие минус единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

2) Уравнения вида

Уравнения вида ,

Частные формулы:


где

Общая формула:
,
где

Частные случаи:

1) Нули косинуса:

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие нуля в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

2) решение уравнения

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

3)решение уравнения

Уравнение можно решить
по общей формуле, однако наличие единицы в правой части делает ответ более удобным для дальнейшего отбора корней.

3) Уравнения вида

Уравнения вида

Частные формулы:


где

Общая формула:
,
где

Решение на круге.

1) Уравнения вида

Уравнения вида
,

Частные формулы:

где nZ

Общая формула:

, где nZ

Решение на круге.

Простейшие тригонометрические неравенства.

Неравенство, в котором неизвестная переменная находится под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим неравенством.

К простейшим тригонометрическим неравенствам относятся следующие 16 неравенств:

Здесь x является неизвестной переменной, a может быть любым действительным числом.

Неравенства вида sin x > a, sin x ≥ a, sin x < a, sin x ≤ a

Неравенство sin x > a

При a ≥ 1 неравенство sin x > a не имеет решений:
x ∈ ∅

При a < −1 решением неравенства sin x > a является любое действительное число:
x ∈ R

При −1 ≤ a < 1 решение неравенства sin x > a выражается в виде
arcsin a + 2πn < x < π − arcsin a + 2πn, n ∈ Z

Неравенство sin x ≥ a

При a > 1 неравенство sin x ≥ a не имеет решений:
x ∈ ∅

При a ≤ −1 решением неравенства sin x ≥ a является любое действительное число:
x ∈ R

Случай a = 1
x = π/2 + 2πn, n ∈ Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≥ a включает граничные углы и имеет вид
arcsin a + 2πn ≤ x ≤ π − arcsin a + 2πn, n ∈ Z

Неравенство sin x < a

При a > 1 решением неравенства sin x < a является любое действительное число:
x ∈ R

При a ≤ −1 у неравенства sin x < a решений нет:
x ∈ ∅

При −1 < a ≤ 1 решение неравенства sin x < a лежит в интервале
− π − arcsin a + 2πn < x < arcsin a + 2πn, n ∈ Z

Неравенство sin x ≤ a

При a ≥ 1 решением неравенства sin x ≤ a является любое действительное число:
x ∈ R

При a < −1 неравенства sin x ≤ a решений не имеет:
x ∈ ∅

Случай a = −1
x = − π/2 + 2πn, n ∈ Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства sin x ≤ a находится в интервале
− π − arcsin a + 2πn ≤ x ≤ arcsin a + 2πn, n ∈ Z

Неравенства вида cos x > a, cos x ≥ a, cos x < a, cos x ≤ a

Неравенство cos x > a

При a ≥ 1 неравенство cos x > a не имеет решений:
x ∈ ∅

При a < −1 решением неравенства cos x > a является любое действительное число:
x ∈ R

При −1 ≤ a < 1 решение неравенства cos x > a имеет вид
− arccos a + 2πn < x < arccos a + 2πn, n ∈ Z

Неравенство cos x ≥ a

При a > 1 неравенство cos x ≥ a не имеет решений:
x ∈ ∅

При a ≤ −1 решением неравенства cos x ≥ a является любое действительное число:
x ∈ R

Случай a = 1
x = 2πn, n ∈ Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≥ a выражается формулой
− arccos a + 2πn ≤ x ≤ arccos a + 2πn, n ∈ Z

Неравенство cos x < a

При a > 1 неравенство cos x < a справедливо при любом действительном значении x:
x ∈ R

При a ≤ −1 неравенство cos x < a не имеет решений:
x ∈ ∅

При −1 < a ≤ 1 решение неравенства cos x < a записывается в виде
arccos a + 2πn < x < 2π − arccos a + 2πn, n ∈ Z

Неравенство cos x ≤ a

При a ≥ 1 решением неравенства cos x ≤ a является любое действительное число:
x ∈ R

При a < −1 неравенство cos x ≤ a не имеет решений:
x ∈ ∅

Случай a = −1
x = π + 2πn, n ∈ Z

При −1 < a < 1 решение нестрогого неравенства cos x ≤ a записывается как
arccos a + 2πn ≤ x ≤ 2π − arccos a + 2πn, n ∈ Z

Неравенства вида

Неравенство tg x > a

При любом действительном значении a решение строгого неравенства tg x > a имеет вид
arctg a + πn < x < π/2 + πn, n ∈ Z

Неравенство tg x ≥ a

Для любого значения a решение неравенства tg x ≥ a выражается в виде
arctg a + πn ≤ x < π/2 + πn, n ∈ Z

Неравенство tg x < a

Для любого значения a решение неравенства tg x < a записывается в виде
− π/2 + πn < x < arctg a + πn, n ∈ Z

Неравенство tg x ≤ a

При любом a неравенство tg x ≤ a имеет следующее решение:
− π/2 + πn < x ≤ arctg a + πn, n ∈ Z

Неравенства вида ctg x > a, ctg x ≥ a, ctg x < a, ctg x ≤ a

Неравенство ctg x > a

При любом a решение неравенства ctg x > a имеет вид
πn < x < arcctg a + πn, n ∈ Z

Неравенство ctg x ≥ a

Нестрогое неравенство ctg x ≥a имеет аналогичное решение
πn < x ≤ arcctg a + πn, n ∈ Z

Неравенство ctg x < a

Для любого значения a решение неравенства ctg x < a лежит в открытом интервале
arcctg a + πn < x < π + πn, n ∈ Z

Неравенство ctg x ≤ a

При любом a решение нестрогого неравенства ctg x ≤ a находится в полуоткрытом интервале
arcctg a + πn ≤ x < π + πn, n ∈ Z

Индивидуальные задания по теме

«Тригонометрические формулы.

Тригонометрические уравнения и неравенства.»

Задание 1. Упростите выражение.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 2. Решите уравнение.

Вариант 1.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 2.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Вариант 3.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Вариант 4.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие

Вариант 5.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Вариант 6.

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 7.

.

Укажите его корни, принадлежащие отрезку

Вариант 8.

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 9.

.

Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Вариант 10.

.

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку .

Вариант 11.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Вариант 12.

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 13.

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 14.

Укажите корни уравнения, принадлежащие отрезку

Вариант 15.

.

Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку .

Задание 3. Решите неравенства.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Решение типового варианта.

Задание 1. Упростите выражение.

Решение.

Ответ: 0

Задание 2. Решите уравнение.

Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

Решение.

а) Преобразуем уравнение:

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни уравнения, принадлежащие интервалу

Ответ:

а)

б)

Задание 3. Решите неравенства

Решение.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

Получим

Построим графики функций

Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

1. Разложим на множители

2. Находим точки разрыва и нули функции.

(1):

(2):

(3):

3. Возьмем точку

3. Точки четной кратности :

0

Ответ:

Тема 6. Производная и её применение к исследованию функций.

Производная (функции в точке) - основное понятие дифференциального исчисления, характеризующее скорость изменения функции (в данной точке). Определяется как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует. Функцию, имеющую конечную производную (в некоторой точке), называют дифференцируемой (в данной точке).Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производной функцией в точке x₀ называется число, к которому стремится разностное отношение

,при Δx, стремящемся к нулю.

Таблица производных простых функций

Правила дифференцирования

Геометрический смысл производной

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке

Уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке x0:

Исследование функций с помощью производной.

Возрастание и убывание функций.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f(x) 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Точки экстремума.

Определение. Функция f(x) имеет в точке х₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х₁. Функцияf(x) имеет в точке х₂ минимум, если > f(x₂) при любом х (х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке - это понятия принципиально различные.

Определение. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума.

Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х₁ и точка х₁ является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого - функция у = х³, производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.

Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.

Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.

Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.

Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х₁, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х₁).

Если при переходе через точку х₁ слева направо производная функции f(x) меняет знак с "+" на "-", то в точке х = х₁ функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с "-" на "+"- то функция имеет минимум.

На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

1) Найти критические точки функции.

2) Найти значения функции в критических точках.

3) Найти значения функции на концах отрезка.

4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.

Схема исследования функции.

1. Найти область определения функции;

2. Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность;

3. Найти точки пересечения графика функции с осями координат;

4. Исследовать функция на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;

5. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции;

6. Построить график функции.

Индивидуальные задания по теме

«Производная и её применение к исследованию функций.»

Задание 1. Найдите производные функций.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Вариант 1.

Найти наибольшее значение функции на отрезке .

Вариант 2.

Найти наименьшее значение функции на отрезке .

Вариант 3.

Найти наименьшее значение функции на отрезке .

Вариант 4.

Найти наибольшее значение функции на отрезке

Вариант 5.

Найти наименьшее значение функции на отрезке .

Вариант 6.

Найти наибольшее значение функции на отрезке

Вариант 7.

Найти наименьшее значение функции на отрезке .

Вариант 8.

Найти наименьшее значение функции на отрезке

Вариант 9.

Найти наибольшее значение функции на отрезке .

Вариант 10.

Найти наименьшее значение функции на отрезке .

Вариант 11.

Найти наибольшее значение функции на отрезке .

Вариант 12.

Найти наибольшее значение функции на отрезке

Вариант 13.

Найти наименьшее значение функции на отрезке

Вариант 14.

Найти наибольшее значение функции на отрезке .

Вариант 15.

Найти наименьшее значение функции на отрезке

Задание 3. Касательная к графику функции.

Вариант 1.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 2.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 3.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 4.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 5.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 6.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания

Вариант 7.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 8.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 9.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 10.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 11.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 12.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 13.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 14.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Вариант 15.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Задание 4. Исследуйте функцию и постройте её график.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Решение типового варианта.

Задание 1. Найдите производные функций.

Решение.

Решение.

Решение.

Решение.

Задание 2. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Отметим на рисунке нули производной и поведение функции на заданном отрезке:

Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является ее значение в точке минимума. Найдем его:

Ответ: −6.

Задание 3. Касательная к графику функции.

Прямая является касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.

Решение.

Условие касания графика функции и прямой задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания −1.

Ответ: −1.

Задание 4. Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение.

Функция

1. определена для всех .

2. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат:

Если , то , то есть график функции пересекает ось Оy в точке А(0,-4).

Если , тогда из уравнения найдем

То есть график функции пересекает ось Ох в точках В(1,0), С(-2,0).

1. Заданная функция непрерывна во всех точках числовой оси как многочлен третьей степени.

1. Исследуем заданную функцию на возрастание, убывание и экстремумы.

Найдем производную:

Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

Найдем промежутки монотонности функции:

Таким образом, функция :

- возрастает на интервалах

- убывает на интервале

- в точке имеет максимум ;

- в точке имеет минимум:

Для удобства построения объединяем полученные результаты в таблицу:

-2

(-2;0)

0

+

0

-

0

+

max

0

min

-4

Тема 7. Первообразная и интеграл.

Первообразной функцией для функции f(x) называется такая функция F(х), производная которой равна данной функции

Обозначение

где Функция f(x) называется подынтегральной функцией, а выражение f(x)dx - подынтегральным выражением.

Существует три основных правила нахождения первообразных функций.

Правило 1

Если F есть первообразная дл некоторой функции, а есть первообразная для некоторой функции , то будет являться первообразной для .

Правило 2

Если есть первообразная для некоторой функции , а - некоторая постоянная. Тогда есть первообразная для функции .

Правило 3

Если есть некоторая первообразная для функции , а и есть некоторые постоянные, причем k не равняется нулю, тогда будет первообразной для функции

Свойства неопределенного интеграла

1°. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

2°. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е.

3°. Постоянный множитель можно вынести из под знака интеграла, т.е. если , то

4° . Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности.

Понятие определенного интеграла

Пусть функция определена на отрезке , . Выполним следующие операции:

1) разобьем отрезок точками на n частичных отрезков;

2) в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке:

3) найдем произведения , где - длина частичного отрезка , ;

4) составим сумму

(1)

которая называется интегральной суммой функции на отрезке. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ;

5) найдем предел интегральной суммы, когда .

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

2. Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная неотрицательная функция . Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y = f(x), снизу - осью Ох, слева и справа - прямыми x = a и x = b (рис. 2).

Рис. 2

Определенный интеграл от неотрицательной функции с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции , слева и справа - отрезками прямых и , снизу - отрезком оси Ох.

3. Основные свойства определенного интеграла

1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования: .

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

3. Если , то, по определению, полагаем

4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

5. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

.

6. Если функция интегрируема на и , то

.

7. (теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка , такая, что .

4. Формула Ньютона-Лейбница

Вычисление определенных интегралов через предел интегральных сумм связано с большими трудностями. Поэтому существует другой метод, основанный на тесной связи, существующей между понятиями определенного и неопределенного интегралов.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке и - какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая формула:

, (2)

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность принято записывать следующим образом:

,

где символ называется знаком двойной подстановки.

Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

.

Нахождение определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница осуществляется в два этапа: на первом этапе находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором - находится разность значений этой первообразной на концах отрезка .

Индивидуальные задания по теме

«Первообразная и интеграл.»

Задание 1. Найдите все первообразные F(x) для функции f(x)

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 2. Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 1.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 2.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 3.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 4.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 5.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 6.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 7.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 8.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 9.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 10.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 11.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 12.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 13.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 14.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Вариант 15.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Задание 3. Вычислите интеграл.

Вариант 1.

Вариант 2.

Вариант 3.

Вариант 4.

Вариант 5.

Вариант 6.

Вариант 7.

Вариант 8.

Вариант 9.

Вариант 10.

Вариант 11.

Вариант 12.

Вариант 13.

Вариант 14.

Вариант 15.

Задание 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Вариант 1.

у = 4 - x²,

у = 4 - 2х.

Вариант 2.

у = 4 - х²,

у = х + 2.

Вариант 3.

у = 9 - х²,

у = 5.

Вариант 4.

у = 9 - х2,

у = х + 3.

Вариант 5.

у = - х² + 4

y = 2х + 4

Вариант 6.

у =-х²+4,

у = 2 - х.

Вариант 7.

у=х2+ 2,

y = 6.

Вариант 8.

у = х2 + 2,

y = х + 4.

Вариант 9.

y=(x+1)²

y=1-x

Вариант 10.

y=4-x²

y=x+2

Вариант 11.

y=4x-x²

y=4-x

Вариант 12.

y=3x²

y=1,5x+4,5

Вариант 13.

y=x²+3x

ось OX

Вариант 14.

y=x²-4x+3

ось OX

Вариант 15.

y=0,5x²-2x+3

y=7-x

Решение типового варианта.

Задание 1. Найдите все первообразные F(x) для функции f(x)

1).

Решение.

Для функции одной из первообразных будет функция , а для функции одной из первообразных будет являться функция . Используя первое правило, имеем:

2).

Решение.

Для функции одной из первообразных будет являться функция Если теперь воспользоваться третьим правилом, то получим выражение для первообразной:

3).

Решение.

Первообразной для функции будет являться функция . Теперь воспользовавшись третьим правилом, получим:

4).

Решение.

Первообразной для функции будет являться функция . Теперь воспользовавшись третьим правилом получаем:

Задание 2. Найдите площадь закрашенной фигуры.

На рисунке изображён график некоторой функции . Функция - одна из первообразных функции . Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках и

Имеем:

Ответ:6.

Задание 3. Вычислите интеграл.

Вычислить определенный интеграл

Решение:

(1) Используем свойства линейности определенного интеграла.

(2) Интегрируем по таблице, при этом все константы выносим - они не будут участвовать в подстановке верхнего и нижнего предела.

(3) Для каждого из трёх слагаемых применяем формулу Ньютона-Лейбница:

Ответ: 36

Задание 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.

Решение.

Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

или .

Находим: x₁ = -2, x₂ = 4.

Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

По формуле Ньютона-Лейбница находим:

Ответ: 18 ед.

Литература:

1. Алгебра и начала математического анализа. Учебник для 10-11 кл. Колмогоров А.Н. и др.

2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник. (базовый уровень) Алимов А.Ш, Колягин Ю.М. и др.

3. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник (профильный уровень). Мордкович А.Г., Семенов П.В.

4. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 ч. Ч.2. Учебник (профильный уровень). Мордкович А.Г., Семенов П.В.

5. Дидактические материалы по алгебре и математическому анализу с ответами и решениями для 10-11 классов.Рыжик В.И., Черкасова Т.Х.

6. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс В) за курс средней школы. 11 класс. Дорофеев Г.В. и др.

7. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов А.П. Ершова, В.В. Голобородько.

Интернет - ресурсы:

1. ru.wikipedia.org/wiki/Число

2. live.mephist.ru/show/mathege-variant/

3. test1.21416s19.edusite.ru/p32aa1.html

4. mat-ege.ru/publ/zadanija_urovnja_b/b12/12

5. krivoleg.blogspot.com/2011/04/7.html

6. webmath.exponenta.ru/mege/b/12/i.html

7. uch.znate.ru/docs/5107/index-3694.html?page=7

8. 56ouo43-matem.ucoz.ru/varianty_egeh_6_shtuk.doc

9. s11033.edu35.ru/attachments/category/52/В12 ЗАДАЧИ С ПРИКЛАДНЫМ СОДЕРЖАНИЕМ.doc

10. matematikalegko.ru/prikladnie/zadachi-s-logarifmami.html

11. mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?protoId=27996

12. studopedia.ru/3_63226_opredelenie-tochki-maksimuma-i-minimuma-funktsii-nazivayutsya-tochkami

13. do.gendocs.ru/docs/index-26179.html

14. matica.org.ua/kurs-visshey-matematiki-2/24-tochki-ekstremuma/pdf

15. coolreferat.com/Дифференциальное_исчисление_функции_одной_переменной_часть=4

16. referat.ru/referats/view/30627

139